体の拡大と拡大次数 | 体論入門

1 体準同型と体拡大

体拡大を包含写像だけに限定せず、単位元を保つ環準同型によって定義する。

定義 1.1. 体 $K,L$ と単位元を保つ環準同型

\iota\colon K\longrightarrow L

を考える。このような準同型を体準同型 (field homomorphism) といい、 $K,L$ と $\iota$ の組を体の拡大 (field extension) という。準同型 $\iota$ を省略して $L/K$ と書く。

$a\in K$ と $x\in L$ に対して $a\cdot x=\iota(a)x$ と定めると、 $L$ は $K$ 上の線形空間になる。§E3.3 定理 2.1により $L$ は $K$ 上の基底をもち、§E3.3 定理 3.3により基底の濃度は基底の選択によらない。そのため、§E3.3 定義 3.4で定義された次元

[L:K]:=\dim_K L

を拡大次数 (degree of a field extension) という。 $[L:K]$ が有限であるとき、 $L/K$ を有限次拡大 (finite extension) という。

定義に現れる準同型は、追加の仮定を置かなくても単射である。

命題 1.2. 体 $K,L$ の間の単位元を保つ環準同型 $\iota\colon K\to L$ は単射である。

証明. $a\in\ker\iota$ を取る。 $a\ne0$ ならば $a^{-1}\in K$ が存在し、

1_L=\iota(1_K)=\iota(a^{-1}a)=\iota(a^{-1})\iota(a)=0_L

となるが、体では $1_L\ne0_L$ である。したがって $a=0$ であり、 $\ker\iota=(0)$ であるから、 $\iota$ は単射である。▨

以後、 $K$ を像 $\iota(K)$ と同一視し、体拡大を包含 $K\subseteq L$ として書く。この同一視のもとで、 $K$ の加法と乗法は $L$ における演算の制限である。

例 1.3 (二次拡大). $\mathbb C/\mathbb R$ では $\{1,i\}$ が $\mathbb R$ 上の基底であるから

[\mathbb C:\mathbb R]=2

である。次に、 $\sqrt2\notin\mathbb Q$ を確かめる。もし $\sqrt2=m/n$ を互いに素な整数 $m,n$ （ $n\ne0$ ）で表すことができるならば、 $m^2=2n^2$ である。したがって $m$ は偶数であり、 $m=2r$ と書くと $n^2=2r^2$ となるため、 $n$ も偶数である。これは $m,n$ が互いに素であることに反する。

$W:=\operatorname{span}_{\mathbb Q}\{1,\sqrt2\}$ とおく。 $W$ は $\mathbb Q$ と $\sqrt2$ を含む。 $a,b,c,d\in\mathbb Q$ に対して

(a+b\sqrt2)\mathbin{\pm}(c+d\sqrt2)=(a\pm c)+(b\pm d)\sqrt2,

(a+b\sqrt2)(c+d\sqrt2)=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt2

であるから、 $W$ は加法、減法および乗法について閉じている。また、 $0\ne a+b\sqrt2\in W$ に対して $a^2-2b^2\ne0$ である。実際、 $a^2-2b^2=0$ かつ $b\ne0$ ならば $\sqrt2=\pm a/b\in\mathbb Q$ となり、 $b=0$ ならば $a=0$ となる。ゆえに

(a+b\sqrt2)^{-1}=\frac{a-b\sqrt2}{a^2-2b^2}\in W

であり、 $W$ は体である。 $W$ は $\mathbb Q$ と $\sqrt2$ を含む体である一方、 $1,\sqrt2\in\mathbb Q(\sqrt2)$ であるから、 $W=\mathbb Q(\sqrt2)$ となる。さらに、 $a+b\sqrt2=0$ かつ $b\ne0$ ならば $\sqrt2=-a/b\in\mathbb Q$ となるので、 $a+b\sqrt2=0$ から $a=b=0$ が従う。したがって $\{1,\sqrt2\}$ は $\mathbb Q(\sqrt2)$ の $\mathbb Q$ 上の基底であり、

