§E17.12内部積・Cartan の公式・Poincaré の補題

証明.(1)を示す。$k=1$のとき$\iota_X\omega=\omega(X)$は$C^\infty$関数である。$k\ge 2$のとき、$B(Y_1,\dots,Y_{k-1})=\omega(X,Y_1,\dots,Y_{k-1})$は$C^\infty(M)$多重線形であり（$\omega$が各点で定まる形式であることによる）、交代的である（$\omega$の交代性による）。よって§E17.11 補題 4.1 (2)により$\iota_X\omega\in\Omega^{k-1}(M)$である。$C^\infty(M)$線形性は定義式から従う。

(2)を示す。$k\ge 2$のとき$(\iota_X\iota_X\omega)_p(v_1,\dots,v_{k-2})=\omega_p(X_p,X_p,v_1,\dots)=0$である（$\omega$の交代性）。$k=1$のとき$\iota_X\omega$は関数であり、$\iota_X$を施すと定義により$0$である。$k=0$のときは$\iota_X\omega=0$である。

(3)を示す。$k=0$のときは$\alpha=f$が関数であり、$\iota_X(f\beta)=f\,\iota_X\beta$である。右辺は$(\iota_Xf)\wedge\beta+f\,\iota_X\beta=0+f\,\iota_X\beta$であるから一致する。$l=0$のときも同様に、$\iota_X(g\alpha)=g\,\iota_X\alpha$と$(\iota_X\alpha)g+(-1)^k\alpha\wedge\iota_Xg=(\iota_X\alpha)g$が一致する。以下$k,l\ge 1$とする。

まず$k=1$の場合を示す。$\alpha\in\Omega^1(M)$、$\beta\in\Omega^l(M)$とする。§E17.10 命題 3.3を$(1,l)$シャッフルに適用する。$\sigma\in\operatorname{Sh}(1,l)$は$\sigma(1)=m$の値だけで定まり、列$\sigma(1),\dots,\sigma(l+1)$は$m,1,2,\dots,\widehat m,\dots,l+1$であるから、転倒の個数は$m-1$であり$\operatorname{sgn}(\sigma)=(-1)^{m-1}$である。よって$w_1,\dots,w_{l+1}\in T_pM$に対し

である。$w_1=X_p$、$w_{r+1}=v_r$（$r=1,\dots,l$）と置くと、左辺は$(\iota_X(\alpha\wedge\beta))_p(v_1,\dots,v_l)$である。右辺の$m=1$の項は$\alpha(X_p)\,\beta(v_1,\dots,v_l)$である。$m\ge 2$の項は、$r=m-1$と置くと

である。一方、ふたたび$(1,l-1)$シャッフルによる表示から

であるから、$m\ge2$の項の総和は$-(\alpha\wedge\iota_X\beta)(v_1,\dots,v_l)$に等しい。したがって

である。

一般の$k$について帰納する。主張は各点で決まる等式であり、$\alpha$について$C^\infty(M)$線形である。チャート$(U,\varphi=(x^1,\dots,x^n))$を取ると$\alpha|_U=\sum_I\alpha_I\,dx^I$（§E17.10 命題 4.1）であるから、$\alpha=dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}$の場合を示せば足りる。$\alpha=\alpha_1\wedge\alpha'$（$\alpha_1=dx^{i_1}\in\Omega^1$、$\alpha'\in\Omega^{k-1}$）と書き、$k-1$について主張が成り立つと仮定する。結合性（§E17.10 定理 3.5）と$k=1$の場合により

である。帰納法の仮定から$\iota_X(\alpha'\wedge\beta)=(\iota_X\alpha')\wedge\beta+(-1)^{k-1}\alpha'\wedge\iota_X\beta$であるから

である。括弧の中は$k=1$の場合により$\iota_X(\alpha_1\wedge\alpha')=\iota_X\alpha$に等しい。よって主張を得る。▨

証明.$U\times(-\varepsilon,\varepsilon)$は積多様体（§E17.1 命題 7.3）の開集合であり、$(x^1,\dots,x^n,t)$はそのチャートである。$\{dx^1,\dots,dx^n,dt\}$は各点の余接空間の基底であるから、§E17.10 命題 4.1により$\Phi^*\omega$は表示した形に一意に表される（増加する$k$個の添字を、$dt$を含むものと含まないものに分けた）。

