§E8.7有限体の位数と乗法群

証明.$F$は有限集合なので、$1_F,2\cdot1_F,3\cdot1_F,\ldots$の中に一致する二元がある。したがって$m1_F=0$となる正整数$m$が存在し、$\ker\iota=d\mathbb Z$となる正整数$d$が存在する。準同型定理により$\operatorname{im}\iota\cong\mathbb Z/d\mathbb Z$である。体の部分環$\operatorname{im}\iota$は整域なので、$d$は素数でなければならない。この素数を$p$とすると$\operatorname{char}F=p$であり、素体は$\mathbb F_p$である。

$F$は$\mathbb F_p$上のベクトル空間である。$F$が有限集合なので、その次元$n$は有限である。$F\ne0$であるから$n\ge1$である。基底を一つ取ると、各元は$n$個の係数によって一意に表され、各係数には$p$通りの選択がある。ゆえに

となる。位数から標数$p$と指数$n$は一意に定まる。▨

証明.$G=\{1\}$なら$G$は自明な巡回群である。以下では$G\ne\{1\}$とする。$K^\times$は可換群なので、$G$は非自明な有限アーベル群である。§E7.18 定理 6.3の不変因子分解を取り、$G$の指数を$e=n_r$とする。すべての$g\in G$は$g^e=1$を満たすため、$G$の全元は$K[x]$の多項式$x^e-1$の根である。体上の次数$e$の非零多項式は高々$e$個の根しかもたないので

一方、不変因子分解から

である。したがって$|G|=e$である。$r\ge2$なら$n_1>1$から$n_1\cdots n_r>n_r=e$となって矛盾するため、$r=1$である。ゆえに$G\cong C_e$は巡回群である。

有限体$F$については$|F^\times|=|F|-1=q-1$なので、最後の主張が従う。▨

証明.$d=[L:K]$とし、$e_1,\ldots,e_d$を$L$の$K$上の基底とする。$K$は有限集合であるから、各$x\in L$は一意な表示

をもち、$L$も有限集合である。定理 2.1を$L^\times$に適用して、$L^\times=\langle\theta\rangle$となる$\theta\in L^\times$を取る。

$K(\theta)$は$\theta$を含む体なので、すべての整数$m$に対して$\theta^m\in K(\theta)$である。$L$の非零元はすべてある$\theta^m$であり、零元も$K(\theta)$に属する。したがって$L\subseteq K(\theta)$である。逆の包含$K(\theta)\subseteq L$は、$L$が$K$と$\theta$を含む体であることから従う。よって$L=K(\theta)$である。▨