正規拡大と共役 | 体論入門 | 天游ヶ丘数理学院

1 共役、正規拡大、正規閉包

$K$ の代数閉包 $\Omega$ を一つ固定し、代数拡大を $\Omega$ の部分体として扱う。

定義 1.1. $\alpha\in\Omega$ を $K$ 上代数的とする。最小多項式 $m_{\alpha,K}$ の $\Omega$ における根を、 $\alpha$ の $K$ 上の共役 (conjugate) という。

代数拡大 $L/K$ が正規拡大 (normal extension) であるとは、 $K[x]$ の任意の既約多項式 $f$ について、 $f$ が $L$ に根を一つもてば、 $f$ が $L[x]$ で一次式の積に分解することをいう。重根を許すため、正規性は分離性を含意しない。

定義 1.2. $L/K$ を $\Omega$ 内の有限拡大とする。 $\Omega$ 内の有限正規拡大 $N/K$ が $L$ を含み、 $L$ を含む $\Omega$ 内の任意の正規拡大が $N$ を含むとき、 $N$ を $L/K$ の正規閉包 (normal closure) という。

例えば $\mathbb Q(\sqrt[3]2)/\mathbb Q$ は正規ではない。 $x^3-2$ の一つの根を含むが、二つの非実根を含まないからである。その正規閉包は $\mathbb Q(\sqrt[3]2,\omega)$ になる。この主張は、後で定理 4.1の構成から確認する。

2 有限段階から代数拡大全体へ

§E8.10 補題 1.3は有限代数拡大への埋め込み延長を、生成元を一つずつ添加して証明した。任意の代数拡大では生成元が無限個になり得るため、有限部分拡大上の埋め込みを整合的に選ぶ。

定理 2.1. $E/F$ を代数拡大とし、 $\Omega$ を代数的閉体とする。任意の体埋め込み $\tau:F\to\Omega$ は、体埋め込み $\widetilde\tau:E\to\Omega$ へ延長することができる。

証明. $E/F$ の有限部分拡大全体を $\mathcal I$ とする。 $D,D'\in\mathcal I$ に対して、それらの合成体も $E/F$ の有限部分拡大なので、 $\mathcal I$ は包含について有向集合である。

各 $D\in\mathcal I$ に対し、 $\tau$ を延長する埋め込みの集合を

X_D=\{\sigma:D\to\Omega\mid\sigma|_F=\tau\}

とおく。§E8.10 補題 1.3により $X_D$ は非空である。また、生成元を一つずつ添加すると各段階の像は最小多項式の有限個の根から選ばれるため、 $X_D$ は有限集合である。 $X_D$ に離散位相を入れると有限コンパクト Hausdorff 空間になる。

$D\subseteq D'$ なら、制限写像 $r_{D'D}:X_{D'}\to X_D$ が定まる。この写像は全射である。実際、 $\sigma\in X_D$ は有限代数拡大 $D'/D$ へ§E8.10 補題 1.3によって延長することができる。

積空間

X=\prod_{D\in\mathcal I}X_D

を考える。各因子は非空であるため、選択公理§E1.2 注意 5.7により $X$ は非空である。 Tychonoff の定理§E2.19 定理 8.2により $X$ はコンパクトである。各包含 $D\subseteq D'$ に対して

C_{D'D}=\{(\sigma_A)_A\in X\mid r_{D'D}(\sigma_{D'})=\sigma_D\}

とおく。 $X_D$ は離散 Hausdorff なので $C_{D'D}$ は閉集合である。

閉集合族 $\{C_{D'D}\}$ が有限交叉性をもつことを示す。有限個の包含条件に現れる体をすべて含む $D_0\in\mathcal I$ を取る。 $X_{D_0}$ は非空なので $\rho\in X_{D_0}$ を一つ取り、各条件に現れる $D$ の座標を $\rho|_D$ とする。先に $X$ の点を一つ取り、条件に現れる有限個の座標だけを $\rho$ の制限へ置き換えると、指定された有限個の条件をすべて満たす点が得られる。したがって有限交叉性が成り立つ。

コンパクト性により

\bigcap_{D\subseteq D'}C_{D'D}\ne\varnothing

である。この交叉から整合的な族 $(\sigma_D)_{D\in\mathcal I}$ を取る。 $a\in E$ に対して、 $a$ を含む有限部分拡大 $D$ を選び

