可微分多様体の定義 | 多様体入門

1 ユークリッド空間の写像についての準備

チャートの両立と滑らかな写像の定義は、どちらも $\mathbb{R}^n$ の開集合のあいだの写像の合成が $C^\infty$ であることを根拠にする。「実解析 II」が供給する§E4.3 定理 1.1は、合成が全微分可能であることと $D(g\circ f)(x)=Dg(f(x))Df(x)$ という等式を述べるが、 $C^{k}$ 級の写像の合成がふたたび $C^{k}$ 級であることは述べていない。積の $C^{k}$ 性を経由する帰納が要るので、次の補題を最初に置く。

補題 1.1. $k$ を正の整数とする。

$U\subseteq\mathbb{R}^{n}$ を開集合、 $u,v\colon U\to\mathbb{R}$ を $C^{k}$ 級とすると、 $u+v$ と $uv$ は $C^{k}$ 級である。
$U\subseteq\mathbb{R}^{n}$ 、 $V\subseteq\mathbb{R}^{m}$ を開集合、 $f\colon U\to V$ と $g\colon V\to\mathbb{R}^{l}$ を $C^{k}$ 級とすると、 $g\circ f$ は $C^{k}$ 級である。

いずれも $k=\infty$ の場合を含む。

証明では、§E4.4 定義 1.4の定義から直ちに従う次の言い換えを繰り返し用いる。 $j$ を非負整数とするとき、写像 $F$ が $C^{j+1}$ 級であることと、 $F$ が全微分可能であって $DF$ が $C^{j}$ 級であることは同値である。ここで $C^{0}$ 級は連続であることを意味する。

証明.(1)を $k$ に関する帰納法で示す。 $k=1$ のとき、積の偏微分法により $\partial_i(uv)=(\partial_iu)v+u(\partial_iv)$ であり、右辺は連続関数の和と積であるから連続である。§E4.2 定理 2.1により $uv$ は全微分可能であり、 $D(uv)$ の成分は連続であるから $uv$ は $C^{1}$ 級である。和については $\partial_i(u+v)=\partial_iu+\partial_iv$ から同様である。 $k$ について主張が成り立つとし、 $u,v$ を $C^{k+1}$ 級とする。 $\partial_iu$ 、 $\partial_iv$ は $C^{k}$ 級であり、 $u$ 、 $v$ も $C^{k}$ 級であるから、帰納法の仮定により $\partial_i(uv)=(\partial_iu)v+u(\partial_iv)$ は $C^{k}$ 級である。よって $D(uv)$ は $C^{k}$ 級であり、 $uv$ は $C^{k+1}$ 級である。和も同様である。

(2)を $k$ に関する帰納法で示す。 $k=1$ のとき、§E4.3 定理 1.1により $g\circ f$ は全微分可能で $D(g\circ f)(x)=Dg(f(x))Df(x)$ である。 $Dg$ は連続、 $f$ は連続、 $Df$ は連続であるから、右辺は連続写像の合成と行列の積である。行列の積の各成分は成分の積の有限和であるから、(1)の $k=1$ の場合により連続である。よって $g\circ f$ は $C^{1}$ 級である。

$k$ について(1)と(2)が成り立つとし、 $f,g$ を $C^{k+1}$ 級とする。 $Dg$ は $C^{k}$ 級であり、 $f$ は $C^{k+1}$ 級であるから $C^{k}$ 級である。帰納法の仮定（(2)）により $Dg\circ f$ は $C^{k}$ 級である。 $Df$ も $C^{k}$ 級である。 $D(g\circ f)=(Dg\circ f)\,Df$ の各成分は、 $C^{k}$ 級関数の積の有限和であるから、帰納法の仮定（(1)）により $C^{k}$ 級である。よって $D(g\circ f)$ は $C^{k}$ 級であり、 $g\circ f$ は $C^{k+1}$ 級である。

$k=\infty$ の場合は、すべての正の整数 $k$ について結論が成り立つことから従う。▨

この補題は「部分多様体・はめ込み・埋め込み」でも、逆写像の正則性を $C^{k}$ 級へ持ち上げるために用いる。

2 チャートとアトラス

一つの座標で全体を覆うことができない対象を扱うために、局所的な座標を複数用意し、重なりでの読み替えに条件を課す。

定義 2.1. $M$ を位相空間、 $n$ を非負整数とする。 $M$ の開集合 $U$ と、 $U$ から $\mathbb{R}^n$ の開集合 $\varphi(U)$ への同相写像 $\varphi$ の組 $(U,\varphi)$ を、 $M$ の $n$ 次元局所座標 ( $n$ -dimensional local coordinate system) またはチャート (chart) という。 $U$ をこのチャートの定義域 (chart domain) という。

二つのチャート $(U,\varphi)$ 、 $(V,\psi)$ が $C^\infty$ 両立する ( $C^\infty$ compatible charts) とは、 $U\cap V=\varnothing$ であるか、または $\varphi(U\cap V)$ と $\psi(U\cap V)$ がともに $\mathbb{R}^n$ の開集合であって、座標変換 (transition map)

\psi\circ\varphi^{-1}\colon\varphi(U\cap V)\longrightarrow\psi(U\cap V)

とその逆写像 $\varphi\circ\psi^{-1}$ がともに $C^\infty$ 級であることをいう。

$M$ の $n$ 次元チャートの族 $\mathcal{A}=\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}_{\alpha\in A}$ が $n$ 次元 $C^\infty$ アトラス ( $n$ -dimensional $C^\infty$ atlas) であるとは、 $\bigcup_{\alpha\in A}U_\alpha=M$ が成り立ち、かつ $\mathcal{A}$ の任意の二つのチャートが $C^\infty$ 両立することをいう。

$\varphi$ が同相写像であるため、 $U\cap V$ は $U$ の開集合であり、 $\varphi(U\cap V)$ は $\varphi(U)$ の開集合、したがって $\mathbb{R}^n$ の開集合である。 $\psi(U\cap V)$ についても同様である。定義に書いた開集合であるという条件は、この事実の確認であって追加の制約ではない。

定義 2.2. $n$ を非負整数とする。位相空間 $M$ が $n$ 次元 $C^\infty$ 多様体 ( $n$ -dimensional $C^\infty$ manifold)（可微分多様体 (differentiable manifold)）であるとは、次の三つがすべて成り立つことをいう。

$M$ は Hausdorff である。
$M$ は第二可算である。
$M$ は $n$ 次元 $C^\infty$ アトラスを持ち、そのうちの一つを含む極大な $C^\infty$ アトラスが一つ指定されている。

指定された極大アトラスを $M$ の可微分構造 (differentiable structure) という。ここで $C^\infty$ アトラス $\mathcal{A}$ が極大であるとは、 $\mathcal{A}$ のすべてのチャートと $C^\infty$ 両立するチャートが必ず $\mathcal{A}$ に属することをいう。 $M$ の次元 $n$ を $\dim M$ と書く。

本単元では、多様体はつねに有限次元であり、境界を持たないものとする。以後、断りなく「多様体」と書いたときは $C^\infty$ 多様体を指し、「滑らか」と書いたときは $C^\infty$ を指す。

多様体を与えるときに毎回極大アトラスを書き下すことは実際にはできない。実際に書き下すのは有限個または可算個のチャートからなるアトラスであり、そこから極大アトラスが一意に定まることを次に示す。この構成に Zorn の補題は必要ではない。

