1 連続一次コサイクルと基点変更 定義 1.1. 離散G K G_K G K (discreteG K G_K G K )M M M G K × M → M G_K\times M\to M G K × M → M
定義 1.2. M M M G K G_K G K z : G K → M z:G_K\to M z : G K → M
z σ τ = z σ + σ z τ ( σ , τ ∈ G K ) (1) z_{\sigma\tau}=z_\sigma+\sigma z_\tau
\qquad(\sigma,\tau\in G_K)
\tag{1} z σ τ = z σ + σ z τ ( σ , τ ∈ G K ) ( 1 ) を満たすとき、z z z 連続一次コサイクル (continuous 1-cocycle )
m ∈ M m\in M m ∈ M
( δ m ) σ = σ m − m (2) (\delta m)_\sigma=\sigma m-m
\tag{2} ( δ m ) σ = σ m − m ( 2 ) を一次余境界 (1-coboundary )( δ m ) σ τ = σ ( τ m − m ) + ( σ m − m ) (\delta m)_{\sigma\tau}=\sigma(\tau m-m)+(\sigma m-m) ( δ m ) σ τ = σ ( τ m − m ) + ( σ m − m ) z , z ′ z,z' z , z ′ m ∈ M m\in M m ∈ M
z σ ′ = z σ + σ m − m ( σ ∈ G K ) (3) z'_\sigma=z_\sigma+\sigma m-m
\qquad(\sigma\in G_K)
\tag{3} z σ ′ = z σ + σ m − m ( σ ∈ G K ) ( 3 ) となるとき、z z z z ′ z' z ′ 基点変更によって同値 (equivalent under a change of basepoint )自明 (trivial )m = 0 m=0 m = 0 − m -m − m
乗法記法の離散G K G_K G K
z σ τ = z σ σ ( z τ ) , z σ ′ = z σ σ ( m ) m z_{\sigma\tau}=z_\sigma\,\sigma(z_\tau),
\qquad
z'_\sigma=z_\sigma\,\frac{\sigma(m)}{m} z σ τ = z σ σ ( z τ ) , z σ ′ = z σ m σ ( m ) と読む。この場合、z z z m m m z σ = σ ( m ) m − 1 z_\sigma=\sigma(m)m^{-1} z σ = σ ( m ) m − 1
式 (1) へ単位元を代入するとz 1 = 0 z_1=0 z 1 = 0 0 = z 1 = z σ + σ z σ − 1 0=z_1=z_\sigma+\sigma z_{\sigma^{-1}} 0 = z 1 = z σ + σ z σ − 1 z σ − 1 = − σ − 1 z σ z_{\sigma^{-1}}=-\sigma^{-1}z_\sigma z σ − 1 = − σ − 1 z σ z 1 = 1 z_1=1 z 1 = 1 z σ − 1 = σ − 1 ( z σ − 1 ) z_{\sigma^{-1}}=\sigma^{-1}(z_\sigma^{-1}) z σ − 1 = σ − 1 ( z σ − 1 )
例 1.3 (自明作用の場合). G K G_K G K M M M G K → M G_K\to M G K → M Z / n Z \mathbb Z/n\mathbb Z Z / n Z G K G_K G K
2 不変元の持上げ障害 短完全列の右端にある不変元を中央の加群へ持ち上げ、その持上げが Galois 作用で動く量を測る。別の持上げを選んだときの変化が式 (3) になること、および移動量を消す基点変更が不変な持上げを与えることが証明の要点である。
定理 2.1. 離散G K G_K G K
0 ⟶ A → i B → π C ⟶ 0 (4) 0\longrightarrow A\xrightarrow{i}B\xrightarrow{\pi}C\longrightarrow0
\tag{4} 0 ⟶ A i B π C ⟶ 0 ( 4 ) と、G K G_K G K c ∈ C c\in C c ∈ C c c c b ∈ B b\in B b ∈ B
i ( z σ ) = σ b − b ( σ ∈ G K ) (5) i(z_\sigma)=\sigma b-b
