§E8.3超越基底と超越次数

証明.$\alpha$が$K(S)$上代数的であると仮定する。$K(S)$係数の非零多項式関係の分母を払うと、有限個の$s_1,\ldots,s_r\in S$と非零多項式

が存在して$P(s_1,\ldots,s_r,\alpha)=0$となる。$S$の代数的独立性により、分母を払った後の係数はすべて同時には零にならない。したがって$S\cup\{\alpha\}$は代数的に従属である。

逆に、$S\cup\{\alpha\}$が代数的に従属であると仮定する。$\alpha\notin S$であるから、$\alpha$に対応する変数を$S$の元に対応する変数とは異なる$T$として扱うことができる。したがって、有限個の$s_1,\ldots,s_r\in S$と非零多項式$P\in K[X_1,\ldots,X_r,T]$が存在して

となる。$P$を$T$の多項式とみる。$S$は$K$上代数的に独立であるから、$P(s_1,\ldots,s_r,T)$は$K(S)[T]$の非零多項式である。さらに、この多項式の$T$次数が零ならば、その非零定数項が$s_1,\ldots,s_r$の非自明な多項式関係を与えるため、$S$の代数的独立性に反する。したがって、この多項式の$T$次数は正であり、$\alpha$は$K(S)$上代数的である。▨

証明.$B$が極大であると仮定する。$\alpha\in B$ならば$\alpha\in K(B)$であるから、$\alpha$は$K(B)$上代数的である。$\alpha\in L\setminus B$ならば、極大性により$B\cup\{\alpha\}$は代数的に従属であり、補題 1.4により$\alpha$は$K(B)$上代数的である。したがって$L/K(B)$は代数拡大であり、$B$は超越基底である。

逆に、$B$が超越基底であると仮定する。任意の$\alpha\in L\setminus B$は$K(B)$上代数的であるから、補題 1.4により$B\cup\{\alpha\}$は代数的に従属である。したがって、$B$を真に含む$K$上代数的に独立な部分集合は存在せず、$B$は極大である。▨

証明.$S_0$を含む$K$上代数的に独立な$L$の部分集合全体を$\mathcal P$とし、包含関係で順序づける。集合$S_0$は$\mathcal P$の元であるから、$\mathcal P$は空ではない。

$\mathcal C\subseteq\mathcal P$を鎖とする。$\mathcal C$が空ならば、$S_0\in\mathcal P$が$\mathcal C$の上界である。$\mathcal C$が空でないならば、$U=\bigcup_{S\in\mathcal C}S$とおく。各$S\in\mathcal C$は$S_0$を含むため、$U$も$S_0$を含む。もし$U$が代数的に従属ならば、ある有限個の元$u_1,\ldots,u_n\in U$が非自明な多項式関係を満たす。鎖$\mathcal C$は包含関係について全順序集合であるから、$u_1,\ldots,u_n$をすべて含む$S\in\mathcal C$が存在する。この多項式関係は$S$の代数的独立性に反する。したがって$U$は代数的に独立であり、$U\in\mathcal P$は鎖$\mathcal C$の上界である。

Zorn の補題§E1.20 定理 2.1により、$\mathcal P$には極大元$B$が存在する。系 1.5により$B$は$L/K$の超越基底であり、定義から$S_0\subseteq B$である。▨

証明.$S$は有限集合であり、$z$は$K(S)$上代数的である。したがって、$z$が$K(T)$上代数的になる部分集合$T\subseteq S$のうち、包含関係について極小なものを選ぶことができる。$z$は$K$上超越的であるから$T\ne\emptyset$である。$s\in T$を一つ取り、

とおく。$T$の極小性により、$z$は$F$上超越的である。

一方、$z$は$F(s)$上代数的である。$T$は$K$上代数的に独立なので$s$は$F$上超越的であり、$F(s)$は一変数有理関数体である。$z$が満たす$F(s)$係数の非零多項式を取り、係数の分母を払うと、非零多項式

