§E17.17de Rham 複体とホモトピー不変性

証明.$k<0$または$k>n$では$\Omega^k(M)=\{0\}$であるから$Z^k(M)=\{0\}$である。$k=0$では$\Omega^{-1}(M)=\{0\}$であるから$B^0(M)=\{0\}$である。▨

証明.命題 1.3により$H^0_{\mathrm{dR}}(M)=Z^0(M)=\{f\in C^\infty(M)\mid df=0\}$である。

$f\in C^\infty(M)$について、$df=0$であることと$f$が局所定数であることは同値である。実際、チャート$(U,\varphi=(x^1,\dots,x^n))$の上で$df=\sum_{i=1}^{n}(\partial f/\partial x^i)\,dx^i$であるから（§E17.11 命題 1.1）、$df=0$はすべての偏導関数が消えることと同値であり、$\varphi(U)$の連結な開部分集合の上でそれは$f\circ\varphi^{-1}$が定数であることと同値である。各点は連結な座標近傍（座標球）を持つので、$df=0$ならば$f$は局所定数である。逆も明らかである。

$M$を連結とし、$df=0$とする。$p_0\in M$を固定し$S=\{p\in M\mid f(p)=f(p_0)\}$と置く。$f$は局所定数であるから$S$は開集合であり、また$f$は連続であるから$S$は閉集合である。$p_0\in S$であるから$S\ne\varnothing$であり、§E2.43 命題 1.3により$S=M$である。よって$f$は定数である。逆に定数関数は$df=0$を満たす。したがって$Z^0(M)$は定数関数の全体であり、$c\mapsto(\text{定数関数 }c)$は$\mathbb{R}$からの線形同型である。▨

証明. 多様体の各点は連結な座標近傍を持つので、連結成分は開集合であり、したがって閉集合でもある。$Z^0(M)$の元は上の証明により局所定数であるから、各$M_j$の上で定数である。逆に各成分の上で定数である関数は$C^\infty$であり$df=0$を満たす。よって$f\mapsto\bigl(f|_{M_1},\dots,f|_{M_m}\bigr)$は$Z^0(M)$から$\mathbb{R}^m$への線形同型である。▨

証明.(1)を示す。$\omega\in Z^k(N)$とすると§E17.11 命題 3.1により$d(F^*\omega)=F^*(d\omega)=0$であるから$F^*\omega\in Z^k(M)$である。$\omega=d\eta$とすると$F^*\omega=F^*(d\eta)=d(F^*\eta)$であるから$F^*\omega\in B^k(M)$である。よって$F^*$は商の間の写像を誘導する。線形性は$F^*$の線形性（§E17.10 命題 5.2）による。

2、(3)を示す。§E17.10 命題 5.2の$(G\circ F)^*=F^*\circ G^*$と$(\operatorname{id}_M)^*=\operatorname{id}$を、閉形式の代表元へ適用すればよい。

(4)を示す。$F^{-1}$も$C^\infty$写像であるから、(2)と(3)により$F^*\circ(F^{-1})^*=(F^{-1}\circ F)^*=\operatorname{id}$および$(F^{-1})^*\circ F^*=\operatorname{id}$である。▨

証明. 反射律。$H(p,t)=F(p)$と置けばよい。

対称律。$H$が$F$から$G$への滑らかなホモトピーならば$\widetilde H(p,t)=H(p,1-t)$は$G$から$F$へのものである。

推移律。§E17.2 補題 1.2の関数を$\rho$と書き、$\rho_0(t)=\rho(3t-1)$と置く。$\rho_0$は$C^\infty$であり、$t\le 1/3$で$0$、$t\ge 2/3$で$1$、値域は$[0,1]$である。$F\simeq G$を与える$H_1$と$G\simeq K$を与える$H_2$に対し

と置く。$H_1'$は$t\le1/3$で$F$、$t\ge2/3$で$G$に等しく、$H_2'$は$t\le1/3$で$G$、$t\ge2/3$で$K$に等しい。

と定める。二つの開集合$M\times(-\infty,2/3)$と$M\times(1/3,\infty)$は$M\times\mathbb{R}$を覆い、共通部分$1/3<t<2/3$では$2t>2/3$かつ$2t-1<1/3$であるから、どちらの式も$G(p)$を与える。よって$H$は well-defined な$C^\infty$写像であり、$H(p,0)=H_1'(p,0)=F(p)$、$H(p,1)=H_2'(p,1)=K(p)$である。▨

証明.$H\colon M\times\mathbb{R}\to N$を滑らかなホモトピーとし、$i_s\colon M\to M\times\mathbb{R}$、$i_s(p)=(p,s)$と置く。$H\circ i_0=F$、$H\circ i_1=G$である。

$\omega\in Z^k(N)$を取る。$H^*\omega\in\Omega^k(M\times\mathbb{R})$であり、$M$は境界を持たないので§E17.12 定理 4.4を適用することができる。$K$をその鎖ホモトピー作用素とすると

である。§E17.10 命題 5.2により$i_1^*(H^*\omega)=(H\circ i_1)^*\omega=G^*\omega$、$i_0^*(H^*\omega)=F^*\omega$である。また§E17.11 命題 3.1により$d(H^*\omega)=H^*(d\omega)=0$であるから$K(d(H^*\omega))=0$である。したがって

