§E17.11外微分と不変表示

証明. 接ベクトルは$C^\infty(M)$上の導分であるから$v\mapsto v(f)$は線形であり、$(df)_p\in T^*_pM$である。チャート上での成分は$(df)_p(\partial/\partial x^i|_p)=(\partial f/\partial x^i)(p)$であり（§E17.3 定理 3.3）、これは$U$上の$C^\infty$関数である。§E17.10 命題 4.1によりこの値が$1$形式としての成分に一致し、§E17.10 命題 2.2により$df$は$C^\infty$切断である。座標表示も同じ成分の計算から従う。

積については、導分の性質から$v(fg)=f(p)\,v(g)+g(p)\,v(f)$である。両辺を$p$と$v$について読み替えると$d(fg)=f\,dg+g\,df$を得る。▨

証明.(1)を示す。定義 2.1 条件 (a)により$\omega-\eta$を考えればよいので、$\omega|_U=0$のとき$(d\omega)|_U=0$を示す。$p\in U$を取る。§E17.2 命題 1.5により、$C^\infty$関数$\chi:M\to[0,1]$であって、$p$のある開近傍$W\subseteq U$の上で$\chi\equiv1$であり、$\operatorname{supp}\chi$がコンパクトで$\operatorname{supp}\chi\subseteq U$を満たすものが存在する。

$M=U\cup(M\setminus\operatorname{supp}\chi)$であり、$U$の上では$\omega=0$、$M\setminus\operatorname{supp}\chi$の上では$\chi=0$であるから、$M$の全体で$\chi\omega=0$である。$\chi$は$0$次形式であるから$\chi\wedge\omega=\chi\omega$であり、定義 2.1 条件 (c)を$k=0$として適用すると

を得る。$p$で評価する。$v\in T_pM$に対し$(d\chi)_p(v)=v(\chi)$であり、$\chi$は$W$の上で定数関数$1$に等しいので§E17.3 補題 1.3により$v(\chi)=v(1)$である。導分の性質から$v(1)=v(1\cdot1)=2v(1)$、すなわち$v(1)=0$である。よって$(d\chi)_p=0$である。$\chi(p)=1$であるから、上の等式は$(d\omega)_p=0$を与える。$p\in U$は任意であったから$(d\omega)|_U=0$である。

(2)を示す。$\chi_1,\chi_2$をともに条件を満たす関数とすると、$\chi_1\omega$と$\chi_2\omega$は$p$のある近傍の上で$\omega$に一致するので互いに一致し、(1)により$(d(\chi_1\omega))_p=(d(\chi_2\omega))_p$である。よって$(d_U\omega)_p$は$\chi$に依らない。$p$の近傍$W$（そこで$\chi\equiv1$）の上では$d_U\omega=d(\chi\omega)|_W$であるから$d_U\omega$は$C^\infty$切断である。

$\omega\in\Omega^k(M)$のとき、$\chi\,(\omega|_U)$を$0$拡張したものは$W$の上で$\omega$に一致するので、(1)により$(d_U(\omega|_U))_p=(d\omega)_p$である。

定義 2.1 条件 (a)は各点の定義式が$\omega$について線形であることから従う。定義 2.1 条件 (b)は、$f\in C^\infty(U)$と$v\in T_pM$に対し$\chi f$が$W$の上で$f$に一致することと§E17.3 補題 1.3から$(d(\chi f))_p(v)=v(\chi f)=v(f)$となることによる。

定義 2.1 条件 (c)を見る。$\alpha\in\Omega^k(U)$、$\beta\in\Omega^l(U)$、$p\in U$とし、$\chi$を上のように取る。$(\chi\alpha)\wedge(\chi\beta)=\chi^2(\alpha\wedge\beta)$と$\chi(\alpha\wedge\beta)$はともに$W$の上で$\alpha\wedge\beta$に一致するので、(1)により

である。$\chi(p)=1$であるから、右辺は$(d_U\alpha)_p\wedge\beta_p+(-1)^k\alpha_p\wedge(d_U\beta)_p$に等しい。

定義 2.1 条件 (d)を見る。$\omega\in\Omega^k(U)$と$p\in U$に対し、$\chi$を上のように取る（$p$の開近傍$W$の上で$\chi\equiv1$、$\operatorname{supp}\chi$はコンパクトで$U$に含まれる）。さらに§E17.2 命題 1.5により、$p$のある開近傍$W'\subseteq W$の上で$1$に等しく、台がコンパクトで$W$に含まれる$C^\infty$関数$\chi'$を取る。$W$の上では$d_U\omega=d(\chi\omega)|_W$であるから、$\chi'\,d_U\omega$を$0$拡張したものは$W'$の上で$d(\chi\omega)$に一致する。よって 1 により