\widetilde\tau(a)=\sigma_D(a)

と定める。二つの有限部分拡大を選んでも、その合成体への制限条件によって値は一致する。和、積および逆元は二つの元を同時に含む有限部分拡大の中で保存されるため、 $\widetilde\tau$ は体埋め込みである。 $F$ に対する値は $\tau$ に等しいので、求める延長を得る。▨

3 正規性の埋め込みによる特徴づけ

定理 3.1. $L/K$ を $\Omega$ 内の代数拡大とする。次の条件は同値である。

$L/K$ は正規拡大である。
$L$ の各元の $K$ 上の共役がすべて $L$ に属する。
任意の $K$ -埋め込み $\sigma:L\to\Omega$ が $\sigma(L)=L$ を満たす。

証明.(1) $\Rightarrow$ (2)を示す。正規拡大の定義を $m_{\alpha,K}$ へ適用すれば得られる。

(2) $\Rightarrow$ (3)を示す。 $\alpha\in L$ に対して $\sigma(\alpha)$ は $\alpha$ の共役なので、(2)により $\sigma(L)\subseteq L$ である。さらに $m_{\alpha,K}$ の根からなる有限集合を $R_\alpha\subseteq L$ とすると、 $\sigma$ は $R_\alpha$ から $R_\alpha$ への単射を定めるため、この有限集合を置換する。したがって各 $\alpha\in L$ に対し、 $\sigma(\beta)=\alpha$ となる $\beta\in R_\alpha\subseteq L$ が存在する。ゆえに $\sigma$ は全射であり、 $\sigma(L)=L$ である。

(3) $\Rightarrow$ (2)を示す。 $\alpha\in L$ とし、 $\beta\in\Omega$ を $\alpha$ の $K$ 上の共役とする。 $\alpha\mapsto\beta$ は $K$ -同型 $K(\alpha)\to K(\beta)\subseteq\Omega$ を定める。定理 2.1を代数拡大 $L/K(\alpha)$ へ適用すると、この同型は $K$ -埋め込み $\widetilde\sigma:L\to\Omega$ へ延長される。(3)により $\widetilde\sigma(L)=L$ なので $\beta=\widetilde\sigma(\alpha)\in L$ である。▨

正規性は分離性と独立である。標数 $p>0$ で $a\notin K^p$ とし、 $L=K(\alpha)$ 、 $\alpha^p=a$ とすると、 $L$ の任意の元 $\beta$ は $\beta^p\in K$ を満たす。したがって $m_{\beta,K}$ は $x^p-\beta^p=(x-\beta)^p$ を割り切り、 $L$ で分解する。ゆえに $L/K$ は純非分離かつ正規であるが、分離拡大ではない。

4 正規閉包

定理 4.1. $L/K$ を $\Omega$ 内の有限拡大とする。 $L/K$ の正規閉包が存在する。

$L=K(\alpha_1,\ldots,\alpha_r)$ とし、 $f_i=m_{\alpha_i,K}$ とおくと、積 $f_1\cdots f_r$ の $\Omega$ 内の分解体が正規閉包である。

証明. $N$ を $f_1\cdots f_r$ の $\Omega$ 内の分解体とする。各 $\alpha_i$ は $N$ に属するため $L\subseteq N$ であり、 $N/K$ は有限拡大である。

$\sigma:N\to\Omega$ を $K$ -埋め込みとする。 $\sigma$ は各 $f_i$ の根を同じ $f_i$ の根へ写す。 $N$ はそれらの根で生成されるため $\sigma(N)\subseteq N$ である。有限次元性により $\sigma(N)=N$ となり、定理 3.1から $N/K$ は正規拡大である。

$M/K$ を $\Omega$ 内の正規拡大で $L\subseteq M$ を満たすものとする。 $M$ は各 $\alpha_i$ を含むため、正規性により $f_i$ のすべての根を含む。したがって、それらの根で生成される $N$ を含む。ゆえに $N$ は最小の正規拡大である。▨

例 4.2 (三次単拡大の正規閉包). $L=\mathbb Q(\sqrt[3]2)$ とする。生成元の最小多項式は $x^3-2$ であり、その三つの根は $\sqrt[3]2$ 、 $\omega\sqrt[3]2$ 、 $\omega^2\sqrt[3]2$ である。定理 4.1により

