高階微分と混合偏導関数 | 実解析 II

定義 1.1. $k\in\mathbb N_{\geq1}$ とし、 $E_1,\ldots,E_k$ を有限次元 Euclid 空間、 $F$ を有限次元実ノルム空間とする。 $E_1\times\cdots\times E_k$ から $F$ への連続 $k$ 重線形写像全体を

\mathcal L^k(E_1,\ldots,E_k;F)

と書き、この空間を多重線形写像の空間 (space of continuous multilinear maps) という。 $k=1$ の場合には $\mathcal L^1(E_1;F)$ を $\mathcal L(E_1;F)$ とも書く。 $E_1=\cdots=E_k=\mathbb R^n$ かつ $F=\mathbb R^m$ の場合には、 $\mathcal L^k(\mathbb R^n;\mathbb R^m)$ と略記する。

定義 1.2. $k\in\mathbb N_{\geq1}$ とし、 $E_1,\ldots,E_k$ を有限次元 Euclid 空間、 $F$ を有限次元実ノルム空間とする。 $T\in\mathcal L^k(E_1,\ldots,E_k;F)$ に対して、 $T$ の作用素ノルム (operator norm) を

\lVert T\rVert_{\mathrm{op}} =\sup\left\{ \lVert T[h_1,\ldots,h_k]\rVert: \lVert h_r\rVert\leq1\quad(1\leq r\leq k) \right\}

と定める。この値は有限であり、 $\mathcal L^k(E_1,\ldots,E_k;F)$ 上のノルムを定める。任意の $h_r\in E_r$ に対して

\lVert T[h_1,\ldots,h_k]\rVert \leq\lVert T\rVert_{\mathrm{op}} \prod_{r=1}^k\lVert h_r\rVert \tag{1}

が成り立つ。 $k=1$ 、 $E_1=\mathbb R^n$ 、 $F=\mathbb R^m$ の場合、この定義は§E4.2 定義 1.3と一致する。

証明. 多重線形写像は各 $E_r$ の基底ベクトルの組における有限個の値で一意に定まるため、 $\mathcal L^k(E_1,\ldots,E_k;F)$ は有限次元実ベクトル空間である。各 $E_r$ の正規直交基底を選ぶと、閉単位球の直積はある Euclid 空間の有界閉集合と同一視されるため、Heine–Borel の定理§E2.9 定理 4.3によりコンパクトである。 $T$ と $F$ のノルムは連続であるから、最大値・最小値の定理§E4.1 定理 5.1により定義式の上限は有限である。ノルムの斉次性と三角不等式は $F$ のノルムから従う。 $\lVert T\rVert_{\mathrm{op}}=0$ なら、全ての単位球内の組で $T$ の値は零であり、多重線形性によって全ての組で $T$ の値は零になる。従って、この式はノルムを定める。

いずれかの $h_r$ が零なら式 (1) は明らかである。全ての $h_r$ が零でない場合には、各スロットから $\lVert h_r\rVert$ を取り出して

T[h_1,\ldots,h_k] =\left(\prod_{r=1}^k\lVert h_r\rVert\right) T\left[\frac{h_1}{\lVert h_1\rVert},\ldots, \frac{h_k}{\lVert h_k\rVert}\right]

と書けば式 (1) を得る。▨

命題 1.3. $k\geq2$ とし、 $E_1,\ldots,E_k$ を有限次元 Euclid 空間、 $F$ を有限次元実ノルム空間とする。連続線形写像

A\in\mathcal L\bigl(E_k;\mathcal L^{k-1}(E_1,\ldots,E_{k-1};F)\bigr)

に対して

(\iota_kA)[h_1,\ldots,h_k] =(Ah_k)[h_1,\ldots,h_{k-1}] \tag{2}

と定める。この写像は等長線形同型

\mathcal L\bigl(E_k;\mathcal L^{k-1}(E_1,\ldots,E_{k-1};F)\bigr) \xrightarrow{\ \cong\ } \mathcal L^k(E_1,\ldots,E_k;F)