\qquad(\sigma\in G_K)
\tag{5} i ( z σ ) = σ b − b ( σ ∈ G K ) ( 5 ) によって連続一次コサイクルz : G K → A z:G_K\to A z : G K → A
式 (5) から得るコサイクルの基点変更による同値類は、持上げb b b c c c G K G_K G K B B B
証明. c c c
π ( σ b − b ) = σ c − c = 0 \pi(\sigma b-b)=\sigma c-c=0 π ( σ b − b ) = σ c − c = 0 である。式 (4) の完全性によりσ b − b \sigma b-b σ b − b i ( A ) i(A) i ( A ) i i i z σ ∈ A z_\sigma\in A z σ ∈ A
i ( z σ τ ) = σ τ b − b = σ ( τ b − b ) + ( σ b − b ) = i ( σ z τ + z σ ) i(z_{\sigma\tau})=\sigma\tau b-b
=\sigma(\tau b-b)+(\sigma b-b)
=i(\sigma z_\tau+z_\sigma) i ( z σ τ ) = σ τ b − b = σ ( τ b − b ) + ( σ b − b ) = i ( σ z τ + z σ ) であるから、z z z σ ↦ σ b − b \sigma\mapsto\sigma b-b σ ↦ σ b − b i ( A ) i(A) i ( A ) A A A i i i z z z
別の持上げはb + i ( a ) b+i(a) b + i ( a ) z ′ z' z ′
i ( z σ ′ − z σ ) = σ i ( a ) − i ( a ) = i ( σ a − a ) i(z'_\sigma-z_\sigma)
=\sigma i(a)-i(a)
=i(\sigma a-a) i ( z σ ′ − z σ ) = σ i ( a ) − i ( a ) = i ( σ a − a ) なので、z σ ′ = z σ + σ a − a z'_\sigma=z_\sigma+\sigma a-a z σ ′ = z σ + σ a − a
c c c b 0 b_0 b 0 b 0 b_0 b 0 z z z a ∈ A a\in A a ∈ A z σ = σ a − a z_\sigma=\sigma a-a z σ = σ a − a
σ ( b − i ( a ) ) − ( b − i ( a ) ) = i ( z σ ) − i ( σ a − a ) = 0 \sigma(b-i(a))-(b-i(a))
=i(z_\sigma)-i(\sigma a-a)=0 σ ( b − i ( a )) − ( b − i ( a )) = i ( z σ ) − i ( σ a − a ) = 0 であり、b − i ( a ) b-i(a) b − i ( a ) c c c ▨
3 主等質空間とコサイクル 定義 3.1. M M M G K G_K G K M M M M M M X X X
M M M X X X G K G_K G K X X X σ ( x + m ) = σ x + σ m \sigma(x+m)=\sigma x+\sigma m σ ( x + m ) = σ x + σ m σ ∈ G K \sigma\in G_K σ ∈ G K x ∈ X x\in X x ∈ X m ∈ M m\in M m ∈ M 二つの M M M isomorphism ofM M M )M M M G K G_K G K
主等質空間からコサイクルを作るには基点を一つ選び、その Galois 移動量を読む。逆向きには、コサイクルを平行移動の補正項として使ってM M M
定理 3.2. M M M G K G_K G K G K → M G_K\to M G K → M M M M G K G_K G K
証明. X X X M M M x 0 ∈ X x_0\in X x 0 ∈ X σ ∈ G K \sigma\in G_K σ ∈ G K z σ ∈ M z_\sigma\in M z σ ∈ M
σ x 0 = x 0 + z σ (6) \sigma x_0=x_0+z_\sigma
\tag{6} σ x 0 = x 0 + z σ ( 6 ) となる。作用の両立性から
x 0 + z σ τ = σ τ x 0 = σ ( x 0 + z τ ) = x 0 + z σ + σ z τ x_0+z_{\sigma\tau}=\sigma\tau x_0
