§E8.4合成体と線形無関連性

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共通の基礎体KKをもつ二つの拡大E/KE/KとF/KF/Kを同時に扱うには、両者を一つの体の中で比較する必要がある。抽象的な拡大として別々に与えただけでは、両者が共有する元や、一方の線形独立性が他方へ係数を広げた後も保たれるかを定めることができない。共通の拡大体Ω\Omegaの中で合成体EFEFを取り、乗法写像E⊗KF→EFE\otimes_KF\to EFの単射性によって線形無関連性を捉えると、二つの拡大を合わせた際に線形独立性が失われるか否かを判定することができる。本記事では、「テンソル積と Hom–tensor 対応」で構成したテンソル積を用いて線形無関連性を特徴づけ、有限次数の場合の次数の不等式と積公式の成立条件を導く。

1 合成体

合成体の定義には、二つの拡大体を含む共通の拡大体を指定する。

定義 1.1. 体KKの二つの拡大体E/KE/KとF/KF/Kが、共通の拡大体Ω/K\Omega/Kの部分体として含まれると仮定する。EEとFFをともに含むΩ\Omegaの部分体すべての共通部分を、EEとFFのΩ\Omega内の 合成体 (compositum) と呼び、EFEFと書く。

合成体は共通の拡大体に依存する。したがって、抽象的な二つのKK-拡大を比較するときは、埋め込み先Ω\Omegaもデータの一部である。

乗法(e,f)↦ef(e,f)\mapsto efはKK-双線形であるため、テンソル積の普遍性から標準写像が得られる。

命題 1.2.KKを体とし、EEとFFを共通の拡大体Ω/K\Omega/Kの部分体とする。EFEFをΩ\Omega内におけるEEとFFの合成体とする。このとき、一意なKK-線形写像

μE,F ⁣:E⊗KF⟶EF,e⊗f⟼ef\mu_{E,F}\colon E\otimes_K F\longrightarrow EF, \qquad e\otimes f\longmapsto ef

が存在する。その像は

im⁡μE,F={∑i=1reifi∣r≥1, ei∈E, fi∈F}\operatorname{im}\mu_{E,F} =\left\{\sum_{i=1}^r e_if_i \mathrel{\Big|}r\ge1,\ e_i\in E,\ f_i\in F\right\}

である。

証明. 写像

E×F⟶EF,(e,f)⟼efE\times F\longrightarrow EF, \qquad(e,f)\longmapsto ef

は各変数についてKK-線形である。テンソル積の定義§E6.14 定義 3.1と普遍性§E6.14 定理 5.2により、一意なKK-線形写像μE,F ⁣:E⊗KF→EF\mu_{E,F}\colon E\otimes_KF\to EFでμE,F(e⊗f)=ef\mu_{E,F}(e\otimes f)=efを満たすものが存在する。テンソル積の元の有限和表示§E6.14 命題 5.3により、像は表示した有限和全体に一致する。▨

注意 1.3 (乗法写像の像). 拡大次数が無限である場合、im⁡μE,F\operatorname{im}\mu_{E,F}が合成体EFEF全体に一致するとは限らない。乗法写像は常に合成体を終域として定義することができるが、一般には全射性を主張しない。有限次数の場合には、後で像が合成体全体に一致することを証明する。

2 線形無関連性

一方の体で線形独立な元が、もう一方の体まで係数を広げても線形独立であるとき、二つの拡大を線形無関連と呼ぶ。

定義 2.1.定義 1.1の仮定のもとで、任意の有限なKK-線形独立な元e1,…,er∈Ee_1,\ldots,e_r\in EがΩ\Omegaの中でFF-線形独立であるとき、EEとFFはKK上 線形無関連 (linearly disjoint) であるという。

定義はEEとFFを非対称に書いているが、テンソル積による特徴づけから対称性が従う。

定理 2.2. 体KKの拡大体E,FE,Fが共通の拡大体Ω\Omegaに含まれると仮定する。このとき、次の三条件は同値である。

  1. EEとFFはKK上線形無関連である。
  2. 標準写像 μE,F ⁣:E⊗KF⟶EF,e⊗f⟼ef\mu_{E,F}\colon E\otimes_KF\longrightarrow EF, \qquad e\otimes f\longmapsto ef は単射である。
  3. 任意の有限なKK-線形独立な元f1,…,fs∈Ff_1,\ldots,f_s\in Fは、Ω\Omegaの中でEE-線形独立である。

証明.

