Gauss の発散定理 | 実解析 II | 天游ヶ丘数理学院

定義 1.1. $\Omega\subset\mathbb R^3$ を有限個の連結成分をもつ有界開集合とし、 $D=\overline\Omega$ 、 $\tpint{D}=\Omega$ とする。次の条件を満たすとき、 $D$ を区分的に一階連続微分可能な正則立体 (piecewise $C^1$ regular solid) という。

$\partial D$ は有限個のコンパクトな $C^1$ 級正則曲面パッチ $S_1,\ldots,S_N$ の和である。各 $S_j$ は、区分的 $C^1$ 級境界をもつコンパクトな Jordan 可測集合 $K_j\subset\mathbb R^2$ と、その近傍で定義された $C^1$ 級写像 $\boldsymbol\sigma_j$ により $S_j=\boldsymbol\sigma_j(K_j)$ と表される。 $\boldsymbol\sigma_j|_{K_j}$ は単射であり、 $K_j$ 上で $(\boldsymbol\sigma_j)_u\times(\boldsymbol\sigma_j)_v\ne0$ である。
各相対内部 $S_j^\circ=\boldsymbol\sigma_j(\tpint{K_j})$ は互いに交わらない。異なるパッチの共通部分は有限個の区分的 $C^1$ 級正則曲線の像と有限個の点からなる。全パッチの境界の和を稜線・頂点集合 (edge and vertex set) $E$ という。
各 $p\in S_j^\circ$ の球近傍 $B$ を十分小さく取ると、 $B\setminus S_j^\circ$ は二つの局所成分をもち、一方に $B\cap\Omega$ が、他方に $B\cap(\mathbb R^3\setminus D)$ が含まれる。
$\mathbb R^3\setminus D$ は一つの非有界連結成分と有限個の有界連結成分からなる。後者を $D$ の空洞 (cavity) という。

$S_j^\circ$ 上の外向き単位法線 (outward unit normal) $\boldsymbol n$ は、 $\Omega$ の側から $\mathbb R^3\setminus D$ の側を向く単位法線である。空洞の内面では空洞の内部を向く。境界流束 (boundary flux) は、各 $S_j^\circ$ に外向き法線を入れた流束の和として定める。稜線と頂点は§E4.20 命題 4.2により曲面上の Jordan 零集合であるため、この和の値へ寄与しない。

補題 1.2.定義 1.1の各境界パッチは三次元の Jordan 零集合である。したがって、 $\partial D$ は Jordan 零集合であり、 $D$ は Jordan 可測である。

証明. 一つのパッチを $S=\boldsymbol\sigma(K)$ と書く。 $K$ の近傍にあるコンパクト集合上で $D\boldsymbol\sigma$ は有界であるため、§E4.3 定理 2.1により $\boldsymbol\sigma$ はその集合上で Lipschitz 連続である。 $K$ を含む長方形を一辺 $h$ の正方形へ分けると、 $K$ と交わる正方形は $O(h^{-2})$ 個であり、各正方形の像は一辺 $O(h)$ の立方体に含まれる。したがって、それらの立方体の総体積は $O(h)$ である。 $h\downarrow0$ とすれば $S$ は Jordan 零集合である。

境界パッチは有限個であるから、§E4.11 補題 1.2により $\partial D$ も Jordan 零集合である。 $D$ は有界であり、その境界が Jordan 零集合なので、§E4.11 定義 2.1により Jordan 可測である。▨

補題 2.1. $K\subset\mathbb R^2$ をコンパクトな Jordan 可測集合とし、 $K$ の近傍で連続な関数 $\alpha,\beta$ が $\alpha\leq\beta$ を満たすとする。

V=\{(x,y,z):(x,y)\in K,\ \alpha(x,y)\leq z\leq\beta(x,y)\}

とおく。 $f$ が $V$ の近傍で連続ならば、 $V$ は Jordan 可測であり、

\iiint_Vf\,dV =\iint_K\left(\int_{\alpha(x,y)}^{\beta(x,y)}f(x,y,z)\,dz\right)dx\,dy \tag{1}

が成り立つ。

証明. $K=\emptyset$ の場合は両辺が零なので、以下では $K\ne\emptyset$ とする。 $K$ を閉長方形 $R$ に含め、 $V\subset R\times[c,d]$ となる $c<d$ を取る。 $\alpha$ と $\beta$ は $K$ のコンパクトな近傍で一様連続である。底面を幅 $h$ の小長方形へ分けると、各グラフを覆う柱の総体積は、 $R$ の面積と $\alpha,\beta$ の連続率との積で上から評価され、 $h\downarrow0$ で零へ収束する。また、 $\partial K\times[c,d]$ は Jordan 零集合である。したがって