=\sigma(x_0+z_\tau)=x_0+z_\sigma+\sigma z_\tau x 0 + z σ τ = σ τ x 0 = σ ( x 0 + z τ ) = x 0 + z σ + σ z τ であり、z z z G K G_K G K X X X X X X M M M z z z x 0 + m x_0+m x 0 + m
σ ( x 0 + m ) = ( x 0 + m ) + ( z σ + σ m − m ) \sigma(x_0+m)=(x_0+m)+(z_\sigma+\sigma m-m) σ ( x 0 + m ) = ( x 0 + m ) + ( z σ + σ m − m ) となるため、コサイクルは式 (3) のとおり変わる。主等質空間の同型は基点の移動量を保つので、X X X
逆に連続一次コサイクルz z z X z = M X_z=M X z = M M M M G K G_K G K
σ ∗ x = z σ + σ x (7) \sigma*x=z_\sigma+\sigma x
\tag{7} σ ∗ x = z σ + σ x ( 7 ) で定める。式 (1) は( σ τ ) ∗ x = σ ∗ ( τ ∗ x ) (\sigma\tau)*x=\sigma*(\tau*x) ( σ τ ) ∗ x = σ ∗ ( τ ∗ x ) z 1 = 0 z_1=0 z 1 = 0 1 ∗ x = x 1*x=x 1 ∗ x = x X z X_z X z M M M
z σ ′ = z σ + σ m − m z'_\sigma=z_\sigma+\sigma m-m z σ ′ = z σ + σ m − m x ↦ x − m x\mapsto x-m x ↦ x − m X z → X z ′ X_z\to X_{z'} X z → X z ′ X z X_z X z 0 0 0 z σ = σ m − m z_\sigma=\sigma m-m z σ = σ m − m x 0 − m x_0-m x 0 − m G K G_K G K ▨
アフィン主等質空間を有限 Galois 拡大からK K K
補題 3.3 (Artin の独立性). L L L σ 1 , … , σ r : L → Ω \sigma_1,\ldots,\sigma_r:L\to\Omega σ 1 , … , σ r : L → Ω σ 1 , … , σ r \sigma_1,\ldots,\sigma_r σ 1 , … , σ r Ω \Omega Ω
∑ j = 1 r c j σ j ( x ) = 0 ( x ∈ L ) \sum_{j=1}^r c_j\sigma_j(x)=0
\qquad(x\in L) j = 1 ∑ r c j σ j ( x ) = 0 ( x ∈ L ) がc 1 , … , c r ∈ Ω c_1,\ldots,c_r\in\Omega c 1 , … , c r ∈ Ω c j c_j c j
証明. 非自明な線形関係があると仮定し、項数が最小の関係を取る。最小性により各係数は非零である。一つの係数で関係全体を割り、c 1 = 1 c_1=1 c 1 = 1 1 1 1 x = 1 x=1 x = 1 2 2 2 σ 1 ≠ σ r \sigma_1\ne\sigma_r σ 1 = σ r σ 1 ( y ) ≠ σ r ( y ) \sigma_1(y)\ne\sigma_r(y) σ 1 ( y ) = σ r ( y ) y ∈ L y\in L y ∈ L x ∈ L x\in L x ∈ L y x yx y x σ r ( y ) \sigma_r(y) σ r ( y ) x x x
∑ j = 1 r − 1 c j ( σ j ( y ) − σ r ( y ) ) σ j ( x ) = 0 \sum_{j=1}^{r-1}c_j\bigl(\sigma_j(y)-\sigma_r(y)\bigr)\sigma_j(x)=0 j = 1 ∑ r − 1 c j ( σ j ( y ) − σ r ( y ) ) σ j ( x ) = 0 を得る。j = 1 j=1 j = 1 ▨
補題 3.4. L / K L/K L / K G = Gal ( L / K ) G=\operatorname{Gal}(L/K) G = Gal ( L / K ) V V V L L L G G G
σ ( λ v ) = σ ( λ ) σ ( v ) ( λ ∈ L , v ∈ V ) (8) \sigma(\lambda v)=\sigma(\lambda)\sigma(v)
