§E17.8可積分分布と Frobenius の定理

証明.$h\in C^\infty(V)$とすると

である。差を取ると$[fX,gY]h=fg\bigl(X(Yh)-Y(Xh)\bigr)+f(Xg)(Yh)-g(Yf)(Xh)$であり、これが主張の式である。▨

証明.条件 (a)$\Rightarrow$(b)は、局所枠が$D$に属することから直ちに従う。

条件 (b)$\Rightarrow$(a)を示す。$V$を開集合、$Z,W\in\mathfrak{X}(V)$を$D$に属するものとし、$p\in V$を取る。条件 (b)の局所枠$(X_1,\dots,X_k)$を$U\ni p$上で取り、$U$を$V$に含まれるように縮める。

はじめに、$Z$を局所枠で展開する係数が$C^\infty$であることを確かめる。$p$の周りのチャート$(U',\varphi)$を取り、$X_i|_{U'}=\sum_{j=1}^{n}X_i^j\,\partial/\partial x^j$と書く。$k\times n$行列$(X_i^j)$の階数は各点で$k$であるから、$p$において$k$個の列が一次独立である。座標の番号を付け替えて、$k\times k$小行列$B=(X_i^j)_{1\le i,j\le k}$が$p$で正則であるとしてよい。$\det B$は連続であるから、$p$の近傍で$B$は正則である。$Z|_{U'}=\sum_{j=1}^{n}Z^j\partial/\partial x^j$と書き、$Z=\sum_{i=1}^{k}f^iX_i$と展開すると、最初の$k$個の成分について$Z^j=\sum_{i=1}^{k}f^iX_i^j$（$1\le j\le k$）であり、これは$f=(f^1,\dots,f^k)$についての線形方程式$fB=(Z^1,\dots,Z^k)$である。Cramer の公式により$B^{-1}$の成分は$C^\infty$関数であるから、$f^i$は$C^\infty$である。$W=\sum_{j=1}^{k}g^jX_j$についても同様である。

補題 1.3と括弧積の双線形性（§E17.7 命題 1.4）により

である。右辺の各項は$D$に属する。第一の項は条件 (b)により、残りの二つは$X_i$と$X_j$が$D$に属することによる。したがって$[Z,W]_p\in D_p$である。$p\in V$は任意であったから$[Z,W]$は$D$に属する。▨

証明.$\chi(U)$は開直方体$I_1\times\cdots\times I_n$であるから、$\chi(P_c)=I_1\times\cdots\times I_k\times\{c\}$である。$\chi$を$P_c$へ制限し最初の$k$座標を取る写像は、$P_c$（$M$からの相対位相）から$I_1\times\cdots\times I_k$への同相写像であり、これを唯一のチャートとして$P_c$に$k$次元$C^\infty$多様体の構造を与えると、包含写像$P_c\to M$は座標表示が$(t^1,\dots,t^k)\mapsto(t^1,\dots,t^k,c)$であるから$C^\infty$な埋め込みである。その微分は$\partial/\partial t^i$（$1\le i\le k$）を張る$k$次元部分空間へ写すので、$T_qP_c=\operatorname{span}\{\partial/\partial t^i|_q\}=D_q$である。▨

証明. 各$q$において$d\iota_q$は単射であるから、$\widetilde Z_q$は存在すれば一意であり、仮定により存在する。$\widetilde Z$が$C^\infty$切断であることを示せばよい。

$q\in\iota^{-1}(V)$を取る。$\iota$ははめ込みであるから$\operatorname{rank}d\iota$は至るところ$k$である。§E17.5 定理 3.1により、$q$の周りのチャート$(W,\alpha)$と$\iota(q)$の周りのチャート$(U,\beta)$であって$\iota(W)\subseteq U\subseteq V$かつ

となるものが存在する。$\alpha$の座標を$(v^1,\dots,v^k)$、$\beta$の座標を$(x^1,\dots,x^n)$と書くと、この表示から

である。$Z|_U=\sum_{j=1}^{n}Z^j\,\partial/\partial x^j$と書く。仮定$Z_{\iota(r)}\in d\iota_r(T_rN)=\operatorname{span}\{\partial/\partial x^a|_{\iota(r)}:1\le a\le k\}$により$Z^j(\iota(r))=0$（$j>k$）であり、