を定める。

証明. 式 (2) の右辺は各 $h_r$ について線形であり、式 (1) から

\lVert(\iota_kA)[h_1,\ldots,h_k]\rVert \leq\lVert A\rVert_{\mathrm{op}} \prod_{r=1}^k\lVert h_r\rVert

を得る。従って $\iota_kA$ は連続 $k$ 重線形写像であり、 $\iota_k$ は線形である。また、作用素ノルムの定義を二度用いると

\lVert\iota_kA\rVert_{\mathrm{op}} =\sup_{\lVert h_k\rVert\leq1}\lVert Ah_k\rVert_{\mathrm{op}} =\lVert A\rVert_{\mathrm{op}}

となる。

$T\in\mathcal L^k(E_1,\ldots,E_k;F)$ に対して

(\jmath_kT)(h_k)[h_1,\ldots,h_{k-1}] =T[h_1,\ldots,h_k]

と定める。式 (1) により

\lVert(\jmath_kT)(h_k)\rVert_{\mathrm{op}} \leq\lVert T\rVert_{\mathrm{op}}\lVert h_k\rVert

であるため、 $\jmath_kT$ は所要の連続線形写像である。定義から $\iota_k\jmath_kT=T$ および $\jmath_k\iota_kA=A$ が成り立つ。従って $\iota_k$ は等長線形同型である。▨

定義 1.4. $E$ を有限次元実ノルム空間、 $U\subset\mathbb R^n$ を開集合、 $\Phi:U\to E$ を写像、 $x\in U$ とする。ある $A\in\mathcal L(\mathbb R^n;E)$ が存在して

\frac{\lVert\Phi(x+h)-\Phi(x)-Ah\rVert}{\lVert h\rVert} \longrightarrow0 \qquad(h\to0,\ h\ne0)

となるとき、 $\Phi$ は $x$ で全微分可能 (totally differentiable) であるという。後続の命題 1.5で示す一意な $A$ を全微分 (total derivative) といい、 $D\Phi(x)$ と書く。この定義は $E=\mathbb R^m$ の場合に§E4.2 定義 1.2と一致する。

$D^0\Phi=\Phi$ 、 $D^1\Phi=D\Phi$ と定める。 $k\geq2$ とし、 $D^{k-1}\Phi$ が $x$ の近傍で

D^{k-1}\Phi:\ U\longrightarrow \mathcal L^{k-1}(\mathbb R^n;E)

として定義され、作用素ノルムに関して $x$ で全微分可能であるとき、 $\Phi$ の $x$ における $k$ 階全微分 (k-th total derivative) を

D^k\Phi(x)=\iota_k\bigl(D(D^{k-1}\Phi)(x)\bigr) \in\mathcal L^k(\mathbb R^n;E) \tag{3}

と定める。従って

D^k\Phi(x)[h_1,\ldots,h_k] =\bigl(D(D^{k-1}\Phi)(x)h_k\bigr) [h_1,\ldots,h_{k-1}] \tag{4}

であり、最後のスロット $h_k$ が新しく微分する方向である。

$\Phi$ が $C^0$ 級 (class C^0 map) であるとは $\Phi$ が連続であることをいう。 $k\geq1$ に対して、 $D^j\Phi$ が $1\leq j\leq k$ で $U$ 上に存在し、

D^j\Phi:U\longrightarrow\mathcal L^j(\mathbb R^n;E)

が作用素ノルムについて連続であるとき、 $\Phi$ は $C^k$ 級 (class C^k map) であるという。

命題 1.5. $E,F$ を有限次元実ノルム空間、 $U\subset\mathbb R^n$ を開集合、 $\Phi:U\to E$ を写像、 $x\in U$ とする。

$\Phi$ が $x$ で全微分可能なら、 $D\Phi(x)$ は一意であり、 $\Phi$ は $x$ で連続である。
$\Phi$ が $x$ で全微分可能であり、 $B:E\to F$ が連続線形写像なら、 $B\circ\Phi$ は $x$ で全微分可能であり、 $D(B\circ\Phi)(x)=B\circ D\Phi(x)$ が成り立つ。
$s\in\mathbb N_{\geq0}$ とする。 $\Phi$ が $C^s$ 級なら、 $B\circ\Phi$ も $C^s$ 級であり、 $1\leq j\leq s$ に対して $D^j(B\circ\Phi)(x)[h_1,\ldots,h_j] =B\bigl(D^j\Phi(x)[h_1,\ldots,h_j]\bigr)$ が成り立つ。