\qquad(\lambda\in L,\ v\in V)
\tag{8} σ ( λ v ) = σ ( λ ) σ ( v ) ( λ ∈ L , v ∈ V ) ( 8 ) を満たすようにV V V
L ⊗ K V G ⟶ V , λ ⊗ v ⟼ λ v (9) L\otimes_K V^G\longrightarrow V,
\qquad \lambda\otimes v\longmapsto\lambda v
\tag{9} L ⊗ K V G ⟶ V , λ ⊗ v ⟼ λ v ( 9 ) は同型である。
とくに、B B B G G G L L L C = B G C=B^G C = B G K K K L ⊗ K C → B L\otimes_KC\to B L ⊗ K C → B L L L L L L G G G K K K
証明. d = [ L : K ] d=[L:K] d = [ L : K ] K K K e 1 , … , e d e_1,\ldots,e_d e 1 , … , e d L L L
q : L ⊗ K L ⟶ ∏ σ ∈ G L , q ( a ⊗ b ) σ = a σ ( b ) q:L\otimes_KL\longrightarrow\prod_{\sigma\in G}L,
\qquad q(a\otimes b)_\sigma=a\sigma(b) q : L ⊗ K L ⟶ σ ∈ G ∏ L , q ( a ⊗ b ) σ = aσ ( b ) の行列は( σ ( e j ) ) σ , j (\sigma(e_j))_{\sigma,j} ( σ ( e j ) ) σ , j 補題 3.3 により、この行列の行は一次独立である。両辺のL L L d d d q q q c i , d i ∈ L c_i,d_i\in L c i , d i ∈ L
∑ i c i σ ( d i ) = { 1 , σ = 1 , 0 , σ ≠ 1 (10) \sum_i c_i\sigma(d_i)=
\begin{cases}
1,&\sigma=1,\\
0,&\sigma\ne1
\end{cases}
\tag{10} i ∑ c i σ ( d i ) = { 1 , 0 , σ = 1 , σ = 1 ( 10 ) を満たす。
v ∈ V v\in V v ∈ V w i = ∑ σ ∈ G σ ( d i v ) w_i=\sum_{\sigma\in G}\sigma(d_iv) w i = ∑ σ ∈ G σ ( d i v ) w i ∈ V G w_i\in V^G w i ∈ V G
∑ i c i w i = ∑ σ ∈ G ( ∑ i c i σ ( d i ) ) σ ( v ) = v \sum_i c_iw_i
=\sum_{\sigma\in G}\left(\sum_i c_i\sigma(d_i)\right)\sigma(v)=v i ∑ c i w i = σ ∈ G ∑ ( i ∑ c i σ ( d i ) ) σ ( v ) = v となる。よって式 (9) は全射である。式 (9) の核の元を∑ j = 1 r a j ⊗ v j \sum_{j=1}^r a_j\otimes v_j ∑ j = 1 r a j ⊗ v j a 1 , … , a r a_1,\ldots,a_r a 1 , … , a r K K K σ ∈ G \sigma\in G σ ∈ G ∑ j σ ( a j ) v j = 0 \sum_j\sigma(a_j)v_j=0 ∑ j σ ( a j ) v j = 0 a j a_j a j K K K v j v_j v j
V = B V=B V = B G G G G G G ▨
有限 Galois 拡大上で基点を選ぶとコサイクルが得られる。逆向きには、コサイクルを使って群作用を捻り、座標環へ補題 3.4 を適用する。
命題 3.5. A \mathcal A A G a \mathbb G_a G a G m \mathbb G_m G m char K ∤ n \operatorname{char}K\nmid n char K ∤ n μ n \mu_n μ n p p p W m W_m W m
G K → A ( K s ) G_K\to\mathcal A(K_s) G K → A ( K s ) A \mathcal A A K K K K K K X X X A \mathcal A A A \mathcal A A
A × K X ⟶ X × K X , ( a , x ) ⟼ ( a + x , x ) \mathcal A\times_KX\longrightarrow X\times_KX,