である。▨

証明. まず、増加とは限らない添字の列$K=(k_1,\dots,k_m)$と$f\in C^\infty(W)$に対して

が成り立つことを確かめる。$K$に重複があれば§E17.10 系 3.6により$dx^K=0$であり、両辺は$0$である。重複がなければ、$K$を昇順に並べ替える置換$\pi$を取ると$dx^K=\operatorname{sgn}(\pi)\,dx^{K'}$（$K'$は増加添字）であり、両辺がともに$\operatorname{sgn}(\pi)$倍で対応するので、$K$が増加添字の場合に帰着する。その場合は$D$の定義そのものである。

定義 2.1 条件 (a)は、座標表示の成分が$\omega$について線形であり、$d$が関数について線形であることから従う。定義 2.1 条件 (b)は、$k=0$のとき増加添字が空列だけであり$dx^{\varnothing}=1$となるので、$Df=df$となることによる。

定義 2.1 条件 (c)を示す。双線形性から$\alpha=a\,dx^I$、$\beta=b\,dx^J$（$I$、$J$は増加添字、$|I|=k$、$|J|=l$、$a,b\in C^\infty(W)$）の場合に帰着する。$\alpha\wedge\beta=ab\,dx^I\wedge dx^J$であり、$dx^I\wedge dx^J=dx^{(I,J)}$（$I$と$J$を連ねた添字列）であるから、上で確かめた式と命題 1.1の積の規則により

である。一方

であり、$db$は$1$形式、$dx^I$は$k$次形式であるから§E17.10 定理 3.5により$dx^I\wedge db=(-1)^{k}db\wedge dx^I$であり、

である。二つの和は$D(\alpha\wedge\beta)$に等しい。

定義 2.1 条件 (d)を示す。$\omega=\sum_I\omega_I\,dx^I$に対し、命題 1.1により

である。ふたたび$D$を適用すると、上で確かめた式により

である。$\omega_I$は$C^\infty$であるから§E4.4 定理 2.1により$\partial^2\omega_I/\partial x^i\partial x^j$は$i$と$j$の入れ替えで不変であり、§E17.10 系 3.6により$dx^i\wedge dx^j=-dx^j\wedge dx^i$である。したがって添字の対$(i,j)$と$(j,i)$に対応する項が相殺し、$i=j$の項は$dx^i\wedge dx^i=0$から消える。よって$D(D\omega)=0$である。▨

証明. 一意性。$d$と$d'$をともに四条件を満たす族とする。補題 2.2により、どちらもチャートの定義域$U$の上の族$d_U$、$d'_U$を誘導し、$(d\omega)|_U=d_U(\omega|_U)$を満たす。したがって$d_U=d'_U$をすべてのチャートについて示せば足りる。

$\omega\in\Omega^k(U)$を取り、$\omega=\sum_I\omega_I\,dx^I$と座標表示する。まず、増加添字$I=(i_1<\cdots<i_k)$に対して$d_U(dx^I)=0$を$k$についての帰納法で示す。$k=1$のときは、定義 2.1 条件 (b)により$dx^{i}=d_U x^{i}$であるから、定義 2.1 条件 (d)により$d_U(dx^{i})=d_U(d_Ux^{i})=0$である。$k-1$で成り立つとすると、$dx^I=dx^{i_1}\wedge dx^{I'}$（$I'=(i_2<\cdots<i_k)$）に定義 2.1 条件 (c)を適用して

を得る。

つぎに定義 2.1 条件 (c)を$\alpha=\omega_I\in\Omega^0(U)$、$\beta=dx^I$として適用すると

である（第二の等号で定義 2.1 条件 (b)と上の結果を用いた）。定義 2.1 条件 (a)により$d_U\omega=\sum_Id\omega_I\wedge dx^I$である。右辺は$d_U$の作り方に依らない式であるから$d_U=d'_U$である。

存在。各チャート$(U,\varphi)$に対して補題 2.3の族$D^{\varphi}$を取る。二つのチャート$(U,\varphi)$、$(V,\psi)$について、$W=U\cap V\ne\varnothing$とすると、$D^{\varphi}$と$D^{\psi}$はいずれも$W$の上で四条件を満たす族を与える。$W$は$M$の開集合であるからそれ自身$C^\infty$多様体であり（§E17.1 命題 7.1）、上の一意性の議論を多様体$W$に適用すると、$W$の上で$D^{\varphi}=D^{\psi}$である。

したがって$\omega\in\Omega^k(M)$に対して$(d\omega)|_U:=D^{\varphi}(\omega|_U)$と定めると、この定め方はチャートの選び方に依らず、$M$上の$(k+1)$次形式$d\omega$が定まる。四条件はいずれも各点の近傍だけで述べることができる条件であり、各チャートの上で補題 2.3により成り立つので、$d$は$M$の全体で四条件を満たす。▨

証明.定理 2.4が与える外微分は定義 2.1の定義 2.1 条件 (d)を満たす。局所座標でこの条件が成り立つ理由は、補題 2.3の証明で確かめたとおり、二階混合偏導関数の対称性（§E4.4 定理 2.1）が添字について対称であるのに対し、$dx^i\wedge dx^j$が反対称であることによる。▨

