§E17.20左不変ベクトル場と Lie 環

証明. 二つの条件が同値であることを示す。§E17.7 定義 2.1により、$q\in G$に対して

である。§E17.19 命題 3.1により$L_g^{-1}=L_{g^{-1}}$であるから$L_g^{-1}(q)=g^{-1}q$である。$h=g^{-1}q$と置くと$q=gh$であり、$h$は$q$が$G$を動くとき$G$を動く。したがって$(L_g)_*X=X$がすべての$q$で成り立つことと、$d(L_g)_h(X_h)=X_{gh}$がすべての$h$で成り立つことは同値である。▨

証明. $\mathfrak{g}$が線形部分空間であり$\varepsilon$が線形であること。$X,Y\in\mathfrak{g}$、$a,b\in\mathbb{R}$とすると、$d(L_g)_h$が線形写像であるから

である。よって$aX+bY\in\mathfrak{g}$である。$\varepsilon(aX+bY)=(aX+bY)_e=aX_e+bY_e$であるから$\varepsilon$は線形である。

$X^{v}$が左不変性の式を満たすこと。$g,h\in G$とする。$L_g\circ L_h=L_{gh}$である。実際、すべての$k\in G$に対して$L_g(L_h(k))=g(hk)=(gh)k=L_{gh}(k)$である。連鎖律（§E17.3 定理 5.3）を$e$において適用すると

である（$L_h(e)=h$に注意する）。したがって

である。

$X^{v}$が$C^\infty$であること。$X^{v}$は$G$の各点$g$に接ベクトル$(X^{v})_g\in T_gG$を対応させる（滑らかさをまだ仮定しない）対応である。§E17.4 命題 5.2により、$X^{v}$が$C^\infty$ベクトル場であることを示すには、$G$の一つのアトラスに属する各チャートについて成分が$C^\infty$であることを示せば十分である。成分は座標関数への作用として書かれるので、次を示せば足りる。すなわち、$G$の任意の開集合$U$と$f\in C^\infty(U)$に対して、関数

が$U$上で$C^\infty$であることを示せばよい。ここで§E17.3 注意 1.5の同一視によって、$U$の上でだけ定義された関数への接ベクトルの作用を用いている。

§E17.3 命題 4.3により、$v\in T_eG$に対して$\varepsilon_0>0$と滑らかな曲線$\gamma\colon(-\varepsilon_0,\varepsilon_0)\to G$で$\gamma(0)=e$かつ$v_\gamma=v$、すなわちすべての$\phi\in C^\infty(G)$に対して$v(\phi)=(\phi\circ\gamma)'(0)$を満たすものが存在する。

$g\in U$を固定する。微分の定義（§E17.3 定義 5.1）により

である。ここで$f\circ L_g$は$L_g^{-1}(U)=g^{-1}U$の上で定義された$C^\infty$関数であり、$e\in g^{-1}U$である。

写像$\Theta(g,t)=g\,\gamma(t)=\mu\bigl(g,\gamma(t)\bigr)$を考える。$\mu\colon G\times G\to G$は§E17.19 定義 1.1により$C^\infty$であり、$(g,t)\mapsto(g,\gamma(t))$は$C^\infty$写像であるから（積のチャートに関する座標表示が二つの$C^\infty$写像を並べたものである）、§E17.1 系 4.3により$\Theta\colon G\times(-\varepsilon_0,\varepsilon_0)\to G$は$C^\infty$である。

$g_0\in U$を取る。$\Theta(g_0,0)=g_0\in U$であり$\Theta$は連続であるから、$g_0$の開近傍$W\subseteq U$と$0<\varepsilon_1\le\varepsilon_0$を、$\Theta(W\times(-\varepsilon_1,\varepsilon_1))\subseteq U$となるように取ることができる。$W$の上のチャート$(W,\varphi)$を$G$の可微分構造から取り（必要なら$W$を縮める）、$\varphi$の像の座標を$x$と書くと、

は$C^\infty$写像の合成として$\varphi(W)\times(-\varepsilon_1,\varepsilon_1)$の上で$C^\infty$である。$C^\infty$写像の偏導関数はふたたび$C^\infty$であるから、この写像の$t$についての偏導関数を$t=0$で評価したもの

は$\varphi(W)$の上で$C^\infty$である。上の計算により、この関数は$x\mapsto(X^{v})_{\varphi^{-1}(x)}(f)$に等しい。すなわち$g\mapsto(X^{v})_g(f)$は$W$の上で$C^\infty$である。$g_0\in U$は任意であったから、この関数は$U$の上で$C^\infty$である。

したがって、$G$のチャート$(U,\varphi)$、$\varphi=(x^1,\dots,x^n)$を取ると、$X^{v}$の成分$(X^{v})^{i}=X^{v}(x^{i})$は$U$上で$C^\infty$であり、§E17.4 命題 5.2により$X^{v}\in\mathfrak{X}(G)$である。左不変性は上で示したので$X^{v}\in\mathfrak{g}$である。

