トレース・ノルム・判別式 | 体論入門

1 乗法作用素による定義

定義 1.1. $L/K$ を次数 $n$ の有限拡大、 $\alpha\in L$ とする。 $K$ -線形写像

m_\alpha\colon L\longrightarrow L,\qquad x\longmapsto\alpha x

を $\alpha$ の乗法作用素 (multiplication operator) という。その特性多項式を

\chi_{\alpha,L/K}(T)=\det_K(T\operatorname{id}_L-m_\alpha)

と書く。さらに

\operatorname{Tr}_{L/K}(\alpha)=\operatorname{tr}_K(m_\alpha),\qquad N_{L/K}(\alpha)=\det_K(m_\alpha)

と定め、それぞれ $L/K$ に関するトレース (field trace) とノルム (field norm) という。

§E3.20 定理 2.2により特性多項式は基底変換で変わらず、§E3.20 命題 2.4によりトレースと行列式は特性多項式の係数として基底に依存しない。後者の係数公式から

\chi_{\alpha,L/K}(T) =T^n-\operatorname{Tr}_{L/K}(\alpha)T^{n-1}+\cdots+(-1)^nN_{L/K}(\alpha)

である。トレースは $K$ -線形であり、ノルムは乗法的である。後者は $m_{\alpha\beta}=m_\alpha m_\beta$ と行列式の乗法性から従う。

例 1.2 (二次拡大のトレースとノルム). $K$ の標数が $2$ でなく、 $d\in K^\times$ が平方でないとする。 $L=K(\sqrt d)$ において $\alpha=a+b\sqrt d$ と置く。基底 $(1,\sqrt d)$ に関する乗法作用素の行列は

\begin{pmatrix}a&bd\\b&a\end{pmatrix}

である。したがって

\operatorname{Tr}_{L/K}(\alpha)=2a,\qquad N_{L/K}(\alpha)=a^2-b^2d

である。

2 埋め込みによる表示と重複度

$L_{\mathrm{sep}}$ を $L/K$ の最大分離部分体とし、

s=[L:K]_{\mathrm{s}},\qquad q=[L:K]_{\mathrm{i}}

と置く。§E8.12 定理 2.2により $[L:K]=sq$ である。さらに、標数 $0$ では $L=L_{\mathrm{sep}}$ かつ $q=1$ であり、標数 $p>0$ では§E8.12 命題 1.4により $L/L_{\mathrm{sep}}$ は純非分離拡大である。 $K$ の代数閉包 $\Omega$ への相異なる $K$ -埋め込みを

\sigma_1,\ldots,\sigma_s\colon L\longrightarrow\Omega

とする。各埋め込みは $L_{\mathrm{sep}}$ 上の埋め込みの一意な延長である。

定理 2.1. $L/K$ を有限拡大、 $\Omega$ を $K$ の代数閉包、 $L_{\mathrm{sep}}$ を $L/K$ の最大分離部分体とする。 $s=[L:K]_{\mathrm{s}}$ 、 $q=[L:K]_{\mathrm{i}}$ と置き、相異なる $K$ -埋め込みを $\sigma_1,\ldots,\sigma_s\colon L\to\Omega$ とする。任意の $\alpha\in L$ に対して

\chi_{\alpha,L/K}(T) =\prod_{i=1}^s\bigl(T-\sigma_i(\alpha)\bigr)^q

が成り立つ。したがって

\operatorname{Tr}_{L/K}(\alpha) =q\sum_{i=1}^s\sigma_i(\alpha), \qquad N_{L/K}(\alpha) =\left(\prod_{i=1}^s\sigma_i(\alpha)\right)^q

である。整数 $q$ は $K$ の元としてトレースの式に現れる。

証明. 有限次元 $K$ -線形空間の自己準同型の特性多項式が係数体の拡大で変わらないという§E3.20 命題 3.3を用い、 $m_\alpha$ を $L\otimes_K\Omega$ 上の $\Omega$ -線形作用素として調べる。分離拡大 $L_{\mathrm{sep}}/K$ に対する§E8.8 定理 3.3を $A=L_{\mathrm{sep}}$ に適用すると、 $K$ -埋め込み $L_{\mathrm{sep}}\to\Omega$ による分解

L_{\mathrm{sep}}\otimes_K\Omega\cong\prod_{i=1}^s\Omega

を得る。この分解に $L$ を $L_{\mathrm{sep}}$ 上でテンソルすると

L\otimes_K\Omega \cong\prod_{i=1}^s\left(L\otimes_{L_{\mathrm{sep}},\,\sigma_i}\Omega\right)

