有限局所化と 1 の分割 | 実解析 II

1 台と切断関数

定義 1.1. $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$ に対して

\operatorname{supp}f=\overline{\{x\in\mathbb R^n:f(x)\ne0\}}

を $f$ の台 (support) という。開集合 $U\subset\mathbb R^n$ に対して、 $\operatorname{supp}f$ がコンパクトであり、かつ $\operatorname{supp}f\subset U$ であるとき、 $f$ の台は $U$ にコンパクトに含まれる (compactly contained) という。

定義 1.2. $K\subset\mathbb R^n$ をコンパクト集合とし、 $U_1,\ldots,U_N$ を $K$ の有限開被覆とする。非負な $C^1$ 級関数 $\theta_1,\ldots,\theta_M:\mathbb R^n\to\mathbb R$ と写像 $\sigma:\{1,\ldots,M\}\to\{1,\ldots,N\}$ が次の条件を満たすとき、 $(\theta_\nu)_{\nu=1}^M$ を $K$ に対する有限局所化 (finite localization) という。

各 $\operatorname{supp}\theta_\nu$ はコンパクトであり、 $U_{\sigma(\nu)}$ に含まれる。
$K$ を含む開集合 $V$ が存在し、 $x\in V$ ならば $\sum_{\nu=1}^M\theta_\nu(x)=1$ である。

このとき、 $(\theta_\nu)$ は $K$ の近傍における、被覆 $(U_j)_{j=1}^N$ に従属する有限な 1 の分割 (finite partition of unity subordinate to a cover) であるともいう。

補題 1.3. 関数 $\rho:\mathbb R\to\mathbb R$ を

\rho(t)= \begin{cases} 1,&t\leq1,\\ 1-3s^2+2s^3,&1\leq t\leq4,\quad s=(t-1)/3,\\ 0,&t\geq4 \end{cases} \tag{1}

と定める。このとき $\rho$ は広義単調減少する $C^1$ 級関数であり、 $0\leq\rho\leq1$ である。

さらに、 $z\in\mathbb R^n$ と $r>0$ に対して

b_{z,r}(x)=\rho\left(\frac{\lVert x-z\rVert^2}{r^2}\right) \tag{2}

とおくと、 $b_{z,r}:\mathbb R^n\to[0,1]$ は $C^1$ 級であり、

b_{z,r}=1\quad\text{on }\overline{B(z,r)}, \qquad \operatorname{supp}b_{z,r}\subset\overline{B(z,2r)} \tag{3}

を満たす。特に $\operatorname{supp}b_{z,r}$ はコンパクトである。

証明. 式 (1) の中間部分を $p(s)=1-3s^2+2s^3$ と書くと、

p(0)=1,\quad p(1)=0,\quad p'(0)=p'(1)=0

である。従って、中間部分の値と一階導関数は $t=1,4$ で両側の定数部分へ連続につながり、 $\rho$ は $C^1$ 級である。また

\frac{d}{dt}p\left(\frac{t-1}{3}\right)=2s(s-1)\leq0 \qquad(0\leq s\leq1)

であるから、 $\rho$ は広義単調減少し、その値は $[0,1]$ に含まれる。

関数 $q(x)=\lVert x-z\rVert^2/r^2$ は $C^1$ 級である。「連鎖律と勾配」の連鎖律§E4.3 定理 1.1により $b_{z,r}=\rho\circ q$ は $C^1$ 級であり、

\nabla b_{z,r}(x)=\rho'(q(x))\frac{2(x-z)}{r^2}

である。 $\lVert x-z\rVert\leq r$ なら $q(x)\leq1$ なので $b_{z,r}(x)=1$ であり、 $\lVert x-z\rVert\geq2r$ なら $q(x)\geq4$ なので $b_{z,r}(x)=0$ である。従って式 (3) が成り立つ。「コンパクト空間」の Heine–Borel の定理§E2.9 定理 4.3により閉球 $\overline{B(z,2r)}$ はコンパクトであり、その閉部分集合である $\operatorname{supp}b_{z,r}$ もコンパクトである。▨

