1 向きづけ可能性 定義 1.1. S ⊂ R 3 S\subset\mathbb R^3 S ⊂ R 3 C 1 C^1 C 1 p ∈ S p\in S p ∈ S T p S T_pS T p S n ( p ) \boldsymbol n(p) n ( p )
n : S ⟶ R 3 \boldsymbol n:S\longrightarrow\mathbb R^3 n : S ⟶ R 3 をS S S 向き (orientation )向きづけ可能 (orientable )n \boldsymbol n n − n -\boldsymbol n − n
曲面チャートc : K → S \boldsymbol c:K\to S c : K → S n \boldsymbol n n 整合する (compatible with the orientation )w ∈ K w\in K w ∈ K
n ( c ( w ) ) = c u ( w ) × c v ( w ) ∥ c u ( w ) × c v ( w ) ∥ \boldsymbol n(\boldsymbol c(w))
=\frac{\boldsymbol c_u(w)\times\boldsymbol c_v(w)}
{\lVert\boldsymbol c_u(w)\times\boldsymbol c_v(w)\rVert} n ( c ( w )) = ∥ c u ( w ) × c v ( w )∥ c u ( w ) × c v ( w ) が成り立つことをいう。
命題 1.2. c : K → S \boldsymbol c:K\to S c : K → S c ~ : K ~ → S \widetilde{\boldsymbol c}:\widetilde K\to S c : K → S c ~ = c ∘ T \widetilde{\boldsymbol c}=\boldsymbol c\circ T c = c ∘ T C 1 C^1 C 1
c ~ ξ × c ~ η = det D T ( c u × c v ) ∘ T \widetilde{\boldsymbol c}_{\xi}\times\widetilde{\boldsymbol c}_{\eta}
=\det DT\,
(\boldsymbol c_u\times\boldsymbol c_v)\circ T c ξ × c η = det D T ( c u × c v ) ∘ T が成り立つ。したがって、両チャートが同じ向きに整合することとdet D T > 0 \det DT>0 det D T > 0 det D T < 0 \det DT<0 det D T < 0
証明. 連鎖律から
c ~ ξ = c u ( T ) ∂ ξ T 1 + c v ( T ) ∂ ξ T 2 , c ~ η = c u ( T ) ∂ η T 1 + c v ( T ) ∂ η T 2 \widetilde{\boldsymbol c}_{\xi}
=c_u(T)\,\partial_{\xi}T_1+c_v(T)\,\partial_{\xi}T_2,
\qquad
\widetilde{\boldsymbol c}_{\eta}
=c_u(T)\,\partial_{\eta}T_1+c_v(T)\,\partial_{\eta}T_2 c ξ = c u ( T ) ∂ ξ T 1 + c v ( T ) ∂ ξ T 2 , c η = c u ( T ) ∂ η T 1 + c v ( T ) ∂ η T 2 を得る。外積を双線形に展開すると、同じベクトルどうしの外積が消え、残る係数は∂ ξ T 1 ∂ η T 2 − ∂ η T 1 ∂ ξ T 2 = det D T \partial_{\xi}T_1\partial_{\eta}T_2-
\partial_{\eta}T_1\partial_{\xi}T_2=\det DT ∂ ξ T 1 ∂ η T 2 − ∂ η T 1 ∂ ξ T 2 = det D T ▨
例 1.3 (向きづけ可能な曲面と向きづけ不可能な曲面). R > 0 R>0 R > 0 R R R n ( p ) = p / R \boldsymbol n(p)=p/R n ( p ) = p / R 0 < a < R 0<a<R 0 < a < R 0 ≤ θ ≤ 2 π 0\le\theta\le2\pi 0 ≤ θ ≤ 2 π ∣ t ∣ ≤ a |t|\le a ∣ t ∣ ≤ a
m ( θ , t ) = ( ( R + t cos ( θ / 2 ) ) cos θ , ( R + t cos ( θ / 2 ) ) sin θ , t sin ( θ / 2 ) ) \boldsymbol m(\theta,t)=
\bigl((R+t\cos(\theta/2))\cos\theta,
(R+t\cos(\theta/2))\sin\theta,t\sin(\theta/2)\bigr) m ( θ , t ) = ( ( R + t cos ( θ /2 )) cos θ , ( R + t cos ( θ /2 )) sin θ , t sin ( θ /2 ) ) で表し、m ( 0 , t ) \boldsymbol m(0,t) m ( 0 , t ) m ( 2 π , − t ) \boldsymbol m(2\pi,-t) m ( 2 π , − t ) t = 0 t=0 t = 0 m θ × m t \boldsymbol m_{\theta}\times\boldsymbol m_t m θ × m t