命題 2.3. $M$ を位相空間、 $\mathcal{A}$ を $M$ の $n$ 次元 $C^\infty$ アトラスとする。

\mathcal{A}^{*}=\{(U,\varphi)\mid (U,\varphi)\text{ は }n\text{ 次元チャートであり、}\mathcal{A}\text{ のすべてのチャートと }C^\infty\text{ 両立する}\}

と定める。このとき $\mathcal{A}^{*}$ は $\mathcal{A}$ を含む $n$ 次元 $C^\infty$ アトラスであって極大であり、 $\mathcal{A}$ を含む極大な $C^\infty$ アトラスはこれ以外に存在しない。

証明の要は、 $\mathcal{A}^{*}$ に属する二つのチャートが互いに $C^\infty$ 両立することである。両立という関係は一般には推移的でないが、 $\mathcal{A}$ が $M$ を覆うため、重なりの各点の近くで $\mathcal{A}$ のチャートを一つ経由することができ、 $C^\infty$ 性が局所的な性質であることから全体の $C^\infty$ 性が従う。

証明. まず $\mathcal{A}\subseteq\mathcal{A}^{*}$ である。 $\mathcal{A}$ はアトラスであるから、その任意の二つのチャートは $C^\infty$ 両立するためである。したがって $\mathcal{A}^{*}$ のチャートの定義域の合併は $M$ に等しい。

次に、 $(U,\varphi)$ と $(V,\psi)$ を $\mathcal{A}^{*}$ の二つのチャートとし、両者が $C^\infty$ 両立することを示す。 $U\cap V=\varnothing$ ならば示すことは何も無いので、 $U\cap V\ne\varnothing$ とする。 $p\in U\cap V$ を任意に取る。 $\mathcal{A}$ は $M$ を覆うので、 $p\in W$ を満たすチャート $(W,\chi)\in\mathcal{A}$ が存在する。 $U\cap V\cap W$ は $p$ を含む $M$ の開集合であり、 $\varphi(U\cap V\cap W)$ は $\varphi(p)$ を含む $\mathbb{R}^n$ の開集合である。この開集合の上で

\psi\circ\varphi^{-1}=(\psi\circ\chi^{-1})\circ(\chi\circ\varphi^{-1})

が成り立つ。実際、 $x\in\varphi(U\cap V\cap W)$ に対して $\varphi^{-1}(x)\in W$ であるから $\chi^{-1}(\chi(\varphi^{-1}(x)))=\varphi^{-1}(x)$ であり、両辺は $\psi(\varphi^{-1}(x))$ に等しい。 $(U,\varphi)$ と $(W,\chi)$ はともに $\mathcal{A}^{*}$ の元と $\mathcal{A}$ の元の関係にあるので両立し、 $\chi\circ\varphi^{-1}$ は $\varphi(U\cap W)$ 上で $C^\infty$ である。同様に $\psi\circ\chi^{-1}$ は $\chi(V\cap W)$ 上で $C^\infty$ である。 $C^\infty$ 写像の合成は $C^\infty$ である（補題 1.1）から、 $\psi\circ\varphi^{-1}$ は $\varphi(p)$ のある開近傍の上で $C^\infty$ である。 $p\in U\cap V$ は任意であったから、 $\psi\circ\varphi^{-1}$ は $\varphi(U\cap V)$ の各点の近傍で $C^\infty$ であり、したがって $\varphi(U\cap V)$ 全体で $C^\infty$ である。 $\varphi$ と $\psi$ の役割を入れ替えれば $\varphi\circ\psi^{-1}$ の $C^\infty$ 性も従う。よって $\mathcal{A}^{*}$ は $C^\infty$ アトラスである。

$\mathcal{A}^{*}$ が極大であることを示す。チャート $(U,\varphi)$ が $\mathcal{A}^{*}$ のすべてのチャートと $C^\infty$ 両立するとする。 $\mathcal{A}\subseteq\mathcal{A}^{*}$ であるから、とくに $(U,\varphi)$ は $\mathcal{A}$ のすべてのチャートと両立し、定義により $(U,\varphi)\in\mathcal{A}^{*}$ である。

一意性を示す。 $\mathcal{B}$ を $\mathcal{A}$ を含む極大な $C^\infty$ アトラスとする。 $\mathcal{B}$ の各チャートは $\mathcal{B}$ のすべてのチャートと両立し、 $\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B}$ であるから $\mathcal{A}$ のすべてのチャートとも両立する。よって $\mathcal{B}\subseteq\mathcal{A}^{*}$ である。すると $\mathcal{A}^{*}$ の各チャートは、 $\mathcal{A}^{*}$ がアトラスであることから $\mathcal{B}$ のすべてのチャートと両立し、 $\mathcal{B}$ の極大性により $\mathcal{A}^{*}\subseteq\mathcal{B}$ を得る。したがって $\mathcal{B}=\mathcal{A}^{*}$ である。▨

例 2.4 (ユークリッド空間). $\mathbb{R}^n$ は Hausdorff かつ第二可算であり、恒等写像だけからなる族 $\{(\mathbb{R}^n,\operatorname{id})\}$ は $n$ 次元 $C^\infty$ アトラスである。チャートが一つしかないので両立の条件は自分自身との座標変換だけであり、それは恒等写像であるから $C^\infty$ である。したがって $\mathbb{R}^n$ は $n$ 次元 $C^\infty$ 多様体である。以後、 $\mathbb{R}^n$ にはつねにこの可微分構造を与える。 $n=1$ の場合として $\mathbb{R}$ も1次元 $C^\infty$ 多様体である。

注意 2.5 (アトラスを一つ与えれば可微分構造が定まる).命題 2.3により、 $M$ に $n$ 次元 $C^\infty$ アトラス $\mathcal{A}$ を一つ与えると、 $\mathcal{A}$ を含む極大アトラスが一意に定まる。以後、 $C^\infty$ アトラスを一つ提示することによって可微分構造を与える。二つのアトラス $\mathcal{A}$ 、 $\mathcal{A}'$ が同じ可微分構造を定めるのは、 $\mathcal{A}\cup\mathcal{A}'$ がふたたび $C^\infty$ アトラスになるとき、すなわち $\mathcal{A}$ の各チャートと $\mathcal{A}'$ の各チャートが両立するとき、かつそのときに限る。

3 位相的な仮定の独立性

定義 2.2は、局所的に $\mathbb{R}^n$ と同相であるという条件のほかに Hausdorff 性と第二可算性を課している。この二つは、局所的な条件から自動的に従うものではない。以下の二例は、一方だけが破れる対象が実際に存在することを示す。まず、二つの例に共通して用いる可算性の補題を置く。

補題 3.1. $X$ 、 $Y$ を位相空間、 $q\colon X\to Y$ を連続な全射であって開写像であるものとする。 $X$ が第二可算ならば $Y$ も第二可算である。

証明. $\{B_k\}_{k\in K}$ を $X$ の高々可算な基底とする（§E2.13 定義 5.1）。 $q$ は開写像であるから各 $q(B_k)$ は $Y$ の開集合である。 $W\subseteq Y$ を開集合、 $y\in W$ とする。 $q$ は全射であるから $q(x)=y$ を満たす $x\in X$ が存在する。 $q$ は連続であるから $q^{-1}(W)$ は $x$ を含む開集合であり、基底の性質により $x\in B_k\subseteq q^{-1}(W)$ を満たす $k\in K$ が存在する。このとき $y=q(x)\in q(B_k)\subseteq q(q^{-1}(W))\subseteq W$ である。よって $\{q(B_k)\}_{k\in K}$ は $Y$ の高々可算な基底である。▨

