§E17.22閉部分群定理

証明.$d\mu_{(e,e)}$は線形であり、$(u,w)=(u,0)+(0,w)$であるから、$d\mu_{(e,e)}(u,0)=u$と$d\mu_{(e,e)}(0,w)=w$を示せば足りる。

$u\in T_eG$を取り、§E17.3 命題 4.3により$e$を通る滑らかな曲線$c$で$c'(0)=u$を満たすものを取る。$t\mapsto(c(t),e)$は$G\times G$の滑らかな曲線であり、その$t=0$における速度ベクトルは$(u,0)$である。実際、積のチャートに関する座標表示は$c$の座標表示と定数を並べたものである。この曲線に$\mu$を合成すると$t\mapsto\mu(c(t),e)=c(t)e=c(t)$であるから、§E17.3 定理 5.3により

である。同様に$t\mapsto(e,c(t))$を取ると$\mu(e,c(t))=c(t)$であるから$d\mu_{(e,e)}(0,w)=w$を得る。▨

証明.(1)を示す。$\exp$は§E17.21 補題 3.3により$C^\infty$、$\mu$は§E17.19 定義 1.1により$C^\infty$、$\log$は微分同相の逆写像として$C^\infty$である。よって$\Psi$は$C^\infty$写像の合成として$C^\infty$である（§E17.1 系 4.3）。$\exp(0)=e$（§E17.21 命題 3.2）であるから$\exp(u)\exp(0)=\exp(u)$であり$\Psi(u,0)=\log(\exp(u))=u$である。同様に$\Psi(0,w)=w$である。§E17.21 命題 3.2 (2)により$\exp(-u)=\exp(u)^{-1}$であるから$\exp(u)\exp(-u)=e$であり$\Psi(u,-u)=\log(e)=0$である。

(2)を示す。$\mathfrak{g}$の基底によって$\mathfrak{g}$を$\mathbb{R}^{n}$と同一視し、$\Psi$を$\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}^{2n}$の開集合から$\mathbb{R}^{n}$への$C^\infty$写像と見る。$z=(u,w)$と書く。$\Psi(0,0)=0$である。

§E4.5 定理 1.1を$r=2$として$\Psi$の各成分へ適用する。$\lVert z\rVert\le\delta_1$（$\delta_1$は$\overline{B}(0,\delta_1)$が定義域に含まれるように取る）で

が成り立つ。ここで$C_0'$は、閉球$\overline{B}(0,\delta_1)$の上での三階の偏導関数の上限から定まる定数である（三階の偏導関数は連続であり、閉球はコンパクトであるから上限は有限である）。

一次の項を求める。(1)の$\Psi(u,0)=u$を$u$について$u=0$で微分すると$D\Psi(0)[(u,0)]=u$であり、$\Psi(0,w)=w$から$D\Psi(0)[(0,w)]=w$である。線形性により$D\Psi(0)[z]=u+w$である。

二次の項を求める。$D^{2}\Psi(0)$は対称双線形である（§E4.4 定理 2.1）から、$z=(u,0)+(0,w)$と分けると

である。$w=0$と置くと、$\Psi(u,0)=u$はすべての$u$について厳密に成り立つ等式であるから、右辺の一次の項$u$を引いた残りは$u$について恒等的に$0$である。よって$\tfrac12D^{2}\Psi(0)[(u,0),(u,0)]=0$がすべての$u$で成り立つ。同様に$\tfrac12D^{2}\Psi(0)[(0,w),(0,w)]=0$である。そこで

と定めると、$B$は$u$と$w$のそれぞれについて線形、すなわち双線形であり、二次の項は$B(u,w)$に等しい。

$\lVert z\rVert=(\lVert u\rVert^{2}+\lVert w\rVert^{2})^{1/2}\le\lVert u\rVert+\lVert w\rVert$であるから、$\rho(u,w)=R(z)$と置き$C_0=C_0'$、$\delta_0=\min\{\delta,\delta_1/2\}$と取れば主張の評価を得る。

(3)を示す。$u\in\mathfrak{g}$を固定し、$0<s$を$\lVert su\rVert<\delta_0$となるほど小さく取る。(1)により$\Psi(su,-su)=0$であるから、(2)の展開に$(su,-su)$を代入して

