§E8.12純非分離拡大と完全体

証明.(1)を仮定し、$\alpha^{p^r}=a\in K$とする。最小多項式$m_{\alpha,K}$は$X^{p^r}-a$を割る。代数閉包$\Omega$では

である。したがって$m_{\alpha,K}$は$\alpha$以外の根をもたず、(3)が成り立つ。

(3)を仮定する。$\deg m_{\alpha,K}=1$ならば$\alpha\in K$であり、$m_{\alpha,K}=X-\alpha=X^{p^0}-\alpha$なので(2)が成り立つ。以下、$\deg m_{\alpha,K}>1$とする。$m_{\alpha,K}'\ne0$ならば、既約性から$m_{\alpha,K}$は分離的であり、代数閉包で$\deg m_{\alpha,K}>1$個の相異なる根をもつ。これは(3)に反する。したがって$m_{\alpha,K}'=0$である。微分が零であることから、$m_{\alpha,K}(X)=g_1(X^p)$を満たす$g_1\in K[X]$が存在する。$g_1'=0$なら同じ操作を反復する。次数は有限であるから、ある$r$について

となる。$m_{\alpha,K}$が既約なので$g$も既約であり、$g'\ne0$から$g$は分離的である。$g(\alpha^{p^r})=0$であり、$g$の相異なる根は$m_{\alpha,K}$の相異なる根を与えるため、$g$は一次式でなければならない。$m_{\alpha,K}$をモニックとしたので、$m_{\alpha,K}=X^{p^r}-a$と書ける。よって(2)が成り立つ。(2)$\Rightarrow$(1)は直ちに従う。▨

証明.$\alpha,\beta\in L_{\mathrm{sep}}$とする。有限拡大$K(\alpha,\beta)/K$は分離拡大であるから、$\alpha\pm\beta$、$\alpha\beta$および$\alpha\ne0$のときの$\alpha^{-1}$は$K$上分離的である。したがって$L_{\mathrm{sep}}$は中間体であり、定義から$L_{\mathrm{sep}}/K$は分離拡大である。

$K$の標数が$0$なら、すべての$\gamma\in L$は$K$上分離的であるため、$L=L_{\mathrm{sep}}$である。

$K$の標数を$p>0$とし、$\gamma\in L$を取る。$\gamma$の最小多項式は、一意な非負整数$r$と分離的な多項式$g$を用いて

と書ける。実際、微分が零である間だけ$X^p$の多項式として書き直せばよい。すると$\gamma^{p^r}$の最小多項式は$g$を割るので、$\gamma^{p^r}$は$K$上分離的である。ゆえに$\gamma^{p^r}\in L_{\mathrm{sep}}$であり、$\gamma$は$L_{\mathrm{sep}}$上純非分離的である。$\gamma$は任意であるから、標数$p>0$の場合には$L/L_{\mathrm{sep}}$は純非分離拡大である。▨

証明.$L_{\mathrm{sep}}/K$は有限分離拡大であるから、§E8.8 定理 2.3により、$K$-埋め込み$L_{\mathrm{sep}}\to\Omega$はちょうど$[L_{\mathrm{sep}}:K]$個ある。

$K$の標数が$0$なら、命題 1.4により$L=L_{\mathrm{sep}}$である。したがって

であり、三つの等式はすべて成り立つ。

$K$の標数を$p>0$とする。§E8.11 定理 2.1により、各$K$-埋め込み$L_{\mathrm{sep}}\to\Omega$は$L\to\Omega$へ延長される。一方、命題 1.4により$L/L_{\mathrm{sep}}$は純非分離拡大である。$\alpha\in L$とし、$\alpha^{p^r}=a\in L_{\mathrm{sep}}$とする。延長された埋め込み$\sigma$に対して$\sigma(\alpha)$は$X^{p^r}-\sigma(a)$の根であるが、この多項式は$\Omega$で一つの根しかもたない。したがって延長は一意である。制限写像

は全単射であり、最初の等式を得る。塔の公式から

であるから、二番目の等式と次数の積公式が従う。

有限純非分離拡大$L/L_{\mathrm{sep}}$を有限個の単拡大に分けると、各段の最小多項式は$X^{p^r}-a$を割るので、各段の次数は$p$の冪である。塔の公式により$[L:L_{\mathrm{sep}}]$も$p$の冪である。▨

証明.(1)ならば、純非分離拡大も分離的でなければならない。分離的かつ純非分離的な代数拡大は自明であるから、(3)が成り立つ。

(3)を仮定する。$a\in K$を取り、代数閉包で$b^p=a$を満たす$b$を取る。$K(b)/K$は有限純非分離拡大であるから$b\in K$である。したがって$F_K$は全射であり、(2)が成り立つ。

(2)を仮定し、既約多項式$f\in K[X]$を取る。$f$が非分離的なら、既約性から$f'=0$であるため、$f(X)=\sum_i a_iX^{pi}$と書ける。$F_K$は全射であるから、各$i$に対して$b_i^p=a_i$を満たす$b_i\in K$が存在する。すると

となり、$f$の既約性に反する。したがって(4)が成り立つ。

(4)を仮定する。任意の代数拡大の任意の元の最小多項式は分離的であるから、すべての代数拡大は分離拡大である。よって(1)が成り立つ。▨

証明. 標数$0$の体では、非定数既約多項式$f$の微分$f'$は零多項式ではない。既約性から$\gcd(f,f')=1$となるため、$f$は分離的である。

有限体$K$の標数を$p$とする。Frobenius 準同型$F_K$は体準同型なので単射である。有限集合から自分自身への単射は全射であるから、定理 3.2により$K$は完全体である。▨

証明. 標数$p$では$(x\pm y)^{p^r}=x^{p^r}\pm y^{p^r}$および$(xy)^{p^r}=x^{p^r}y^{p^r}$が成り立つ。したがって各$K^{p^{-r}}$は体であり、$K^{p^{-r}}\subseteq K^{p^{-(r+1)}}$である。ゆえに有向合併$K^{\mathrm{perf}}$も体である。定義から各元のある$p$冪が$K$に属するため、$K^{\mathrm{perf}}/K$は純非分離拡大である。

$x\in K^{\mathrm{perf}}$とし、$x^{p^r}\in K$とする。$\Omega$で$y^p=x$を満たす$y$を取ると$y^{p^{r+1}}=x^{p^r}\in K$であるから$y\in K^{\mathrm{perf}}$である。したがって$K^{\mathrm{perf}}$の Frobenius 準同型は全射であり、定理 3.2により$K^{\mathrm{perf}}$は完全体である。

$P$を$K\subseteq P\subseteq\Omega$を満たす完全体とする。$x\in K^{p^{-r}}$なら$x^{p^r}=a\in K\subseteq P$である。$P$の Frobenius 準同型は全射であるから、$P$の中に$p^r$乗して$a$になる元が存在する。代数閉包では$X^{p^r}-a$は一つの根しかもたないため、その元は$x$である。よって$x\in P$であり、すべての$r$について$K^{p^{-r}}\subseteq P$となる。したがって$K^{\mathrm{perf}}\subseteq P$である。▨