§E8.21Kummer 理論

証明.$n$乗写像の核は定義により$\mu_n$である。任意の$a\in K_s^\times$に対して$x^n-a$は微分$nx^{n-1}$と互いに素なので分離多項式である。$K_s$は分離閉体であるため、この多項式は$K_s$に根をもち、$n$乗写像は全射である。すべての写像は$G_K$の作用と可換する。

原始$n$乗根$\zeta_n$を選ぶと、§E8.20 定義 1.2により$\sigma(\zeta_n)=\zeta_n^{\chi_n(\sigma)}$である。したがって$\mu_n$の作用は円分指標によって与えられる。▨

証明.$\alpha^n=a$なら、式 (3) の$n$乗は$\sigma(a)/a=1$なので$z_{a,\sigma}\in\mu_n$である。また

であるから、$z_a$は一次コサイクルである。別の根$\zeta\alpha$を選ぶと式 (3) は$\sigma(\zeta)z_{a,\sigma}/\zeta$へ変わるので、同じ同値類を定める。さらに$a$を$ac^n$、$c\in K^\times$へ替えたときは根を$\alpha c$と選ぶことができ、コサイクルは変わらない。したがって式 (2) の写像は定まる。$\alpha$の固定部分群は開いているため、$z_a$は連続である。根の積を選べばコサイクルも積になるため、この写像は群準同型である。

この写像が単射であることを示す。$\alpha^n=a$、$\beta^n=b$から得たコサイクルが同値であるとし、ある$\zeta\in\mu_n$について

がすべての$\sigma\in G_K$に対して成り立つとする。この等式は$c=\beta/(\zeta\alpha)$が$G_K$に固定されることを意味するので$c\in K^\times$であり、$b/a=c^n$となる。ゆえに$[a]=[b]$である。

全射性を示すため、$\mu_n$値連続一次コサイクル$z$を取る。$z$を$K_s^\times$値コサイクルとみなし、乗法版 Hilbert の定理 90§E8.18 定理 4.3を適用すると、ある$\alpha\in K_s^\times$が存在して$z_\sigma=\sigma(\alpha)/\alpha$となる。$z_\sigma^n=1$であるから$\alpha^n$は$G_K$に固定される。したがって$a=\alpha^n\in K^\times$であり、$z$は$[a]$の像である。

$X_a$には$\mu_n$が乗法で自由かつ推移的に作用し、$G_K$の作用と$\sigma(\zeta\alpha)=\sigma(\zeta)\sigma(\alpha)$の意味で両立する。基点$\alpha$を別の根$\zeta\alpha$へ替えたときのコサイクルの変化は上で定めた同値関係そのものである。したがって式 (2) は$\mu_n$-主等質空間$X_a$の同型類も分類する。▨

証明.$\mu_n$の作用が自明なので$z_a$は連続準同型である。開正規部分群$\ker z_a$の固定体$L$は有限 Galois 拡大であり

である。$\mu_n$は巡回群なので像も位数$d\mid n$の巡回群である。

式 (3) から、$\sigma(\alpha)=\alpha$と$z_a(\sigma)=1$は同値である。したがって$\alpha$の固定部分群は$\ker z_a$であり、Galois 対応により$K(\alpha)=L$となる。最後の同型が標識を与える。▨

証明.$[b]=[a]^u$なら、対応する指標は$z_b=z_a^u$である。$u$は位数$d$の像に自己同型として作用するため、二つの指標の核は等しく、固定体も等しい。

逆に固定体が等しければ二つの指標の核は等しい。したがって両指標は同じ巡回商群を位数$d$の$\mu_n$の部分群へ同型に写す。その二つの同型の差は位数$d$の巡回群の自己同型なので、ある$u\in(\mathbb Z/d\mathbb Z)^\times$による冪乗である。式 (2) の全単射から$[b]=[a]^u$を得る。▨