命題 3.2. $\{0,1\}$ に離散位相を与え、 $Z=\mathbb{R}\times\{0,1\}$ に積位相を与える。 $Z$ 上の同値関係を、 $x\ne 0$ のとき $(x,0)\sim(x,1)$ 、それ以外は自分自身とだけ同値であるものとして定め、商空間 $L=Z/\!\sim$ に商位相を与える（§E2.12 定義 8.7）。商写像を $\pi\colon Z\to L$ と書く。このとき $L$ は次を満たす。

$L$ は第二可算である。
$L$ は1次元 $C^\infty$ アトラスを持ち、とくに各点は $\mathbb{R}$ の開集合と同相な開近傍を持つ。
$L$ は Hausdorff でない。

したがって、局所的に $\mathbb{R}$ と同相であることと第二可算であることから Hausdorff 性は従わない。

証明. 最初に $\pi$ が開写像であることを示す。 $\sigma\colon Z\to Z$ を $\sigma(x,i)=(x,1-i)$ で定めると、 $\sigma$ は同相写像である。 $V\subseteq Z$ を開集合とすると

\pi^{-1}(\pi(V))=V\cup\sigma\bigl(V\setminus(\{0\}\times\{0,1\})\bigr)

が成り立つ。右辺の第二項は開集合の $\sigma$ による像であるから開集合であり、右辺全体は開集合である。商位相の定義により $\pi(V)$ は開集合である。よって $\pi$ は開写像である。

(1)は、 $Z$ が第二可算であること（ $\mathbb{R}$ が第二可算であり、 $\{0,1\}$ が有限離散空間である）と補題 3.1から従う。

(2)を示す。 $i\in\{0,1\}$ に対して $U_i=\pi(\mathbb{R}\times\{i\})$ と置く。 $\pi$ は開写像であるから $U_i$ は開集合であり、 $U_0\cup U_1=L$ である。 $\pi$ の $\mathbb{R}\times\{i\}$ への制限は単射である。実際、 $(x,i)\sim(y,i)$ ならば $x=y$ である。そこで $\varphi_i\colon U_i\to\mathbb{R}$ を $\varphi_i(\pi(x,i))=x$ で定めると、 $\varphi_i$ は全単射である。 $W\subseteq\mathbb{R}$ を開集合とすると $\varphi_i^{-1}(W)=\pi(W\times\{i\})$ であり、 $\pi$ が開写像であることからこれは開集合である。よって $\varphi_i$ は連続である。また $\varphi_i^{-1}$ は連続写像 $x\mapsto\pi(x,i)$ に等しいので連続である。したがって $\varphi_i$ は同相写像であり、 $(U_i,\varphi_i)$ は1次元チャートである。 $U_0\cap U_1=\pi((\mathbb{R}\setminus\{0\})\times\{0,1\})$ であり、 $\varphi_0(U_0\cap U_1)=\varphi_1(U_0\cap U_1)=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ 、座標変換 $\varphi_1\circ\varphi_0^{-1}$ は $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ 上の恒等写像である。恒等写像は $C^\infty$ であるから、 $\{(U_0,\varphi_0),(U_1,\varphi_1)\}$ は1次元 $C^\infty$ アトラスである。

(3)を示す。 $p_0=\pi(0,0)$ 、 $p_1=\pi(0,1)$ と置く。 $(0,0)$ と $(0,1)$ は同値でないので $p_0\ne p_1$ である。 $A$ を $p_0$ を含む開集合、 $B$ を $p_1$ を含む開集合とする。 $\pi^{-1}(A)$ は $(0,0)$ を含む $Z$ の開集合であるから、ある $\varepsilon>0$ が存在して $(-\varepsilon,\varepsilon)\times\{0\}\subseteq\pi^{-1}(A)$ となる。同様にある $\delta>0$ が存在して $(-\delta,\delta)\times\{1\}\subseteq\pi^{-1}(B)$ となる。 $0<|x|<\min(\varepsilon,\delta)$ を満たす $x$ を取ると $\pi(x,0)=\pi(x,1)$ であり、この点は $A\cap B$ に属する。よって $A\cap B\ne\varnothing$ であり、 $L$ は Hausdorff でない。▨

命題 3.3. $\mathbb{R}_d$ を、 $\mathbb{R}$ の台集合に離散位相を与えた位相空間とし、 $Y=\mathbb{R}\times\mathbb{R}_d$ に積位相を与える。このとき $Y$ は次を満たす。

$Y$ は Hausdorff である。
$Y$ は1次元 $C^\infty$ アトラスを持つ。
$Y$ は第二可算でない。

したがって、局所的に $\mathbb{R}$ と同相であることと Hausdorff 性から第二可算性は従わない。

証明.(1)は、 $\mathbb{R}$ と $\mathbb{R}_d$ がともに Hausdorff であり、Hausdorff 空間の積が Hausdorff であることから従う。実際、 $(x,a)\ne(y,b)$ ならば $x\ne y$ または $a\ne b$ であり、前者では $\mathbb{R}$ の分離する開集合の $\mathbb{R}_d$ との積を取り、後者では $\mathbb{R}\times\{a\}$ と $\mathbb{R}\times\{b\}$ を取れば、交わらない開集合による分離を得る（§E2.15 定義 1.2）。

(2)を示す。各 $a\in\mathbb{R}$ に対して $V_a=\mathbb{R}\times\{a\}$ と置く。 $\{a\}$ は $\mathbb{R}_d$ の開集合であるから $V_a$ は $Y$ の開集合であり、 $\bigcup_{a}V_a=Y$ である。 $\eta_a\colon V_a\to\mathbb{R}$ を $\eta_a(x,a)=x$ で定めると、 $\eta_a$ は同相写像である。 $a\ne b$ のとき $V_a\cap V_b=\varnothing$ であるから、任意の二つのチャートは $C^\infty$ 両立する。よって $\{(V_a,\eta_a)\}_{a\in\mathbb{R}}$ は1次元 $C^\infty$ アトラスである。

(3)を示す。 $\mathcal{B}$ を $Y$ の基底とする。各 $a\in\mathbb{R}$ に対して $V_a$ は空でない開集合であるから、 $\varnothing\ne B_a\subseteq V_a$ を満たす $B_a\in\mathcal{B}$ が存在する。 $a\ne b$ のとき $V_a\cap V_b=\varnothing$ であり $B_a$ 、 $B_b$ はともに空でないので $B_a\ne B_b$ である。よって $a\mapsto B_a$ は単射であり、 $\mathcal{B}$ の濃度は $\mathbb{R}$ の濃度以上である。 $\mathbb{R}$ は可算でないから、 $Y$ の基底はいずれも可算でない。▨

命題 3.2は第二可算かつ局所的に $\mathbb{R}$ と同相であるが Hausdorff でない対象を与え、命題 3.3は Hausdorff かつ局所的に $\mathbb{R}$ と同相であるが第二可算でない対象を与える。二つをそろえることによって初めて、Hausdorff 性と第二可算性のどちらも他方から導くことができないこと、すなわち二つの仮定がそれぞれ独立であることが確かめられる。