\qquad(a,x)\longmapsto(a+x,x) A × K X ⟶ X × K X , ( a , x ) ⟼ ( a + x , x ) が同型であることをいう。
証明. 五種類の群法を加法記法で統一して書く。アフィンA \mathcal A A X X X L / K L/K L / K x ∈ X ( L ) x\in X(L) x ∈ X ( L ) G = Gal ( L / K ) G=\operatorname{Gal}(L/K) G = Gal ( L / K ) σ ∈ G \sigma\in G σ ∈ G
σ x = x + z σ (11) \sigma x=x+z_\sigma
\tag{11} σ x = x + z σ ( 11 ) となるz σ ∈ A ( L ) z_\sigma\in\mathcal A(L) z σ ∈ A ( L ) σ τ x \sigma\tau x σ τ x z σ τ = z σ + σ z τ z_{\sigma\tau}=z_\sigma+\sigma z_\tau z σ τ = z σ + σ z τ G K → G G_K\to G G K → G x + a x+a x + a z σ z_\sigma z σ z σ + σ a − a z_\sigma+\sigma a-a z σ + σ a − a
逆に、連続一次コサイクルz : G K → A ( K s ) z:G_K\to\mathcal A(K_s) z : G K → A ( K s ) G K G_K G K z ( G K ) z(G_K) z ( G K ) z ( G K ) ⊂ A ( L 0 ) z(G_K)\subset\mathcal A(L_0) z ( G K ) ⊂ A ( L 0 ) L 0 / K L_0/K L 0 / K z 1 = 0 z_1=0 z 1 = 0 z z z H H H H H H Gal ( K s / L 0 ) \operatorname{Gal}(K_s/L_0) Gal ( K s / L 0 ) N N N N N N z z z z n = 0 z_n=0 z n = 0 n ∈ N n\in N n ∈ N
z σ n = z σ = z n σ z_{\sigma n}=z_\sigma=z_{n\sigma} z σ n = z σ = z nσ なので、L = K s N L=K_s^N L = K s N z z z G = Gal ( L / K ) G=\operatorname{Gal}(L/K) G = Gal ( L / K ) A ( L ) \mathcal A(L) A ( L )
A L \mathcal A_L A L
t σ ( y ) = z σ + σ ( y ) (12) t_\sigma(y)=z_\sigma+\sigma(y)
\tag{12} t σ ( y ) = z σ + σ ( y ) ( 12 ) と作用させる。式 (1) はt σ t τ = t σ τ t_\sigma t_\tau=t_{\sigma\tau} t σ t τ = t σ τ B = Γ ( A L , O A L ) B=\Gamma(\mathcal A_L,\mathcal O_{\mathcal A_L}) B = Γ ( A L , O A L )
( σ ⋅ f ) ( y ) = σ ( f ( t σ − 1 ( y ) ) ) (\sigma\cdot f)(y)=\sigma\left(f\left(t_{\sigma^{-1}}(y)\right)\right) ( σ ⋅ f ) ( y ) = σ ( f ( t σ − 1 ( y ) ) ) で定まる半線形なG G G σ ⋅ ( λ f ) = σ ( λ ) ( σ ⋅ f ) \sigma\cdot(\lambda f)=\sigma(\lambda)(\sigma\cdot f) σ ⋅ ( λ f ) = σ ( λ ) ( σ ⋅ f ) t τ − 1 t σ − 1 = t ( σ τ ) − 1 t_{\tau^{-1}}t_{\sigma^{-1}}=t_{(\sigma\tau)^{-1}} t τ − 1 t σ − 1 = t ( σ τ ) − 1 σ ⋅ ( τ ⋅ f ) = ( σ τ ) ⋅ f \sigma\cdot(\tau\cdot f)=(\sigma\tau)\cdot f σ ⋅ ( τ ⋅ f ) = ( σ τ ) ⋅ f C = B G C=B^G C = B G Y = Spec C Y=\operatorname{Spec}C Y = Spec C 補題 3.4 により