である。$Z^a\circ\iota$は$W$上の$C^\infty$関数であるから、$\widetilde Z$は$W$上で$C^\infty$である。$q$は任意であった。▨

証明.$V\subseteq M$を開集合、$Z,W\in\mathfrak{X}(V)$を$D$に属するものとし、$p\in V$を取る。仮定により$p$を通る$D$の積分多様体$\iota:N\to M$が存在する。$q\in N$を$\iota(q)=p$となる点とする。

すべての$r\in\iota^{-1}(V)$に対して$Z_{\iota(r)}\in D_{\iota(r)}=d\iota_r(T_rN)$であるから、補題 3.1により$\widetilde Z\in\mathfrak{X}(\iota^{-1}(V))$が存在して$\widetilde Z$と$Z|_V$は$\iota$に関して関連する。$W$についても同様に$\widetilde W$を取る。§E17.7 定理 2.6により$[\widetilde Z,\widetilde W]$と$[Z,W]$は$\iota$に関して関連する。したがって

である。$p\in V$は任意であったから$[Z,W]$は$D$に属する。▨

証明.$p$の周りのチャート$(U_0,\varphi)$と、$U_0$上の$D$の局所枠$(X_1,\dots,X_k)$を取る（必要ならば$U_0$を縮めて両方が同じ定義域を持つようにする）。$X_i=\sum_{j=1}^{n}X_i^j\,\partial/\partial x^j$と書くと、$k\times n$行列$(X_i^j)$の階数は各点で$k$である。$p$において一次独立な$k$個の列を選び、座標の番号を付け替えて、$B=(X_i^j)_{1\le i,j\le k}$が$p$で正則であるとしてよい。$\det B$は連続であるから、$p$の開近傍$U\subseteq U_0$の上で$B$は正則である。$C=B^{-1}$と置くと、Cramer の公式により$C$の成分は$U$上の$C^\infty$関数である。

と定めると、$C$は各点で正則であるから$(Y_1,\dots,Y_k)$は$U$上の$D$の局所枠である。最初の$k$個の座標成分は

であり、主張の形が得られる。

$[Y_i,Y_j]=0$を示す。$Y_i$と$Y_j$は$D$に属するので、対合性により$[Y_i,Y_j]$も$D$に属する。$(Y_1,\dots,Y_k)$は各点で$D$の基底であるから、各点で

と一意に書くことができる。両辺の第$m$座標成分（$1\le m\le k$）を比べる。右辺の第$m$成分は$\sum_{l=1}^{k}c^l\delta_l^{\ m}=c^m$である。左辺は§E17.7 命題 1.3により

である。$1\le m\le k$のとき$Y_j^m=\delta_j^{\ m}$と$Y_i^m=\delta_i^{\ m}$はいずれも定数であるから、すべての偏導関数は$0$であり、$[Y_i,Y_j]^m=0$である。したがって$c^m=0$（$1\le m\le k$）であり、$[Y_i,Y_j]=0$である。▨

証明.条件 (a)$\Rightarrow$(b)は定理 3.2である。条件 (b)を仮定して平坦チャートを構成すれば、命題 2.3により条件 (a)が従う。以下、平坦チャートを構成する。

$p\in M$を取る。補題 4.1のチャート$(U,\varphi)$、$\varphi=(x^1,\dots,x^n)$と局所枠$(Y_1,\dots,Y_k)$を取る。$\varphi(p)=0$かつ$\varphi(U)$が原点を含む開直方体であるとしてよい。$U$は$M$の開部分多様体であり（§E17.1 命題 7.1）、各$Y_i$は$U$上の$C^\infty$ベクトル場であるから、§E17.6 定理 7.1により$U$上の流れ$\theta^i$を持つ。

