§E4.17勾配・発散・回転

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室内の各点の温度は一つの実数を与えるスカラー場であり、各点の空気の流れは向きと大きさをもつベクトル場である。温度の勾配は温度が増加する方向と変化率を表し、流れの発散は局所的な湧き出しと吸い込みを、回転は局所的な回り方を捉える。

三つの演算は同じ一階偏導関数から作られるが、入力と出力の型は同じでない。勾配はスカラー場をベクトル場へ写し、発散はベクトル場をスカラー場へ写し、回転はベクトル場をベクトル場へ写す。この差によって、意味をもつ合成と意味をもたない合成が分かれる。

二階まで連続的に微分することができる場では、型が合う合成のうち、勾配の回転と回転の発散は常に零になる。本記事では、三つの演算を定義して入力と出力を区別し、二つの恒等式を混合偏導関数の対称性から導く。

1 場と三つの微分演算

定義 1.1.Ω⊂R3\Omega\subset\mathbb R^3を開集合とする。写像

f:Ω⟶Rf:\Omega\longrightarrow\mathbb R

をΩ\Omega上の スカラー場 (scalar field) といい、写像

F:Ω⟶R3F:\Omega\longrightarrow\mathbb R^3

をΩ\Omega上の ベクトル場 (vector field) という。ベクトル場の三成分をF=(P,Q,R)F=(P,Q,R)と書く。

定義 1.2.Ω⊂R3\Omega\subset\mathbb R^3を開集合とする。

f∈C1(Ω)f\in C^1(\Omega)に対して、ffの 勾配 (gradient) を

grad⁡f=∇f=(∂xf,∂yf,∂zf)∈C0(Ω;R3)\operatorname{grad}f=\nabla f =\left(\partial_xf,\partial_yf,\partial_zf\right) \in C^0(\Omega;\mathbb R^3)

と定める。

F=(P,Q,R)∈C1(Ω;R3)F=(P,Q,R)\in C^1(\Omega;\mathbb R^3)に対して、FFの 発散 (divergence) を

div⁡F=∂xP+∂yQ+∂zR∈C0(Ω)\operatorname{div}F =\partial_xP+\partial_yQ+\partial_zR \in C^0(\Omega)

と定め、FFの 回転 (curl) を

curl⁡F=(∂yR−∂zQ,∂zP−∂xR,∂xQ−∂yP)∈C0(Ω;R3)\operatorname{curl}F =\left( \partial_yR-\partial_zQ, \partial_zP-\partial_xR, \partial_xQ-\partial_yP \right) \in C^0(\Omega;\mathbb R^3)

と定める。

注意 1.3 (三つの演算の型). 三つの演算の型は

grad⁡:C1(Ω)⟶C0(Ω;R3),\operatorname{grad}:C^1(\Omega)\longrightarrow C^0(\Omega;\mathbb R^3),div⁡:C1(Ω;R3)⟶C0(Ω),curl⁡:C1(Ω;R3)⟶C0(Ω;R3)\operatorname{div}:C^1(\Omega;\mathbb R^3)\longrightarrow C^0(\Omega), \qquad \operatorname{curl}:C^1(\Omega;\mathbb R^3)\longrightarrow C^0(\Omega;\mathbb R^3)

である。従って、勾配にはスカラー場を、発散と回転にはベクトル場を入力する。たとえばcurl⁡(grad⁡f)\operatorname{curl}(\operatorname{grad}f)は型が合うが、ここで定義した演算としてのdiv⁡f\operatorname{div}fは型が合わない。

各演算は一階偏導関数を用いるため、C1C^1級の入力から得られる出力は一般にはC0C^0級までしか保証されない。出力へさらに一階微分演算を施すには、最初の場をC2C^2級と仮定すれば十分である。

例 1.4 (三つの演算の成分計算).

f(x,y,z)=x2y+yz,F(x,y,z)=(xy,yz,zx)f(x,y,z)=x^2y+yz, \qquad F(x,y,z)=(xy,yz,zx)

とする。このとき

∇f=(2xy,x2+z,y)\nabla f=(2xy,x^2+z,y)

であり、

div⁡F=∂x(xy)+∂y(yz)+∂z(zx)=x+y+z\operatorname{div}F =\partial_x(xy)+\partial_y(yz)+\partial_z(zx) =x+y+z