2 境界の誘導向き 定義 2.1. p ∈ ∂ S p\in\partial S p ∈ ∂ S p p p c : H → S \boldsymbol c:H\to S c : H → S
H = { ( s , t ) : ∣ s ∣ < ε , 0 ≤ t < ε } , c ( 0 , 0 ) = p H=\{(s,t): |s|<\varepsilon,\ 0\le t<\varepsilon\},
\qquad \boldsymbol c(0,0)=p H = {( s , t ) : ∣ s ∣ < ε , 0 ≤ t < ε } , c ( 0 , 0 ) = p を定義域とし、t = 0 t=0 t = 0 t > 0 t>0 t > 0 ( s , t ) (s,t) ( s , t ) 境界適合座標 (boundary-compatible coordinates )
補題 2.2. 二つの境界適合チャートの遷移写像をT = ( T 1 , T 2 ) T=(T_1,T_2) T = ( T 1 , T 2 )
T 2 ( s , 0 ) = 0 , ∂ s T 2 ( s , 0 ) = 0 , ∂ t T 2 ( s , 0 ) > 0 T_2(s,0)=0,
\qquad
\partial_sT_2(s,0)=0,
\qquad
\partial_tT_2(s,0)>0 T 2 ( s , 0 ) = 0 , ∂ s T 2 ( s , 0 ) = 0 , ∂ t T 2 ( s , 0 ) > 0 が成り立つ。
証明. 遷移写像は境界を境界へ写すためT 2 ( s , 0 ) = 0 T_2(s,0)=0 T 2 ( s , 0 ) = 0 s s s ∂ s T 2 ( s , 0 ) = 0 \partial_sT_2(s,0)=0 ∂ s T 2 ( s , 0 ) = 0 t > 0 t>0 t > 0 T 2 ( s , t ) > 0 T_2(s,t)>0 T 2 ( s , t ) > 0
det D T = ∂ s T 1 ∂ t T 2 \det DT=\partial_sT_1\,\partial_tT_2 det D T = ∂ s T 1 ∂ t T 2 であり、遷移写像が局所微分同相なので行列式は零でない。ゆえに∂ t T 2 ( s , 0 ) > 0 \partial_tT_2(s,0)>0 ∂ t T 2 ( s , 0 ) > 0 ▨
定理 2.3. S S S p ∈ ∂ S p\in\partial S p ∈ ∂ S c \boldsymbol c c c t ( p ) \boldsymbol c_t(p) c t ( p )
b = c t − c t ⋅ c s ∥ c s ∥ 2 c s \boldsymbol b
=\boldsymbol c_t-
\frac{\boldsymbol c_t\boldsymbol\cdot\boldsymbol c_s}
{\lVert\boldsymbol c_s\rVert^2}\boldsymbol c_s b = c t − ∥ c s ∥ 2 c t ⋅ c s c s は、T p S T_pS T p S
η ( p ) = − b ∥ b ∥ \boldsymbol\eta(p)=-\frac{\boldsymbol b}{\lVert\boldsymbol b\rVert} η ( p ) = − ∥ b ∥ b は境界適合チャートによらず、滑らかな境界弧上で連続である。このベクトル場を外向き余法線 という。
証明. 正則性によりc s \boldsymbol c_s c s c t \boldsymbol c_t c t b ≠ 0 \boldsymbol b\ne0 b = 0 b ⊥ c s \boldsymbol b\perp\boldsymbol c_s b ⊥ c s c ~ = c ∘ T \widetilde{\boldsymbol c}=\boldsymbol c\circ T c = c ∘ T
c ~ η = c s ∂ η T 1 + c t ∂ η T 2 , ∂ η T 2 > 0 \widetilde{\boldsymbol c}_{\eta}
=\boldsymbol c_s\,\partial_{\eta}T_1
+\boldsymbol c_t\,\partial_{\eta}T_2,
\qquad \partial_{\eta}T_2>0 c η = c s ∂ η T 1 + c t ∂ η T 2 , ∂ η T 2 > 0 である。境界接線方向を除く直交射影を施すとb ~ = ( ∂ η T 2 ) b \widetilde{\boldsymbol b}=(\partial_{\eta}T_2)\boldsymbol b b = ( ∂ η T 2 ) b − b -\boldsymbol b − b η \boldsymbol\eta η ▨
定義 2.4. 向きn \boldsymbol n n S S S
τ = n × η \boldsymbol\tau=\boldsymbol n\times\boldsymbol\eta τ = n × η を正の単位接ベクトルと定める。外向き余法線のチャート独立性により、τ \boldsymbol\tau τ ∂ S \partial S ∂ S 誘導向き (induced orientation )