Hausdorff 性は、コンパクト集合が閉集合であること、および収束する点列の極限が一意であることに用いる。第二可算性は、任意の開被覆から可算な部分被覆を取ること（§E2.21 命題 1.6）と、局所コンパクト性と合わせてコンパクト集合の増大列を作ることに用いる。後者は「1の分割の構成」で1の分割を構成するときに必要になる。

4 滑らかな写像と微分同相

多様体そのものが座標のとり方に依らない対象として定義されたので、多様体のあいだの写像の滑らかさも、座標のとり方に依らない条件として定義しなければならない。

定義 4.1. $M$ を $m$ 次元 $C^\infty$ 多様体、 $N$ を $n$ 次元 $C^\infty$ 多様体とする。連続写像 $F\colon M\to N$ が滑らか (smooth map)（ $C^\infty$ 級）であるとは、 $M$ の可微分構造に属する任意のチャート $(U,\varphi)$ と $N$ の可微分構造に属する任意のチャート $(V,\psi)$ に対して、座標表示 (coordinate representation)

\psi\circ F\circ\varphi^{-1}\colon\varphi\bigl(U\cap F^{-1}(V)\bigr)\longrightarrow\psi(V)

が $C^\infty$ 級であることをいう。ここで $F$ が連続であることから $U\cap F^{-1}(V)$ は $M$ の開集合であり、 $\varphi(U\cap F^{-1}(V))$ は $\mathbb{R}^m$ の開集合である。

$F\colon M\to N$ が微分同相 (diffeomorphism) であるとは、 $F$ が全単射であり、 $F$ と逆写像 $F^{-1}\colon N\to M$ がともに滑らかであることをいう。微分同相 $M\to N$ が存在するとき、 $M$ と $N$ は微分同相であるという。

$N=\mathbb{R}$ の場合、すなわち滑らかな写像 $f\colon M\to\mathbb{R}$ を滑らかな関数 (smooth function) といい、 $M$ 上の滑らかな関数の全体を $C^\infty(M)$ と書く。 $C^\infty(M)$ は点ごとの和と積によって $\mathbb{R}$ 上の可換環になる。

定義 4.1は極大アトラスのすべてのチャートの組について条件を課しているので、そのままでは確かめることができない。実際に確かめるのは、 $M$ と $N$ のそれぞれについて一つずつアトラスを取った場合だけでよい。これを次に示す。

命題 4.2. $M$ を $m$ 次元 $C^\infty$ 多様体、 $N$ を $n$ 次元 $C^\infty$ 多様体、 $F\colon M\to N$ を連続写像とする。 $\mathcal{A}$ を $M$ の可微分構造に含まれるアトラス、 $\mathcal{C}$ を $N$ の可微分構造に含まれるアトラスとする。次は同値である。

各点 $p\in M$ に対して、 $p\in U$ を満たす $(U,\varphi)\in\mathcal{A}$ と $F(p)\in V$ を満たす $(V,\psi)\in\mathcal{C}$ が存在して、 $\psi\circ F\circ\varphi^{-1}$ が $\varphi(p)$ のある開近傍の上で $C^\infty$ 級である。
$F$ は定義 4.1の意味で滑らかである。

証明の要は、二組の座標表示が座標変換の合成で結ばれるという等式を書き下し、座標変換が $C^\infty$ であることと、 $C^\infty$ 性が局所的な性質であることを用いる点である。

証明.条件 (b) $\Rightarrow$ (a)は定義から明らかである。以下、条件 (a) $\Rightarrow$ (b)を示す。

$(U',\varphi')$ を $M$ の可微分構造に属するチャート、 $(V',\psi')$ を $N$ の可微分構造に属するチャートとし、 $q\in U'\cap F^{-1}(V')$ を任意に取る。条件 (a)により、 $q\in U$ を満たす $(U,\varphi)\in\mathcal{A}$ と $F(q)\in V$ を満たす $(V,\psi)\in\mathcal{C}$ であって、 $\psi\circ F\circ\varphi^{-1}$ が $\varphi(q)$ のある開近傍で $C^\infty$ であるものが存在する。

$\Omega=U\cap U'\cap F^{-1}(V\cap V')$ と置く。 $F$ は連続であるから $\Omega$ は $q$ を含む $M$ の開集合である。 $x\in\varphi'(\Omega)$ に対して $\varphi'^{-1}(x)\in U\cap U'$ であるから $\varphi^{-1}(\varphi(\varphi'^{-1}(x)))=\varphi'^{-1}(x)$ であり、また $F(\varphi'^{-1}(x))\in V\cap V'$ であるから $\psi^{-1}(\psi(F(\varphi'^{-1}(x))))=F(\varphi'^{-1}(x))$ である。したがって $\varphi'(\Omega)$ の上で

\psi'\circ F\circ\varphi'^{-1}=(\psi'\circ\psi^{-1})\circ(\psi\circ F\circ\varphi^{-1})\circ(\varphi\circ\varphi'^{-1})

が成り立つ。右辺の三つの写像を順に見る。 $(U,\varphi)$ と $(U',\varphi')$ はともに $M$ の同じ極大アトラスに属するので両立し、 $\varphi\circ\varphi'^{-1}$ は $\varphi'(U\cap U')$ 上で $C^\infty$ である。中央の写像は、 $\varphi(q)$ のある開近傍の上で $C^\infty$ である。 $(V,\psi)$ と $(V',\psi')$ も両立するので、 $\psi'\circ\psi^{-1}$ は $\psi(V\cap V')$ 上で $C^\infty$ である。 $C^\infty$ 写像の合成は $C^\infty$ であるから（補題 1.1）、 $\psi'\circ F\circ\varphi'^{-1}$ は $\varphi'(q)$ のある開近傍の上で $C^\infty$ である。

$q\in U'\cap F^{-1}(V')$ は任意であったから、 $\psi'\circ F\circ\varphi'^{-1}$ は定義域の各点の近傍で $C^\infty$ であり、したがって定義域全体で $C^\infty$ である。▨

系 4.3. $M$ 、 $N$ 、 $P$ を $C^\infty$ 多様体とする。恒等写像 $\operatorname{id}_M\colon M\to M$ は滑らかである。滑らかな写像 $F\colon M\to N$ と $G\colon N\to P$ の合成 $G\circ F\colon M\to P$ は滑らかである。とくに微分同相の合成は微分同相であり、微分同相であるという関係は同値関係である。

証明. 恒等写像については、チャート $(U,\varphi)$ 、 $(U',\varphi')$ に対する座標表示が座標変換 $\varphi'\circ\varphi^{-1}$ に等しく、これは両立性により $C^\infty$ である。

合成については、 $p\in M$ を取り、 $G(F(p))$ の周りのチャート $(W,\theta)$ を選び、 $F(p)$ の周りのチャート $(V,\psi)$ を $G(V)\subseteq W$ となるように選び（ $G$ の連続性から $V$ を $G^{-1}(W)$ と交わらせて取り直せばよい）、 $p$ の周りのチャート $(U,\varphi)$ を $F(U)\subseteq V$ となるように選ぶ。このとき $\varphi(U)$ の上で

\theta\circ(G\circ F)\circ\varphi^{-1}=(\theta\circ G\circ\psi^{-1})\circ(\psi\circ F\circ\varphi^{-1})