\partial V\subset\operatorname{graph}(\alpha|_K)\cup \operatorname{graph}(\beta|_K)\cup(\partial K\times[c,d])

は Jordan 零集合であり、 $V$ は Jordan 可測である。

$g(x,y)=\int_{\alpha(x,y)}^{\beta(x,y)}f(x,y,z)\,dz$ とおく。積分区間の共通部分では $f$ の一様連続性を用い、対称差では $\sup_V|f|$ と端点の差を用いると、 $g$ は $K$ 上で連続である。したがって、§E4.11 補題 3.4により $g$ は $K$ 上で可積分である。

$S=R\times[c,d]$ とし、 $f|_V$ を $S$ 上で零拡張した関数を $\widehat f$ とする。§E4.11 補題 3.4と§E4.11 命題 3.3により $\widehat f$ は可積分であり、 $\int_S\widehat f=\iiint_Vf$ である。 $q=(x,y)\in R$ に対して

G(q)=\int_c^d\widehat f(q,z)\,dz

とおく。 $q\in K$ ならば、この切片は連続関数 $z\mapsto f(q,z)$ の区間 $[\alpha(q),\beta(q)]$ から $[c,d]$ への零拡張なので可積分であり、 $G(q)=g(q)$ である。 $q\notin K$ ならば $G(q)=0$ である。したがって $G$ は $g$ の零拡張であり、同じ二つの既証明の結果から $\int_RG=\iint_Kg$ を得る。

$P_R$ を $R$ の直積分割、 $P_z$ を $[c,d]$ の分割とする。各 $Q\in P_R$ に対して

\ell_Q=\sum_{J\in P_z}\inf_{Q\times J}\widehat f\,|J|, \qquad u_Q=\sum_{J\in P_z}\sup_{Q\times J}\widehat f\,|J|

とおく。各 $q\in Q$ の切片に一変数の Darboux 和を適用すると $\ell_Q\leq G(q)\leq u_Q$ である。 $q\in Q$ について下限と上限を取り、 $|Q|$ を掛けて加えると

L(\widehat f,P_R\times P_z)\leq L(G,P_R)\leq\int_RG \leq U(G,P_R)\leq U(\widehat f,P_R\times P_z)

を得る。これは§E4.12 定理 1の Darboux 和比較を、零拡張 $\widehat f$ に対して直接示したものである。 $\widehat f$ の可積分性により、この不等式の両端の差を任意の正数未満にできる。したがって $\int_S\widehat f=\int_RG$ であり、式 (1) が従う。▨

定義 2.2. 有界な閉立体 $V$ が

V=\{(x,y,z):(x,y)\in D_{xy},\ \alpha_z(x,y)\leq z\leq\beta_z(x,y)\}

と表され、 $D_{xy}$ がコンパクトな Jordan 可測集合、 $\alpha_z,\beta_z$ がその近傍で $C^1$ 級であるとき、 $V$ は $z$ 方向に単純 (simple in the z-direction) であるという。 $x$ 方向に単純 (simple in the x-direction) であることと $y$ 方向に単純 (simple in the y-direction) であることも、座標を巡回して同様に定める。三方向の全てについて単純であり、境界が有限個の $C^1$ 級正則曲面パッチからなる立体を座標単純立体 (coordinate-simple solid) という。

補題 2.3. $V$ を座標単純立体、 $F=(P,Q,R)$ を $V$ の近傍で定義された $C^1$ 級ベクトル場とする。 $\partial V$ に外向き法線を入れると、

\iint_{\partial V}F\boldsymbol\cdot\boldsymbol n\,dA =\iiint_V(\partial_xP+\partial_yQ+\partial_zR)\,dV \tag{2}

が成り立つ。

証明. $z$ 方向の表示を用いる。 $(0,0,R)$ の流束に寄与するのは上面と下面だけであり、それぞれの外向き面積ベクトルの第三成分は $1$ と $-1$ である。したがって、§D1.19 定理 2.1と補題 2.1により

\begin{aligned} \iint_{\partial V}(0,0,R)\boldsymbol\cdot\boldsymbol n\,dA &=\iint_{D_{xy}}[R(x,y,\beta_z)-R(x,y,\alpha_z)]\,dx\,dy\\ &=\iiint_V\partial_zR\,dV. \end{aligned}

$x$ 方向と $y$ 方向の表示を用いると、同じ議論から

\iint_{\partial V}(P,0,0)\boldsymbol\cdot\boldsymbol n\,dA=\iiint_V\partial_xP\,dV, \qquad \iint_{\partial V}(0,Q,0)\boldsymbol\cdot\boldsymbol n\,dA=\iiint_V\partial_yQ\,dV

を得る。三式を加えれば式 (2) が従う。▨

補題 3.1. $T(\xi)=a+R\xi$ とし、 $R$ を $\det R=1$ の直交行列とする。 $\widetilde F(\xi)=R^{\mathsf T}F(T(\xi))$ とおくと、

\operatorname{div}\widetilde F=(\operatorname{div}F)\circ T.