である。よって

であり、両辺を$s^{2}$で割ると$\lVert B(u,u)\rVert\le 8C_0s\lVert u\rVert^{3}$である。右辺は$s\to0^{+}$のとき$0$へ収束し、左辺は$s$に依らないので$B(u,u)=0$である。双線形性により

であるから$B(u,w)=-B(w,u)$である。

(4)を示す。$\log\colon W\to\mathcal{U}$をチャートとして用いる。§E17.1 系 7.2と同じ理由で$(W,\lambda\circ\log)$は$G$の可微分構造に属するチャートである（$\lambda\colon\mathfrak{g}\to\mathbb{R}^{n}$は基底が定める線形同型である）。以下、この同一視によって$\mathcal{U}\subseteq\mathbb{R}^{n}$と見る。

$v\in\mathfrak{g}$に対する左不変ベクトル場$X^{v}$の、このチャートに関する座標表示を$\hat X^{v}$と書く。$g=\exp(u)$（$u\in\mathcal{U}$）とする。§E17.21 命題 3.2 (3)と§E17.21 補題 1.1により、$t\mapsto g\exp(tv)$は$X^{v}$の積分曲線であり$t=0$で$g$を取る。したがってその$t=0$における速度ベクトルは$(X^{v})_g$である。座標で書くと

である。ここで$D_2$は第二変数についての偏微分を表す。

$u=0$における値と一階の変化を求める。$\hat X^{v}(0)=D_2\Psi(0,0)[v]=v$である（(2)の一次の項による）。また$h\in\mathfrak{g}$に対して

である。第二の等号は連鎖律（§E4.3 定理 1.1）、第三の等号は混合二階偏導関数が$D^{2}\Psi(0)$の対応する成分であることによる（§E4.4 定理 2.1）。

§E17.7 命題 1.3を、座標表示を$\mathbb{R}^{n}$に値を取る写像と見た形で書くと、二つのベクトル場$V$、$W$の括弧積の座標表示は

である。実際、右辺の第$j$成分は$\sum_{i=1}^{n}\hat V^{i}\partial_i\hat W^{j}-\sum_{i=1}^{n}\hat W^{i}\partial_i\hat V^{j}$である。$V=X^{u}$、$W=X^{w}$として$u=0$で評価すると

である。最後の等号は(3)による。一方$\widehat{[X^{u},X^{w}]}(0)$は$[X^{u},X^{w}]_e=[u,w]$の座標表示であり、$\hat X^{v}(0)=v$と同じ同一視のもとで$[u,w]$そのものである。よって$[u,w]=2B(u,w)$、すなわち$B(u,w)=\tfrac12[u,w]$である。▨

証明.補題 1.2の$\delta_0$、$B$、$\rho$を取る。$m$を、$\lVert X\rVert/m<\delta_0$かつ$\lVert Y\rVert/m<\delta_0$を満たすほど大きく取る。このとき

である。§E17.21 命題 3.2 (2)を繰り返して$\exp(Z)^{m}=\exp(mZ)$を得るので

である。

$m\Psi(X/m,Y/m)$を評価する。補題 1.2 (2)により

である。ここで$B$の双線形性により$B(X/m,Y/m)=B(X,Y)/m^{2}$を用いた。剰余については

である。したがって

である。すなわち$m\Psi(X/m,Y/m)\to X+Y$が$\mathfrak{g}$において成り立つ。

$\exp$は§E17.21 補題 3.3により$C^\infty$であり、とくに連続であるから

である。▨

証明.補題 1.2の$\delta_0$、$B$、$\rho$、$C_0$を取り、$a=\lVert X\rVert+\lVert Y\rVert$と置く。$s$を$0<|s|\le1$かつ後の三回の適用がすべて定義域の中で行われるほど小さい範囲に限る。この範囲は、以下で作る$a_1,a_2$のノルムが$s$について$O(|s|)$であることから、$|s|$を十分小さく取れば確保される。以下、$C_1,C_2,\dots$は$X$と$Y$だけに依存する定数を表す。