で$P(s,z)=0$を満たすものを得る。$P$が$X$に依存しなければ、$P(z)=0$は$z$が$F$上超越的であることに反する。したがって$P$の$X$次数は正である。また、$z$は$F$上超越的であるから、$P(X,z)$は$F(z)[X]$の非零多項式である。ゆえに$s$は$F(z)$上代数的である。

集合

は$K$上代数的に独立である。実際、$T\setminus\{s\}$は$S$の部分集合なので$K$上代数的に独立であり、$z$は$K(T\setminus\{s\})=F$上超越的である。

$U=S\setminus T$とおく。$T'\cup U$が$K$上代数的に従属であると仮定し、$U=\{u_1,\ldots,u_m\}$の順に元を添加するときに初めて従属が生じる元を$u_j$とする。このとき$u_j$は

上代数的であるから、この体を含む$K(T,z,u_1,\ldots,u_{j-1})$上でも代数的である。さらに$z$は$K(T)$上代数的なので、$K(T,z,u_1,\ldots,u_{j-1})$は$K(T,u_1,\ldots,u_{j-1})$上代数拡大である。代数性の推移性§E8.2 定理 5.1により、$u_j$は$K(T,u_1,\ldots,u_{j-1})$上代数的になる。これは$S$の代数的独立性に反する。したがって

は$K$上代数的に独立である。

既に示したように$s$は$F(z)\subseteq K(S')$上代数的である。$K(S,z)=K(S')(s)$であるから、$K(S,z)/K(S')$は代数拡大である。▨

証明.$|C|$に関する帰納法を用いる。$C$が空ならば主張は成り立つ。$C$が空でないと仮定し、$c\in C$を一つ取る。単集合$\{c\}$は$K$上代数的に独立であるから、$c$は$K$上超越的である。仮定により$c$は$K(S)$上代数的である。補題 3.1により、ある$s\in S$が存在して

は$K$上代数的に独立であり、$K(S,c)/K(S')$は代数拡大である。

$C\setminus\{c\}$は$K(c)$上代数的に独立である。実際、$K(c)$係数の多項式関係の分母を払えば、$C$の元に関する$K$係数の非自明な多項式関係が生じる。同じ理由により$S\setminus\{s\}$は$K(c)$上代数的に独立である。

各$d\in C\setminus\{c\}$は$K(S)$上代数的であり、$K(S,c)/K(S')$は代数拡大である。代数性の推移性§E8.2 定理 5.1により、$d$は

上代数的である。基礎体を$K(c)$に取り替えて帰納法の仮定を適用すると

を得る。したがって$|C|\le|S|$である。▨

証明.$C$が有限であると仮定し、$|C|$に関する帰納法を用いる。$C$が空ならば主張は成り立つ。任意の空でない真部分集合$D\subsetneq C$について

が成り立つ場合、$c_0\in C$と$b_0\in S_{c_0}$を選ぶ。任意の$H\subseteq C\setminus\{c_0\}$に対し、$H\ne\emptyset$ならば

である。各$S_c$から$b_0$を除いても和集合の元は高々一つしか減らないため、族$\{S_c\setminus\{b_0\}\}_{c\in C\setminus\{c_0\}}$は Hall 条件を満たす。帰納法で得られるこの族の単射代表系と$c_0\mapsto b_0$を合わせると、$C$の単射代表系を得る。

任意の空でない真部分集合に対するこの不等式が成り立たない場合、ある空でない真部分集合$D\subsetneq C$が存在して

となる。帰納法により$D$には単射代表系が存在する。$C\setminus D$に属する各$c$について、$S_c$から$\bigcup_{d\in D}S_d$を除く。任意の$H\subseteq C\setminus D$に対し、元の Hall 条件から

であり、$D$側で除く元は$|D|$個である。したがって残りの族も Hall 条件を満たす。帰納法により$C\setminus D$にも単射代表系が存在し、二つの代表系の像は互いに交わらない。以上により有限の場合が証明された。