である。よって$[G^*\omega]=[F^*\omega]$、すなわち$G^*[\omega]=F^*[\omega]$である。$\omega$は任意であったから$F^*=G^*$である。▨

証明.$G$を定義 3.4の写像とする。定理 2.1と定理 3.3により

である。▨

証明.$\operatorname{id}_M$と滑らかにホモトピックな定数写像を$\kappa$と書き、その値を$q_0\in M$と置く。$H\colon M\times\mathbb{R}\to M$を$\operatorname{id}_M\simeq\kappa$を与える滑らかなホモトピーとする。

連結性。$p\in M$に対して$t\mapsto H(p,t)$は$\mathbb{R}$から$M$への連続写像であり、$t=0$で$p$、$t=1$で$q_0$である。したがって$M$の任意の点は$q_0$と道で結ばれるので$M$は弧状連結であり、§E2.43 命題 4.2により連結である。

$k\ge 1$の場合。$k\ge 1$と$\omega\in\Omega^k(M)$に対して$\kappa^*\omega=0$である。実際、$\kappa$は定数写像であるから$d\kappa_p=0$であり、§E17.10 定義 5.1の定義式の引数がすべて$0$になる。したがって$\kappa^*=0$が$H^k_{\mathrm{dR}}(M)\to H^k_{\mathrm{dR}}(M)$の上で成り立つ。一方定理 3.3により$\kappa^*=(\operatorname{id}_M)^*=\operatorname{id}$である。よって$H^k_{\mathrm{dR}}(M)$の恒等写像は零写像であり、$H^k_{\mathrm{dR}}(M)=0$である。

$k=0$の場合。$M$は連結であるから命題 1.4による。▨

証明.$U$は$\mathbb{R}^n$の開集合であるから境界を持たない$C^\infty$多様体である（§E17.1 命題 7.1）。

$k\ge 1$とする。§E17.12 定理 5.1により$U$の上の閉$k$形式は完全形式であるから$Z^k(U)=B^k(U)$であり、$H^k_{\mathrm{dR}}(U)=0$である。

$k=0$とする。$U$は星型であるから、任意の$x\in U$に対して線分$t\mapsto c+t(x-c)$（$t\in[0,1]$）が$U$に含まれ、$x$と$c$を結ぶ道を与える。よって$U$は弧状連結であり、§E2.43 命題 4.2により連結であるから命題 1.4を適用することができる。

$\mathbb{R}^n$はどの点に関しても星型である。▨

証明.$r\colon\mathbb{R}^n\setminus\{0\}\to S^{n-1}$、$r(x)=x/\lVert x\rVert$と置く。$\lVert x\rVert$は$\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$の上で$C^\infty$かつ正であるから$r$は$C^\infty$写像であり、値は$S^{n-1}$に属する。$\iota$は$C^\infty$写像である。

$r\circ\iota=\operatorname{id}_{S^{n-1}}$である（$x\in S^{n-1}$では$\lVert x\rVert=1$）。

$\iota\circ r\simeq\operatorname{id}$を示す。§E17.2 補題 1.2の関数を$\rho$と書き、

と定める。分母は$1-\rho(t)$と$\rho(t)\lVert x\rVert$の和であり、$\rho(t)\in[0,1]$かつ$\lVert x\rVert>0$であるから正である（$\rho(t)=0$ならば分母は$1$、$\rho(t)>0$ならば$\rho(t)\lVert x\rVert>0$）。したがって$H$は$C^\infty$写像であり、値は$0$でない。$\rho(0)=0$から$H(x,0)=x$、$\rho(1)=1$から$H(x,1)=x/\lVert x\rVert=\iota(r(x))$である。

よって$\iota$は滑らかなホモトピー同値であり、系 3.5により$\iota^*$は同型である。▨

証明. まず$J=\mathbb{R}$の場合を示す。$s_0=0$とし$i_0\colon M\to M\times\mathbb{R}$、$i_0(p)=(p,0)$と置く。$\pi\circ i_0=\operatorname{id}_M$である。$i_0\circ\pi\simeq\operatorname{id}_{M\times\mathbb{R}}$を示す。

と定めると、$H$は$C^\infty$写像であり、$t=0$では$(p,s)$、$t=1$では$(p,0)=i_0(\pi(p,s))$である。よって$\pi$は滑らかなホモトピー同値である。

一般の開区間$J=(a,b)$（$-\infty\le a<b\le\infty$）については、$J$から$\mathbb{R}$への$C^\infty$微分同相が存在する。有界な場合は$u\mapsto\tan\bigl(\pi(2u-a-b)/(2(b-a))\bigr)$を用いる。右端だけが無限の場合は平行移動で$(0,\infty)$へ移して$u\mapsto\log u$を合成し、左端だけが無限の場合は、先に反転$u\mapsto-u$を施して右端だけが無限の場合へ帰着させる。両側が無限の場合は恒等写像を取ればよい。この微分同相と恒等写像の積は$M\times J$から$M\times\mathbb{R}$への微分同相であり、$\pi$と可換であるから、定理 2.1 (4)と合わせて主張を得る。▨