証明. $A,A'\in\mathcal L(\mathbb R^n;E)$ がいずれも $\Phi$ の $x$ における全微分の条件を満たすとする。 $v\in\mathbb R^n$ と $t\ne0$ に対して二つの剰余表示を引き算すると

\lVert(A-A')v\rVert \leq \frac{\lVert\Phi(x+tv)-\Phi(x)-Atv\rVert}{|t|} +\frac{\lVert\Phi(x+tv)-\Phi(x)-A'tv\rVert}{|t|}

となる。 $t\to0$ とすれば $(A-A')v=0$ であるから、 $A=A'$ である。また、 $A$ は連続線形写像であり、剰余は $o(\lVert h\rVert)$ であるため、 $\Phi(x+h)-\Phi(x)=Ah+o(\lVert h\rVert)$ は $h\to0$ で零へ収束する。

$B$ の $0$ における連続性から、 $\lVert u\rVert<\delta$ なら $\lVert Bu\rVert<1$ となる $\delta>0$ が存在する。非零の $u$ に対して $\delta u/(2\lVert u\rVert)$ を用いると、 $C=2/\delta$ として $\lVert Bu\rVert\leq C\lVert u\rVert$ が成り立つ。 $A=D\Phi(x)$ とおくと、

\frac{\lVert B\Phi(x+h)-B\Phi(x)-BAh\rVert}{\lVert h\rVert} \leq C\frac{\lVert\Phi(x+h)-\Phi(x)-Ah\rVert}{\lVert h\rVert} \longrightarrow0

であるから、(2)が従う。

$B_j:\mathcal L^j(\mathbb R^n;E)\to\mathcal L^j(\mathbb R^n;F)$ を

(B_jT)[h_1,\ldots,h_j]=B\bigl(T[h_1,\ldots,h_j]\bigr)

で定めると、式 (1) から $\lVert B_jT\rVert_{\mathrm{op}}\leq C\lVert T\rVert_{\mathrm{op}}$ であるため、 $B_j$ は連続線形写像である。 $j=1$ の微分公式は(2)である。 $j$ の微分公式を仮定すると、(2)を $D^j\Phi$ と $B_j$ へ適用して

D\bigl(D^j(B\circ\Phi)\bigr)(x) =B_j\circ D(D^j\Phi)(x)

を得る。両辺へ $\iota_{j+1}$ を適用すると、式 (2) により $j+1$ の微分公式が従う。従って帰納法により(3)の式が全ての $1\leq j\leq s$ で成り立つ。各 $D^j\Phi$ と $B_j$ は連続であるため、 $D^j(B\circ\Phi)=B_j\circ D^j\Phi$ も連続である。▨

命題 1.6. $k\in\mathbb N_{\geq1}$ とし、 $U\subset\mathbb R^n$ を開集合、 $f:U\to\mathbb R^m$ を $C^k$ 級写像とする。 $e_1,\ldots,e_n$ を $\mathbb R^n$ の標準基底とする。このとき、任意の $x\in U$ と $1\leq i_1,\ldots,i_k\leq n$ に対して

D^kf(x)[e_{i_1},\ldots,e_{i_k}] =\partial_{i_k}\cdots\partial_{i_1}f(x) \tag{5}

が成り立つ。右辺では、 $i_1$ の方向から順に偏微分を施す。

証明. $k$ に関する帰納法で示す。 $k=1$ の場合、式 (5) は§E4.2 命題 1.5が与える $Df(x)e_{i_1}=\partial_{i_1}f(x)$ である。