Y L ≅ A L (13) Y_L\cong\mathcal A_L
\tag{13} Y L ≅ A L ( 13 ) である。
A L \mathcal A_L A L
A L × L Y L ⟶ Y L , ( a , y ) ⟼ a + y \mathcal A_L\times_LY_L\longrightarrow Y_L,
\qquad(a,y)\longmapsto a+y A L × L Y L ⟶ Y L , ( a , y ) ⟼ a + y と、主等質性を表す同型
A L × L Y L ⟶ Y L × L Y L , ( a , y ) ⟼ ( a + y , y ) (14) \mathcal A_L\times_LY_L\longrightarrow Y_L\times_LY_L,
\qquad(a,y)\longmapsto(a+y,y)
\tag{14} A L × L Y L ⟶ Y L × L Y L , ( a , y ) ⟼ ( a + y , y ) ( 14 ) はG G G G G G K K K Y Y Y A \mathcal A A L L L
同値類からの構成が well-defined であることを確認する。z σ ′ = z σ + σ a − a z'_\sigma=z_\sigma+\sigma a-a z σ ′ = z σ + σ a − a L / K L/K L / K a ∈ A ( L ) a\in\mathcal A(L) a ∈ A ( L ) z , z ′ z,z' z , z ′ G = Gal ( L / K ) G=\operatorname{Gal}(L/K) G = Gal ( L / K ) t z , t z ′ t^z,t^{z'} t z , t z ′ T a ( y ) = y − a T_a(y)=y-a T a ( y ) = y − a
T a ( t σ z ( y ) ) = z σ + σ y − a = z σ ′ + σ ( y − a ) = t σ z ′ ( T a ( y ) ) T_a\bigl(t^z_\sigma(y)\bigr)=z_\sigma+\sigma y-a
=z'_\sigma+\sigma(y-a)=t^{z'}_\sigma\bigl(T_a(y)\bigr) T a ( t σ z ( y ) ) = z σ + σ y − a = z σ ′ + σ ( y − a ) = t σ z ′ ( T a ( y ) ) を満たし、A L \mathcal A_L A L T a T_a T a G G G A L \mathcal A_L A L A \mathcal A A K K K Y z ≅ Y z ′ Y_z\cong Y_{z'} Y z ≅ Y z ′ K K K
降下した主等質空間からコサイクルを作ると、式 (13) の単位元を基点としてもとのz z z X X X X L X_L X L X X X ▨
4 Hilbert の定理 90 絶対 Galois 群上の連続コサイクルは有限個の値しか取らない。単位元の近傍で自明になることと、値を固定する開正規部分群を同時に選ぶと、有限 Galois 群上のコサイクルへ降ろすことができる。
補題 4.1. M = K s M=K_s M = K s M = K s × M=K_s^\times M = K s × z : G K → M z:G_K\to M z : G K → M L / K L/K L / K
Gal ( L / K ) ⟶ L または Gal ( L / K ) ⟶ L × \operatorname{Gal}(L/K)\longrightarrow L
\quad\text{または}\quad
\operatorname{Gal}(L/K)\longrightarrow L^\times Gal ( L / K ) ⟶ L または Gal ( L / K ) ⟶ L × から膨張して得られる。
証明. G K G_K G K M M M z ( G K ) z(G_K) z ( G K ) L 0 / K L_0/K L 0 / K z 1 = 0 z_1=0 z 1 = 0 z 1 = 1 z_1=1 z 1 = 1 z z z H H H H H H Gal ( K s / L 0 ) \operatorname{Gal}(K_s/L_0) Gal ( K s / L 0 ) N N N
