§E4.20曲面と面積分

証明.$T(s,t)=(u(s,t),v(s,t))$と書く。連鎖律と外積の双線形性および交代性により、

である。従って

$T$は位相同型であり$T(D')=D$であるから、$T(\overline{D'})=\overline D$である。$\overline D$上の連続関数

に§E4.14 系 2.2を適用し、式 (3) を代入すると式 (2) を得る。▨

証明.$\boldsymbol r(x,y)=(x,y,g(x,y))$とおくと、

である。従って

であり、そのノルムを取ると式 (4) を得る。外積の第三成分が$1$であるため、このパラメータ表示は全ての点で正則である。▨

証明.$\partial\overline\Delta$は$t\mapsto(\cos t,\sin t)$（$0\le t\le2\pi$）の像であり、

である。各集合は区分的$C^1$級曲線の像または有限個の点の和である。従って§E4.11 補題 1.4と Jordan 零集合の有限和に関する閉性により、二つの境界は Jordan 零集合である。二つの集合は有界であり、その境界が Jordan 零集合であるため、§E4.11 定義 2.1により Jordan 可測である。閉集合かつ有界であるため、Heine–Borel の定理によりコンパクトである。▨

証明. 各点$p\in S$に対して定義が与えるチャートを一つ選ぶ。各有効部分の像は$p$を含む$S$の相対開集合であるため、これらの像は$S$の相対開被覆である。$S$のコンパクト性により、この被覆は有限部分被覆をもつ。▨

証明.$D\boldsymbol c(a)$の階数は二である。従って、二つの座標を選ぶ線形射影$P:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$で、$D(P\circ\boldsymbol c)(a)$が正則となるものが存在する。逆関数定理§E4.7 定理 2.1により、$a$の開近傍$B_{\boldsymbol c}$と$P(p)$の開近傍$Q$を、

が$C^1$級微分同相となるように選ぶことができる。残る座標への射影を$P^\perp$とし、

とおく。このとき、$\boldsymbol c(B_{\boldsymbol c})$は、座標の順序を除いて$q\mapsto(q,g(q))$という$C^1$級グラフである。

二つの有効部分の像は$S$の相対開集合である。従って、$p$を含む相対開集合$O$と$b$の開近傍$B_{\boldsymbol d}^0$を

となるように選ぶことができる。モデルの二次元内部では、式 (7) により

である。この等式を微分すると

を得る。点$b$が半径辺または扇形の頂点に属する場合にも、モデルの二次元内部から$b$へ近づき、微分の連続性を用いることにより式 (8) が$b$で成り立つ。左辺の階数と第一因子の階数はともに二であるため、$D(P\boldsymbol d)(b)$は正則である。

逆関数定理を$P\circ\boldsymbol d$へ適用し、$b$の開近傍$B_{\boldsymbol d}\subset B_{\boldsymbol d}^0$で$P\circ\boldsymbol d$を$C^1$級微分同相とする。近傍を縮小して$P\boldsymbol d(B_{\boldsymbol d})\subset Q$とし、

と定める。式 (9) は開近傍間の$C^1$級微分同相である。$w\in B_{\boldsymbol d}\cap K_{\boldsymbol d}^*$では、$\boldsymbol d(w)$と$\boldsymbol c(T(w))$が同じグラフ上にあり、$P$による像が一致するため、両者は等しい。チャートの単射性により$T(w)=\boldsymbol c^{-1}(\boldsymbol d(w))$である。

二つのチャートは、モデルの二次元内部を$S\setminus\partial S$へ、半径辺を$\partial S$へ写す。従って、開近傍を$W_{\boldsymbol d},W_{\boldsymbol c}$へ縮小すれば、$T$は曲面側と半径辺をそれぞれ保存する。最後に、$\boldsymbol d=\boldsymbol c\circ T$をモデルの二次元内部で微分し、閉モデルまで連続に延長すると式 (6) を得る。$T$は微分同相であるため、$\det DT(b)\ne0$である。▨

証明.定理 3.1により$D\boldsymbol d=D\boldsymbol c\,DT$であり、$DT$は正則である。従って二つの微分の像は一致する。▨

証明. 有限集合のチャート逆像は有限集合であるため、Jordan 零集合である。一つの$C^1$級曲線$\gamma:[a,b]\to S$と一つのチャート$\boldsymbol c$を固定する。

各$x\in\boldsymbol c(K_{\boldsymbol c})$に対して、定理 3.1の証明で用いた座標射影の構成により、$a_x=\boldsymbol c^{-1}(x)$の開近傍$B_x\subset\mathbb R^2$、$x$の$\mathbb R^3$における開近傍$U_x$、および$C^1$級写像