を与える。各因子は $\Omega$ 上 $q$ 次元である。

$K$ の標数が $0$ なら $L=L_{\mathrm{sep}}$ かつ $q=1$ であり、各因子は $\Omega$ そのものである。この場合、各因子上の $m_\alpha$ はスカラー $\sigma_i(\alpha)$ の乗法なので、求める表示が直ちに従う。

$K$ の標数を $p>0$ とし、 $B_i=L\otimes_{L_{\mathrm{sep}},\,\sigma_i}\Omega$ と置く。任意の $x\in L$ に対し、ある $r$ が存在して $x^{p^r}\in L_{\mathrm{sep}}$ となる。 $B_i$ では

\bigl(x\otimes1-1\otimes\sigma_i(x)\bigr)^{p^r}=0

が成り立つ。右辺の $\sigma_i(x)$ は、 $\sigma_i|_{L_{\mathrm{sep}}}$ の $L$ への一意な延長による値を表す。したがって $B_i$ 上の $m_\alpha$ は、固有値 $\sigma_i(\alpha)$ と冪零作用素の和であり、その特性多項式は $\bigl(T-\sigma_i(\alpha)\bigr)^q$ である。すべての因子について積を取れば、特性多項式の表示を得る。 $T^{sq-1}$ の係数と定数項を比較すると、トレースとノルムの表示が従う。▨

証明で用いたテンソル積分解では、 $x\in L_{\mathrm{sep}}$ でない場合の記号 $\sigma_i(x)$ は、制限埋め込みの一意な延長による値である。純非分離性によって延長が一意になることを用いている。

系 2.2. $L/K$ が有限非分離拡大なら、 $\operatorname{Tr}_{L/K}$ は零写像である。

証明. 非分離次数は $q=p^e>1$ の形であり、 $K$ の標数は $p$ である。したがって $q=0$ が $K$ で成り立つ。定理 2.1のトレース表示から、すべての $\alpha\in L$ について $\operatorname{Tr}_{L/K}(\alpha)=0$ となる。▨

例 2.3 (純非分離拡大では埋め込みを p 回数える). $K=\mathbb F_p(t)$ 、 $L=K(u)$ 、 $u^p=t$ とする。 $K$ -埋め込みは一つだけであるが、非分離次数は $p$ である。したがって

\chi_{u,L/K}(T)=(T-u)^p=T^p-t,\qquad \operatorname{Tr}_{L/K}(u)=pu=0,\qquad N_{L/K}(u)=u^p=t.

埋め込みを一度だけ数えた $T-u$ は、次数 $p$ の乗法作用素の特性多項式ではない。

3 塔に対する推移性

推移性の証明には、係数体を制限した線形写像のトレースと行列式を用いる。

補題 3.1. $L/K$ を有限拡大とし、 $A\in M_r(L)$ を $L^r$ 上の $L$ -線形写像とみなす。同じ写像を $K$ -線形写像とみなしたとき、

\operatorname{tr}_K(A)=\operatorname{Tr}_{L/K}(\operatorname{tr}_L A), \qquad \det_K(A)=N_{L/K}(\det_L A)

が成り立つ。

証明. $L$ の $K$ -基底を一つ固定する。 $A=(a_{ij})$ を $K$ 上のブロック行列として書くと、 $(i,j)$ ブロックは $m_{a_{ij}}$ の行列である。したがって $K$ 上のトレースは対角ブロックのトレースの和であり、

\operatorname{tr}_K(A)=\sum_i\operatorname{Tr}_{L/K}(a_{ii}) =\operatorname{Tr}_{L/K}(\operatorname{tr}_L A)

となる。

行列式の等式を示す。 $A$ が特異なら両辺は零である。 $A$ が可逆なら、 $A$ は基本行列と $\operatorname{diag}(a,1,\ldots,1)$ の形の対角行列の積に分解できる。行加算に対応する基本行列は $K$ 上でも行列式 $1$ であり、その $L$ 上の行列式のノルムも $1$ である。行交換は三回の行加算と対角行列によって表すことができる。対角行列 $\operatorname{diag}(a,1,\ldots,1)$ の $K$ 上の行列式は、 $m_a\colon L\to L$ の行列式 $N_{L/K}(a)$ である。したがって生成元ごとに等式が成り立ち、行列式の乗法性により任意の可逆な $A$ について成り立つ。▨

定理 3.2. $K\subseteq L\subseteq M$ を有限拡大の塔とする。任意の $\alpha\in M$ に対して

\operatorname{Tr}_{M/K}(\alpha) =\operatorname{Tr}_{L/K}\bigl(\operatorname{Tr}_{M/L}(\alpha)\bigr),