N=\mathbb Q(\sqrt[3]2,\omega)

が $L/\mathbb Q$ の正規閉包である。 $L$ は実数体の部分体なので非実根を含まず、正規ではない。

5 分解体と代数閉包の一意性

定理 5.1. $\mathcal F\subset K[x]\setminus\{0\}$ を有限族とする。 $\mathcal F$ の二つの分解体 $L$ と $L'$ は、 $K$ を固定する体同型によって同型である。

証明. $L'$ の代数閉包 $\Omega'$ を一つ取る。 $L/K$ は有限代数拡大なので、恒等埋め込み $K\to\Omega'$ は定理 2.1により埋め込み $\sigma:L\to\Omega'$ へ延長される。

$f\in\mathcal F$ を取る。 $L[x]$ における $f$ の一次因子分解へ $\sigma$ を施すと、 $\Omega'[x]$ における $f$ の一次因子分解を得る。したがって、 $L$ にある $f$ のすべての根の像は、重複度も含めて $f$ のすべての根を尽くす。 $L'$ も $f$ の分解体なので、それらの像は $L'$ に属する。

$L$ は $\mathcal F$ の根で生成されるから $\sigma(L)\subseteq L'$ である。一方、 $\sigma(L)$ は $\mathcal F$ のすべての根を含み、 $L'$ はそれらの根で生成されるので $L'\subseteq\sigma(L)$ である。したがって $\sigma(L)=L'$ であり、 $\sigma:L\to L'$ が求める $K$ -同型である。▨

定理 5.2. $\Omega$ と $\Omega'$ を体 $K$ の代数閉包とする。このとき $K$ を固定する体同型 $\Omega\xrightarrow{\sim}\Omega'$ が存在する。

証明. $\Omega/K$ は代数拡大であり、 $\Omega'$ は代数的閉体である。定理 2.1により、恒等埋め込み $K\to\Omega'$ は $K$ -埋め込み $\sigma:\Omega\to\Omega'$ へ延長される。

$\beta\in\Omega'$ を取る。 $\Omega'/K$ は代数拡大なので、 $\beta$ の最小多項式 $m_{\beta,K}\in K[x]$ が存在する。 $\Omega$ は代数的閉体なので

m_{\beta,K}(x)=c\prod_{i=1}^{d}(x-\alpha_i)

と $\Omega[x]$ で分解する。 $\sigma$ は $K$ を固定するため、この等式へ $\sigma$ を施すと

m_{\beta,K}(x)=c\prod_{i=1}^{d}(x-\sigma(\alpha_i))

を $\Omega'[x]$ で得る。 $\beta$ は左辺の根なので、ある $i$ について $\beta=\sigma(\alpha_i)$ である。したがって $\sigma$ は全射であり、体同型である。▨

二つの一意性はいずれも同型の存在を述べる。同型そのものが一意であるとは限らない。例えば $\mathbb Q(\sqrt2)$ には、 $\sqrt2$ の符号を変える非自明な $\mathbb Q$ -自己同型がある。

6 演習

問題 6.1.

定理 2.1の逆極限構成で、制限写像 $X_{D'}\to X_D$ が全射であることを有限埋め込み延長から証明せよ。
正規拡大 $L/K$ への $K$ -埋め込み $L\to\Omega$ が単に像を $L$ に含めるだけでなく、 $L$ 上全射になる理由を、共役の有限集合を用いて説明せよ。
$\mathbb Q(\sqrt[4]2)/\mathbb Q$ の正規閉包を求め、生成元の最小多項式のすべての根を列挙せよ。
定理 5.2の証明で、 $\Omega'/K$ の代数性が使われる箇所と、 $\Omega$ の代数閉性が使われる箇所を分けて述べよ。

7 扱った範囲と次の記事

本記事では、有限部分拡大上の埋め込みを Tychonoff の定理によって貼り合わせ、任意の代数拡大に対する埋め込み延長定理を証明した。その結果として、正規性の埋め込みによる特徴づけ、有限拡大の正規閉包、分解体の一意性および代数閉包の一意性を得た。次の記事では、正規性とは独立な現象である純非分離性を Frobenius 準同型によって調べる。

§E8.11正規拡大と共役