2 有限開被覆に従属する局所化

定理 2.1. $K\subset\mathbb R^n$ をコンパクト集合とし、 $U_1,\ldots,U_N$ を $K$ の有限開被覆とする。ただし $N\geq1$ とする。このとき、有限局所化 $(\theta_\nu)_{\nu=1}^M$ と写像 $\sigma$ で、さらに

0\leq\sum_{\nu=1}^M\theta_\nu(x)\leq1 \qquad(x\in\mathbb R^n) \tag{4}

を満たすものが存在する。

証明. $K=\varnothing$ の場合には、 $M=1$ 、 $\theta_1=0$ 、 $\sigma(1)=1$ 、 $V=\varnothing$ とすればよい。以下では $K\ne\varnothing$ とする。

被覆要素内に台をもつ切断関数を有限個選び、全空間で正となる分母によって正規化した後、内側の球が覆う近傍では補積が零になることから総和が $1$ であることを示す。

各 $z\in K$ に対し、 $z\in U_{j(z)}$ となる添字 $j(z)$ を一つ選ぶ。 $U_{j(z)}$ は開集合であるから、ある $r_z>0$ に対して

\overline{B(z,2r_z)}\subset U_{j(z)} \tag{5}

となる。球族 $(B(z,r_z))_{z\in K}$ は $K$ を覆う。コンパクト性§E2.19 命題 2.6により、有限個の点 $z_1,\ldots,z_M\in K$ を選んで

K\subset\bigcup_{\nu=1}^M B(z_\nu,r_\nu), \qquad r_\nu=r_{z_\nu} \tag{6}

とすることができる。 $\sigma(\nu)=j(z_\nu)$ 、 $b_\nu=b_{z_\nu,r_\nu}$ とおく。

全空間上の $C^1$ 級関数

D(x)=\sum_{\mu=1}^M b_\mu(x) +\prod_{\mu=1}^M(1-b_\mu(x)) \tag{7}

を考える。ある $b_\mu(x)$ が正ならば式 (7) の和の部分が正である。全ての $b_\mu(x)$ が零ならば積の部分が $1$ である。従って

D(x)>0\qquad(x\in\mathbb R^n) \tag{8}

である。そこで

\theta_\nu(x)=\frac{b_\nu(x)}{D(x)} \qquad(1\leq\nu\leq M) \tag{9}

と定める。式 (8) により $1/D$ は全空間上で $C^1$ 級であり、各 $\theta_\nu$ も $C^1$ 級である。また $\theta_\nu\geq0$ である。

式 (9) から、 $\theta_\nu(x)\ne0$ ならば $b_\nu(x)\ne0$ である。従って

\operatorname{supp}\theta_\nu \subset\operatorname{supp}b_\nu \subset\overline{B(z_\nu,2r_\nu)} \subset U_{\sigma(\nu)}. \tag{10}

台はコンパクト集合 $\overline{B(z_\nu,2r_\nu)}$ の閉部分集合なのでコンパクトである。

式 (7) と式 (9) により

\sum_{\nu=1}^M\theta_\nu(x) =\frac{\sum_{\nu=1}^M b_\nu(x)} {\sum_{\nu=1}^M b_\nu(x)+\prod_{\nu=1}^M(1-b_\nu(x))}. \tag{11}

分子と積の部分はともに非負なので、式 (4) が従う。

$V=\bigcup_{\nu=1}^M B(z_\nu,r_\nu)$ とおく。式 (6) により $V$ は $K$ を含む開集合である。 $x\in V$ ならば、ある $\nu$ について $\lVert x-z_\nu\rVert<r_\nu$ であり、式 (3) から $b_\nu(x)=1$ である。従って式 (11) の分母に現れる積は零になり、 $\sum_{\nu=1}^M\theta_\nu(x)=1$ を得る。▨

分母に $\prod_\nu(1-b_\nu)$ を加える理由は、全ての $b_\nu$ が零になる被覆の外側でも分母を正に保つためである。 $K$ の近傍では少なくとも一つの $b_\nu$ が $1$ になるため、この補助項は零になり、通常の正規化と同じく総和が $1$ になる。