N_{M/K}(\alpha) =N_{L/K}\bigl(N_{M/L}(\alpha)\bigr)

が成り立つ。

証明. $M$ の $L$ -基底を取り、 $m_\alpha\colon M\to M$ の行列を $A\in M_r(L)$ とする。 $L$ の $K$ -基底と組み合わせると、この行列を係数体を $K$ へ制限した行列が $m_\alpha$ の $K$ -線形行列になる。補題 3.1を適用すると

\operatorname{Tr}_{M/K}(\alpha) =\operatorname{tr}_K(A) =\operatorname{Tr}_{L/K}(\operatorname{tr}_L A) =\operatorname{Tr}_{L/K}(\operatorname{Tr}_{M/L}(\alpha))

を得る。同じ補題の行列式の等式から

N_{M/K}(\alpha)=\det_K(A) =N_{L/K}(\det_L A) =N_{L/K}(N_{M/L}(\alpha))

を得る。▨

4 トレース形式と分離性

定義 4.1. $L/K$ を有限拡大とする。 $K$ -双線形形式

b_{L/K}\colon L\times L\longrightarrow K,\qquad (x,y)\longmapsto\operatorname{Tr}_{L/K}(xy)

をトレース形式 (trace form) という。 $K$ -基底 $\mathcal B=(b_1,\ldots,b_n)$ の判別式 (discriminant of a basis) を

\operatorname{disc}_{L/K}(\mathcal B) =\det\bigl(\operatorname{Tr}_{L/K}(b_ib_j)\bigr)_{1\le i,j\le n}

と定める。

基底を行列 $P\in\operatorname{GL}_n(K)$ で変換すると Gram 行列は $P^{\mathsf T}BP$ へ変わるため、判別式は $(\det P)^2$ 倍になる。したがって、判別式が零であるかどうかは基底に依存しない。

定理 4.2. $L/K$ を有限拡大とする。トレース形式 $b_{L/K}$ が非退化であることと、 $L/K$ が分離拡大であることは同値である。

$L/K$ が分離的で次数が $n$ であり、相異なる $K$ -埋め込みを $\sigma_1,\ldots,\sigma_n\colon L\to\Omega$ とすると、任意の $K$ -基底 $\mathcal B=(b_1,\ldots,b_n)$ に対して

\operatorname{disc}_{L/K}(\mathcal B) =\det\bigl(\sigma_i(b_j)\bigr)_{i,j}^2\ne0

が成り立つ。

証明. $L/K$ が非分離的なら、系 2.2によりトレースは零写像であり、トレース形式も零形式なので退化している。

$L/K$ が分離的であるとする。埋め込み表示から

\operatorname{Tr}_{L/K}(b_ib_j) =\sum_{k=1}^n\sigma_k(b_i)\sigma_k(b_j)

である。 $S=(\sigma_i(b_j))_{i,j}$ と置くと、トレース形式の Gram 行列は $S^{\mathsf T}S$ である。したがって

\operatorname{disc}_{L/K}(\mathcal B)=\det(S)^2

となる。分離拡大に対する標準分解

L\otimes_K\Omega\longrightarrow\Omega^n,\qquad x\otimes c\longmapsto(c\sigma_1(x),\ldots,c\sigma_n(x))

は $\Omega$ -代数同型である。その行列が $S$ なので $\det(S)\ne0$ である。よって Gram 行列は可逆であり、トレース形式は非退化である。▨

5 多項式の判別式と交代群

定義 5.1. $f\in K[X]$ を次数 $n$ のモニックな分離多項式とし、代数閉包における相異なる根を $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ とする。

D_f=\prod_{1\le i<j\le n}(\alpha_i-\alpha_j), \qquad \operatorname{disc}(f)=D_f^2

と定める。 $\operatorname{disc}(f)$ を $f$ の判別式 (discriminant of a polynomial) という。

判別式が基礎体に属することは、分解体の Galois 群の作用から直接従う。

命題 5.2.定義 5.1の仮定のもとで

\operatorname{disc}(f)\in K^\times

が成り立つ。

証明. $F$ を $f$ の分解体とする。多項式 $f$ は分離的であるから、 $F/K$ は有限 Galois 拡大である。 $G=\operatorname{Gal}(F/K)$ とし、 $g\in G$ が根に与える置換を $\pi_g\in S_n$ とする。Vandermonde 積の交代性により

g(D_f)=\operatorname{sgn}(\pi_g)D_f

であるから、 $g(D_f^2)=D_f^2$ である。したがって $D_f^2\in F^G$ であり、有限 Galois 対応§E8.10 定理 4.1による等式 $F^G=K$ から $\operatorname{disc}(f)=D_f^2\in K$ を得る。分離性により各差 $\alpha_i-\alpha_j$ は零でないため、 $D_f^2\ne0$ である。よって $\operatorname{disc}(f)\in K^\times$ となる。▨