L = K s N L=K_s^N L = K s N L / K L/K L / K z z z L L L n ∈ N n\in N n ∈ N z n = 0 z_n=0 z n = 0 z n = 1 z_n=1 z n = 1 N N N z z z z σ n = z σ = z n σ z_{\sigma n}=z_\sigma=z_{n\sigma} z σ n = z σ = z nσ z z z G K / N = Gal ( L / K ) G_K/N=\operatorname{Gal}(L/K) G K / N = Gal ( L / K ) ▨
加法版では、Galois 群の元をすべて足すトレースから係数1 1 1
定理 4.2 (加法版 Hilbert の定理 90). L / K L/K L / K G = Gal ( L / K ) G=\operatorname{Gal}(L/K) G = Gal ( L / K ) L L L z : G → L z:G\to L z : G → L b ∈ L b\in L b ∈ L
z σ = σ b − b ( σ ∈ G ) (15) z_\sigma=\sigma b-b
\qquad(\sigma\in G)
\tag{15} z σ = σ b − b ( σ ∈ G ) ( 15 ) となる。
さらに、加法群K s K_s K s z : G K → K s z:G_K\to K_s z : G K → K s b ∈ K s b\in K_s b ∈ K s σ ∈ G K \sigma\in G_K σ ∈ G K
証明. まず有限 Galois 拡大L / K L/K L / K
Tr L / K : L ⟶ K , u ⟼ ∑ τ ∈ G τ ( u ) \operatorname{Tr}_{L/K}:L\longrightarrow K,
\qquad u\longmapsto\sum_{\tau\in G}\tau(u) Tr L / K : L ⟶ K , u ⟼ τ ∈ G ∑ τ ( u ) はK K K 補題 3.3 により零写像ではない。値がG G G K K K K K K L → K L\to K L → K Tr L / K ( u ) = 1 \operatorname{Tr}_{L/K}(u)=1 Tr L / K ( u ) = 1 u ∈ L u\in L u ∈ L
b = − ∑ τ ∈ G z τ τ ( u ) b=-\sum_{\tau\in G}z_\tau\,\tau(u) b = − τ ∈ G ∑ z τ τ ( u ) とおく。コサイクル条件z σ τ = z σ + σ z τ z_{\sigma\tau}=z_\sigma+\sigma z_\tau z σ τ = z σ + σ z τ
σ b = − ∑ τ ∈ G ( z σ τ − z σ ) σ τ ( u ) = b + z σ ∑ ρ ∈ G ρ ( u ) = b + z σ . \begin{aligned}
\sigma b
&=-\sum_{\tau\in G}(z_{\sigma\tau}-z_\sigma)\,\sigma\tau(u)\\
&=b+z_\sigma\sum_{\rho\in G}\rho(u)
=b+z_\sigma.
\end{aligned} σ b = − τ ∈ G ∑ ( z σ τ − z σ ) σ τ ( u ) = b + z σ ρ ∈ G ∑ ρ ( u ) = b + z σ . よって式 (15) が成り立つ。
G K G_K G K 補題 4.1 を適用する。得られた有限 Galois
拡大上で上の構成を行うとb ∈ K s b\in K_s b ∈ K s ▨
乗法版では通常の和を使うと係数が逆向きに動く。コサイクル値の逆数を係数とする非零な半線形和を作り、非零な値b b b σ ( b ) / b \sigma(b)/b σ ( b ) / b
定理 4.3 (乗法版 Hilbert の定理 90). L / K L/K L / K G = Gal ( L / K ) G=\operatorname{Gal}(L/K) G = Gal ( L / K ) L × L^\times L × z : G → L × z:G\to L^\times z : G → L × b ∈ L × b\in L^\times b ∈ L ×
z σ = σ ( b ) b ( σ ∈ G ) (16) z_\sigma=\frac{\sigma(b)}{b}
\qquad(\sigma\in G)
\tag{16} z σ = b σ ( b ) ( σ ∈ G ) ( 16 ) となる。