が成り立ち、右辺は $C^\infty$ 写像の合成である。命題 4.2により $G\circ F$ は滑らかである。

微分同相の合成が微分同相であることは、逆写像が $(G\circ F)^{-1}=F^{-1}\circ G^{-1}$ で与えられ、これがふたたび滑らかな写像の合成であることから従う。反射律は恒等写像、対称律は逆写像の定義から従う。▨

5 球面

命題 5.1. $n$ を正の整数とし、

S^n=\Bigl\{x=(x^1,\dots,x^{n+1})\in\mathbb{R}^{n+1}\ \Bigm|\ \textstyle\sum_{i=1}^{n+1}(x^i)^2=1\Bigr\}

に $\mathbb{R}^{n+1}$ からの部分空間位相を与える。 $N=(0,\dots,0,1)$ 、 $S=(0,\dots,0,-1)$ と置き、 $U_N=S^n\setminus\{N\}$ 、 $U_S=S^n\setminus\{S\}$ とする。写像

\varphi_N(x)=\frac{1}{1-x^{n+1}}(x^1,\dots,x^n), \qquad \varphi_S(x)=\frac{1}{1+x^{n+1}}(x^1,\dots,x^n)

はそれぞれ $U_N$ 、 $U_S$ から $\mathbb{R}^n$ への同相写像であり、 $\{(U_N,\varphi_N),(U_S,\varphi_S)\}$ は $n$ 次元 $C^\infty$ アトラスである。座標変換は

\varphi_S\circ\varphi_N^{-1}(u)=\frac{u}{\lVert u\rVert^{2}} \qquad(u\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\})

であり $C^\infty$ 級である。したがって $S^n$ は $n$ 次元 $C^\infty$ 多様体である。

証明. $\mathbb{R}^{n+1}$ は Hausdorff かつ第二可算であり、その部分空間である $S^n$ も Hausdorff かつ第二可算である（§E2.12 定義 4.1）。実際、分離する開集合との交わりを取れば Hausdorff 性が、基底の元との交わりを取れば可算基底が得られる。

$U_N$ 、 $U_S$ は $S^n$ の開集合であり、 $N\ne S$ であるから $U_N\cup U_S=S^n$ である。

$\varphi_N$ の連続性は、 $x\in U_N$ で $1-x^{n+1}\ne 0$ であり、成分が有理式であることから従う。逆写像を与える。 $u\in\mathbb{R}^n$ に対して $r=\lVert u\rVert^2$ と置き

\Phi(u)=\frac{1}{r+1}\bigl(2u^1,\dots,2u^n,\ r-1\bigr)

と定める。 $4r+(r-1)^2=(r+1)^2$ であるから

\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{2u^i}{r+1}\right)^{2}+\left(\frac{r-1}{r+1}\right)^{2} =\frac{4r+(r-1)^2}{(r+1)^2}=1

となり $\Phi(u)\in S^n$ である。第 $(n+1)$ 成分は $(r-1)/(r+1)<1$ であるから $\Phi(u)\ne N$ 、すなわち $\Phi(u)\in U_N$ である。さらに

1-\frac{r-1}{r+1}=\frac{2}{r+1}

であるから

\varphi_N(\Phi(u))=\frac{r+1}{2}\cdot\frac{2u}{r+1}=u

である。逆に $x\in U_N$ に対して $u=\varphi_N(x)$ と置くと

r=\lVert u\rVert^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x^i)^2}{(1-x^{n+1})^2}=\frac{1-(x^{n+1})^2}{(1-x^{n+1})^2}=\frac{1+x^{n+1}}{1-x^{n+1}}

であり、ここから $r+1=2/(1-x^{n+1})$ と $r-1=2x^{n+1}/(1-x^{n+1})$ を得るので $\Phi(u)=x$ である。よって $\varphi_N$ は全単射であり $\varphi_N^{-1}=\Phi$ である。 $\Phi$ は成分が有理式で分母 $r+1$ が消えないので連続である。したがって $\varphi_N$ は同相写像である。 $\varphi_S$ についても、第 $(n+1)$ 座標の符号を反転する $S^n$ の同相写像と合成することで同じ議論が成り立つ。

座標変換を計算する。 $\varphi_N(S)=0$ であるから $\varphi_N(U_N\cap U_S)=\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ である。 $u\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ に対して $x=\Phi(u)$ と置くと

1+x^{n+1}=1+\frac{r-1}{r+1}=\frac{2r}{r+1}

であり、 $(x^1,\dots,x^n)=2u/(r+1)$ であるから

\varphi_S(x)=\frac{r+1}{2r}\cdot\frac{2u}{r+1}=\frac{u}{r}=\frac{u}{\lVert u\rVert^2}

となる。 $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ の上で分母 $\lVert u\rVert^2$ は消えないので、この写像の各成分は有理式として $C^\infty$ である。 $\varphi_N\circ\varphi_S^{-1}$ も同じ式で与えられるので $C^\infty$ である。よって二つのチャートは $C^\infty$ 両立し、 $\{(U_N,\varphi_N),(U_S,\varphi_S)\}$ は $n$ 次元 $C^\infty$ アトラスである。▨

例 5.2 (二次元球面の座標変換の計算). $n=2$ の場合に命題 5.1の座標変換を成分で書き下す。 $\varphi_N(x,y,z)=\bigl(x/(1-z),\ y/(1-z)\bigr)$ と置き、その像の座標を $(u,v)$ 、 $r=u^2+v^2$ と書く。逆写像は

\varphi_N^{-1}(u,v)=\left(\frac{2u}{r+1},\ \frac{2v}{r+1},\ \frac{r-1}{r+1}\right)

である。この三成分の平方和は $\dfrac{4u^2+4v^2+(r-1)^2}{(r+1)^2}=\dfrac{4r+(r-1)^2}{(r+1)^2}=1$ であり、確かに $S^2$ の点を与える。 $1+z=1+\dfrac{r-1}{r+1}=\dfrac{2r}{r+1}$ であるから

\varphi_S\circ\varphi_N^{-1}(u,v) =\left(\frac{2u}{r+1}\cdot\frac{r+1}{2r},\ \frac{2v}{r+1}\cdot\frac{r+1}{2r}\right) =\left(\frac{u}{u^2+v^2},\ \frac{v}{u^2+v^2}\right)

となる。この写像は $\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ 上で定義された有理写像であり、分母 $u^2+v^2$ がこの領域で消えないので、すべての階数の偏導関数が存在して連続である。すなわち $C^\infty$ 級である。

6 実射影空間

命題 6.1. $n$ を正の整数とする。 $\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\}$ 上の同値関係を、 $x\sim y$ であることを「 $y=\lambda x$ を満たす $\lambda\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ が存在する」と定め、商集合を $\mathbb{RP}^n$ 、商写像を $\pi\colon\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\}\to\mathbb{RP}^n$ と書き、 $\mathbb{RP}^n$ に商位相を与える。 $\pi(x)$ を $[x^1:\cdots:x^{n+1}]$ と書く。 $1\le i\le n+1$ に対して

U_i=\{[x]\in\mathbb{RP}^n\mid x^i\ne 0\}, \qquad \varphi_i([x])=\left(\frac{x^1}{x^i},\dots,\frac{x^{i-1}}{x^i},\frac{x^{i+1}}{x^i},\dots,\frac{x^{n+1}}{x^i}\right)\in\mathbb{R}^n