主張 2.2.1. 任意のz∈E⊗KFz\in E\otimes_KFに対して、KK上一次独立な元e1,…,er∈Ee_1,\ldots,e_r\in Eと元f1,…,fr∈Ff_1,\ldots,f_r\in Fで、r≥1r\ge1、

z=∑i=1rei⊗fi,z=0⟺f1=⋯=fr=0z=\sum_{i=1}^r e_i\otimes f_i, \qquad z=0\quad\Longleftrightarrow\quad f_1=\cdots=f_r=0

を満たすものが存在する。さらに、r≥1r\ge1、KK上一次独立なe1,…,er∈Ee_1,\ldots,e_r\in E、および任意のf1,…,fr∈Ff_1,\ldots,f_r\in Fに対して

∑i=1rei⊗fi=0⟺f1=⋯=fr=0\sum_{i=1}^r e_i\otimes f_i=0 \quad\Longleftrightarrow\quad f_1=\cdots=f_r=0

が成り立つ。

証明.z=0z=0ならば、r=1r=1、e1=1e_1=1、f1=0f_1=0とすればよい。以下、z≠0z\ne0とする。§E6.14 命題 5.3により、EEの有限個の元a1,…,ata_1,\ldots,a_tとFFの元b1,…,btb_1,\ldots,b_tを用いて

z=∑j=1taj⊗bjz=\sum_{j=1}^t a_j\otimes b_j

と書くことができる。a1,…,ata_1,\ldots,a_tのKK-線形包は零でないから、その基底をe1,…,ere_1,\ldots,e_rとすればr≥1r\ge1である。各aja_jをこの基底で展開して係数をまとめると、あるf1,…,fr∈Ff_1,\ldots,f_r\in Fが存在して

z=∑i=1rei⊗fiz=\sum_{i=1}^r e_i\otimes f_i

となる。

s≥1s\ge1とし、KK上一次独立なg1,…,gs∈Eg_1,\ldots,g_s\in Eと任意のh1,…,hs∈Fh_1,\ldots,h_s\in Fを取る。§E3.3 定理 2.1により、g1,…,gsg_1,\ldots,g_sを含むEEのKK-基底BBが存在する。§E6.14 定理 4.2の記号を用いて、この基底から得られる自由加群の場合のテンソル積を(VE,τE)(V_E,\tau_E)とする。§E6.14 命題 3.2 (1)により、純テンソルと可換する一意なKK-線形同型

θ ⁣:VE⟶E⊗KF,θ(τE(e,f))=e⊗f\theta\colon V_E\longrightarrow E\otimes_KF, \qquad \theta\bigl(\tau_E(e,f)\bigr)=e\otimes f

が存在する。VE=⨁e∈BFV_E=\bigoplus_{e\in B}Fにおいて、∑iτE(gi,hi)\sum_i\tau_E(g_i,h_i)のgig_i成分はhih_iであり、それ以外の成分は零である。したがって、座標表示の一意性とθ\thetaの単射性により

∑i=1sgi⊗hi=0⟺∑i=1sτE(gi,hi)=0⟺h1=⋯=hs=0\sum_{i=1}^s g_i\otimes h_i=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sum_{i=1}^s\tau_E(g_i,h_i)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad h_1=\cdots=h_s=0

である。この同値を、先に構成したe1,…,ere_1,\ldots,e_rとf1,…,frf_1,\ldots,f_rに適用すると、z=0z=0とf1=⋯=fr=0f_1=\cdots=f_r=0は同値である。▨

(1)⇒\Rightarrow(2)を示す。(1)を仮定し、z∈ker⁡μE,Fz\in\ker\mu_{E,F}とする。主張 2.2.1により、KK上一次独立なe1,…,ere_1,\ldots,e_rを用いてz=∑iei⊗fiz=\sum_i e_i\otimes f_iと書き直すと