$i_t:U\to U\times(-\varepsilon,\varepsilon)$、$i_t(q)=(q,t)$と置くと$\Phi\circ i_t=\varphi_t$であるから、§E17.10 命題 5.2により$(\varphi_t)^*\omega=i_t^*(\Phi^*\omega)$である。$x^j\circ i_t=x^j$から$i_t^*(dx^j)=dx^j$であり、$t\circ i_t$は定数関数であるから§E17.11 命題 3.1により$i_t^*(dt)=d(t\circ i_t)=0$である。したがって$i_t^*(\Phi^*\omega)=\sum_If_I(\cdot,t)\,dx^I$である。

$f_I$は$C^\infty$であるから、$t$について微分することができ、$t=0$における微分は$\partial f_I/\partial t(\cdot,0)$である。これは$U$上の$C^\infty$関数であるから、§E17.10 命題 2.2により$\mathcal{L}_X\omega$は$C^\infty$切断である。定義が$W$と$\varepsilon$のとり方に依らないことは、局所流の一意性（§E17.6 定理 7.1）により、二つのとり方に対する$\varphi_t$が共通の定義域で一致することから従う。▨

証明.(1)を示す。$(\varphi_t)^*f=f\circ\varphi_t$であるから、$\frac{d}{dt}\big|_{t=0}f(\varphi_t(p))$を求めればよい。$t\mapsto\varphi_t(p)$は$X$の$p$を通る積分曲線であり、その$t=0$における速度ベクトルは$X_p$であるから（§E17.6 定理 7.1）、§E17.3 定理 5.3により値は$X_p f$である。

(2)を示す。$\mathbb{R}$線形性は$(\varphi_t)^*$が線形であることと微分の線形性による。外積については、§E17.10 定理 5.3により$(\varphi_t)^*(\alpha\wedge\beta)=(\varphi_t)^*\alpha\wedge(\varphi_t)^*\beta$である。各点$p$で、右辺は二つの有限次元線形空間の元の双線形な積であり、$t=0$では$(\varphi_0)^*=\operatorname{id}$から$\alpha_p$と$\beta_p$を与える。双線形写像の積の微分の規則から、$t=0$における微分は$(\mathcal{L}_X\alpha)_p\wedge\beta_p+\alpha_p\wedge(\mathcal{L}_X\beta)_p$である。

(3)を示す。命題 2.2の記号で、$(\varphi_t)^*\omega=\sum_If_I(\cdot,t)dx^I$である。§E17.11 命題 3.1により$(\varphi_t)^*(d\omega)=d\bigl((\varphi_t)^*\omega\bigr)$であり、右辺は§E17.11 定理 2.4の表示から

である。$t=0$で$t$について微分すると、左辺は$\mathcal{L}_X(d\omega)$を与え、右辺は

を与える。二階混合偏導関数の対称性（§E4.4 定理 2.1）を用いた。

(4)を示す。$\omega$と$\omega'$が$V$の上で一致するとする。$p\in V$を取り、$\Phi$の連続性から$\Phi\bigl(W'\times(-\varepsilon',\varepsilon')\bigr)\subseteq V$となる$p$の近傍$W'$と$\varepsilon'>0$を取る。$|t|<\varepsilon'$に対し$(\varphi_t)^*\omega$と$(\varphi_t)^*\omega'$は$W'$の上で一致するので、$t=0$における微分も一致する。開集合への制限についても、$X|_V$の局所流が$X$の局所流の制限であること（§E17.6 定理 7.1の一意性）から従う。▨

証明.$D_X=\iota_X\circ d+d\circ\iota_X$と置く。$D_X:\Omega^k(M)\to\Omega^k(M)$は$\mathbb{R}$線形である。

$D_X$は外積について導分である。$\alpha\in\Omega^k(M)$、$\beta\in\Omega^l(M)$とする。§E17.11 定義 2.1 条件 (c)と命題 1.2 (3)から

である。同様に

である。二つを加えると、$d\alpha\wedge(\iota_X\beta)$の係数は$(-1)^{k+1}+(-1)^{k}=0$、$(\iota_X\alpha)\wedge d\beta$の係数は$(-1)^{k}+(-1)^{k-1}=0$である。残るのは

である。

$D_X$は$d$と可換である。$d\circ d=0$（§E17.11 命題 2.5）から

である。

$0$次形式では一致する。$f\in C^\infty(M)$に対し、$\iota_Xf=0$であるから

である（最後の等号は命題 2.4 (1)）。ここで$\iota_Xf=0$という規約を用いた。

$D_X$は局所的である。$\iota_X$は各点で定まり、$d$は局所的である（§E17.11 補題 2.2）から、$D_X\omega$の点$p$における値は$\omega$の$p$の近傍における値だけで決まる。開集合への制限も同様に定まる。