また、 $T$ は体積、立体の内外、外向き面積ベクトルおよび境界流束を保つ。

証明. 連鎖律から $D\widetilde F=R^{\mathsf T}(DF\circ T)R$ である。行列の跡の巡回性と $RR^{\mathsf T}=I$ により発散の式を得る。 $|\det R|=1$ なので体積は保たれる。さらに、 $\det R=1$ であるため

(Ru)\times(Rv)=R(u\times v)

が成り立つ。内側と外側も $T$ によって対応するから、外向き面積ベクトルと流束が保たれる。▨

補題 3.2. $D$ を区分的に $C^1$ 級正則立体、 $p\in\partial D\setminus E$ とする。向きを保つ剛体座標、閉長方形 $B\subset\mathbb R^2$ 、 $c<d$ および $B$ の近傍で定義された $C^1$ 級関数 $\varphi$ を選び、

c<\min_B\varphi\leq\max_B\varphi<d

を満たすように取ることができる。 $U=(\tpint{B})\times(c,d)$ とおけば $p\in U$ であり、

\partial D\cap U=\{(x,y,\varphi(x,y)):(x,y)\in\tpint{B}\}, \qquad D\cap U=\{(x,y,z)\in U:z\leq\varphi(x,y)\} \tag{3}

が成り立つ。グラフ上の外向き面積ベクトルは $(-\varphi_x,-\varphi_y,1)\,dx\,dy$ である。

証明. 新しい $z$ 軸を $p$ における外向き法線の向きに取る。境界パッチから $xy$ 平面への射影の微分は $p$ で可逆であるため、§E4.7 定理 2.1により、パッチは $p$ の近傍で $C^1$ 級グラフになる。 $p\notin E$ なので、近傍を縮小すれば他の境界パッチは現れない。外向き法線の $z$ 成分は近傍で正であり、局所的な片側性から $D$ はグラフの下側にある。この近傍の内部に $B\times[c,d]$ を取ってさらに縮小すると、表示された不等式と式 (3) が成り立つ。外向き法線の向きから面積ベクトルの表示を得る。▨

補題 3.3. $B=[a,b]\times[c_1,d_1]$ 、 $\varphi\in C^1(B)$ 、 $c_0<\min_B\varphi$ とし、

C=\{(x,y,z):(x,y)\in B,\ c_0\leq z\leq\varphi(x,y)\}

とおく。 $F=(P,Q,R)$ は $C$ の近傍で $C^1$ 級であり、グラフ面以外の人工境界の近傍で零であるとする。このとき

\iiint_C\operatorname{div}F\,dV =\iint_BF(x,y,\varphi(x,y))\boldsymbol\cdot(-\varphi_x,-\varphi_y,1)\,dx\,dy \tag{4}

が成り立つ。

証明.補題 2.1と一変数の微積分学の基本定理から

\iiint_C\partial_zR\,dV=\iint_BR(x,y,\varphi(x,y))\,dx\,dy

を得る。下面の項は $F=0$ により消える。

$H_1(x,y)=\int_{c_0}^{\varphi(x,y)}P(x,y,z)\,dz$ とおく。有限区間上のパラメータ積分の微分公式§D1.26 補題 2.1と連鎖律§E4.3 定理 1.1により

\partial_xH_1=\int_{c_0}^{\varphi(x,y)}\partial_xP(x,y,z)\,dz +P(x,y,\varphi(x,y))\varphi_x(x,y)

である。 $H_1$ は $\partial B$ の近傍で零なので、 $x$ 方向の基本定理を適用してから $y$ について積分すると

\iiint_C\partial_xP\,dV=-\iint_BP(x,y,\varphi(x,y))\varphi_x(x,y)\,dx\,dy

を得る。同様に

\iiint_C\partial_yQ\,dV=-\iint_BQ(x,y,\varphi(x,y))\varphi_y(x,y)\,dx\,dy

である。三式を加えれば式 (4) が従う。▨

補題 4.1. $D$ を区分的に $C^1$ 級正則立体、 $E$ をその稜線・頂点集合とする。 $F$ が $D$ の近傍で $C^1$ 級であり、 $E$ のある近傍で零ならば