0=μE,F(z)=∑i=1reifi0=\mu_{E,F}(z)=\sum_{i=1}^r e_if_i

である。e1,…,ere_1,\ldots,e_rはKK上一次独立であり、(1)によりFF上でも一次独立であるから、すべてのfif_iは零である。したがってz=0z=0であり、μE,F\mu_{E,F}は単射である。

(2)⇒\Rightarrow(1)を示す。(2)を仮定し、KK-線形独立な元e1,…,er∈Ee_1,\ldots,e_r\in Eと、

∑i=1reifi=0(fi∈F)\sum_{i=1}^r e_if_i=0 \qquad(f_i\in F)

というFF-線形関係を考える。テンソル

z=∑i=1rei⊗fiz=\sum_{i=1}^r e_i\otimes f_i

はμE,F(z)=0\mu_{E,F}(z)=0を満たす。単射性からz=0z=0であり、主張 2.2.1の後半により、すべてのfif_iは零である。したがって(1)が成り立つ。

§E6.14 定義 3.1の普遍性を用いてテンソル積の交換同型を構成する。写像

E×F⟶F⊗KE,(e,f)⟼f⊗eE\times F\longrightarrow F\otimes_KE, \qquad (e,f)\longmapsto f\otimes e

は各変数について加法的であり、k∈Kk\in Kに対して

f⊗(ek)=(kf)⊗ef\otimes(ek)=(kf)\otimes e

を満たすため、KK上平衡である。したがって、普遍性により一意なKK-線形写像

τ ⁣:E⊗KF⟶F⊗KE,τ(e⊗f)=f⊗e\tau\colon E\otimes_KF\longrightarrow F\otimes_KE, \qquad \tau(e\otimes f)=f\otimes e

を得る。同様に、KK上平衡な写像(f,e)↦e⊗f(f,e)\mapsto e\otimes fから一意なKK-線形写像

σ ⁣:F⊗KE⟶E⊗KF,σ(f⊗e)=e⊗f\sigma\colon F\otimes_KE\longrightarrow E\otimes_KF, \qquad \sigma(f\otimes e)=e\otimes f

を得る。任意の純テンソルについて

(σ∘τ)(e⊗f)=e⊗f,(τ∘σ)(f⊗e)=f⊗e(\sigma\circ\tau)(e\otimes f)=e\otimes f, \qquad (\tau\circ\sigma)(f\otimes e)=f\otimes e

である。§E6.14 命題 3.2 (2)により純テンソルはそれぞれのテンソル積を加法群として生成するから、σ∘τ\sigma\circ\tauとτ∘σ\tau\circ\sigmaは恒等写像である。したがってτ\tauはσ\sigmaを逆写像にもつ同型である。

EFEFとFEFEは、いずれもΩ\Omegaの部分体のうちEEとFFをともに含むものすべての共通部分であるから、Ω\Omegaの同じ部分体である。この同一視のもとで、任意の純テンソルe⊗fe\otimes fに対して

(μF,E∘τ)(e⊗f)=fe=ef=μE,F(e⊗f)(\mu_{F,E}\circ\tau)(e\otimes f)=fe=ef=\mu_{E,F}(e\otimes f)

が成り立つ。§E6.14 命題 3.2 (2)と二つの写像の加法性により、型をそろえた写像の等式

μF,E∘τ=μE,F ⁣:E⊗KF⟶EF=FE\mu_{F,E}\circ\tau=\mu_{E,F}\colon E\otimes_KF\longrightarrow EF=FE

を得る。τ\tauは同型であるから、μE,F\mu_{E,F}が単射であることとμF,E\mu_{F,E}が単射であることは同値である。すでに証明した二条件の同値をFFとEEに適用すると、μF,E\mu_{F,E}の単射性と(3)は同値である。したがって(2)⇔\Leftrightarrow(3)は同値である。▨