[\mathbb Q(\sqrt2):\mathbb Q]=2

である。

2 塔の公式

定理 2.1 (塔の公式). 体の包含 $K\subseteq M\subseteq L$ に対して $[M:K]$ と $[L:M]$ が有限であると仮定する。このとき $[L:K]$ も有限であり、

[L:K]=[L:M][M:K]

が成り立つ。

証明. $m=[M:K]$ 、 $n=[L:M]$ とおく。 $M$ の $K$ 上の基底を $u_1,\ldots,u_m$ とし、 $L$ の $M$ 上の基底を $v_1,\ldots,v_n$ とする。

任意の $x\in L$ に対し、 $b_1,\ldots,b_n\in M$ が存在して

x=\sum_{j=1}^n b_jv_j

と書くことができる。さらに、各 $j$ に対して $a_{1j},\ldots,a_{mj}\in K$ が存在して

b_j=\sum_{i=1}^m a_{ij}u_i

と書くことができる。したがって

x=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n a_{ij}u_iv_j

であり、 $mn$ 個の元 $u_iv_j$ は $L$ を $K$ 上生成する。

次に、 $a_{ij}\in K$ が

\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n a_{ij}u_iv_j=0

を満たすと仮定する。 $v_j$ ごとにまとめると

\sum_{j=1}^n\left(\sum_{i=1}^m a_{ij}u_i\right)v_j=0

となる。 $v_1,\ldots,v_n$ は $M$ 上一次独立であるから、各 $j$ について

\sum_{i=1}^m a_{ij}u_i=0

である。 $u_1,\ldots,u_m$ は $K$ 上一次独立であるから、すべての $i,j$ について $a_{ij}=0$ である。したがって $u_iv_j$ は $K$ 上一次独立である。

以上により、 $\{u_iv_j\mid 1\le i\le m,\ 1\le j\le n\}$ は $L$ の $K$ 上の基底である。ゆえに $[L:K]=mn=[L:M][M:K]$ が成り立つ。▨

具体的な二次拡大の塔では、塔の公式を基底から直接確認することができる。

例 2.2 (次数の計算). 体の包含

\mathbb Q\subseteq\mathbb Q(\sqrt2)\subseteq\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)

を考える。上で示した基底により、第一段の次数は $2$ である。 $M:=\mathbb Q(\sqrt2)$ とおくと、 $\sqrt3\notin M$ は次のように確認される。もし $\sqrt3=a+b\sqrt2$ （ $a,b\in\mathbb Q$ ）ならば、両辺を二乗して

3=a^2+2b^2+2ab\sqrt2

を得る。 $1,\sqrt2$ の $\mathbb Q$ 上の一次独立性から $ab=0$ である。 $b=0$ ならば $a^2=3$ 、 $a=0$ ならば $b^2=3/2$ となるが、いずれも有理数について成り立たない。実際、有理数を既約分数で表して等式の両辺を整数の平方に直すと、素数 $3$ の指数の偶奇が両辺で異なる。

$U:=\operatorname{span}_{M}\{1,\sqrt3\}$ とおく。 $U$ は $M$ と $\sqrt3$ を含む。 $u,v,s,t\in M$ に対して

(u+v\sqrt3)\mathbin{\pm}(s+t\sqrt3)=(u\pm s)+(v\pm t)\sqrt3,

(u+v\sqrt3)(s+t\sqrt3)=(us+3vt)+(ut+vs)\sqrt3

であるから、 $U$ は加法、減法および乗法について閉じている。また、 $0\ne u+v\sqrt3\in U$ に対して $u^2-3v^2\ne0$ である。実際、 $u^2-3v^2=0$ かつ $v\ne0$ ならば、 $M\subseteq\mathbb R$ であることから $u/v=\pm\sqrt3$ となり、 $\sqrt3\notin M$ に反する。 $v=0$ ならば $u\ne0$ である。したがって