と定める。このとき $\{(U_i,\varphi_i)\}_{i=1}^{n+1}$ は $\mathbb{RP}^n$ の $n$ 次元 $C^\infty$ アトラスであり、 $\mathbb{RP}^n$ は Hausdorff かつ第二可算である。したがって $\mathbb{RP}^n$ は $n$ 次元 $C^\infty$ 多様体である。

証明. 最初に $\pi$ が開写像であることを示す。 $V\subseteq\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\}$ を開集合とすると

\pi^{-1}(\pi(V))=\bigcup_{\lambda\in\mathbb{R}\setminus\{0\}}\lambda V

である。各 $\lambda\ne 0$ に対して $x\mapsto\lambda x$ は $\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\}$ の同相写像であるから $\lambda V$ は開集合であり、右辺は開集合である。商位相の定義により $\pi(V)$ は開集合である。

第二可算性は、 $\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\}$ が第二可算であることと補題 3.1から従う。

Hausdorff 性を示す。 $[x]\ne[y]$ とする。このとき $x$ と $y$ は一次従属でないので、 $x^ky^l-x^ly^k\ne 0$ を満たす添字の組 $(k,l)$ が存在する。 $m(a,b)=a^kb^l-a^lb^k$ と置くと $m$ は連続であるから

W=\{(a,b)\in(\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\})^2\mid m(a,b)\ne 0\}

は開集合であり $(x,y)\in W$ である。積位相の定義により、 $x\in A$ 、 $y\in B$ を満たす開集合 $A$ 、 $B$ で $A\times B\subseteq W$ となるものが存在する。 $\pi(A)$ と $\pi(B)$ は開集合であり、それぞれ $[x]$ 、 $[y]$ を含む。両者が交わると仮定すると、 $a\in A$ 、 $b\in B$ で $\pi(a)=\pi(b)$ を満たすものが存在し、 $b=\lambda a$ （ $\lambda\ne 0$ ）と表すことができる。すると

m(a,b)=a^k(\lambda a^l)-a^l(\lambda a^k)=0

となり $(a,b)\in W$ に矛盾する。よって $\pi(A)\cap\pi(B)=\varnothing$ であり、 $\mathbb{RP}^n$ は Hausdorff である。

チャートを確かめる。 $\pi^{-1}(U_i)=\{x\mid x^i\ne0\}$ は開集合であるから $U_i$ は開集合であり、 $x\ne 0$ ならばある $i$ で $x^i\ne0$ となるので $\bigcup_{i}U_i=\mathbb{RP}^n$ である。 $\varphi_i$ は代表元のとり方に依らない。実際、 $x$ を $\lambda x$ に取り替えても各商 $x^j/x^i$ は変わらない。 $s_i\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\}$ を

s_i(u^1,\dots,u^n)=(u^1,\dots,u^{i-1},1,u^{i},\dots,u^{n})

で定めると、 $\pi\circ s_i$ は $\varphi_i$ の逆写像である。実際、 $\varphi_i(\pi(s_i(u)))=u$ であり、 $[x]\in U_i$ に対して $s_i(\varphi_i([x]))=x/x^i\sim x$ である。 $\varphi_i$ の連続性は次のように従う。 $W\subseteq\mathbb{R}^n$ を開集合とすると $\pi^{-1}(\varphi_i^{-1}(W))=\{x\mid x^i\ne0,\ (x^1/x^i,\dots)\in W\}$ であり、これは連続写像の逆像として $\{x^i\ne0\}$ の開集合、したがって開集合である。商位相の定義により $\varphi_i^{-1}(W)$ は開集合である。 $\varphi_i^{-1}=\pi\circ s_i$ は連続写像の合成であるから連続である。よって $\varphi_i$ は同相写像である。

座標変換を計算する。 $i<j$ とする。 $u\in\varphi_i(U_i\cap U_j)$ とは、 $s_i(u)$ の第 $j$ 成分が $0$ でないことである。 $s_i(u)$ の第 $j$ 成分は $j>i$ より $u^{j-1}$ である。したがって $\varphi_i(U_i\cap U_j)=\{u\in\mathbb{R}^n\mid u^{j-1}\ne 0\}$ であり、これは開集合である。この上で

\varphi_j\circ\varphi_i^{-1}(u)=\varphi_j\bigl([s_i(u)]\bigr)

は、 $s_i(u)$ の各成分を $u^{j-1}$ で割って第 $j$ 成分を除いたものである。各成分は $u^{j-1}$ を分母とする有理式であり、定義域の上で分母が消えないので $C^\infty$ 級である。 $i>j$ の場合も添字を読み替えれば同じ形になる。逆向きの座標変換も同じ形であるから、任意の二つのチャートは $C^\infty$ 両立する。▨

命題 6.1が $\mathbb{RP}^n$ の可微分構造を与える一次の場所である。「離散群の固有不連続な作用と商多様体」では、対蹠写像による $S^n$ の商としても同じ集合が得られることを扱うが、そこで示すのは、その構成が本記事で与えた可微分構造と同じものを与えるという点だけである。

7 開部分集合と積

命題 7.1. $M$ を $n$ 次元 $C^\infty$ 多様体、 $U\subseteq M$ を空でない開集合とし、 $U$ に部分空間位相を与える。 $M$ の可微分構造に属するチャート $(V,\psi)$ に対して $(V\cap U,\psi|_{V\cap U})$ を対応させると、これらの全体は $U$ の $n$ 次元 $C^\infty$ アトラスであり、 $U$ は $n$ 次元 $C^\infty$ 多様体になる。この可微分構造を与えた $U$ を $M$ の開部分多様体という。さらに包含写像 $\iota\colon U\to M$ は滑らかである。

証明. $U$ は Hausdorff 空間の部分空間であるから Hausdorff であり、第二可算空間の部分空間であるから第二可算である。 $U$ が $M$ の開集合であることから、 $V\cap U$ は $M$ の開集合、したがって $U$ の開集合である。 $\psi$ は同相写像であるから $\psi(V\cap U)$ は $\mathbb{R}^n$ の開集合であり、 $\psi|_{V\cap U}$ は $V\cap U$ からその上への同相写像である。定義域の合併は $\bigcup_V(V\cap U)=M\cap U=U$ である。二つの制限されたチャートの座標変換は、もとの座標変換の開集合への制限であるから $C^\infty$ である。よってこの族は $C^\infty$ アトラスである。

包含写像の滑らかさを示す。 $p\in U$ を取り、 $p$ を含む $M$ のチャート $(V,\psi)$ を取ると、 $(V\cap U,\psi|_{V\cap U})$ は $U$ のチャートであり、 $\iota$ の座標表示は $\psi(V\cap U)$ 上の恒等写像である。恒等写像は $C^\infty$ であるから、命題 4.2により $\iota$ は滑らかである。▨

例 2.4と命題 7.1を合わせると、 $\mathbb{R}^n$ の任意の空でない開集合は $n$ 次元 $C^\infty$ 多様体である。以後、 $\mathbb{R}^n$ の開集合にはつねにこの可微分構造を与える。

系 7.2. $M$ を $n$ 次元 $C^\infty$ 多様体、 $(U,\varphi)$ を $M$ の可微分構造に属するチャートとする。 $U$ を開部分多様体、 $\varphi(U)$ を $\mathbb{R}^n$ の開部分多様体と見るとき、 $\varphi\colon U\to\varphi(U)$ は微分同相である。