$C$を任意の集合とし、その有限部分集合全体を$\mathcal D$と書く。各$D\in\mathcal D$に対して、$D$上の単射代表系全体

を考える。有限の場合の結果により、各$\mathcal M_D$は空でない。

有限部分集合$D_0\subseteq C$に対し、

とおく。

集合$X$上のフィルターとは、部分集合族$\mathcal F\subseteq\mathcal P(X)$であって、$X\in\mathcal F$、有限交叉について閉じ、$A\in\mathcal F$かつ$A\subseteq A'\subseteq X$ならば$A'\in\mathcal F$となるものをいう。$\emptyset\notin\mathcal F$を満たすフィルターを真のフィルターという。集合族$\mathcal B\subseteq\mathcal P(X)$が生成するフィルターは、$\mathcal B$の元の有限交叉を含む$X$の部分集合全体からなる。包含関係について極大な真のフィルターをウルトラフィルターという。

集合族$\{U_{D_0}\mid D_0\in\mathcal D\}$に対して

である。右辺は$D_1\cup\cdots\cup D_r$を元にもつため空集合ではない。したがって、この集合族が$\mathcal D$上に生成するフィルター$\mathcal F_0$は真のフィルターである。

$\mathcal F_0$を含む$\mathcal D$上の真のフィルター全体を包含関係で順序づける。この半順序集合は$\mathcal F_0$を元にもつため空ではない。鎖$\{\mathcal F_i\}_{i\in I}$が空ならば、$\mathcal F_0$がその上界である。鎖が空でないならば、

とおく。各$\mathcal F_i$は$\mathcal D$を含み、空集合を含まない。また、$A,B\in\mathcal F$ならば、鎖の二元のうち大きいフィルターが$A$と$B$の両方を含むため$A\cap B\in\mathcal F$である。上方閉性も、$A$を含むいずれかの$\mathcal F_i$から従う。したがって$\mathcal F$は$\mathcal F_0$を含む真のフィルターであり、鎖の上界である。

Zorn の補題§E1.20 定理 2.1により、$\mathcal F_0$を含む極大な真のフィルター$\mathcal U$が存在する。この極大性から、任意の$A\subseteq\mathcal D$に対して

のいずれかが成り立つ。実際、$A\notin\mathcal U$とする。$\mathcal U$と$A$が生成するフィルターは極大性により真ではないため、ある$V\in\mathcal U$が存在して$V\cap A=\emptyset$となる。すると$V\subseteq\mathcal D\setminus A$と上方閉性から$\mathcal D\setminus A\in\mathcal U$である。$A$と補集合の両方が$\mathcal U$に属すれば、その交わりである空集合も属するため、両方が属することはない。したがって$\mathcal U$はウルトラフィルターである。

選択公理§E1.20 定理 2.1を用いて、すべての$D\in\mathcal D$について$f_D\in\mathcal M_D$を一つずつ選ぶ。各$c\in C$と$b\in S_c$に対し、

とおく。有限個の集合$A_{c,b}$（$b\in S_c$）は$U_{\{c\}}$を分割し、$U_{\{c\}}\in\mathcal U$である。もしどの$A_{c,b}$も$\mathcal U$に属さなければ、それぞれの補集合が$\mathcal U$に属し、それらと$U_{\{c\}}$の有限交叉である空集合も$\mathcal U$に属してしまう。したがって、少なくとも一つの$A_{c,b}$が$\mathcal U$に属する。相異なる$b,b'\in S_c$に対して$A_{c,b}\cap A_{c,b'}=\emptyset$なので、二つが同時に$\mathcal U$に属することはない。したがって、$b\in S_c$のうちちょうど一つについて$A_{c,b}\in\mathcal U$となる。その一意な元を$\varphi(c)$と定める。