命題 2.5. c : K → S \boldsymbol c:K\to S c : K → S n \boldsymbol n n K K K γ \boldsymbol\gamma γ K K K c ∘ γ \boldsymbol c\circ\boldsymbol\gamma c ∘ γ ∂ S \partial S ∂ S
証明. s 0 s_0 s 0 K K K γ \boldsymbol\gamma γ det ( γ ′ ( s 0 ) , v ) > 0 \det(\boldsymbol\gamma'(s_0),\boldsymbol v)>0 det ( γ ′ ( s 0 ) , v ) > 0 K K K v ∈ R 2 \boldsymbol v\in\mathbb R^2 v ∈ R 2 s 0 s_0 s 0 det ( γ ′ ( s ) , v ) > 0 \det(\boldsymbol\gamma'(s),\boldsymbol v)>0 det ( γ ′ ( s ) , v ) > 0
χ ( s , q ) = γ ( s ) + q v \boldsymbol\chi(s,q)=\boldsymbol\gamma(s)+q\boldsymbol v χ ( s , q ) = γ ( s ) + q v はq ≥ 0 q\ge0 q ≥ 0 K K K C 1 C^1 C 1 v \boldsymbol v v χ \boldsymbol\chi χ C 1 C^1 C 1 c ∘ χ \boldsymbol c\circ\boldsymbol\chi c ∘ χ
( c ∘ χ ) s × ( c ∘ χ ) q (\boldsymbol c\circ\boldsymbol\chi)_s\times
(\boldsymbol c\circ\boldsymbol\chi)_q ( c ∘ χ ) s × ( c ∘ χ ) q はn \boldsymbol n n q q q s = s 0 s=s_0 s = s 0 ( τ , 内向き余法線 , n ) (\boldsymbol\tau,\text{内向き余法線},\boldsymbol n) ( τ , 内向き余法線 , n ) ( c ∘ γ ) ′ ( s 0 ) (\boldsymbol c\circ\boldsymbol\gamma)'(s_0) ( c ∘ γ ) ′ ( s 0 ) τ \boldsymbol\tau τ s 0 s_0 s 0 ▨
3 流束と再パラメータ化 定義 3.1. 向きn \boldsymbol n n S S S S S S F : S → R 3 \boldsymbol F:S\to\mathbb R^3 F : S → R 3 F \boldsymbol F F S S S 流束 (flux )
∬ S F ⋅ n d S : = ∬ S ( F ⋅ n ) d S \iint_S\boldsymbol F\boldsymbol\cdot\boldsymbol n\,dS
:=\iint_S(\boldsymbol F\boldsymbol\cdot\boldsymbol n)\,dS ∬ S F ⋅ n d S := ∬ S ( F ⋅ n ) d S と定める。右辺は§E4.20 定義 5.4 のスカラー面積分である。
命題 3.2. S S S n \boldsymbol n n C 1 C^1 C 1 Ω ⊂ R 2 \Omega\subset\mathbb R^2 Ω ⊂ R 2 D = Ω ‾ D=\overline\Omega D = Ω Ω = int ( D ) \Omega=\tpint{D} Ω = int ( D ) ∂ D \partial D ∂ D C 1 C^1 C 1 ∂ D \partial D ∂ D Ω \Omega Ω R 2 ∖ D \mathbb R^2\setminus D R 2 ∖ D
D D D C 1 C^1 C 1 c \boldsymbol c c D D D
c ( D ) = S , c ( ∂ D ) = ∂ S \boldsymbol c(D)=S,
\qquad
\boldsymbol c(\partial D)=\partial S c ( D ) = S , c ( ∂ D ) = ∂ S を満たし、n \boldsymbol n n F : S → R 3 \boldsymbol F:S\to\mathbb R^3 F : S → R 3
∬ S F ⋅ n d S = ∬ D F ( c ( u , v ) ) ⋅ ( c u × c v ) ( u , v ) d u d v \iint_S\boldsymbol F\boldsymbol\cdot\boldsymbol n\,dS
=\iint_D
\boldsymbol F(\boldsymbol c(u,v))\boldsymbol\cdot
(\boldsymbol c_u\times\boldsymbol c_v)(u,v)\,du\,dv ∬ S F ⋅ n d S = ∬ D F ( c ( u , v )) ⋅ ( c u × c v ) ( u , v ) d u d v が成り立つ。
証明. §E4.20 系 5.7 を連続関数f = F ⋅ n f=\boldsymbol F\boldsymbol\cdot\boldsymbol n f = F ⋅ n
