§E8.20円分拡大と円分指標

証明.$\sigma$は乗法と元の位数を保つので、$\sigma(\zeta_n)$は原始$n$乗根であり、定義 1.2の指数は$(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$に一意に定まる。$\sigma,\tau\in G_K$に対して

である。一意性により$\chi_n(\sigma\tau)=\chi_n(\sigma)\chi_n(\tau)$となるので、$\chi_n$は群準同型である。その核は$\zeta_n$の固定部分群$\operatorname{Gal}(K_s/K(\zeta_n))$である。$K(\zeta_n)/K$は有限拡大なので、この部分群は$G_K$の開部分群である。有限離散群への準同型は核が開なら連続であるため、$\chi_n$は連続である。▨

証明.$K(\mu_n)$は分離多項式$x^n-1$の分解体なので有限 Galois 拡大である。自己同型は生成元$\zeta_n$の像によって一意に定まり、その像は原始$n$乗根$\zeta_n^a$である。したがって円分指標は Galois 群から$(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$への単射を与える。その像は定義により$\operatorname{im}\chi_n$である。位数を比較すると次数の主張が従う。▨

証明.(1)を示す。原始多項式$P,Q\in\mathbb Z[x]$の積が原始でないと仮定する。その全係数を割る素数$p$を取ると、$\mathbb F_p[x]$において$\overline P\,\overline Q=0$となる。一方、原始性により$\overline P\ne0$かつ$\overline Q\ne0$であり、$\mathbb F_p[x]$は整域なので矛盾する。よって(1)の主張が従う。

(2)を示す。$g=rG$、$h=sH$と書く。ただし、$G,H\in\mathbb Z[x]$は原始多項式、$r,s$は正の有理数であり、$G,H$の最高次係数は正とすることができる。(1)の主張により$GH$は原始であり、

である。原始多項式$R\in\mathbb Z[x]$と有理数$c$に対し、$cR$が整数係数なら、$c$を既約分数で表したときの分母は$R$の全係数を割るので、その分母は$1$である。さらに$cR$も原始なら$|c|=1$である。この事実を上の等式へ適用すると$rs=1$を得る。$g,h$はモニックなので、$G,H$の最高次係数をそれぞれ$u,v$とすれば$r=1/u$、$s=1/v$である。したがって$uv=1$であり、正整数$u,v$はともに$1$である。ゆえに$r=s=1$となり、$g=G$、$h=H$は整数係数である。最後の主張は$F=H(F/H)$へ(2)の主張を適用すれば従う。▨

証明.$x^n-1$の各根は、位数が$n$のある約数$d$に等しい一の根である。位数ごとに根を分けると式 (1) を得る。

整係数性を$n$について帰納する。$\Phi_1=x-1\in\mathbb Z[x]$である。$n>1$とし、真の約数に対して主張を仮定する。式 (1) から

である。右辺の第二因子はモニック整係数多項式である。モニック多項式による除法から商$\Phi_n$は$\mathbb Q[x]$に属する。$x^n-1$と第二因子はモニックで原始なので、補題 2.2の商に関する結論により$\Phi_n\in\mathbb Z[x]$である。▨

証明.$f\in\mathbb Q[x]$を$\zeta_n$の$\mathbb Q$上のモニック最小多項式とする。$f$は$x^n-1$を$\mathbb Q[x]$で割り切るので、補題 2.2を$x^n-1$のモニック分解へ適用すると$f\in\mathbb Z[x]$である。また$f\mid\Phi_n$であり、同じ補題をモニック分解$\Phi_n=fg$へ適用すると$g\in\mathbb Z[x]$である。

$\ell\nmid n$を素数とする。$\zeta_n^\ell$が$f$の根でないと仮定すると$g(\zeta_n^\ell)=0$なので、$\zeta_n$は$g(x^\ell)$の根であり$f(x)\mid g(x^\ell)$となる。係数を$\mathbb F_\ell$へ還元すると