系 2.3. 体KKの拡大体E,FE,Fが共通の拡大体に含まれ、KK上線形無関連であると仮定する。このとき

E∩F=KE\cap F=K

である。

証明.x∈E∩Fx\in E\cap Fかつx∉Kx\notin Kと仮定する。1,x1,xはEEの中でKK上一次独立である。一方、x∈Fx\in Fであるから

x⋅1+(−1)⋅x=0x\cdot1+(-1)\cdot x=0

は係数x,−1∈Fx,-1\in Fによる非自明なFF-線形関係である。これは線形無関連性に反する。したがってE∩FE\cap Fに属するすべての元はKKに属し、E∩F=KE\cap F=Kである。▨

3 有限次数の場合の次数

有限次数の場合、EEのKK-基底は合成体EFEFをFF上生成する。

定理 3.1. 体KKの有限次拡大体E,FE,Fが共通の拡大体Ω\Omegaに含まれると仮定する。このとき

[EF:F]≤[E:K],[EF:E]≤[F:K][EF:F]\le [E:K], \qquad [EF:E]\le [F:K]

であり、

[EF:K]≤[E:K][F:K][EF:K]\le [E:K][F:K]

が成り立つ。

証明.m=[E:K]m=[E:K]とし、e1,…,eme_1,\ldots,e_mをEEのKK上の基底とする。Ω\Omegaの部分集合

V=Fe1+⋯+FemV=Fe_1+\cdots+Fe_m

を考える。VVはEEとFFを含む。EEの二元の積を基底e1,…,eme_1,\ldots,e_mで展開すると構造定数はKKに属するため、VVは加法、減法および乗法について閉じている。また1∈V1\in Vである。

0≠x∈V0\ne x\in Vに対し、FF-線形写像

mx ⁣:V⟶V,y⟼xym_x\colon V\longrightarrow V, \qquad y\longmapsto xy

を考える。VVは体Ω\Omegaの部分環であるから零因子をもたず、mxm_xは単射である。VVは有限次元のFF-線形空間であり、mxm_xは同じ空間VVの自己準同型であるから、§E3.9 系 1.4によりmxm_xは全射でもある。したがって、あるy∈Vy\in Vが存在してxy=1xy=1となる。ゆえにVVは体である。

VVはEEとFFを含む体であるからEF⊆VEF\subseteq Vであり、定義からV⊆EFV\subseteq EFである。したがってEF=VEF=Vであり、[EF:F]≤m=[E:K][EF:F]\le m=[E:K]である。EEとFFを交換すると[EF:E]≤[F:K][EF:E]\le[F:K]を得る。§E8.1 定理 2.1により

[EF:K]=[EF:F][F:K]≤[E:K][F:K][EF:K]=[EF:F][F:K]\le[E:K][F:K]

が成り立つ。▨

有限次数では、乗法写像は合成体へ全射である。次元を比較すると、線形無関連性と次数の積公式が同値になる。

定理 3.2. 体KKの有限次拡大体E,FE,Fが共通の拡大体Ω\Omegaに含まれると仮定する。このとき、次の三条件は同値である。

  1. EEとFFはKK上線形無関連である。
  2. μE,F ⁣:E⊗KF→EF\mu_{E,F}\colon E\otimes_KF\to EFは単射である。
  3. 次数の積公式 [EF:K]=[E:K][F:K][EF:K]=[E:K][F:K] が成り立つ。

証明.(1)⇔\Leftrightarrow(2)を示す。この同値は定理 2.2で証明した。

m=[E:K]m=[E:K]、n=[F:K]n=[F:K]とおく。EEのKK-基底をe1,…,eme_1,\ldots,e_m、FFのKK-基底をf1,…,fnf_1,\ldots,f_nとすると、

ei⊗fj(1≤i≤m, 1≤j≤n)e_i\otimes f_j \qquad(1\le i\le m,\ 1\le j\le n)