と定める。§E17.21 命題 3.2 (2)と$\Psi$の定義により

である。

$a_1$を展開する。

である。したがって$r_1=a_1-s(X+Y)$と置くと$\lVert r_1\rVert\le\lVert B\rVert\,\lVert X\rVert\lVert Y\rVert s^{2}+C_0a^{3}|s|^{3}\le C_1s^{2}$（$|s|\le1$）であり、とくに$\lVert a_1\rVert\le a|s|+C_1s^{2}\le C_2|s|$である。

$a_2$を展開する。

である。$B$の双線形性により

であり、補題 1.2 (3)により$B(X,X)=0$である。剰余の評価は

である。よって

であり、$\rho(sX,sY)$のノルムも$C_0a^{3}|s|^{3}$以下であるから、補題 1.2 (3)の$B(Y,X)=-B(X,Y)$を用いて

と書くことができる。とくに$r_2=a_2-sY$と置くと$\lVert r_2\rVert\le 2\lVert B\rVert\lVert X\rVert\lVert Y\rVert s^{2}+C_6|s|^{3}\le C_7s^{2}$であり、$\lVert a_2\rVert\le C_8|s|$である。

$a_3$を展開する。

である。

であり、$B(Y,Y)=0$、$\lVert s\,B(r_2,Y)\rVert\le C_9|s|^{3}$である。また$\lVert\rho(a_2,-sY)\rVert\le C_0(C_8|s|+\lVert Y\rVert|s|)^{3}=C_{10}|s|^{3}$である。よって

であり$\lVert\eta_3\rVert\le C_{12}|s|^{3}$である。補題 1.2 (4)により$2B(X,Y)=[X,Y]$であるから

である。

極限を取る。$s=1/m$と置く。§E17.21 命題 3.2 (2)を繰り返して$\exp(Z)^{m^{2}}=\exp(m^{2}Z)$を得るので

である。(1) により

である。$\exp$は連続であるから、右辺は$\exp([X,Y])$へ収束する。

指数が$m^{2}$でなければならないこと。同じ (1) から$m\,a_3(1/m)=[X,Y]/m+m\,\eta_3(1/m)$であり、そのノルムは$\lVert[X,Y]\rVert/m+C_{12}/m^{2}$以下であるから$0$へ収束する。したがって$\exp(m\,a_3(1/m))\to\exp(0)=e$であり、指数を$m$に取り替えた式は、$X$と$Y$が何であっても$e$を与える。▨

証明. 定数倍で閉じること。$X\in\mathfrak{h}$、$c\in\mathbb{R}$とすると、すべての$t$に対して$\exp(t(cX))=\exp((tc)X)\in H$である。よって$cX\in\mathfrak{h}$である。とくに$0\in\mathfrak{h}$である（$\exp(0)=e\in H$）。

和で閉じること。$X,Y\in\mathfrak{h}$、$t\in\mathbb{R}$とする。定理 2.1を$tX$と$tY$に適用すると

である。$X,Y\in\mathfrak{h}$であるから$\exp(tX/m)\in H$、$\exp(tY/m)\in H$であり、$H$は部分群であるから積とその$m$乗も$H$に属する。すなわち右辺の各項は$H$の元である。$H$は$G$の閉集合であるから、$H$の元からなる列の$G$における極限は$H$に属する。よって$\exp(t(X+Y))\in H$であり、$t$は任意であったから$X+Y\in\mathfrak{h}$である。

括弧積で閉じること。$X,Y\in\mathfrak{h}$、$t\in\mathbb{R}$とする。上で示したとおり$tX\in\mathfrak{h}$である。定理 2.2を$tX$と$Y$に適用すると、括弧積の双線形性（§E17.20 定義 2.2）により$[tX,Y]=t[X,Y]$であるから

である。右辺の各項は$H$の元の積の$m^{2}$乗であるから$H$に属する。$H$は閉集合であるから極限も$H$に属する。$t$は任意であったから$[X,Y]\in\mathfrak{h}$である。▨

証明.$t\in\mathbb{R}$を固定する。$c_k=\lVert u_k\rVert>0$と置くと、条件 (b)により$c_k\to0$である。

各$k$に対して整数$m_k$を、$t/c_k$を越えない最大の整数として取る。すなわち$m_k\le t/c_k<m_k+1$である。両辺に$c_k>0$を掛けると