さらに、乗法群K s × K_s^\times K s × z : G K → K s × z:G_K\to K_s^\times z : G K → K s × b ∈ K s × b\in K_s^\times b ∈ K s × σ ∈ G K \sigma\in G_K σ ∈ G K
証明. まず有限 Galois 拡大L / K L/K L / K 補題 3.3 により、K K K
T : L ⟶ L , T ( x ) = ∑ τ ∈ G z τ − 1 τ ( x ) T:L\longrightarrow L,
\qquad T(x)=\sum_{\tau\in G}z_\tau^{-1}\tau(x) T : L ⟶ L , T ( x ) = τ ∈ G ∑ z τ − 1 τ ( x ) は零写像ではない。したがってb = T ( x ) ≠ 0 b=T(x)\ne0 b = T ( x ) = 0 x ∈ L x\in L x ∈ L
コサイクル条件からσ ( z τ ) = z σ − 1 z σ τ \sigma(z_\tau)=z_\sigma^{-1}z_{\sigma\tau} σ ( z τ ) = z σ − 1 z σ τ
σ b = ∑ τ ∈ G σ ( z τ − 1 ) σ τ ( x ) = z σ ∑ τ ∈ G z σ τ − 1 σ τ ( x ) = z σ b . \begin{aligned}
\sigma b
&=\sum_{\tau\in G}\sigma(z_\tau^{-1})\,\sigma\tau(x)\\
&=z_\sigma\sum_{\tau\in G}z_{\sigma\tau}^{-1}\,\sigma\tau(x)
=z_\sigma b.
\end{aligned} σ b = τ ∈ G ∑ σ ( z τ − 1 ) σ τ ( x ) = z σ τ ∈ G ∑ z σ τ − 1 σ τ ( x ) = z σ b . よって式 (16) が成り立つ。
G K G_K G K 補題 4.1 を適用する。得られた有限 Galois
拡大上で上の構成を行うとb ∈ K s × b\in K_s^\times b ∈ K s × ▨
例 4.4 (二次拡大の乗法コサイクル). L / K L/K L / K σ \sigma σ a ∈ L × a\in L^\times a ∈ L × a σ ( a ) = 1 a\sigma(a)=1 aσ ( a ) = 1 z 1 = 1 z_1=1 z 1 = 1 z σ = a z_\sigma=a z σ = a 定理 4.3 により、あるb ∈ L × b\in L^\times b ∈ L ×
a = σ ( b ) b a=\frac{\sigma(b)}{b} a = b σ ( b ) となる。例えばL = C L=\mathbb C L = C K = R K=\mathbb R K = R a = e 2 i θ a=e^{2i\theta} a = e 2 i θ b = e − i θ b=e^{-i\theta} b = e − i θ b ‾ / b = e 2 i θ = a \overline b/b=e^{2i\theta}=a b / b = e 2 i θ = a
5 演習 問題 5.1.
加法記法の一次コサイクルz z z z 1 = 0 z_1=0 z 1 = 0 z σ − 1 = − σ − 1 z σ z_{\sigma^{-1}}=-\sigma^{-1}z_\sigma z σ − 1 = − σ − 1 z σ
定理 2.1 で持上げをb + i ( a ) b+i(a) b + i ( a ) z σ + σ a − a z_\sigma+\sigma a-a z σ + σ a − a M M M G K G_K G K X ≅ M X\cong M X ≅ M G K G_K G K 加法版 Hilbert の定理 90 の証明でTr L / K ( u ) = 1 \operatorname{Tr}_{L/K}(u)=1 Tr L / K ( u ) = 1 b b b
乗法版 Hilbert の定理 90 の証明でz τ z_\tau z τ z τ − 1 z_\tau^{-1} z τ − 1 σ b \sigma b σ b
6 扱った範囲と次の記事 本記事では、連続一次コサイクルと基点変更による同値を定義し、不変元の持上げ障害、主等質空間との対応、有限 Galois 降下ならびに加法版・乗法版の Hilbert の定理 90 を具体式で証明した。後続では、円分拡大と円分指標を構成した後、n n n