$k-1$ の場合に式 (5) が成り立つとする。固定した $e_{i_1},\ldots,e_{i_{k-1}}$ における評価写像は $\mathcal L^{k-1}(\mathbb R^n;\mathbb R^m)$ から $\mathbb R^m$ への連続線形写像である。式 (1)、式 (4) および命題 1.5により

\begin{aligned} D^kf(x)[e_{i_1},\ldots,e_{i_k}] &=\partial_{i_k}\left( y\longmapsto D^{k-1}f(y)[e_{i_1},\ldots,e_{i_{k-1}}] \right)(x)\\ &=\partial_{i_k}\bigl(\partial_{i_{k-1}}\cdots\partial_{i_1}f\bigr)(x). \end{aligned}

従って $k$ の場合にも式 (5) が成り立つ。▨

定理 2.1 (Schwarz の定理). $U\subset\mathbb R^n$ を開集合、 $f:U\to\mathbb R$ を $C^2$ 級関数とする。このとき、任意の $x\in U$ と $1\leq i,j\leq n$ に対して

\partial_i\partial_jf(x)=\partial_j\partial_if(x)

が成り立つ。従って $D^2f(x)$ は対称双線形写像である。

証明. $i=j$ の場合は明らかである。 $i\ne j$ とし、 $x\in U$ を固定する。 $U$ は開集合であるから、 $B(x,\rho)\subset U$ を満たす $\rho>0$ が存在する。 $h,k\ne0$ かつ $|h|+|k|<\rho$ とし、長方形差分

\Delta(h,k) =f(x+he_i+ke_j)-f(x+he_i)-f(x+ke_j)+f(x)

を考える。

関数

\phi(s)=f(x+he_i+se_j)-f(x+se_j)

へ、端点が $0$ と $k$ である区間上の平均値の定理§D1.14 定理 3.1を適用する。 $0$ と $k$ の間にある $\eta$ が存在して

\Delta(h,k) =k\bigl(\partial_jf(x+he_i+\eta e_j) -\partial_jf(x+\eta e_j)\bigr)

となる。括弧内の差へ、端点が $0$ と $h$ である区間上の平均値の定理を適用すると、 $0$ と $h$ の間にある $\xi$ が存在して

\frac{\Delta(h,k)}{hk} =\partial_i\partial_jf(x+\xi e_i+\eta e_j) \tag{6}

を得る。

二つの座標方向の順序を逆にして同じ操作を行うと、 $0$ と $h$ の間にある $\xi'$ と、 $0$ と $k$ の間にある $\eta'$ が存在して

\frac{\Delta(h,k)}{hk} =\partial_j\partial_if(x+\xi'e_i+\eta'e_j) \tag{7}

を得る。 $(h,k)\to(0,0)$ のとき、式 (6) と式 (7) の評価点はいずれも $x$ へ収束する。二つの二階偏導関数の連続性により

\partial_i\partial_jf(x) =\partial_j\partial_if(x)

が従う。

式 (5) を $k=2$ で用いると、 $D^2f(x)$ の標準基底上の値は二階偏導関数である。標準基底上で二つのスロットを交換しても値が変わらないため、双線形性により $D^2f(x)$ は対称である。▨

系 2.2. $k\in\mathbb N_{\geq1}$ とし、 $U\subset\mathbb R^n$ を開集合、 $f:U\to\mathbb R^m$ を $C^k$ 級写像とする。このとき、任意の $x\in U$ に対して $D^kf(x)$ は対称 $k$ 重線形写像である。すなわち、任意の $h_1,\ldots,h_k\in\mathbb R^n$ と $\{1,\ldots,k\}$ の任意の置換 $\sigma$ に対して

D^kf(x)[h_{\sigma(1)},\ldots,h_{\sigma(k)}] =D^kf(x)[h_1,\ldots,h_k]

が成り立つ。

証明. $k$ に関する帰納法で示す。 $k=1$ の場合は交換するスロットがなく、 $k=2$ の場合は定理 2.1を $f$ の各成分へ適用すればよい。

$k\geq3$ とし、 $k-1$ の場合に主張が成り立つと仮定する。全ての $y\in U$ で $D^{k-1}f(y)$ は対称である。最初の $k-1$ 個のスロットのうち隣接する二つを交換した等式を $y$ の関数として、 $x$ で $h_k$ 方向へ微分する。命題 1.5と式 (4) により、 $D^kf(x)$ でも最初の $k-1$ 個のスロットの任意の隣接交換は値を変えない。