である。したがって$\overline f$と$\overline g$は非定数の共通因子をもち、$\overline\Phi_n=\overline f\,\overline g$は重複因子をもつ。しかし$\ell\nmid n$なので$x^n-1$とその微分$nx^{n-1}$は$\mathbb F_\ell[x]$で互いに素であり、式 (1) からその因子$\overline\Phi_n$も重複因子をもたない。これは矛盾である。ゆえに$\zeta_n^\ell$は$f$の根である。

上の議論では、$\zeta_n$を$f$の任意の原始$n$乗根へ置き換えることができる。実際、その根の最小多項式も既約多項式$f$であり、同じ割り切りの議論が成り立つ。任意の$a\in(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$は、$n$と互いに素な正整数で代表させ、その素因数を順に適用することにより、$\zeta_n^a$も$f$の根である。したがって$f$は$\varphi(n)$個の原始$n$乗根をすべて根にもつ。$f\mid\Phi_n$かつ両者はモニックなので$f=\Phi_n$である。

次数公式が従い、命題 1.4の単射は、位数がともに$\varphi(n)$である二つの有限群の間の単射になるため同型である。▨

証明.定理 2.4により円分拡大の Galois 群は$G$である。有限 Galois 対応§E8.10 定理 4.1を適用すると全単射と次数公式を得る。$G$のすべての部分群は正規なので、対応する中間拡大は Galois 拡大である。▨

証明.$r=1$の場合は定義から従う。$r>1$の相異なる素因数を$p_1,\ldots,p_s$とする。$\mu(d)\ne0$となる約数$d$は$p_1,\ldots,p_s$から選んだ部分集合の積に限られるので、二項定理から

となる。最後の等式は式 (2) を$r=(a,n)$へ適用したものである。▨

証明.$\alpha$を一の根とし、その位数を$s$とする。$s=p^au$、$p\nmid u$と書くと

である。したがって、$\alpha^p$の位数が$m$であることは、$s=m$または$s=pm$であることと同値である。ゆえに$\Phi_m(x^p)$の根は、原始$m$乗根と原始$pm$乗根との互いに交わらない合併である。これらの根は$x^{pm}-1$の根なので重複しない。三つの多項式はモニックであるから$\Phi_m(x^p)=\Phi_m(x)\Phi_{pm}(x)$となり、第一の式を得る。

次に$\alpha^{p^{r-1}}$の位数が$pm$であるとする。位数の公式

へ$s=p^au$を代入すると、$u=m$かつ$a-\min(a,r-1)=1$を得る。この条件は$a=r$と同値なので、$\alpha$の位数は$p^rm$である。逆向きも同じ公式から従う。よって$\Phi_{pm}(x^{p^{r-1}})$の根は原始$p^rm$乗根全体であり、根は重複しない。両辺がモニックなので第二の式が従う。▨

証明. 埋め込み表示§E8.16 定理 2.1と Galois 群の記述から、トレースは

である。互いに素であることの指示関数を表す補題 4.2の等式$1_{(a,n)=1}=\sum_{d\mid(a,n)}\mu(d)$を代入すると

内側の幾何級数は$(n/d)\mid k$のとき$n/d$、それ以外は$0$である。$e=n/d$と置き換えると式 (4) を得る。

$n>2$では単元類$a$と$-a$を組にすることができ、対応する根の積は$\zeta_n^a\zeta_n^{-a}=1$である。$n=2$では唯一の原始根が$-1$なので、$\zeta_n$のノルムの式を得る。

最後に

である。$n=p^r$なら、補題 4.3を$m=1$へ適用して

を得る。したがって$\Phi_{p^r}(1)=p$である。$n$が素数冪でない場合、$n=p^rm$、$p\nmid m$、$m>1$となる素数$p$を取る。同じ補題から

となる。$m>1$のとき$1$は原始$m$乗根でないので$\Phi_m(1)\ne0$であり、この除法は定義される。▨