は§E6.14 定理 4.2によりE⊗KFE\otimes_KFのKK-基底である。したがって

dim⁡K(E⊗KF)=mn\dim_K(E\otimes_KF)=mn

である。

定理 3.1の証明により、EFEFはe1,…,eme_1,\ldots,e_mのFF-線形結合全体である。各FF-係数をf1,…,fnf_1,\ldots,f_nで展開すると、EFEFの任意の元はeifje_if_jのKK-線形結合になる。したがってμE,F\mu_{E,F}は全射である。

(3)⇒\Rightarrow(2)を示す。[EF:K]=mn[EF:K]=mnを仮定する。このとき、全射μE,F\mu_{E,F}の始域と終域は同じ有限次元をもつから、§E3.9 系 1.4によりμE,F\mu_{E,F}は単射である。

(2)⇒\Rightarrow(3)を示す。逆に、μE,F\mu_{E,F}が単射であると仮定する。μE,F\mu_{E,F}はすでに全射であるから同型である。始域の基底{ei⊗fj∣1≤i≤m, 1≤j≤n}\{e_i\otimes f_j\mid 1\le i\le m,\ 1\le j\le n\}の像

{eifj∣1≤i≤m, 1≤j≤n}\{e_if_j\mid 1\le i\le m,\ 1\le j\le n\}

はEFEFのKK-基底となる。したがって

[EF:K]=mn=[E:K][F:K][EF:K]=mn=[E:K][F:K]

である。以上により、(2)⇔\Leftrightarrow(3)が成り立つ。▨

4 成立例と不成立例

異なる二つの二次拡大は、具体的な一次独立性を調べることで線形無関連性を判定することができる。

例 4.1 (二つの二次拡大).E=Q(2)E=\mathbb Q(\sqrt2)、F=Q(3)F=\mathbb Q(\sqrt3)とし、共通の拡大体をR\mathbb Rとする。もし2∈F\sqrt2\in Fならば、あるa,b∈Qa,b\in\mathbb Qが存在して2=a+b3\sqrt2=a+b\sqrt3となる。両辺を二乗すると

2=a2+3b2+2ab32=a^2+3b^2+2ab\sqrt3

である。1,31,\sqrt3はQ\mathbb Q上一次独立であるからab=0ab=0となる。b=0b=0ならばa2=2a^2=2、a=0a=0ならば3b2=23b^2=2となるが、いずれも有理数a,ba,bについて成り立たない。したがって2∉F\sqrt2\notin Fである。

EEのQ\mathbb Q上の基底1,21,\sqrt2はFF上一次独立であるから、EEとFFはQ\mathbb Q上線形無関連である。定理 3.2により

[Q(2,3):Q]=2⋅2=4[\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3):\mathbb Q]=2\cdot2=4

である。

同じ拡大を二度用いると、乗法写像には明示的な核が生じる。

例 4.2 (線形無関連でない拡大).E=F=Q(2)E=F=\mathbb Q(\sqrt2)とし、共通の拡大体もEEとする。テンソル

z=2⊗1−1⊗2z=\sqrt2\otimes1-1\otimes\sqrt2

を考える。EEのQ\mathbb Q上の基底は1,21,\sqrt2であるから、E⊗QEE\otimes_\mathbb QEのQ\mathbb Q上の基底は

1⊗1,1⊗2,2⊗1,2⊗21\otimes1,\quad1\otimes\sqrt2,\quad \sqrt2\otimes1,\quad\sqrt2\otimes\sqrt2

である。したがってz≠0z\ne0である。一方、

μE,E(z)=2−2=0\mu_{E,E}(z)=\sqrt2-\sqrt2=0

であるから、μE,E\mu_{E,E}は単射ではなく、二つの拡大はQ\mathbb Q上線形無関連ではない。実際、合成体はEE自身であり、

[EF:Q]=2<4=[E:Q][F:Q][EF:\mathbb Q]=2<4=[E:\mathbb Q][F:\mathbb Q]

である。

参考文献

  1. Serge Lang, Algebra, revised 3 ed., Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York, 2002.合成体、テンソル積による線形無関連性の判定、および次数公式の記述を参考にした。
  2. The Stacks Project Authors, The Stacks Project.線形無関連な体拡大とテンソル積の単射性に関する記述を参考にした。

前提記事