もし相異なる$c,c'\in C$が$\varphi(c)=\varphi(c')=b$を満たすならば、

となるため、この交わりは空ではない。しかし交わりに属する$D$では、単射$f_D$が$c$と$c'$を同じ$b$へ写すことになり、$f_D$の単射性に反する。したがって$\varphi$は単射である。▨

証明.$L/K(B)$は代数拡大であるから、各$c\in C$は$K(B)$上代数的である。$c$を消す一つの多項式関係に現れる$B$の元は有限個だけである。したがって、選択公理§E1.20 定理 2.1を用いて、すべての$c\in C$に対して有限部分集合$S_c\subseteq B$を一つずつ選び、$c$が$K(S_c)$上代数的になるようにする。

有限部分集合$C_0\subseteq C$を任意に取って

とおく。$C_0$と$S$は有限な$K$上代数的独立集合であり、$C_0$の各元は$K(S)$上代数的である。補題 3.2により

となる。したがって有限支持族$\{S_c\}_{c\in C}$は補題 3.3の Hall 条件を満たす。同補題により単射$C\to B$が存在する。

$B$と$C$の役割を交換すると、同じ議論によって単射$B\to C$が存在する。Schröder–Bernstein の定理§E1.11 定理 4.2により$|B|=|C|$である。▨

証明.$E(S)$は$F(S)$に$E$のすべての元を添加して得られる。各$e\in E$は$F$上代数的であるから、同じ多項式によって$F(S)$上でも代数的である。$E(S)$の任意の元は、有限個の$e_1,\ldots,e_r\in E$を用いる体$F(S)(e_1,\ldots,e_r)$に属する。§E8.2 定理 4.2により、この体は$F(S)$上有限次である。さらに、有限拡大の代数性§E8.2 命題 4.1により、この有限次拡大のすべての元、特に先ほど取った任意の元は$F(S)$上代数的である。したがって$E(S)/F(S)$は代数拡大である。▨

証明.定理 2.1を空集合から適用して、$E/K$の超越基底$B$と$L/E$の超越基底$C$を取る。このとき$B\cap C=\emptyset$である。実際、$c\in C\cap B$ならば$c\in E$であり、非零多項式$X-c\in E[X]$が$c$を根にもつ。これは$C$が$E$上代数的に独立であることに反する。

もし$B\cup C$が$K$上代数的に従属ならば、有限個の$b_1,\ldots,b_r\in B$と$c_1,\ldots,c_s\in C$および非零多項式

が存在して

となる。$P$を$Y_1,\ldots,Y_s$の多項式とみると、その係数は$K[b_1,\ldots,b_r]\subseteq E$に属する。$C$は$E$上代数的に独立であるから、すべての係数を$b_1,\ldots,b_r$で評価した値が零でなければならない。$B$は$K$上代数的に独立であるから、各係数多項式自体が零である。これは$P$が非零であることに矛盾する。したがって$B\cup C$は$K$上代数的に独立である。

$E/K(B)$は代数拡大である。補題 5.1により

は代数拡大である。また、$L/E(C)$は代数拡大である。代数性の推移性§E8.2 定理 5.1により、$L/K(B\cup C)$は代数拡大である。したがって$B\cup C$は$L/K$の超越基底である。

定理 4.1により、

が成り立つ。▨

証明. 有限集合$\{\alpha_1,\ldots,\alpha_n\}$の中から、包含関係について極大な$K$上代数的独立部分集合$B$を選ぶ。有限集合の部分集合を有限回比較すれば選ぶことができるため、この選択に Zorn の補題は要らない。

$\alpha_i\notin B$と仮定する。$B$の極大性により$B\cup\{\alpha_i\}$は$K$上代数的に従属である。補題 1.4により$\alpha_i$は$K(B)$上代数的である。したがって$L$は$K(B)$に有限個の代数的な元を添加して得られる。§E8.2 定理 4.2により$L/K(B)$は有限次拡大である。ゆえに$B$は$L/K$の超越基底であり、$|B|\le n$である。▨