最後の二つのスロットを交換する。 $h_1,\ldots,h_{k-2}\in\mathbb R^n$ を固定し、

G(y)=D^{k-2}f(y)[h_1,\ldots,h_{k-2}]

とおく。固定ベクトルにおける評価は式 (1) を満たす連続線形写像であるため、命題 1.5により $G:U\to\mathbb R^m$ は $C^2$ 級である。 $G$ の各成分へ定理 2.1を適用し、式 (4) を二度用いると

\begin{aligned} &D^kf(x)[h_1,\ldots,h_{k-2},h_{k-1},h_k]\\ &\qquad=D^kf(x)[h_1,\ldots,h_{k-2},h_k,h_{k-1}] \end{aligned}

を得る。従って全ての隣接スロットを交換することができる。任意の置換は隣接互換の積であるため、 $D^kf(x)$ は対称である。▨

定義 3.1. $n,m\in\mathbb N_{\geq1}$ 、 $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in\mathbb N_{\geq0}^n$ 、 $h=(h_1,\ldots,h_n)\in\mathbb R^n$ とする。この添字を多重指数 (multi-index) という。

|\alpha|=\alpha_1+\cdots+\alpha_n, \qquad \alpha!=\alpha_1!\cdots\alpha_n!, \qquad h^\alpha=h_1^{\alpha_1}\cdots h_n^{\alpha_n}

と書く。また、 $U\subset\mathbb R^n$ を開集合、 $f:U\to\mathbb R^m$ を $C^{|\alpha|}$ 級写像とするとき、

\partial^\alpha f =\partial_1^{\alpha_1}\cdots\partial_n^{\alpha_n}f

と書く。系 2.2により、合計 $|\alpha|$ 回の偏微分を施す順序は値に影響しない。

系 3.2. $k\in\mathbb N_{\geq1}$ とし、 $U\subset\mathbb R^n$ を開集合、 $f:U\to\mathbb R$ を $C^k$ 級関数とする。このとき、任意の $x\in U$ と $h=(h_1,\ldots,h_n)\in\mathbb R^n$ に対して

D^kf(x)[h,\ldots,h] =\sum_{|\alpha|=k}\frac{k!}{\alpha!}\, \partial^\alpha f(x)h^\alpha

が成り立つ。

証明. $h=\sum_{i=1}^nh_ie_i$ を各スロットへ代入し、多重線形性によって展開する。添字 $i$ が $\alpha_i$ 回現れる各項は、命題 1.6と系 2.2により $\partial^\alpha f(x)h^\alpha$ の係数へ寄与する。そのような添字列は $k!/\alpha!$ 個あるため、同じ多重指数をもつ項をまとめると主張の式を得る。▨

定義 3.3. $U\subset\mathbb R^n$ を開集合、 $f:U\to\mathbb R$ を $C^2$ 級関数、 $x\in U$ とする。 $D^2f(x)$ の標準基底に関する表現行列

H_f(x)=\bigl(\partial_i\partial_jf(x)\bigr)_{1\leq i,j\leq n}

を、 $f$ の $x$ におけるHessian (Hessian) という。定理 2.1により、 $H_f(x)$ は実対称行列である。

問題 4.1 (連続性を欠く混合偏導関数). 関数 $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$ を

f(x,y)= \begin{cases} \displaystyle\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2},&(x,y)\ne(0,0),\\ 0,&(x,y)=(0,0) \end{cases}

と定める。 $\partial_x\partial_yf(0,0)$ と $\partial_y\partial_xf(0,0)$ がいずれも存在するが一致しないことを証明し、定理 2.1を適用することができない理由を述べよ。

§E4.4高階微分と混合偏導関数

1 高階全微分

2 混合偏導関数の対称性

3 多重指数と Hessian

4 演習

参考文献

前提記事