二つの対応が互いに逆であること。$v\in T_eG$に対して$\varepsilon(X^{v})=(X^{v})_e=d(L_e)_e(v)$である。$L_e=\operatorname{id}_G$であるから§E17.3 定理 5.3により$d(L_e)_e=\operatorname{id}_{T_eG}$であり、$\varepsilon(X^{v})=v$である。逆に$X\in\mathfrak{g}$を取り$v=X_e$と置くと、左不変性により各$g$で$(X^{v})_g=d(L_g)_e(X_e)=X_g$であるから$X^{v}=X$である。

$v\mapsto X^{v}$が線形であることは、$d(L_g)_e$が線形であることから従う。よって$\varepsilon$は線形同型である。§E17.3 定理 3.3により$\dim T_eG=\dim G$である。▨

証明.$g\in G$を任意に取る。§E17.19 命題 3.1により$L_g$は$G$の微分同相である。$X$と$Y$は左不変であるから$(L_g)_*X=X$、$(L_g)_*Y=Y$である。§E17.7 定理 2.6の系を微分同相$L_g$へ適用すると

である。$[X,Y]$は§E17.7 定義 1.2により$G$上の$C^\infty$ベクトル場である。$g$は任意であったから定義 1.1により$[X,Y]\in\mathfrak{g}$である。▨

証明.(1)を示す。定理 1.2により$\mathfrak{g}$は$\mathfrak{X}(G)$の有限次元線形部分空間である。定理 2.1により括弧積は$\mathfrak{g}$から出ない。双線形性、交代性および Jacobi 律は§E17.7 命題 1.4が$\mathfrak{X}(G)$の全体について与えており、部分空間へ制限しても成り立つ。よって$\mathfrak{g}$は定義 2.2の意味で Lie 環である。

(2)を示す。$\varepsilon$は線形同型であり、その逆写像は$v\mapsto X^{v}$である。$T_eG$の括弧積を上の式で定めると、定義から

である。ここで$X^{X_e}=X$と$X^{Y_e}=Y$を用いた（定理 1.2）。したがって$\varepsilon$は括弧積を保つ。双線形性、交代性および Jacobi 律は、$\varepsilon$が線形同型で括弧積を保つことから、$\mathfrak{g}$の対応する性質へ移して確かめることができる。すなわち、$u=\varepsilon(X)$などと置けば、$T_eG$における等式は$\mathfrak{g}$における等式に$\varepsilon$を施したものである。▨

証明.$L_g$は$GL_n(\mathbb{R})$の上で$L_g(B)=gB$で与えられる。この写像は、$M_n(\mathbb{R})$の上の線形写像$\Lambda_g(B)=gB$の$GL_n(\mathbb{R})$への制限である。線形写像の全微分は各点でその写像自身に等しい。実際、$\Lambda_g(B+tH)=\Lambda_g(B)+t\Lambda_g(H)$であり、$t$の一次の項の係数は$\Lambda_g(H)=gH$である。§E17.19 注意 2.2の同一視のもとで$d(L_g)_A(H)=gH$である。▨

証明.定理 1.2により$(X^{A})_g=d(L_g)_I(A)$であり、補題 3.1によりこれは$gA$である。成分は§E17.3 例 3.4の同一視により$(gA)_{ij}$である。▨

証明.(1)を示す。座標$x^{ij}$に関する偏微分を$\partial_{kl}=\partial/\partial x^{kl}$と書く。命題 3.2により$(X^{B})^{ij}(g)=\sum_{m=1}^{n}g_{im}B_{mj}$であるから

である。ここで$\partial g_{im}/\partial g_{kl}=\delta_{ik}\delta_{ml}$を用いた。したがって

である。添字$A$と$B$を入れ替えると

である。§E17.7 命題 1.3により

である。すなわち$[X^{A},X^{B}]_g=g(AB-BA)$であり、命題 3.2により右辺は$(X^{AB-BA})_g$に等しい。$g=I$と取ると

である。

(2)を示す。$\iota\colon G\to GL_n(\mathbb{R})$を包含写像とする。$G$は埋め込み部分多様体であるから$\iota$は$C^\infty$であり、$d\iota_g$は単射である（§E17.5 命題 4.2）。$T_IG$を$d\iota_I$の像と同一視し、$\mathfrak{g}\subseteq M_n(\mathbb{R})$と見る。

$A\in\mathfrak{g}$を取る。$G$上の左不変ベクトル場を$Y^{A}$、$GL_n(\mathbb{R})$上の左不変ベクトル場を$X^{A}$と書く。$Y^{A}$と$X^{A}$が$\iota$に関して関連することを示す。$g\in G$とすると、$G$の左移動$L^{G}_g$と$GL_n(\mathbb{R})$の左移動$L^{GL}_g$について$\iota\circ L^{G}_g=L^{GL}_g\circ\iota$が成り立つ（両辺は$h\in G$を$gh$へ写す）。§E17.3 定理 5.3を$e=I$において適用すると