(u+v\sqrt3)^{-1}=\frac{u-v\sqrt3}{u^2-3v^2}\in U

であり、 $U$ は体である。 $U$ は $M$ と $\sqrt3$ を含む体である一方、 $M\subseteq\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)$ かつ $\sqrt3\in\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)$ であるから、 $U=\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)$ となる。さらに、 $u+v\sqrt3=0$ かつ $v\ne0$ ならば $\sqrt3=-u/v\in M$ となるので、 $1,\sqrt3$ は $M$ 上一次独立である。ゆえに、この二元は $U$ の $M$ 上の基底であり、第二段の次数は $2$ である。したがって定理 2.1により

[\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3):\mathbb Q]=4

である。定理 2.1の証明における積基底の構成により、 $\{1,\sqrt2,\sqrt3,\sqrt6\}$ は $\mathbb Q$ 上の基底である。

また、§E6.28 定理 4.3により、三次多項式 $x^3-2$ が $\mathbb Q[x]$ で可約ならば、 $\mathbb Q$ に根をもつ。その根を既約分数 $a/b$ （ $a,b\in\mathbb Z$ 、 $b\ne0$ ）とすると、 $a^3=2b^3$ である。この等式から $a$ は偶数である。 $a=2c$ とおくと $b^3=4c^3$ となり、 $b$ も偶数である。これは $a/b$ が既約分数であることに反する。したがって

f:=x^3-2

は $\mathbb Q[x]$ で既約である。

$\alpha:=\sqrt[3]2$ とおき、 $\mathbb Q$ 上の部分空間

V:=\operatorname{span}_{\mathbb Q}\{1,\alpha,\alpha^2\}

を考える。 $V$ は加法と加法逆元について閉じ、 $1\in V$ である。さらに、 $u=a_0+a_1\alpha+a_2\alpha^2$ および $v=b_0+b_1\alpha+b_2\alpha^2$ を $V$ の元とすると、 $\alpha^3=2$ および $\alpha^4=2\alpha$ により

uv= \bigl(a_0b_0+2a_1b_2+2a_2b_1\bigr) +\bigl(a_0b_1+a_1b_0+2a_2b_2\bigr)\alpha +\bigl(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0\bigr)\alpha^2 \in V

であるから、 $V$ は乗法についても閉じている。

$0\ne v=q(\alpha)\in V$ とし、 $q\in\mathbb Q[x]$ を $\deg q<3$ となるように取る。 $q\ne0$ である。 $f$ は既約であるから、 $f$ と $q$ のモニック最大公約元は $1$ または $f$ であるが、 $\deg q<\deg f$ により後者は起こらない。したがって、§E6.28 命題 3.1の Bézout 等式により、ある $A,B\in\mathbb Q[x]$ が存在して

Af+Bq=1

となる。 $x=\alpha$ を代入すると $B(\alpha)v=1$ を得る。さらに、§E6.28 定理 2.1により $B=Cf+r$ 、ただし $r=0$ または $\deg r<3$ と書くと、 $B(\alpha)=r(\alpha)\in V$ である。したがって $v^{-1}=r(\alpha)\in V$ であり、 $V$ は体である。

$V$ は $\mathbb Q$ と $\alpha$ を含む体であるから $\mathbb Q(\alpha)\subseteq V$ である。一方、 $1,\alpha,\alpha^2\in\mathbb Q(\alpha)$ であるから $V\subseteq\mathbb Q(\alpha)$ である。ゆえに $V=\mathbb Q(\alpha)$ となる。

最後に、 $c_0+c_1\alpha+c_2\alpha^2=0$ （ $c_0,c_1,c_2\in\mathbb Q$ ）と仮定する。 $p:=c_0+c_1x+c_2x^2$ が非零ならば、 $\deg p<\deg f$ であり、 $f$ の既約性から $f$ と $p$ のモニック最大公約元は $1$ である。§E6.28 命題 3.1の Bézout 等式により、ある $A',B'\in\mathbb Q[x]$ が存在して $A'f+B'p=1$ となる。この等式を $x=\alpha$ で評価すると $1=0$ となり、矛盾する。したがって $p=0$ であり、 $c_0=c_1=c_2=0$ である。よって $1,\alpha,\alpha^2$ は $\mathbb Q$ 上一次独立であり、 $\mathbb Q(\alpha)$ の基底をなす。以上により

