§E3.38極分解

証明.$K=\mathbb C$の場合は§E3.37 定理 2.1、$K=\mathbb R$の場合は§E3.37 定理 3.1により、$A$の固有ベクトルからなる正規直交基底$(e_1,\ldots,e_n)$が存在する。正作用素の固有値は非負なので

と定める。$B$はこの正規直交基底で非負実対角行列として表されるため正作用素であり、$B^2e_i=\lambda_ie_i=Ae_i$なので$B^2=A$である。

$C$も正作用素で$C^2=A$を満たすとする。$CA=C^3=AC$なので、$C$は$A$の各固有空間$E_\lambda=\ker(A-\lambda I)$を保つ。$C|_{E_\lambda}$は正作用素である。実または複素のスペクトル定理をこの制限へ適用すると、$E_\lambda$には$C$の正規直交固有基底が存在する。その固有値を$\mu$とすると、$C$の正性から$\mu\geq0$であり、$C^2=A$から$\mu^2=\lambda$である。したがって$\mu=\sqrt\lambda$である。よって$C$は各$E_\lambda$上で$\sqrt\lambda I$に等しく、$C=B$である。▨

証明.定理 1.1で用いた正規直交固有基底において、$A$の固有値$\lambda$が零であることと$A^{1/2}$の固有値$\sqrt\lambda$が零であることは同値である。よって二つの核は一致する。また自己随伴作用素$S$について

有限次元で両辺の直交補空間を取れば$\operatorname{im}S=(\ker S)^\perp$である。$S=A^{1/2}$として像の式を得る。▨

証明.$V=\mathcal I_U\oplus\ker U$と直交分解する。$x,y\in\mathcal I_U$なら

である。$x\in\ker U$の場合にも$\langle x,U^*Uy\rangle=\langle Ux,Uy\rangle=0=\langle x,y\rangle$である。したがって、この等式は全ての$x\in V$について成立し、内積の非退化性から$U^*Uy=y$である。$y\in\ker U$なら$U^*Uy=0$である。したがって$U^*U$は$\mathcal I_U$上で恒等写像、$\ker U$上で零写像であり、$P_{\mathcal I_U}$に等しい。

$U|_{\mathcal I_U}:\mathcal I_U\to\operatorname{im}U$は等長同型である。$z=Uy\in\operatorname{im}U$、$y\in\mathcal I_U$に対して

$z\perp\operatorname{im}U$なら$\langle x,U^*z\rangle=\langle Ux,z\rangle=0$が全ての$x\in V$について成立するので$U^*z=0$である。したがって$UU^*$は終空間上で恒等写像、その直交補空間上で零写像であり、$P_{\operatorname{im}U}$に等しい。▨

証明.$T^*T$は正作用素なので、定理 1.1により$|T|$が存在する。任意の$x\in V$に対し

したがって$Tx=0$と$T^*Tx=0$は同値である。一方、$|T|^2=T^*T$と正性から

よって

$\operatorname{im}|T|$上で

と定める。$|T|x=|T|y$なら$x-y\in\ker|T|=\ker T$なので$Tx=Ty$であり、$U_0$は表示に依存せず定まる。線形性も定義式から従う。また任意の$x,y\in V$に対して

したがって$U_0$は$\operatorname{im}|T|$上の等長写像である。

系 1.2により

$U$を$\operatorname{im}|T|$上では$U_0$、$\ker|T|$上では零として定める。このとき$U$は初期空間$\operatorname{im}|T|=(\ker T)^\perp$上で等長であり、$\ker U=\ker T$なので部分等長作用素である。定義から$U|T|x=Tx$であり、終空間は$\operatorname{im}U=\operatorname{im}T$である。

一意性を示す。$\widetilde U$も同じ条件を満たすとする。$z\in\operatorname{im}|T|$を$z=|T|x$と書けば

また$\ker\widetilde U=\ker T=\ker|T|$なので、二つの写像は$\ker|T|$上でともに零である。直交直和の両成分で一致するため$\widetilde U=U$である。▨

証明.$P$は自己随伴なので$\operatorname{im}P=(\ker P)^\perp=\mathcal I_U$である。命題 2.2から$U^*U=P_{\mathcal I_U}$なので

最後の等式では$\operatorname{im}P\subseteq\mathcal I_U$を用いた。正の平方根の一意性から$P=(T^*T)^{1/2}=|T|$である。

さらに、$Tx=0$なら$UPx=0$なので$Px\in\ker U=\ker P$である。一方$Px\in\operatorname{im}P=(\ker P)^\perp$でもあるから$Px=0$である。よって$\ker T=\ker P=\ker U$であり、定理 3.1の一意性から$U$も同定される。▨

証明.$\ker T=0$なので$\ker|T|=0$であり、有限次元性から$|T|$は可逆である。極分解の式を右から$|T|^{-1}$と合成すると$U=T|T|^{-1}$を得る。$U$の初期空間は$V$全体であり、終空間も$\operatorname{im}T=V$全体なので、$U$は全空間の等長同型である。§E3.35 定理 3.1により複素数体上ではユニタリ、実数体上では直交作用素である。▨