\iint_{\partial D}F\boldsymbol\cdot\boldsymbol n\,dA =\iiint_D\operatorname{div}F\,dV \tag{5}

が成り立つ。

証明. $F$ の定義域を $W$ とする。§E4.19 系 2.2を用いて、 $D$ の近傍では値を変えず、 $W$ にコンパクトな台をもつ $C^1$ 級ベクトル場へ $F$ を延長する。 $K=D\cap\operatorname{supp}F$ は $E$ と交わらないコンパクト集合である。 $K\cap\Omega$ を閉包まで $\Omega$ に含まれる開直方体で覆い、 $K\cap\partial D$ を補題 3.2のグラフ近傍で覆う。有限部分被覆を取り、§E4.19 定理 2.1により従属する有限局所化 $(\theta_\nu)$ を選び、 $F_\nu=\theta_\nu F$ とおく。

内部直方体に台をもつ $F_\nu$ には補題 2.3を適用する。 $F_\nu$ は直方体の境界近傍で零であるため、発散の体積積分と $\partial D$ 上の流束はともに零である。境界グラフに台をもつ $F_\nu$ には、補題 3.1で座標を移す。対応する補題 3.2の直方柱を $U=(\tpint{B})\times(c,d)$ とし、局所化の台を $U$ の内部に取る。式 (3) により、この台上では $D$ とグラフ立体

C=\{(x,y,z):(x,y)\in B,\ c\leq z\leq\varphi(x,y)\}

が一致する。 $F_\nu$ は $C$ の人工境界の近傍で零であるため、補題 3.3を適用できる。各局所項について、 $D$ 上の発散積分は実境界グラフを通る外向き流束に等しい。

$K$ の近傍で $\sum_\nu\theta_\nu=1$ であり、その外では $F=0$ である。したがって $D$ の近傍で $F=\sum_\nu F_\nu$ かつ $\operatorname{div}F=\sum_\nu\operatorname{div}F_\nu$ である。有限個の等式を加えると式 (5) を得る。▨

補題 4.2. $D$ を区分的に $C^1$ 級正則立体、 $E$ を稜線・頂点集合とする。十分小さい $r>0$ に対して、開集合 $U_r$ と $C^1$ 級関数 $\chi_r:\mathbb R^3\to[0,1]$ で次を満たすものが存在する。

$\chi_r=0$ は $E$ の開近傍で、 $\chi_r=1$ は $U_r$ の外で成り立つ。
$\lVert\nabla\chi_r\rVert\leq C/r$ 。
$\operatorname{vol}(U_r)\leq Cr^2$ 。
$\operatorname{area}(\partial D\cap U_r)\leq Cr$ 。

証明. $E$ は有限個の有限長な区分的 $C^1$ 級正則曲線と有限個の点の和である。一辺 $r$ の格子立方体のうち $E$ と交わるものの個数を $N_r$ とする。各正則曲線片では、有限個の小区間へ分ければ一つの座標成分をパラメータとして用いることができ、残りの座標成分は Lipschitz 連続になる。したがって $N_r=O(r^{-1})$ である。

選んだ格子立方体の中心を $q_\nu$ とする。§E4.19 補題 1.3の切断関数を用いて、各立方体を含み半径 $O(r)$ の球に台をもつ関数 $b_\nu$ を取り、

\chi_r=\prod_{\nu=1}^{N_r}(1-b_\nu)

とおく。半径 $O(r)$ の球族の和を $U_r$ とすれば、 $\chi_r$ は $E$ の近傍で零、 $U_r$ の外で一である。格子中心の間隔は $r$ なので球族の重なり度には一様な上界があり、各 $\lVert\nabla b_\nu\rVert=O(r^{-1})$ と積の微分から $\lVert\nabla\chi_r\rVert=O(r^{-1})$ を得る。また

\operatorname{vol}(U_r)=N_rO(r^3)=O(r^2).