[\mathbb Q(\sqrt[3]2):\mathbb Q]=3

である。

3 素数次数と中間体

塔の公式は、中間体の次数が全体の次数を割ることを示す。

系 3.1. 有限次拡大 $L/K$ の次数 $[L:K]$ が素数 $p$ であると仮定する。 $K\subseteq M\subseteq L$ を満たす中間体 $M$ は、 $K$ または $L$ のいずれかである。

証明.§E3.3 定理 2.1を空集合に適用して、 $M$ の $K$ 上の基底 $B$ を取る。 $B$ は $L$ の $K$ 上一次独立な部分集合でもあるから、同じ定理により、 $B$ を含む $L$ の $K$ 上の基底 $C$ が存在する。 $[L:K]$ は有限であるため $C$ は有限集合であり、その部分集合 $B$ も有限集合である。したがって§E3.3 定義 3.4により $[M:K]<\infty$ である。

さらに、 $C$ は $L$ を $K$ 上生成し、 $K\subseteq M$ であるから、 $L$ を $M$ 上でも生成する。有限集合 $C$ が $L$ を $M$ 上生成するので、 $[L:M]<\infty$ である。以上により塔の公式の二つの有限性の仮定が満たされるから、定理 2.1により

p=[L:K]=[L:M][M:K]

である。二つの次数は正の整数であり、 $p$ は素数であるから、 $([L:M],[M:K])$ は $(p,1)$ または $(1,p)$ である。 $[M:K]=1$ ならば、 $M$ の非零ベクトル $1_M$ は $K$ 上の基底であるから $M=K$ である。 $[L:M]=1$ ならば、同じ理由により $L=M$ である。▨

注意 3.2 (有限性の仮定). 本記事の塔の公式は有限次数について述べている。無限次拡大でも基底の直積を用いた濃度の等式を述べることはできるが、有限整数の因数分解を用いる素数次数の帰結には有限性が必要である。

4 演習

問題 4.1 (積基底と中間体の次数). 体の包含 $K\subseteq M\subseteq L$ があり、 $\{1,u\}$ が $M$ の $K$ 上の基底、 $\{1,v,v^2\}$ が $L$ の $M$ 上の基底であると仮定する。 $L$ の $K$ 上の基底を一つ与え、 $[L:K]$ を求めよ。また、 $K\subseteq N\subseteq L$ を満たし $[N:K]=4$ となる中間体 $N$ が存在しないことを証明せよ。

解答.

$M/K$ の基底と $L/M$ の基底の積を取ると、

\{1,u,v,uv,v^2,uv^2\}

を得る。任意の $x\in L$ は $a+bv+cv^2$ （ $a,b,c\in M$ ）と書くことができ、各係数を $K$ 上で $1,u$ の一次結合に展開すれば、集合 $\{1,u,v,uv,v^2,uv^2\}$ が $L$ を生成する。この六つの元の $K$ 係数一次関係を $1,v,v^2$ ごとにまとめると、まず各 $M$ 係数が零になり、次に $1,u$ の一次独立性からすべての $K$ 係数が零になる。したがって $\{1,u,v,uv,v^2,uv^2\}$ は基底であり、 $[L:K]=6$ である。

もし $[N:K]=4$ となる中間体 $N$ が存在するならば、上の六つの元は $L$ を $N$ 上も生成するので $[L:N]$ は有限である。したがって定理 2.1から

6=[L:K]=[L:N][N:K]=4[L:N]

となる。しかし $[L:N]$ は正の整数であるから、右辺は $4$ の倍数であり、 $6$ には一致しない。したがって、そのような中間体 $N$ は存在しない。▨

§E8.1体の拡大と拡大次数

1 体準同型と体拡大

2 塔の公式

3 素数次数と中間体

4 演習

参考文献

前提記事