定理 5.3. $K$ を標数が $2$ でない体、 $f\in K[X]$ を次数 $n$ のモニックな分離多項式、 $F$ を $f$ の分解体とする。根の順序を固定して $G=\operatorname{Gal}(F/K)$ を $S_n$ の部分群とみなす。このとき、次の条件は同値である。

$\operatorname{disc}(f)$ は $K$ の非零平方である。
$G\subseteq A_n$ である。

証明. $g\in G$ が根に与える置換を $\pi_g\in S_n$ とする。Vandermonde 積の交代性から

g(D_f)=\operatorname{sgn}(\pi_g)D_f

である。

$G\subseteq A_n$ なら、すべての $g\in G$ が $D_f$ を固定する。§E8.10 定理 4.1により $F^G=K$ なので $D_f\in K^\times$ であり、 $\operatorname{disc}(f)=D_f^2$ は $K$ の非零平方である。

逆に $\operatorname{disc}(f)=d^2$ を満たす $d\in K^\times$ が存在するとする。 $(D_f/d)^2=1$ である。 $K$ の標数は $2$ でないから、 $X^2-1=(X-1)(X+1)$ の根は $1$ と $-1$ だけであり、 $D_f=\pm d\in K$ となる。したがって任意の $g\in G$ が $D_f$ を固定する。 $D_f\ne0$ なので $\operatorname{sgn}(\pi_g)=1$ であり、 $\pi_g\in A_n$ となる。ゆえに $G\subseteq A_n$ である。▨

標数 $2$ では $1=-1$ であるため、Vandermonde 積への作用から置換の符号を区別することができない。この理由により、定理 5.3は標数 $2$ を除外している。

例 5.4 (二次多項式の判別式). $K$ の標数が $2$ でないとし、 $f(X)=X^2-d$ を分離的とする。根を $\sqrt d,-\sqrt d$ の順に取ると

D_f=2\sqrt d,\qquad \operatorname{disc}(f)=4d

である。 $4d$ が $K$ の平方であることは $d$ が $K$ の平方であることと同値である。この場合に限って分解体は $K$ 自身であり、Galois 群は自明群 $A_2$ に含まれる。

6 演習

問題 6.1 (問題). 次の各問に答えよ。

$L/K$ を次数 $n$ の有限拡大とする。 $a\in K$ に対して $\operatorname{Tr}_{L/K}(a)=na$ および $N_{L/K}(a)=a^n$ を証明せよ。
$K=\mathbb Q$ 、 $L=\mathbb Q(\sqrt2)$ とし、 $\alpha=3+2\sqrt2$ とする。 $\operatorname{Tr}_{L/K}(\alpha)$ と $N_{L/K}(\alpha)$ を求めよ。
標数が $2$ でない体 $K$ 上のモニックな分離三次多項式 $f$ について、 $\operatorname{disc}(f)$ が $K$ の平方であり、かつ $f$ が既約であるなら、Galois 群が位数 $3$ の巡回群であることを証明せよ。

解答 (解答).

$a\in K$ に対する乗法作用素は $a\operatorname{id}_L$ である。 $K$ -基底に関する行列は $aI_n$ なので、そのトレースは $na$ 、行列式は $a^n$ である。
二つの埋め込みは $\sqrt2\mapsto\sqrt2$ と $\sqrt2\mapsto-\sqrt2$ である。したがって $\operatorname{Tr}_{L/K}(\alpha)=(3+2\sqrt2)+(3-2\sqrt2)=6,$ $N_{L/K}(\alpha)=(3+2\sqrt2)(3-2\sqrt2)=1$ である。
既約三次多項式の Galois 群は三つの根へ推移的に作用する。定理 5.3により Galois 群は $A_3$ に含まれる。 $A_3$ の推移的部分群は $A_3$ 自身だけである。 $A_3$ は位数 $3$ の巡回群なので、結論が従う。

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§E8.16トレース・ノルム・判別式

1 乗法作用素による定義

2 埋め込みによる表示と重複度

3 塔に対する推移性

4 トレース形式と分離性

5 多項式の判別式と交代群

6 演習

参考文献

前提記事