系 2.2. $K\subset\mathbb R^n$ をコンパクト集合とし、 $W\subset\mathbb R^n$ を $K$ を含む開集合とする。このとき、 $C^1$ 級関数 $\eta:\mathbb R^n\to[0,1]$ で、 $\operatorname{supp}\eta$ がコンパクトかつ $W$ に含まれ、 $K$ のある開近傍で $\eta=1$ となるものが存在する。

証明.定理 2.1を一つの開集合 $U_1=W$ からなる被覆へ適用し、得られた局所化を $(\theta_\nu)_{\nu=1}^M$ とする。 $\eta=\sum_{\nu=1}^M\theta_\nu$ とおく。定理の式 (4) により $0\leq\eta\leq1$ であり、 $K$ のある開近傍で $\eta=1$ である。また

\operatorname{supp}\eta \subset\bigcup_{\nu=1}^M\operatorname{supp}\theta_\nu \subset W.

右辺の最初の有限和はコンパクトであり、 $\operatorname{supp}\eta$ はその閉部分集合なのでコンパクトである。▨

3 構成の具体例

例 3.1 (二つの切断関数の正規化). $K=[-1,1]\subset\mathbb R$ とし、

U_1=(-3,11/10),\qquad U_2=(-11/10,3)

とする。 $z_1=-1/2$ 、 $z_2=1/2$ 、 $r_1=r_2=3/4$ とおけば、 $\overline{B(z_\nu,2r_\nu)}\subset U_\nu$ であり、 $B(z_1,r_1)\cup B(z_2,r_2)$ は $K$ を含む。

$b_\nu=b_{z_\nu,r_\nu}$ とすると、二関数の場合の分母は

D=b_1+b_2+(1-b_1)(1-b_2)=1+b_1b_2

である。従って

\theta_1=\frac{b_1}{1+b_1b_2}, \qquad \theta_2=\frac{b_2}{1+b_1b_2}.

$K$ の各点では少なくとも一方の $b_\nu$ が $1$ なので $\theta_1+\theta_2=1$ である。両方が $1$ になる重なりでは $\theta_1=\theta_2=1/2$ となり、二つの被覆要素へ寄与が対称に分かれる。

4 演習

問題 4.1 (積型による有限局所化).定理 2.1の証明で選んだ $b_1,\ldots,b_M$ に対して

\widetilde\theta_1=b_1, \qquad \widetilde\theta_\nu=b_\nu\prod_{\mu<\nu}(1-b_\mu) \quad(2\leq\nu\leq M)

と定める。この関数族も同じ被覆に従属する有限局所化であり、全空間で総和が $1$ 以下になることを証明せよ。また、この構成と式 (9) の構成の違いを一つ述べよ。

解答.

各 $\widetilde\theta_\nu$ は非負の $C^1$ 級関数であり、

\operatorname{supp}\widetilde\theta_\nu \subset\operatorname{supp}b_\nu \subset U_{\sigma(\nu)}

である。この台はコンパクトである。

$1\leq m\leq M$ に対して

\sum_{\nu=1}^m\widetilde\theta_\nu =1-\prod_{\nu=1}^m(1-b_\nu) \tag{12}

を帰納法で示す。 $m=1$ では両辺が $b_1$ である。式 (12) が $m$ で成り立つならば、 $\widetilde\theta_{m+1}=b_{m+1}\prod_{\nu=1}^m(1-b_\nu)$ を加えることにより

1-\prod_{\nu=1}^m(1-b_\nu) +b_{m+1}\prod_{\nu=1}^m(1-b_\nu) =1-\prod_{\nu=1}^{m+1}(1-b_\nu)

を得る。各 $1-b_\nu$ は $[0,1]$ に値をもつため、全空間で $0\leq\sum_\nu\widetilde\theta_\nu\leq1$ となる。 $K$ を含む開集合 $V$ では少なくとも一つの $b_\nu$ が $1$ であり、式 (12) の積が零になるので総和は $1$ である。

式 (9) の構成は $b_\nu$ の番号を入れ替えても対応する $\theta_\nu$ が入れ替わるだけである。一方、積型では前に置いた切断関数の因子が後の全ての関数へ現れるため、一般に番号の順序によって各局所化関数が変わる。▨

§E4.19有限局所化と 1 の分割

1 台と切断関数

2 有限開被覆に従属する局所化

3 構成の具体例

4 演習

参考文献

前提記事