証明. $\varphi$ は同相写像であるから全単射かつ両方向に連続である。 $U$ のチャート $(U,\varphi)$ と $\varphi(U)$ のチャート $(\varphi(U),\operatorname{id})$ を取ると、 $\varphi$ の座標表示は $\operatorname{id}\circ\varphi\circ\varphi^{-1}$ 、すなわち $\varphi(U)$ 上の恒等写像である。同じ二つのチャートに関する $\varphi^{-1}$ の座標表示も恒等写像である。恒等写像は $C^\infty$ であるから、命題 4.2により $\varphi$ と $\varphi^{-1}$ はともに滑らかである。▨

命題 7.3. $M$ を $m$ 次元 $C^\infty$ 多様体、 $N$ を $n$ 次元 $C^\infty$ 多様体とし、 $M\times N$ に積位相を与える。 $M$ のチャート $(U,\varphi)$ と $N$ のチャート $(V,\psi)$ に対して

\varphi\times\psi\colon U\times V\longrightarrow\varphi(U)\times\psi(V)\subseteq\mathbb{R}^{m+n}, \qquad (\varphi\times\psi)(p,q)=(\varphi(p),\psi(q))

を対応させると、これらの全体は $M\times N$ の $(m+n)$ 次元 $C^\infty$ アトラスであり、 $M\times N$ は $(m+n)$ 次元 $C^\infty$ 多様体になる。

証明. Hausdorff 空間の積は Hausdorff である。実際、 $(p,q)\ne(p',q')$ ならば $p\ne p'$ または $q\ne q'$ であり、いずれの場合も一方の因子で分離する開集合を取り、他方の因子は全体を取ればよい。第二可算空間の積は第二可算である。実際、それぞれの可算基底の元の積の全体は可算であり、積位相の基底になる。

$U\times V$ は積位相の開集合であり、 $\varphi\times\psi$ は同相写像の積として同相写像である。像 $\varphi(U)\times\psi(V)$ は $\mathbb{R}^{m+n}$ の開集合である。定義域の合併について、 $(p,q)\in M\times N$ に対して $p\in U$ 、 $q\in V$ を満たすチャートを取れば $(p,q)\in U\times V$ である。

座標変換を見る。 $(U',\varphi')$ 、 $(V',\psi')$ をそれぞれ $M$ 、 $N$ のチャートとすると、 $(U\times V)\cap(U'\times V')=(U\cap U')\times(V\cap V')$ であり、この上で

(\varphi'\times\psi')\circ(\varphi\times\psi)^{-1}(x,y)=\bigl((\varphi'\circ\varphi^{-1})(x),\ (\psi'\circ\psi^{-1})(y)\bigr)

が成り立つ。各成分は $C^\infty$ 写像であり、変数が分離しているので全体として $C^\infty$ である。逆向きも同様である。よってこの族は $C^\infty$ アトラスである。▨

例 7.4 (円環面). $n$ を正の整数とし、 $T^n=(S^1)^n=S^1\times\cdots\times S^1$ （ $n$ 個の積）と定める。命題 5.1により $S^1$ は1次元 $C^\infty$ 多様体であり、命題 7.3を $n-1$ 回適用すると $T^n$ は $n$ 次元 $C^\infty$ 多様体になる。 $n=2$ の場合を円環面という。 $S^1$ の二つのチャートの積を取ることで、 $T^n$ は $2^n$ 個のチャートからなるアトラスを持つ。本単元で円環面を扱うときは、つねにこの積としての可微分構造を用いる。

例 7.5 (二次元の基本的な例). 本記事で構成した2次元 $C^\infty$ 多様体を並べる。

球面 $S^2$ 。命題 5.1により、立体射影による2枚のチャートからなるアトラスを持つ。
円環面 $T^2=S^1\times S^1$ 。例 7.4により、 $S^1$ の2枚のチャートの積として4枚のチャートからなるアトラスを持つ。
実射影平面 $\mathbb{RP}^2$ 。命題 6.1により、3枚の斉次座標近傍からなるアトラスを持つ。

三つはいずれも、1枚のチャートでは覆うことができない。 $S^2$ と $T^2$ はコンパクトであり、 $\mathbb{R}^2$ の開集合はコンパクトでないので、1枚のチャートでは覆うことができないことが分かる。 $\mathbb{RP}^2$ についても、 $\pi$ が $S^2$ からの連続な全射を誘導することからコンパクトであり、同じ理由による。

8 演習

問題 8.1 (可微分多様体の定義の確認). 次の各問に答えよ。

命題 2.3の証明において、 $\mathcal{A}^{*}$ の二つのチャート $(U,\varphi)$ 、 $(V,\psi)$ が両立することを示す段で、 $\mathcal{A}$ が $M$ を覆うという仮定をどこで用いたかを述べよ。さらに、 $\mathcal{A}$ が $M$ を覆わない場合に、両立という関係が推移的にならない例を挙げよ。
$\mathbb{R}$ 上の二つのアトラス $\mathcal{A}_1=\{(\mathbb{R},\operatorname{id})\}$ と $\mathcal{A}_2=\{(\mathbb{R},c)\}$ （ $c(t)=t^3$ ）について、 $c$ が同相写像であることを確かめ、 $\mathcal{A}_1$ と $\mathcal{A}_2$ が同じ極大アトラスを定めないことを示せ。注意 2.5の判定を用いよ。
命題 3.2の $L$ について、 $\pi$ が開写像であることの証明を再現せよ。さらに、 $L$ の点列 $\pi(1/k,0)$ （ $k$ は正の整数）が $p_0$ と $p_1$ の両方に収束することを確かめ、Hausdorff でない空間では収束先が一意でないことを確認せよ。
命題 3.3の $Y$ が Lindelöf でないことを示せ。 $\{V_a\}_{a\in\mathbb{R}}$ が可算な部分被覆を持たないことを用いよ。
命題 4.2の証明で用いた等式 $\psi'\circ F\circ\varphi'^{-1}=(\psi'\circ\psi^{-1})\circ(\psi\circ F\circ\varphi^{-1})\circ(\varphi\circ\varphi'^{-1})$ が成り立つ定義域を明示し、その定義域が $\varphi'(q)$ の開近傍を含むことを示せ。
命題 5.1の $\varphi_S$ が同相写像であることを、 $\varphi_N$ の場合の議論を書き換えて証明せよ。第 $(n+1)$ 座標の符号を反転する写像が $S^n$ の同相写像であることを用いよ。
$n=1$ の場合に命題 6.1の座標変換 $\varphi_2\circ\varphi_1^{-1}$ を具体的に書き下し、その定義域を求めよ。さらに $\mathbb{RP}^1$ が $S^1$ と同相であることを、 $\pi$ の $S^1$ への制限が二対一の全射であることから説明せよ。
命題 7.3の証明を、三つの多様体の積 $M\times N\times P$ に対して書き直せ。二回の適用によって得られる二つの可微分構造が一致することを、注意 2.5の判定によって確かめよ。

解答 (演習の解答).