n ∘ c = c u × c v ∥ c u × c v ∥ \boldsymbol n\circ\boldsymbol c
=\frac{\boldsymbol c_u\times\boldsymbol c_v}
{\lVert\boldsymbol c_u\times\boldsymbol c_v\rVert} n ∘ c = ∥ c u × c v ∥ c u × c v である。従って、f ∘ c f\circ\boldsymbol c f ∘ c F ( c ) ⋅ ( c u × c v ) \boldsymbol F(\boldsymbol c)\boldsymbol\cdot(\boldsymbol c_u\times\boldsymbol c_v) F ( c ) ⋅ ( c u × c v ) ▨
定理 3.3. K , K ′ ⊂ R 2 K,K'\subset\mathbb R^2 K , K ′ ⊂ R 2 T T T K ′ K' K ′ K K K C 1 C^1 C 1 T ( K ′ ) = K T(K')=K T ( K ′ ) = K c : K → S \boldsymbol c:K\to S c : K → S n \boldsymbol n n c ~ = c ∘ T \widetilde{\boldsymbol c}=\boldsymbol c\circ T c = c ∘ T det D T > 0 \det DT>0 det D T > 0 c \boldsymbol c c c ~ \widetilde{\boldsymbol c} c F : c ( K ) → R 3 \boldsymbol F:\boldsymbol c(K)\to\mathbb R^3 F : c ( K ) → R 3
∬ K ′ F ( c ~ ) ⋅ ( c ~ ξ × c ~ η ) d ξ d η = ∬ K F ( c ) ⋅ ( c u × c v ) d u d v \iint_{K'}\boldsymbol F(\widetilde{\boldsymbol c})\boldsymbol\cdot
(\widetilde{\boldsymbol c}_{\xi}\times\widetilde{\boldsymbol c}_{\eta})\,d\xi\,d\eta
=\iint_K\boldsymbol F(\boldsymbol c)\boldsymbol\cdot
(\boldsymbol c_u\times\boldsymbol c_v)\,du\,dv ∬ K ′ F ( c ) ⋅ ( c ξ × c η ) d ξ d η = ∬ K F ( c ) ⋅ ( c u × c v ) d u d v が成り立つ。det D T < 0 \det DT<0 det D T < 0 c ~ \widetilde{\boldsymbol c} c
証明. 命題 1.2 の外積変換式から、左辺の被積分関数は
[ F ( c ) ⋅ ( c u × c v ) ] ∘ T det D T \bigl[\boldsymbol F(\boldsymbol c)\boldsymbol\cdot
(\boldsymbol c_u\times\boldsymbol c_v)\bigr]\circ T\,\det DT [ F ( c ) ⋅ ( c u × c v ) ] ∘ T det D T である。det D T > 0 \det DT>0 det D T > 0 det D T = ∣ det D T ∣ \det DT=|\det DT| det D T = ∣ det D T ∣ §E4.14 系 2.2 をE = K ′ E=K' E = K ′ Φ = T \Phi=T Φ = T det D T < 0 \det DT<0 det D T < 0 det D T = − ∣ det D T ∣ \det DT=-|\det DT| det D T = − ∣ det D T ∣ ▨
証明. §E4.20 命題 5.6 をf = F ⋅ n f=\boldsymbol F\boldsymbol\cdot\boldsymbol n f = F ⋅ n ▨
命題 3.5. 同じ曲面に反対向き− n -\boldsymbol n − n
∬ ( S , − n ) F ⋅ ( − n ) d S = − ∬ ( S , n ) F ⋅ n d S \iint_{(S,-\boldsymbol n)}\boldsymbol F\boldsymbol\cdot(-\boldsymbol n)\,dS
=-\iint_{(S,\boldsymbol n)}\boldsymbol F\boldsymbol\cdot\boldsymbol n\,dS ∬ ( S , − n ) F ⋅ ( − n ) d S = − ∬ ( S , n ) F ⋅ n d S と符号を変える。
証明. スカラー面積分の線形性とF ⋅ ( − n ) = − ( F ⋅ n ) \boldsymbol F\boldsymbol\cdot(-\boldsymbol n)=
-(\boldsymbol F\boldsymbol\cdot\boldsymbol n) F ⋅ ( − n ) = − ( F ⋅ n ) ▨
4 内部境界の相殺 命題 4.1. 同じ向きn \boldsymbol n n S 1 , S 2 S_1,S_2 S 1 , S 2 C C C C C C S i S_i S i η i \boldsymbol\eta_i η i τ i \boldsymbol\tau_i τ i C C C