証明. 有限アーベル群の基本定理§E7.18 定理 6.3により、$n$の約数$d_1,\ldots,d_r$が存在して

と書くことができる。実際、基本定理による各巡回因子の位数は$A$の指数を割るため、$n$も割る。

$C_{d_i}$の生成元を$e_i$とする。準同型$C_{d_i}\to\mu_n$は$e_i$の像によって一意に定まり、像として選ぶことができる元は

である。$d_i\mid n$であり$\mu_n$は位数$n$の巡回群なので、$\mu_n[d_i]$は位数$d_i$の部分群である。したがって

となる。直積の各成分へ制限することにより

であるから、両辺の位数を取ると式 (5) を得る。

$a\ne1$とし、表示した直積分解における第$i$成分$a_i$が自明でない添字$i$を選ぶ。原始$n$乗根$\zeta_n$を一つ取り、$e_i$を$\zeta_n^{n/d_i}$へ写し、他の巡回因子を$1$へ写す準同型を$\psi$とする。$\zeta_n^{n/d_i}$の位数は$d_i$なので、$a_i\ne1$から$\psi(a)\ne1$が従う。▨

証明. 各多項式$x^n-b$は、$\mu_n\subset K$なので$\beta_b$を一つ含む体ではすべての根をもち、$\operatorname{char}K\nmid n$なので分離的である。有限個の生成元を選べば$L_B$はそれらの多項式の分解体になるため、有限 Galois 拡大である。各自己同型はそれぞれの$\beta_b$を$\mu_n$倍するので、Galois 群はアーベル群であり、その各元の位数は$n$を割る。

式 (4) は両変数について群準同型である。左側で全ての$[b]$と自明に対をなす$\sigma$は、すべての$\beta_b$を固定するため$L_B$全体を固定し、$\sigma=1$である。右側で全ての$\sigma$と自明に対をなす$[b]$については、$\beta_b$が$\operatorname{Gal}(L_B/K)$に固定されるため$\beta_b\in K$であり、$[b]=1$となる。したがって対は両側で非退化である。

$B$と$\operatorname{Gal}(L_B/K)$はいずれも指数が$n$を割る有限アーベル群である。補題 3.2により$|\operatorname{Hom}(B,\mu_n)|=|B|$および$|\operatorname{Hom}(\operatorname{Gal}(L_B/K),\mu_n)|=|\operatorname{Gal}(L_B/K)|$である。両側の非退化性が与える二つの単射の位数を比較すると等号になり、式 (6) と完全性を得る。▨

証明. 前定理により$L_B/K$は指定された型の拡大である。また$B\subseteq B_{L_B}$である。$L/K$が指数が$n$を割る有限アーベル Galois 拡大である場合、自然な写像

を考える。根または代表元を変えても指標は変わらない。指標が自明なら$\beta\in K$なので、$\kappa_L$は単射である。一方、任意の指標は乗法版 Hilbert の定理 90§E8.18 定理 4.3により$\sigma(\beta)/\beta$と書くことができ、その$n$乗は$K$に属する。したがって$\kappa_L$は全射である。

$L=L_B$とすると、式 (6) により式 (7) の終域の位数は$|B|$である。$B\subseteq B_{L_B}$なので$B_{L_B}=B$を得る。

逆に$L/K$を指数が$n$を割る有限アーベル Galois 拡大とし、$G=\operatorname{Gal}(L/K)$とする。式 (7) により、$B_L$は$G$の指標群全体と同型である。補題 3.2により有限アーベル群の指標は各非自明な元を分離するため、これらの指標の核の共通部分は自明である。対応する根をすべて添加した体の固定部分群も自明なので$L=L_{B_L}$である。二つの対応は互いに逆である。▨

証明.$H$は$\mu_n$へ自明に作用するため、コサイクル条件を$H$に制限すると準同型条件になる。$z=z_a$と書く。コサイクル条件と$z_{\gamma^{-1}}=\gamma^{-1}(z_\gamma^{-1})$を用いると

$\tau$は$\mu_n$を固定するため、最後の因子は$z_\gamma^{-1}$になり、可換性から第一因子と相殺する。よって$z_{\gamma\tau\gamma^{-1}}=\gamma(z_\tau)$である。最後の等号は円分指標の定義による。▨