各境界パッチは有限個のグラフチャートで覆われ、各チャートの面積要素は有界である。したがって、半径 $O(r)$ の球と一つのパッチとの共通部分の面積は $O(r^2)$ であり、パッチ数も有限である。ゆえに

\operatorname{area}(\partial D\cap U_r)=N_rO(r^2)=O(r)

である。▨

定理 5.1 (Gauss の発散定理). $D=\overline\Omega$ を定義 1.1の区分的に $C^1$ 級正則立体とし、 $\partial D$ の各パッチ相対内部に外向き単位法線 $\boldsymbol n$ を与える。 $F$ が $D$ を含む開集合上の $C^1$ 級ベクトル場ならば

\iint_{\partial D}F\boldsymbol\cdot\boldsymbol n\,dA =\iiint_D\operatorname{div}F\,dV \tag{6}

が成り立つ。空洞の内面では $\boldsymbol n$ は空洞の内部を向く。

証明. $E$ を稜線・頂点集合とし、補題 4.2の $U_r,\chi_r$ を取る。 $F_r=\chi_rF$ は $E$ の近傍で零なので、補題 4.1により

\iint_{\partial D}\chi_rF\boldsymbol\cdot\boldsymbol n\,dA =\iiint_D[\chi_r\operatorname{div}F+\nabla\chi_r\boldsymbol\cdot F]\,dV \tag{7}

である。

$M$ を $D$ 上の $\lVert F\rVert$ と $|\operatorname{div}F|$ の共通上界とする。 $1-\chi_r$ と $\nabla\chi_r$ の台は $U_r$ に含まれるため、

\left|\iint_{\partial D}(1-\chi_r)F\boldsymbol\cdot\boldsymbol n\,dA\right| \leq M\operatorname{area}(\partial D\cap U_r)=O(r),

\left|\iiint_D(1-\chi_r)\operatorname{div}F\,dV\right|=O(r^2), \qquad \left|\iiint_D\nabla\chi_r\boldsymbol\cdot F\,dV\right| \leq MC r^{-1}\operatorname{vol}(U_r)=O(r).

式 (7) で $r\downarrow0$ とすれば式 (6) を得る。▨

命題 6.1. 有界な閉立体 $V$ が座標単純立体 $V_1,\ldots,V_N$ の有限和であり、異なる小立体の内部は交わらず、各内部曲面はちょうど二つの小立体に共有され、残る境界面の和が $\partial V$ であるとする。小立体の共通部分は有限個の $C^1$ 級正則曲面パッチ、区分的 $C^1$ 級曲線および点からなると仮定する。 $F$ が $V$ の近傍で $C^1$ 級ならば、式 (6) が $V$ について成り立つ。

証明. 各 $V_i$ へ補題 2.3を適用して加える。体積積分の和は§E4.13 補題 1により $V$ 上の体積積分になる。内部面を共有する二つの小立体の外向き法線は互いに反対であり、§E4.21 命題 3.5により二つの流束は相殺する。内部面の境界曲線と点は§E4.20 命題 4.2により寄与しない。残る各面は $\partial V$ 上に外向きで一度だけ現れるため、境界流束だけが残る。▨

例 6.2 (発散定理による直方体の流束計算). $a,b,c>0$ 、 $V=[0,a]\times[0,b]\times[0,c]$ 、 $F(x,y,z)=(x,y,z)$ とする。 $\operatorname{div}F=3$ なので、定理 5.1により

\iint_{\partial V}F\boldsymbol\cdot\boldsymbol n\,dA=3abc.

直接計算では、 $x=a$ 、 $y=b$ 、 $z=c$ の各面が $abc$ を与え、反対側の三面は零を与えるため、同じ値になる。

例 6.3 (球面から出る流束). $a>0$ 、 $D=\{x\in\mathbb R^3:\lVert x\rVert\leq a\}$ 、 $F(x)=x$ とする。 $\operatorname{div}F=3$ であるから、

\iint_{\partial D}F\boldsymbol\cdot\boldsymbol n\,dA =3\operatorname{vol}(D)=4\pi a^3.

一方、球面上では $\boldsymbol n=x/a$ なので $F\boldsymbol\cdot\boldsymbol n=a$ であり、直接計算も $a\cdot4\pi a^2=4\pi a^3$ を与える。

問題 7.1 (稜線近傍の切断誤差).定理 5.1の証明で、 $\lVert\nabla\chi_r\rVert=O(r^{-1})$ であるにもかかわらず、 $\iiint_D\nabla\chi_r\boldsymbol\cdot F\,dV$ が零へ収束する理由を示せ。また、境界流束の切断誤差も零へ収束することを示せ。

§E4.24Gauss の発散定理

1 正則立体と外向き法線

2 単純立体の累次積分

3 境界グラフの局所公式

4 有限局所化と稜線の切断

5 Gauss の発散定理

6 有限分割と流束計算

7 演習

参考文献

前提記事