η 2 = − η 1 , τ 2 = − τ 1 \boldsymbol\eta_2=-\boldsymbol\eta_1,
\qquad
\boldsymbol\tau_2=-\boldsymbol\tau_1 η 2 = − η 1 , τ 2 = − τ 1 である。従って共通境界に沿う向き付き線積分は二つの曲面片からの寄与を加えると相殺する。
証明. C C C T p S T_pS T p S C C C S 1 S_1 S 1 S 2 S_2 S 2 n \boldsymbol n n
τ 2 = n × η 2 = − n × η 1 = − τ 1 . \boldsymbol\tau_2
=\boldsymbol n\times\boldsymbol\eta_2
=-\boldsymbol n\times\boldsymbol\eta_1
=-\boldsymbol\tau_1. τ 2 = n × η 2 = − n × η 1 = − τ 1 . 最後の相殺は§E4.18 命題 3.2 における向きの反転による符号変化から従う。▨
5 例と問題 例 5.1 (グラフ曲面を通る流束). D ⊂ R 2 D\subset\mathbb R^2 D ⊂ R 2 g ∈ C 1 ( D ) g\in C^1(D) g ∈ C 1 ( D )
c ( x , y ) = ( x , y , g ( x , y ) ) \boldsymbol c(x,y)=(x,y,g(x,y)) c ( x , y ) = ( x , y , g ( x , y )) で表す。上向きの向きでは
c x × c y = ( − g x , − g y , 1 ) \boldsymbol c_x\times\boldsymbol c_y=(-g_x,-g_y,1) c x × c y = ( − g x , − g y , 1 ) であるから、連続ベクトル場F = ( P , Q , R ) \boldsymbol F=(P,Q,R) F = ( P , Q , R )
∬ D ( − P ( c ) g x − Q ( c ) g y + R ( c ) ) , d x , d y \iint_D\bigl(-P(\boldsymbol c)g_x-Q(\boldsymbol c)g_y+R(\boldsymbol c)\bigr),dx,dy ∬ D ( − P ( c ) g x − Q ( c ) g y + R ( c ) ) , d x , d y となる。特にF = ( 0 , 0 , 1 ) \boldsymbol F=(0,0,1) F = ( 0 , 0 , 1 ) area ( D ) \operatorname{area}(D) area ( D )
問題 5.2 (放物面の流束と境界向き). R > 0 R>0 R > 0 D = { ( x , y ) : x 2 + y 2 ≤ R 2 } D=\{(x,y):x^2+y^2\le R^2\} D = {( x , y ) : x 2 + y 2 ≤ R 2 } S = { ( x , y , x 2 + y 2 ) : ( x , y ) ∈ D } S=\{(x,y,x^2+y^2):(x,y)\in D\} S = {( x , y , x 2 + y 2 ) : ( x , y ) ∈ D } S S S F ( x , y , z ) = ( x , y , z ) \boldsymbol F(x,y,z)=(x,y,z) F ( x , y , z ) = ( x , y , z )
S S S F \boldsymbol F F 曲面の向きを下向きに変えたときの流束を求めよ。
上向きの曲面が境界円に誘導する向きをx y xy x y
解答. g ( x , y ) = x 2 + y 2 g(x,y)=x^2+y^2 g ( x , y ) = x 2 + y 2 ( − 2 x , − 2 y , 1 ) (-2x,-2y,1) ( − 2 x , − 2 y , 1 )
F ( x , y , g ( x , y ) ) ⋅ ( − 2 x , − 2 y , 1 ) = − ( x 2 + y 2 ) . \boldsymbol F(x,y,g(x,y))\boldsymbol\cdot(-2x,-2y,1)
=-(x^2+y^2). F ( x , y , g ( x , y )) ⋅ ( − 2 x , − 2 y , 1 ) = − ( x 2 + y 2 ) . 極座標で積分すると
∬ S F ⋅ n d S = − ∫ 0 2 π ∫ 0 R r 3 d r d θ = − π R 4 2 . \iint_S\boldsymbol F\boldsymbol\cdot\boldsymbol n\,dS
=-\int_0^{2\pi}\int_0^R r^3\,dr\,d\theta
=-\frac{\pi R^4}{2}. ∬ S F ⋅ n d S = − ∫ 0 2 π ∫ 0 R r 3 d r d θ = − 2 π R 4 . 下向きでは命題 3.5 によりπ R 4 / 2 \pi R^4/2 π R 4 /2 τ = n × η \boldsymbol\tau=\boldsymbol n\times\boldsymbol\eta τ = n × η ▨