である。また、

curl⁡F=(∂y(zx)−∂z(yz),∂z(xy)−∂x(zx),∂x(yz)−∂y(xy))=(−y,−z,−x)\begin{aligned} \operatorname{curl}F &=\left( \partial_y(zx)-\partial_z(yz), \partial_z(xy)-\partial_x(zx), \partial_x(yz)-\partial_y(xy) \right)\\ &=(-y,-z,-x) \end{aligned}

を得る。

2 二階の合成と基本恒等式

定理 2.1.Ω⊂R3\Omega\subset\mathbb R^3を開集合とする。次が成り立つ。

  1. f∈C2(Ω)f\in C^2(\Omega)ならば、 curl⁡(grad⁡f)=0\operatorname{curl}(\operatorname{grad}f)=0 である。
  2. F∈C2(Ω;R3)F\in C^2(\Omega;\mathbb R^3)ならば、 div⁡(curl⁡F)=0\operatorname{div}(\operatorname{curl}F)=0 である。

証明.f∈C2(Ω)f\in C^2(\Omega)とする。勾配の三成分を回転の定義へ代入すると、

curl⁡(grad⁡f)=(∂y∂zf−∂z∂yf,∂z∂xf−∂x∂zf,∂x∂yf−∂y∂xf)\operatorname{curl}(\operatorname{grad}f) =\left( \partial_y\partial_zf-\partial_z\partial_yf, \partial_z\partial_xf-\partial_x\partial_zf, \partial_x\partial_yf-\partial_y\partial_xf \right)

となる。ffはC2C^2級であるから、混合偏導関数の対称性§E4.4 定理 2.1により、各成分の二項は等しい。従ってcurl⁡(grad⁡f)=0\operatorname{curl}(\operatorname{grad}f)=0である。

F=(P,Q,R)∈C2(Ω;R3)F=(P,Q,R)\in C^2(\Omega;\mathbb R^3)とする。回転の三成分を発散の定義へ代入すると、

div⁡(curl⁡F)=∂x(∂yR−∂zQ)+∂y(∂zP−∂xR)+∂z(∂xQ−∂yP)=(∂x∂yR−∂y∂xR)+(∂z∂xQ−∂x∂zQ)+(∂y∂zP−∂z∂yP).\begin{aligned} \operatorname{div}(\operatorname{curl}F) ={}&\partial_x(\partial_yR-\partial_zQ) +\partial_y(\partial_zP-\partial_xR) +\partial_z(\partial_xQ-\partial_yP)\\ ={}&(\partial_x\partial_yR-\partial_y\partial_xR) +(\partial_z\partial_xQ-\partial_x\partial_zQ)\\ &+(\partial_y\partial_zP-\partial_z\partial_yP). \end{aligned}

P,Q,RP,Q,RはいずれもC2C^2級である。従って§E4.4 定理 2.1により、右辺の三つの括弧はそれぞれ零である。ゆえにdiv⁡(curl⁡F)=0\operatorname{div}(\operatorname{curl}F)=0である。▨

注意 2.2 (正則性の役割と恒等式の向き).C2C^2級という仮定は、二階混合偏導関数が存在して連続であり、その微分順序を§E4.4 定理 2.1によって交換することができることを保証する。C1C^1級という仮定だけでは、grad⁡f\operatorname{grad}fまたはcurl⁡F\operatorname{curl}Fをさらに偏微分することができるとは限らない。

二つの恒等式は局所的な微分計算から従う。逆向き、すなわち回転が零であるベクトル場が大域的に勾配になるための条件は、この恒等式だけからは従わない。保存場の大域的な判定には、定義域に対する追加条件が必要である。

例 2.3 (二つの恒等式の直接確認).f(x,y,z)=ex+y+zf(x,y,z)=e^{x+y+z}とすると、

grad⁡f=(ex+y+z,ex+y+z,ex+y+z)\operatorname{grad}f=(e^{x+y+z},e^{x+y+z},e^{x+y+z})

であり、回転の各成分は同じ二項の差になるため零である。

F(x,y,z)=(0,0,xy)F(x,y,z)=(0,0,xy)とすると、

curl⁡F=(x,−y,0)\operatorname{curl}F=(x,-y,0)

であり、

div⁡(curl⁡F)=∂xx+∂y(−y)+∂z0=1−1=0\operatorname{div}(\operatorname{curl}F) =\partial_xx+\partial_y(-y)+\partial_z0 =1-1=0

となる。

3 演習

問題 3.1 (定義から恒等式を確かめる).

f(x,y,z)=x2y+yz,F(x,y,z)=(0,0,xy)f(x,y,z)=x^2y+yz, \qquad F(x,y,z)=(0,0,xy)

とする。次を求めよ。

  1. curl⁡(grad⁡f)\operatorname{curl}(\operatorname{grad}f)。
  2. div⁡(curl⁡F)\operatorname{div}(\operatorname{curl}F)。
解答.

