§E3.6商空間と余核

証明. 任意の$v\in V$について$v-v=0\in W$なので$v\sim_Wv$であり、反射律が成り立つ。$v\sim_Wv'$なら$v-v'\in W$である。$W$は加法逆元について閉じているので$v'-v=-(v-v')\in W$となり、$v'\sim_Wv$である。したがって対称律が成り立つ。さらに$v\sim_Wv'$かつ$v'\sim_Wv''$なら

なので$v\sim_Wv''$であり、推移律が成り立つ。▨

証明.$v+W=v'+W$と$u+W=u'+W$を仮定する。この等式は$v-v'\in W$と$u-u'\in W$を意味する。$W$は部分空間なので

であり、$(v+u)+W=(v'+u')+W$となる。また$a(v-v')\in W$なので$av+W=av'+W$である。したがって二つの演算は代表元に依存せず定まる。

結合法則、交換法則、分配法則などは$V$の対応する等式に代表元を取って得られる。零ベクトルは$W=0+W$、$v+W$の加法逆元は$-v+W$である。よって$V/W$は線形空間である。▨

証明. 商空間の演算の定義から$\pi_W(av+bu)=a(v+W)+b(u+W)$なので線形である。$V/W$の各元は定義から$v+W$の形なので全射である。また$\pi_W(v)=W$であることと$v\in W$は同値なので、核は$W$である。▨

証明.$W\subseteq\ker T$とする。$v+W=v'+W$なら$v-v'\in W\subseteq\ker T$なので$T(v)-T(v')=T(v-v')=0$である。したがって$\overline T(v+W)=T(v)$は代表元に依存せず定まる。商空間の演算と$T$の線形性から$\overline T$は線形であり、定義から$\overline T(\pi_W(v))=T(v)$となる。

逆に$T=\overline T\circ\pi_W$を満たす$\overline T$が存在するとする。$w\in W$に対し$\pi_W(w)=W=0_{V/W}$なので$T(w)=\overline T(0_{V/W})=0_X$である。したがって$W\subseteq\ker T$である。

$T=S\circ\pi_W$を満たす線形写像$S:V/W\to X$があるとする。任意の$v+W\in V/W$に対して$S(v+W)=S(\pi_W(v))=T(v)=\overline T(v+W)$なので$S=\overline T$である。▨

証明.定理 2.1を$W=\ker T$として適用すると、$\widetilde T$は代表元に依存せず定まる線形写像である。

$\widetilde T(v+\ker T)=0$なら$T(v)=0$なので$v\in\ker T$であり、$v+\ker T=\ker T$は商空間の零ベクトルである。したがって$\ker\widetilde T=\{0\}$であり、$\widetilde T$は単射である。

任意の$y\in\operatorname{im}T$は、ある$v\in V$によって$y=T(v)$と書くことができる。このとき$y=\widetilde T(v+\ker T)$なので、$\widetilde T$は全射である。よって$\widetilde T$は線形同型である。▨