§E8.14絶対 Galois 群

証明. 各軌道で代表点$x_i$を選び、その安定化群を$H_i$とする。$G_K$-同変写像$a\colon G_K/H_i\to K^{\mathrm{s}}$は$a(H_i)$によって一意に決まり、同変性から$a(H_i)\in(K^{\mathrm{s}})^{H_i}$である。逆に$c\in(K^{\mathrm{s}})^{H_i}$に対して

と置けば、代表元の選択に依存しない同変写像を得る。したがって$A_{G_K/H_i}\cong(K^{\mathrm{s}})^{H_i}$である。互いに素な軌道上の関数は独立に選べるので、直積表示を得る。$H_i$は開部分群であるから、§E8.13 定理 4.1により$(K^{\mathrm{s}})^{H_i}/K$は有限分離拡大である。したがって$A_X$は有限分離拡大の有限直積、すなわち有限エタール$K$-代数である。▨

証明. まず$A=L$が有限分離体拡大である場合を考える。埋め込み$\iota\colon L\hookrightarrow K^{\mathrm{s}}$を一つ固定し、

と置く。代数拡大への埋め込みを代数閉体まで延長する§E8.11 定理 2.1と分離性により、$G_K$は$X_L$へ推移的に作用し、$gH\mapsto g\circ\iota$は$G_K/H\cong X_L$を与える。命題 2.3により

この同型のもとで$\eta_L$は$\iota\colon L\to\iota(L)$そのものであるから同型である。

一般に$A=\prod_iL_i$と書くと、$X_A=\coprod_iX_{L_i}$であり、軌道ごとの計算から$A_{X_A}\cong\prod_iL_i=A$となる。この同型は各元をすべての埋め込みで評価する$\eta_A$と一致する。

$K$-代数準同型$f\colon A\to B$、$a\in A$、$\psi\in X_B$に対して

である。したがって$A_{X_f}\circ\eta_A=\eta_B\circ f$であり、自然性が成り立つ。▨

証明.$a\in A_X$に対して

であるから、$\varepsilon_X$は$G_K$-同変である。

$X=G_K/H$が一つの軌道である場合、命題 2.3により$A_X=(K^{\mathrm{s}})^H$と同一視できる。$gH$における評価は、固定体の埋め込み

である。有限分離拡大のすべての$K$-埋め込みはこの形であり、二つの剰余類が同じ埋め込みを与えることはそれらが等しいことと同値である。したがって$\varepsilon_X$は全単射である。

一般の空でない有限集合$X$を軌道の直和に分解すると、$A_X$は対応する固定体の直積になり、体への準同型は直積のちょうど一つの成分を選ぶ。したがって軌道ごとの全単射を合わせれば、一般の場合にも$\varepsilon_X$は全単射である。

$G_K$-写像$u\colon X\to Y$に対し、$x\in X$と$b\in A_Y$について

である。ゆえに$X_{A_u}\circ\varepsilon_X=\varepsilon_Y\circ u$となり、自然性が成り立つ。▨

証明.命題 3.1と命題 3.2は、二つの反変関手を合成した共変関手が、それぞれの圏の恒等関手と自然同型であることを示す。したがって二つの反変関手は反変同値である。

全忠実性を写像として確認する。$f\colon A\to B$は$X_f\colon X_B\to X_A$を与える。逆に$G_K$-写像$u\colon X_B\to X_A$に対し、

と置く。$\psi\in X_B$と$a\in A$に対して、評価同型の自然性から

が成り立つ。したがって$X_{f_u}=u$である。逆に$u=X_f$から作る$f_u$は$\eta_B\circ f=A_{X_f}\circ\eta_A$により$f$に等しい。よって二つの構成は互いに逆であり、表示した全単射が成り立つ。▨

証明.$K$の標数が$0$なら、すべての代数拡大が分離的であるため$K^{\mathrm{s}}=\overline K$である。この場合の制限写像は同じ体の自己同型群の間の恒等写像であり、(1)が成り立つ。

$K$の標数を$p>0$とする。代数拡大$\overline K/K$に§E8.12 命題 1.4を適用すると、その最大分離部分体は$K^{\mathrm{s}}$であるから、$\overline K/K^{\mathrm{s}}$は純非分離拡大である。

$\overline K$の$K$-自己同型$\tau$は$K$上分離的な元を保つため、$K^{\mathrm{s}}$を保つ。したがって制限写像が定まる。制限が恒等写像なら、任意の$\alpha\in\overline K$に対して$\tau(\alpha)^{p^r}=\tau(\alpha^{p^r})=\alpha^{p^r}$となる。$X^{p^r}-\alpha^{p^r}$は一つの根しかもたないので$\tau(\alpha)=\alpha$であり、制限写像は単射である。

$g\in G_K$を取る。$\alpha\in\overline K$に対し、$\alpha^{p^r}\in K^{\mathrm{s}}$となる$r$を選び、$\widetilde g(\alpha)$を

の一意な根と定める。より大きい$r$を選んでも一意性により同じ根を得る。$p^r$乗を取って比較すれば、$\widetilde g$が加法と乗法を保つことが分かる。同じ構成を$g^{-1}$に適用して逆写像を得るので、$\widetilde g\in\operatorname{Aut}_K(\overline K)$である。よって制限写像は全射であり、(1)が従う。

$K'/K$を代数的な純非分離拡大とする。$K'$を含む代数閉包$\Omega$を固定し、$\Omega$の中の$K$の分離閉包を$K^{\mathrm{s}}$とする。任意の$g\in\operatorname{Aut}_K(\Omega)$と$x\in K'$に対し、ある$r$が存在して$x^{p^r}\in K$となる。したがって

であり、一意な根の性質から$g(x)=x$である。ゆえに$\operatorname{Aut}_K(\Omega)$と$\operatorname{Aut}_{K'}(\Omega)$は同じ部分群である。(1)によって両者をそれぞれの絶対 Galois 群と同一視すれば、抽象群として$G_{K'}\cong G_K$を得る。

得られた群同型が Krull 位相も保つことを確認する。分離性は基礎体を拡大しても保たれるため、$K'K^{\mathrm{s}}/K'$は分離拡大である。前段で示した$\Omega/K^{\mathrm{s}}$の純非分離性から、$\Omega/K'K^{\mathrm{s}}$の純非分離性も従う。したがって$K'K^{\mathrm{s}}$は$K'$の分離閉包である。$K^{\mathrm{s}}$の有限部分集合を固定する部分群は、$K'K^{\mathrm{s}}$に関する Krull 位相でも開である。逆に$K'K^{\mathrm{s}}$の一つの元は、$K'$の有限個の元と$K^{\mathrm{s}}$の有限個の元による体演算で表される。群の各元は$K'$を固定するため、その元の固定化群は$K^{\mathrm{s}}$の有限個の元を固定する開部分群を含む。したがって二つの Krull 位相は一致する。反変同値定理 3.3により、両体の有限エタール代数は同じ空でない有限連続作用集合によって分類される。▨