(1) $p\in U\cap V$ に対して $p\in W$ を満たす $(W,\chi)\in\mathcal{A}$ を取る段で用いた。 $\mathcal{A}$ が $M$ を覆わなければ、この $(W,\chi)$ が存在せず、 $\varphi(p)$ の近傍で合成に分解することができない。推移性が破れる例として、 $M=\mathbb{R}$ 、 $\mathcal{A}=\{((0,\infty),\operatorname{id}|_{(0,\infty)})\}$ を取る。この $\mathcal{A}$ は $M$ を覆わない。さらに $A=(\mathbb{R},\operatorname{id})$ と $C=(\mathbb{R},\chi)$ （ $\chi(t)=t^{3}$ ）を取る。 $A$ と $\mathcal{A}$ のチャートの座標変換は $(0,\infty)$ 上の恒等写像であるから両立する。 $C$ と $\mathcal{A}$ のチャートの座標変換は $(0,\infty)$ 上の $t\mapsto t^{3}$ と $s\mapsto s^{1/3}$ であり、 $(0,\infty)$ の上では分母が消えないのでいずれも $C^\infty$ である。よって両立する。しかし $A$ と $C$ の座標変換 $s\mapsto s^{1/3}$ は $s=0$ で微分することができないので、 $A$ と $C$ は両立しない。すなわち $A$ と $\mathcal{A}$ のチャートが両立し、 $\mathcal{A}$ のチャートと $C$ が両立しても、 $A$ と $C$ が両立するとは限らない。命題 2.3の証明が成り立つのは、 $\mathcal{A}$ が $M$ を覆っていて、 $U\cap V$ の各点の近傍で $\mathcal{A}$ のチャートを経由することができるからである。(2) $c(t)=t^3$ は狭義単調増加な全単射であり、逆写像 $c^{-1}(s)=s^{1/3}$ も連続であるから同相写像である。座標変換 $\operatorname{id}\circ c^{-1}(s)=s^{1/3}$ は $s=0$ で微分することができないので $C^\infty$ でない。よって $(\mathbb{R},\operatorname{id})$ と $(\mathbb{R},c)$ は両立せず、 $\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2$ はアトラスでない。したがって二つは同じ極大アトラスを定めない。(3) $\sigma(x,i)=(x,1-i)$ は同相写像であり、 $V$ を $Z$ の開集合とすると $\pi^{-1}(\pi(V))$ は、 $V$ 自身と、 $V$ から第一成分が $0$ の点を除いた開集合の $\sigma$ による像との合併に等しい。両者とも開集合であるから合併も開集合であり、商位相の定義により $\pi(V)$ は開集合である。点列については、 $p_0$ を含む任意の開集合 $A$ に対して、ある $\varepsilon>0$ で $(-\varepsilon,\varepsilon)\times\{0\}\subseteq\pi^{-1}(A)$ となるので、 $1/k<\varepsilon$ を満たすすべての $k$ で $\pi(1/k,0)\in A$ である。 $p_1$ についても、 $\pi(1/k,0)=\pi(1/k,1)$ であることから同じ結論を得る。よって同じ点列が $p_0$ と $p_1$ の両方に収束する。(4) $\{V_a\}_{a\in\mathbb{R}}$ は $Y$ の開被覆である。可算な部分族 $\{V_{a_1},V_{a_2},\dots\}$ を取ると、 $\{a_1,a_2,\dots\}$ に属さない $a\in\mathbb{R}$ が存在し（ $\mathbb{R}$ は可算でない）、 $V_a$ の点はこの部分族のどの元にも属さない。よって可算な部分被覆は存在せず、 $Y$ は Lindelöf でない。§E2.21 命題 1.6の対偶により、 $Y$ は第二可算でない。(5)等式は $\varphi'(\Omega)$ の上で成り立つ。ここで $\Omega=U\cap U'\cap F^{-1}(V\cap V')$ である。 $U$ 、 $U'$ は開集合、 $V\cap V'$ は開集合であり $F$ は連続であるから $F^{-1}(V\cap V')$ は開集合であり、 $\Omega$ は開集合である。 $q\in U\cap U'$ かつ $F(q)\in V\cap V'$ であるから $q\in\Omega$ であり、 $\varphi'$ が同相写像であることから $\varphi'(\Omega)$ は $\varphi'(q)$ を含む開集合である。(6) $\tau(x^1,\dots,x^{n+1})=(x^1,\dots,x^n,-x^{n+1})$ は $\mathbb{R}^{n+1}$ の線形同相写像であり $S^n$ を $S^n$ へ写すので、 $S^n$ の同相写像を誘導する。 $\tau(N)=S$ であるから $\tau(U_S)=U_N$ であり、 $\varphi_S=\varphi_N\circ\tau|_{U_S}$ が成り立つ。同相写像の合成は同相写像であるから $\varphi_S$ は同相写像である。(7) $n=1$ では $\varphi_1([x^1:x^2])=x^2/x^1$ 、 $\varphi_2([x^1:x^2])=x^1/x^2$ である。 $\varphi_1(U_1\cap U_2)=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ であり、その上で $\varphi_2\circ\varphi_1^{-1}(u)=1/u$ である。 $S^1$ の点 $x$ と $-x$ は同じ同値類に属し、逆に $[x]=[y]$ かつ $x,y\in S^1$ ならば $y=\pm x$ である。よって $\pi|_{S^1}$ は二対一の全射であり、 $\mathbb{RP}^1$ は $S^1$ の対蹠点を同一視した商である。この商は、 $S^1$ 上の写像 $z\mapsto z^2$ （複素数として表したときの平方）を経由して $S^1$ と同相になる。(8) $M\times N\times P$ に積位相を与え、三つのチャートの積 $\varphi\times\psi\times\theta$ を取ればよい。Hausdorff 性と第二可算性は二つの場合と同じ議論を三回行えば従う。 $(M\times N)\times P$ と $M\times(N\times P)$ の可微分構造については、いずれのアトラスも $(\varphi\times\psi)\times\theta$ と $\varphi\times(\psi\times\theta)$ から成り、これらは $\mathbb{R}^{m+n+p}$ の元の並べ方を同一視すれば同じ写像である。したがって二つのアトラスの合併はふたたびアトラスであり、注意 2.5により同じ可微分構造を定める。▨

9 仮定と後続記事の境界

定義 2.2は次元 $n$ を固定している。連結でない多様体の各連結成分が異なる次元を持つ場合を許す流儀もあるが、本単元では次元を一つに固定する。多様体の次元がアトラスのとり方に依らないことは、局所的に $\mathbb{R}^m$ と $\mathbb{R}^n$ の開集合が同相ならば $m=n$ であるという主張（領域不変性）を要するので、本記事では次元を定義の一部として与えている。「接空間と微分写像」は、接空間の次元を用いて、微分同相な二つの多様体の次元が一致することを示す。それは同じ位相空間の上に次元の異なる可微分構造が入らないという主張ではなく、その主張には依然として領域不変性が要る。

本記事は境界を持つ多様体を扱わない。半空間へのチャートによる定義と、境界点と内点の区別が微分同相で保たれることは「境界を持つ多様体と境界の向き」が扱う。

本記事は多様体の上に Riemann 計量を導入しない。命題 5.1は $S^n$ を $\mathbb{R}^{n+1}$ の部分集合として書いているが、用いているのは部分空間位相と座標の式だけであり、 $\mathbb{R}^{n+1}$ の内積から誘導される長さや角度は本記事のどの主張にも現れない。計量を選んで初めて定まる量、すなわち長さ、角度、曲率、測地線および共変微分は「Riemann 幾何 I」が扱う。

滑らかな写像の微分を線形写像として定義することは、接空間を構成したのちに行う。それまでは、写像の階数のような微分に関する条件を、座標表示の Jacobi 行列によって述べる。

§E17.1可微分多様体の定義