比較。$p\in M$を取り、チャート$(U,\varphi=(x^1,\dots,x^n))$を取る。$\omega|_U=\sum_I\omega_I\,dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}$と表す（§E17.10 命題 4.1）。$\mathcal{L}_X$と$D_X$はともに局所的であり$U$の上の作用素を誘導するので、$U$の上で両者が一致することを示せばよい。両者は$\mathbb{R}$線形であるから、$\omega=g\,dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}$（$g\in C^\infty(U)$）の場合を示せば足りる。

$dx^{i}=d(x^{i})$である（§E17.11 命題 1.1）。$\mathcal{L}_X$と$D_X$はともに外積について導分であり、$d$と可換であり、$0$次形式の上で一致する。したがって

であり、$D_X$についても同じ式が成り立つ。$\mathcal{L}_Xg=Xg=D_Xg$、$\mathcal{L}_Xx^{i_r}=Xx^{i_r}=D_Xx^{i_r}$であるから、右辺は両者で一致する。よって$\mathcal{L}_X\omega=D_X\omega$である。▨

証明.$x_0\in V$を取り、$\overline{B(x_0,r)}\subseteq V$となる$r>0$を取る。$\overline{B(x_0,r)}\times[0,1]$は$\mathbb{R}^{n+1}$の有界閉集合であるからコンパクトであり（§E2.9 定理 4.3）、$\partial h/\partial x^i$はその上で一様連続である（§E2.9 定理 5.1）。

$|x-x_0|<r/2$、$0<|s|<r/2$とし、$e_i$を第$i$標準基底ベクトルとする。微積分学の基本定理と§E4.3 定理 1.1により

である。したがって

である。一様連続性から、右辺は$s\to0$のとき$0$へ収束する。よって$\partial H/\partial x^i(x)$が存在し、表示した式に等しい。

同じ一様連続性から

であるから$\partial H/\partial x^i$は連続である。$\partial h/\partial x^i$もまた$C^\infty$であるから、同じ議論を繰り返して、任意の階数の偏導関数が存在し連続であることが従う。よって$H$は$C^\infty$である。▨

証明.$\theta$が$C^\infty$であることと群法則は、積多様体のチャートで書くと明らかである。$s\mapsto\theta_s(p,t)=(p,t+s)$の速度ベクトルは、チャート$(x,t)$で$(0,\dots,0,1)$すなわち$\partial/\partial t$である。よって$\theta$は$S$の大域流であり、§E17.6 定理 7.1の一意性から$S$の流れはこれに限る。$\theta_s(i_0(p))=\theta_s(p,0)=(p,s)=i_s(p)$である。▨

証明. 群法則$\theta_{s_0+u}=\theta_u\circ\theta_{s_0}$と§E17.10 命題 5.2により$(\theta_{s_0+u})^*=(\theta_{s_0})^*\circ(\theta_u)^*$である。$p\in N$を固定すると、$(\theta_{s_0})^*$は固定した線形写像$\bigwedge^k(T^*_{\theta_{s_0}(p)}N)\to\bigwedge^k(T^*_pN)$を与えるので、$u$についての微分と交換する。したがって

であり、括弧の中は$(\mathcal{L}_Y\omega)_{\theta_{s_0}(p)}$である。▨

証明. $K\omega$が$C^\infty$形式であること。$M$のチャート$(U,\varphi=(x^1,\dots,x^n))$を取る。$U\times\mathbb{R}$の上で§E17.10 命題 4.1により

と一意に表される（$I$は増加する$k$個の添字、$J$は増加する$k-1$個の添字。$f_I$と$g_J$は$C^\infty$）。

$\iota_S(dx^i)=dx^i(S)=0$と$\iota_S(dt)=dt(S)=1$、および命題 1.2 (3)から$\iota_S(dx^I)=0$であり、

である。したがって$\iota_S\omega=\sum_Jg_J(x,t)\,dx^J$である。命題 2.2の証明と同じく$i_t^*(dx^j)=dx^j$であるから

であり、

である。補題 4.1により係数は$C^\infty$であり、§E17.10 命題 2.2により$K\omega\in\Omega^{k-1}(M)$である。線形性は定義式から従う。

恒等式。命題 4.2により$S$は完備で大域流$\theta$を持ち、$\theta_t\circ i_0=i_t$である。§E17.10 命題 5.2により$i_t^*=i_0^*\circ(\theta_t)^*$である。$p\in M$を固定すると$i_0^*$は固定した線形写像であるから$t$についての微分と交換し、命題 4.3により

である。左辺は各点$p$で$\bigwedge^k(T^*_pM)$の中の曲線の微分であり、その成分はチャートで書くと$t$について$C^\infty$である。よって成分ごとに微積分学の基本定理を適用して