である。両辺を$A\in T_IG$に施すと、左辺は$d\iota_g\bigl((Y^{A})_g\bigr)$、右辺は$d(L^{GL}_g)_I(A)=(X^{A})_g$である（$d\iota_I(A)=A$は同一視による）。よって$Y^{A}$と$X^{A}$は$\iota$に関して関連する（§E17.7 定義 2.3）。

$A,B\in\mathfrak{g}$とする。§E17.7 定理 2.6により$[Y^{A},Y^{B}]$と$[X^{A},X^{B}]$も$\iota$に関して関連する。$g=I$で評価すると

である。左辺は、同一視のもとで$[A,B]_{\mathfrak{g}}\in\mathfrak{g}\subseteq M_n(\mathbb{R})$である。したがって$[A,B]_{\mathfrak{g}}=AB-BA$であり、とくに$AB-BA\in\mathfrak{g}$である。すなわち$\mathfrak{g}$は行列の交換子で閉じている。

複素の場合。$M_n(\mathbb{C})$を$\mathbb{R}^{2n^{2}}$と同一視すると、$GL_n(\mathbb{C})$はその開部分多様体である（§E17.19 命題 2.1）。実の座標を取って上と同じ計算を行うことができるが、複素の座標$x^{ij}$とその共役を用いても同じ結論に至る。実際、$(X^{B})^{ij}(g)=\sum_{m=1}^{n}g_{im}B_{mj}$は$g$の成分について複素線形であり、実部と虚部に分けて偏微分を計算しても、複素数の積の双線形性から上と同じ形の和が得られる。よって$[A,B]_{\mathfrak{gl}_n(\mathbb{C})}=AB-BA$である。埋め込み Lie 部分群についても同じ議論が成り立つ。▨

証明.§E10.10 定義 1.1と§E10.10 命題 1.2により、級数$e^{tA}=\sum_{k\ge0}t^{k}A^{k}/k!$は絶対収束する。定義から

である。ノルムの劣乗法性により$\lVert A^{k}\rVert\le\lVert A\rVert^{k}$である。$|t|\le1$かつ$k\ge3$ならば$|t|^{k}\le|t|^{3}$であるから

である。▨

証明. 以下、$|t|\le1$とし、$a=\lVert A\rVert$、$b=\lVert B\rVert$と置く。$C_1,C_2,\dots$は$a$と$b$だけに依存する定数を表す。

第一段。$P(t)=e^{tA}e^{tB}$を展開する。$p(t)=I+tA+\tfrac{t^{2}}{2}A^{2}$、$q(t)=I+tB+\tfrac{t^{2}}{2}B^{2}$と置くと、補題 4.1により$e^{tA}=p(t)+E_A(t)$、$e^{tB}=q(t)+E_B(t)$であり$\lVert E_A(t)\rVert\le|t|^{3}e^{a}$、$\lVert E_B(t)\rVert\le|t|^{3}e^{b}$である。$|t|\le1$であるから

である。したがって

の右辺の第二項以降のノルムは、劣乗法性により

で抑えられる（$|t|^{3}\le1$を用いた）。

$p(t)q(t)$を展開する。

であり、

である。実際、$p(t)q(t)$の展開は$t^{i+j}$（$0\le i,j\le2$）の項の和であり、$t^{0}$の項は$I$、$t^{1}$の項は$A+B$、$t^{2}$の項は$\tfrac{A^{2}}{2}+AB+\tfrac{B^{2}}{2}$、$t^{3}$の項は$\tfrac{A^{2}}{2}B+A\tfrac{B^{2}}{2}$、$t^{4}$の項は$\tfrac{A^{2}}{2}\cdot\tfrac{B^{2}}{2}$である。$|t|\le1$であるから$\lVert t^{3}R_1+t^{4}R_2\rVert\le|t|^{3}(\lVert R_1\rVert+\lVert R_2\rVert)=C_2|t|^{3}$である。

$S=A+B$、$Q=\tfrac{A^{2}}{2}+AB+\tfrac{B^{2}}{2}$と置くと、以上より

である（$C_3=C_1+C_2$）。

第二段。$\Phi(t)=P(t)P(-t)$を計算する。$e^{-tA}=e^{(-t)A}$、$e^{-tB}=e^{(-t)B}$であるから$e^{-tA}e^{-tB}=P(-t)$であり、$\Phi(t)=P(t)P(-t)$である。(1) を$t$と$-t$について書き

とする。$u(t)=I+tS+t^{2}Q$、$v(t)=I-tS+t^{2}Q$と置くと、$|t|\le1$に対して$\lVert u(t)\rVert\le1+\lVert S\rVert+\lVert Q\rVert=C_4$、$\lVert v(t)\rVert\le C_4$である。