まず

grad⁡f=(2xy,x2+z,y)\operatorname{grad}f=(2xy,x^2+z,y)

であるから、

curl⁡(grad⁡f)=(∂yy−∂z(x2+z),∂z(2xy)−∂xy,∂x(x2+z)−∂y(2xy))=(1−1,0−0,2x−2x)=(0,0,0)\begin{aligned} \operatorname{curl}(\operatorname{grad}f) &=\left( \partial_y y-\partial_z(x^2+z), \partial_z(2xy)-\partial_x y, \partial_x(x^2+z)-\partial_y(2xy) \right)\\ &=(1-1,0-0,2x-2x)=(0,0,0) \end{aligned}

となる。

また、

curl⁡F=(x,−y,0)\operatorname{curl}F=(x,-y,0)

であるから、

div⁡(curl⁡F)=∂xx+∂y(−y)+∂z0=1−1=0\operatorname{div}(\operatorname{curl}F) =\partial_xx+\partial_y(-y)+\partial_z0 =1-1=0

となる。▨

問題 3.2 (型と正則性を区別する).f∈C2(Ω)f\in C^2(\Omega)およびF∈C2(Ω;R3)F\in C^2(\Omega;\mathbb R^3)とする。

  1. 次のうち、定義 1.2で定義した演算の合成として型が合うものを全て選べ。 curl⁡(grad⁡f),div⁡(grad⁡f),grad⁡(div⁡F),curl⁡(curl⁡F),grad⁡F,div⁡f.\operatorname{curl}(\operatorname{grad}f),\qquad \operatorname{div}(\operatorname{grad}f),\qquad \operatorname{grad}(\operatorname{div}F),\qquad \operatorname{curl}(\operatorname{curl}F),\qquad \operatorname{grad}F,\qquad \operatorname{div}f.
  2. 型が合う二階の合成が全て恒等的に零になるわけではないことを、f(x,y,z)=x2+y2+z2f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2とF(x,y,z)=(0,x2,0)F(x,y,z)=(0,x^2,0)を用いて示せ。
解答.

勾配はスカラー場をベクトル場へ写し、発散はベクトル場をスカラー場へ写し、回転はベクトル場をベクトル場へ写す。従って型が合うものは

curl⁡(grad⁡f),div⁡(grad⁡f),grad⁡(div⁡F),curl⁡(curl⁡F)\operatorname{curl}(\operatorname{grad}f),\qquad \operatorname{div}(\operatorname{grad}f),\qquad \operatorname{grad}(\operatorname{div}F),\qquad \operatorname{curl}(\operatorname{curl}F)

である。ここで定義した三つの演算には、ベクトル場を入力する勾配と、スカラー場を入力する発散はないため、grad⁡F\operatorname{grad}Fとdiv⁡f\operatorname{div}fは型が合わない。最初の場がC2C^2級なので、型が合う四つの合成に必要な二階偏導関数は連続である。

f(x,y,z)=x2+y2+z2f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2に対して

div⁡(grad⁡f)=∂x(2x)+∂y(2y)+∂z(2z)=6\operatorname{div}(\operatorname{grad}f) =\partial_x(2x)+\partial_y(2y)+\partial_z(2z)=6

である。また、F(x,y,z)=(0,x2,0)F(x,y,z)=(0,x^2,0)に対して

curl⁡F=(0,0,2x),curl⁡(curl⁡F)=(0,−2,0)\operatorname{curl}F=(0,0,2x), \qquad \operatorname{curl}(\operatorname{curl}F)=(0,-2,0)

である。従って、型が合う二階の合成のうち、定理 2.1が述べる二つだけが、ここで扱った交代的な相殺によって恒等的に零になる。▨

参考文献

  1. Jerrold E. Marsden and Anthony J. Tromba, Vector Calculus, 6th ed., W. H. Freeman, 2012.三次元の勾配、発散、回転と基本恒等式を参考にした。
  2. Michael Spivak, Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus, CRC Press, 2018, originally published 1965.混合偏導関数の対称性に基づく恒等式の証明を参考にした。

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