横断的な小片を取る。$\delta>0$を十分小さく取り、

が$|u^a|<\delta$（$k+1\le a\le n$）で定義されるようにする。$\sigma$は$C^\infty$写像である。

$\Phi$を定める。§E17.6 定理 7.1により各$\theta^i$の定義域は開集合であり、$\theta^i(0,q)=q$である。$\sigma(0)=p$であるから、$\varepsilon>0$と$\delta$を十分小さく取り直すと、$|t^i|<\varepsilon$（$1\le i\le k$）と$|u^a|<\delta$に対して

が定義される。実際、内側から順に、各段の写像が定義される開集合へ前の段の値が入るように$\varepsilon$と$\delta$を縮めればよい。有限回の操作である。§E17.6 定理 7.1により各$\theta^i$は$(t,q)$について$C^\infty$であるから、$\Phi$は$C^\infty$写像である。$W=\{(t,u):|t^i|<\varepsilon,\ |u^a|<\delta\}$と置く。

$d\Phi_0$を計算する。$t=0$、$u=0$において、$t^i$以外の変数を$0$に固定すると$\Phi(0,\dots,t^i,\dots,0,0)=\theta^i_{t^i}(p)$であるから

である。また$\Phi(0,u)=\sigma(u)$であるから

である。補題 4.1により$Y_i|_p=\partial/\partial x^i|_p+\sum_{a=k+1}^{n}Y_i^a(p)\,\partial/\partial x^a|_p$であるから、基底$\{\partial/\partial x^j|_p\}$に関する$d\Phi_0$の行列は

の形であり、行列式は$1$である。よって$d\Phi_0$は同型である。

逆関数定理を適用する。$\widehat\Phi=\varphi\circ\Phi:W\to\varphi(U)\subseteq\mathbb{R}^n$は$C^\infty$写像であり、$D\widehat\Phi(0)$は正則である。§E4.7 定理 2.1により$\widehat\Phi$は$0$の近傍から$\widehat\Phi(0)=0$の近傍への全単射であって局所逆写像$g$は$C^1$級であり、§E17.5 補題 1.1により$g$は$C^\infty$級である。したがって$0$を含む開直方体$W'\subseteq W$を十分小さく取ると、$\Phi|_{W'}:W'\to\Phi(W')$は微分同相であり$\Phi(W')$は$M$の開集合である。以下、$W$をこの$W'$に取り替える。$W$は$0$を含む開直方体であるとしてよい。

座標ベクトル場を同定する。$\chi=\Phi^{-1}:\Phi(W)\to W$をチャートとし、その座標成分を$(t^1,\dots,t^k,u^{k+1},\dots,u^n)$と書く。$1\le i\le k$を固定する。補題 4.1により$[Y_m,Y_i]=0$であるから、§E17.7 定理 4.1 条件 (b)を$X=Y_m$、$Y=Y_i$に適用して

が、定義される範囲のすべての$s$と$q$で成り立つ。

$(t,u)\in W$を取り、

と置く。$\Phi(t,u)=\theta^1_{t^1}\circ\cdots\circ\theta^{i-1}_{t^{i-1}}(q_i)$である。$t^i$について微分すると、$t^i$に依存するのは$\theta^i_{t^i}$だけであり、$\frac{\partial}{\partial t^i}\theta^i_{t^i}(z)=Y_i|_{\theta^i_{t^i}(z)}$であるから、連鎖律（§E17.3 定理 5.3）により

である。ここで (1) を$m=i-1,i-2,\dots,1$の順に$i-1$回適用すると、右辺は$Y_i$の$\theta^1_{t^1}\circ\cdots\circ\theta^{i-1}_{t^{i-1}}(q_i)=\Phi(t,u)$における値に等しい。すなわち

である。左辺は$d\Phi_{(t,u)}\bigl(\partial/\partial t^i|_{(t,u)}\bigr)$であるから、チャート$\chi$の座標ベクトル場について$\partial/\partial t^i=Y_i$が$\Phi(W)$上で成り立つ。

$(Y_1,\dots,Y_k)$は$D$の局所枠であったから、$\Phi(W)$の各点で$D=\operatorname{span}\{\partial/\partial t^1,\dots,\partial/\partial t^k\}$である。$W$は開直方体であるから$(\Phi(W),\chi)$は定義 2.2の意味の平坦チャートである。▨