で、

を満たすものが存在する。実際、適切な座標射影$P_x$に対して

と定め、チャートの単射性によって他の局所片が$U_x$へ入らないように$U_x$を縮小すればよい。

コンパクト集合$\gamma^{-1}(\boldsymbol c(K_{\boldsymbol c}))\subset[a,b]$は、式 (10) が成り立つ有限個の開区間で覆うことができる。各開区間を閉包が同じ式の定義域に含まれる有限個の閉区間へ縮小する。各閉区間上で$\Phi_x\circ\gamma$は$C^1$級の平面曲線であるため、§E4.11 補題 1.4によりその像は Jordan 零集合である。これらの像の有限和は

を含むため、この逆像も Jordan 零集合である。区分的$C^1$級曲線と有限個の曲線について有限和を取ると、最初の主張を得る。

$\partial S$は定義により有限個の区分的$C^1$級曲線の和である。内部チャートの人工境界は円周の像であり、境界チャートの人工境界は円弧の像である。角点集合は有限集合であるため、残りの主張も従う。▨

証明.命題 2.4により、有効部分の像$O_j=\boldsymbol c_j(K_{\boldsymbol c_j}^*)$からなる有限相対開被覆を取る。各$p\in S$について、$p\in O_j$を満たす添字$j$を一つ選ぶ。$O_j$は$S$の相対開集合であるため、$p$を含む$\mathbb R^3$の開集合$U_p$で

を満たすものが存在する。$S$のコンパクト性により、有限個の$U_{p_1},\ldots,U_{p_N}$が$S$を覆う。各開集合へ選択したチャートを対応させると、式 (11) を得る。

§E4.19 定理 2.1を$n=3$、$K=S$、この有限開被覆へ適用する。得られた関数と添字写像は式 (12) と式 (13) を満たすため、有限局所化チャート族を与える。▨

証明.$H=\varnothing$ならば、台の定義から$h=0$である。この場合、式 (15) の両辺の被積分関数は零関数であるため、両辺は Riemann 可積分であり、積分値はともに零である。以下では$H\ne\varnothing$とする。

$H$の各点$p$に定理 3.1を適用する。対応する遷移写像を

と書く。$p$の$\mathbb R^3$における開近傍$B_p$を、

かつ二つのチャート逆像の閉包が対応する$W$に含まれるように選ぶことができる。$H$のコンパクト性により、有限個の$B_1,\ldots,B_L$が$H$を覆う。§E4.19 定理 2.1を$H$とこの有限開被覆へ適用し、局所化関数$\lambda_1,\ldots,\lambda_q$を得る。$h_\ell=(\lambda_\ell|_S)h$とおくと、

であり、各$h_\ell$の台は一つの$B_l$にコンパクトに含まれる。

一つの$h_\ell$と、対応する遷移写像$T:W_{\boldsymbol d}\to W_{\boldsymbol c}$を固定する。コンパクト集合

を内部に含む有限個の閉長方形の和$Q\subset W_{\boldsymbol d}$を、

となるように選ぶ。$E_{\boldsymbol d}=Q\cap K_{\boldsymbol d}$とおく。$\partial E_{\boldsymbol d}$は$\partial Q\cup\partial K_{\boldsymbol d}$に含まれ、右辺は Jordan 零集合であるため、$E_{\boldsymbol d}$はコンパクトな Jordan 可測集合である。$E_{\boldsymbol c}=T(E_{\boldsymbol d})$とおくと、§E4.14 系 2.2により$E_{\boldsymbol c}$もコンパクトな Jordan 可測集合である。式 (16) と遷移写像の曲面側保存により$E_{\boldsymbol c}\subset K_{\boldsymbol c}^*$であり、

である。

$\boldsymbol d=\boldsymbol c\circ T$と外積の変換公式により、

がモデルの二次元内部で成り立つ。両辺の連続性により、式 (19) は$E_{\boldsymbol d}$の真の境界と角点でも成り立つ。$E_{\boldsymbol c}$上の連続関数

に§E4.14 系 2.2を適用すると、

式 (18) により、二つの被積分関数はそれぞれ$K_{\boldsymbol d}\setminus E_{\boldsymbol d}$と$K_{\boldsymbol c}\setminus E_{\boldsymbol c}$で零である。従って、式 (20) の積分領域を二つの閉モデルへ広げることができる。各閉モデル上の被積分関数は連続であるため、§E4.11 補題 3.4により可積分である。式 (20) を$\ell$について加え、式 (17) を用いると式 (15) を得る。▨