であり、$0\le t-m_kc_k<c_k$を得る。$c_k\to0$であるから$m_kc_k\to t$である。

である。右辺の第一因子は実数の列であって$t$へ収束し、第二因子は条件 (c)により$Z$へ収束する。実数と$\mathfrak{g}$の元の積は双線形であるから、収束する二つの列の積は極限の積へ収束する。よって$m_ku_k\to tZ$である。

$\exp$は連続であるから$\exp(m_ku_k)\to\exp(tZ)$である。一方、§E17.21 命題 3.2 (2)により$\exp(m_ku_k)=\exp(u_k)^{m_k}$であり、$m_k$は整数、$\exp(u_k)\in H$、$H$は部分群であるから$\exp(u_k)^{m_k}\in H$である（$m_k$が負のときは逆元の冪であり、これも$H$に属する）。

$H$は$G$の閉集合であるから、$H$の元からなる列の極限は$H$に属する。よって$\exp(tZ)\in H$である。$t$は任意であったから$Z\in\mathfrak{h}$である。▨

証明. 結論を否定する。すなわち、すべての正の整数$k$に対して$w_k\in\mathfrak{m}$で$0<\lVert w_k\rVert<1/k$かつ$\exp(w_k)\in H$を満たすものが存在するとする。

$Z_k=w_k/\lVert w_k\rVert$と置く。$\mathfrak{m}$は$\mathfrak{g}$の線形部分空間であるから$Z_k\in\mathfrak{m}$であり、$\lVert Z_k\rVert=1$である。

と置く。$\mathfrak{m}$の基底を取って$\mathfrak{m}$を$\mathbb{R}^{d}$（$d=\dim\mathfrak{m}$）と同一視すると、$S$は連続関数$\lVert\cdot\rVert$の値$1$における逆像であるから閉集合であり、明らかに有界である。§E2.9 定理 4.3により$S$はコンパクトであり、§E2.9 定理 3.1により点列コンパクトである。したがって部分列$(Z_{k_j})_{j\ge1}$と$Z\in S$が存在して$Z_{k_j}\to Z$が成り立つ。とくに$\lVert Z\rVert=1$である。

部分列$(w_{k_j})$について、$\lVert w_{k_j}\rVert<1/k_j\to0$、$w_{k_j}\ne0$、$\exp(w_{k_j})\in H$、$w_{k_j}/\lVert w_{k_j}\rVert=Z_{k_j}\to Z$が成り立つ。補題 3.3により$Z\in\mathfrak{h}$である。

一方$Z\in S\subseteq\mathfrak{m}$である。$\mathfrak{g}=\mathfrak{h}\oplus\mathfrak{m}$が直和であることから$\mathfrak{h}\cap\mathfrak{m}=\{0\}$であり、$Z=0$となる。これは$\lVert Z\rVert=1$に反する。▨

証明.$k=\dim\mathfrak{h}$と置き、$\mathfrak{m}$を$\mathfrak{h}$の線形補空間とする（命題 3.2により$\mathfrak{h}$は線形部分空間であるから、補空間が存在する）。$\dim\mathfrak{m}=n-k$である。

写像$\Phi$を定める。$\mathfrak{h}\times\mathfrak{m}$は§E17.1 命題 7.3により$n$次元$C^\infty$多様体であり、線形同型$\mathfrak{h}\oplus\mathfrak{m}\to\mathfrak{g}$を通じて$\mathfrak{g}$と同一視することができる。

と定める。$\Phi=\mu\circ(\exp|_{\mathfrak{h}}\times\exp|_{\mathfrak{m}})$であり、$\exp$は§E17.21 補題 3.3により$C^\infty$、$\mu$は$C^\infty$であるから、$\Phi$は$C^\infty$である（§E17.1 系 4.3）。$\Phi(0,0)=e$である。

$d\Phi_{(0,0)}$を計算する。$(x,y)\in\mathfrak{h}\times\mathfrak{m}=T_{(0,0)}(\mathfrak{h}\times\mathfrak{m})$とする。$\exp|_{\mathfrak{h}}\times\exp|_{\mathfrak{m}}$の$(0,0)$における微分は、§E17.21 定理 3.4の$d(\exp)_0=\operatorname{id}$を二つの因子へ適用したものであり、$(x,y)\mapsto(x,y)\in T_eG\oplus T_eG$である。§E17.3 定理 5.3と補題 1.1により