証明. 二つの有限局所化チャート族を

とする。各$(\nu,\mu)$に対して

とおく。その台は

にコンパクトに含まれる。従って補題 5.3により、$h_{\nu\mu}$の二つのチャート積分は一致する。

$S$上で$\sum_\mu\psi_\mu=1$であるため、第一の族による式 (21) の各項を$h_{\nu\mu}$の有限和へ分けることができる。各項を$\boldsymbol d_\mu$の座標へ移し、有限和の順序を交換すると、

最後の式は第二の族による式 (21) の値である。▨

証明. 有限局所化チャート族$\{(\theta_\nu,\boldsymbol c_\nu)\}$を取る。式 (21) により、

各$\theta_\nu h$の台は$\boldsymbol c_\nu(K_{\boldsymbol c_\nu}^*)$と$\boldsymbol c(K_{\boldsymbol c}^*)$の共通部分にコンパクトに含まれる。従って補題 5.3により各項を$\boldsymbol c$の座標へ移すことができる。有限和を取り、$h$が零でない点で$\sum_\nu\theta_\nu=1$であることを用いると式 (23) を得る。▨

証明.$D$はコンパクトであり、§E4.11 補題 1.4により$\partial D$は Jordan 零集合である。従って$D$は Jordan 可測である。$\boldsymbol r|_D$はコンパクト集合から Hausdorff 空間への連続全単射であるため、$D$から$S$への同相写像である。式 (24) と単射性により、

が成り立つ。

曲面チャート$\boldsymbol c:K_{\boldsymbol c}\to S$と点$p\in\boldsymbol c(K_{\boldsymbol c}^*)$を取る。$a=\boldsymbol c^{-1}(p)$、$b=\boldsymbol r^{-1}(p)$とおく。$D\boldsymbol c(a)$の階数が二であるため、座標射影$P:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$を$D(P\boldsymbol c)(a)$が正則となるように選ぶことができる。逆関数定理により、$p$の近傍における$\boldsymbol c$の像は、残りの座標への射影を$P^\perp$として

という$C^1$級グラフで表される。$\boldsymbol r|_D$が同相写像であるため、$b$の近傍を縮小すると、$\Omega$上で

が成り立つ。この等式を微分し、$D=\overline\Omega$と微分の連続性を用いて$b$まで延長すると、

を得る。左辺と第一因子の階数が二であるため、$D(P\boldsymbol r)(b)$は正則である。従って逆関数定理を$P\boldsymbol r$へ適用すると、$b$の開近傍$W_{\boldsymbol r}$、$a$の開近傍$W_{\boldsymbol c}$、および$C^1$級微分同相

で、

を満たすものが存在する。式 (24)、式 (26)、および$\partial D$の局所片側性により、近傍を縮小すると

となる。

有限局所化チャート族$\{(\theta_\nu,\boldsymbol c_\nu)\}_{\nu=1}^M$を取り、$h_\nu=(\theta_\nu|_S)f$とおく。各$h_\nu$の台を式 (28) と式 (29) が成り立つ有限個の近傍で覆い、§E4.19 定理 2.1により

と分解する。各$h_{\nu\ell}$の台は一つの局所遷移の像にコンパクトに含まれる。

一つの$h_{\nu\ell}$と遷移写像$T$を固定する。$\boldsymbol r^{-1}(\operatorname{supp}_S h_{\nu\ell})$を内部に含む有限個の閉長方形の和$Q\subset W_{\boldsymbol r}$を取り、$E_{\boldsymbol r}=Q\cap D$とおく。$\partial E_{\boldsymbol r}\subset\partial Q\cup\partial D$であるため、$E_{\boldsymbol r}$はコンパクトな Jordan 可測集合である。$E_{\boldsymbol c}=T(E_{\boldsymbol r})$は§E4.14 系 2.2によりコンパクトな Jordan 可測集合であり、式 (29) により$K_{\boldsymbol c_\nu}^*$に含まれる。

式 (28) を$\Omega$上で微分し、境界まで連続に延長すると、

を得る。§E4.14 系 2.2と式 (31) により、$h_{\nu\ell}$の$\boldsymbol c_\nu$による積分は$\boldsymbol r$による積分に等しい。二つの被積分関数の台はそれぞれ$E_{\boldsymbol c}$と$E_{\boldsymbol r}$に含まれるため、積分領域を$K_{\boldsymbol c_\nu}$と$D$へ広げることができる。式 (30) を用いて$\ell$について加えると、

式 (32) を$\nu$について加え、$S$上で$\sum_\nu\theta_\nu=1$であることを用いると式 (25) を得る。▨