証明. $k=0$の場合。$g\in C^\infty(N)$、$p\in M$、$v\in T_pM$とする。$F^*g=g\circ F$であるから

である。第二の等号は微分$dF_p$の定義（§E17.3 定理 5.3）、第三の等号は命題 1.1による。

一般の場合。両辺は$p$の近傍だけで決まる。実際、$F^*$は各点で定まり（§E17.10 定義 5.1）、$d$は局所的である（補題 2.2）。そこで$F(p)$の周りのチャート$(V,\psi=(y^1,\dots,y^m))$と、$p$の周りのチャート$(U,\varphi)$で$F(U)\subseteq V$を満たすものを取る（$F$の連続性から取ることができる）。$F^a=y^a\circ F$と置く。

$V$の上で$\omega=\sum_A\omega_A\,dy^{a_1}\wedge\cdots\wedge dy^{a_k}$（$A=(a_1<\cdots<a_k)$）と表す。§E17.10 命題 5.4と、いま示した$k=0$の場合による$F^*(dy^a)=d(y^a\circ F)=dF^a$から、$U$の上で

である。この右辺へ外微分を施す。定義 2.1 条件 (c)と定義 2.1 条件 (d)から、定理 2.4の一意性の証明と同じ帰納法により$d(dF^{a_1}\wedge\cdots\wedge dF^{a_k})=0$である。実際、各$F^{a}$は$U$上の$C^\infty$関数であるから$d(dF^{a})=0$であり、定義 2.1 条件 (c)を繰り返し適用すると各項に$d(dF^{a_r})$が現れて消える。したがって

である。

一方$d\omega=\sum_Ad\omega_A\wedge dy^{a_1}\wedge\cdots\wedge dy^{a_k}$であるから、§E17.10 定理 5.3と$k=0$の場合により

である。二つは一致する。$p$は任意であったから、等式は$M$の全体で成り立つ。▨

証明.補題 2.2 (1)を示す。多重線形性により

であるから、ある引数が$p$で消えるとき値が$p$で$0$になることを示せばよい。$X|_p=0$とし、$X$が第一引数にあるとする（他の引数の場合も同じ議論である）。

$p$の周りのチャート$(U,\varphi=(x^1,\dots,x^n))$を取り、$U$の上で$X=\sum_{i=1}^{n}a^i\,\partial/\partial x^i$と書く。$X|_p=0$から$a^i(p)=0$である。§E17.2 命題 1.5により、$p$のある開近傍$W\subseteq U$の上で$1$に等しく、台がコンパクトで$U$に含まれる$C^\infty$関数$\chi:M\to[0,1]$を取る。$\chi a^i$を$U$の外へ$0$で延ばしたものを$b^i\in C^\infty(M)$、$\chi\,\partial/\partial x^i$を同様に延ばしたものを$E_i\in\mathfrak{X}(M)$とする。

$M=U\cup(M\setminus\operatorname{supp}\chi)$であり、$U$の上では両辺が$\chi^2X$に等しく、$\operatorname{supp}\chi$の外では両辺が$0$であるから、$M$の上で

が成り立つ。$C^\infty(M)$多重線形性から

である。$p$で評価すると$\chi(p)=1$かつ$b^i(p)=a^i(p)=0$であるから、$B(X,X_2,\dots,X_m)(p)=0$を得る。

これで 1 の前半が従う。各点$p$と$v_1,\dots,v_m\in T_pM$に対しては、$v_r$を値に持つ$C^\infty$ベクトル場を取って$B_p(v_1,\dots,v_m)$を定める。そのようなベクトル場は、座標表示$v_r=\sum_{i=1}^{n}c^i_r\,\partial/\partial x^i|_p$に対して$\sum_{i=1}^{n}c^i_r E_i$を取れば存在する。$B_p$の多重線形性は$B$の多重線形性から従う。

(2)を示す。二つの引数が同じ接ベクトルであるとき、その接ベクトルを値に持つ同一のベクトル場を両方の引数へ入れれば$B$の交代性から値は$0$である。(1)によりこの値が$B_p$の値であるから、$B_p$は交代的である。滑らかさを見る。$p\in M$を取り、上の$W$と$E_i$を用いると、$W$の上で$E_i=\partial/\partial x^i$であるから、増加添字$I=(i_1<\cdots<i_m)$に対して

であり、右辺は$C^\infty$関数である。§E17.10 命題 4.1によりこの値が座標表示の成分であり、§E17.10 命題 2.2 条件 (c)から、$p\mapsto B_p$は$C^\infty$切断である。▨

証明. 右辺を$B(X,Y)$と書く。$B$は$\mathbb{R}$双線形である。

$B$が交代的であることを見る。$X$と$Y$を入れ替えると、第一項と第二項が入れ替わって符号が変わり、$[Y,X]=-[X,Y]$（§E17.7 定義 1.2）から第三項も符号が変わる。よって$B(Y,X)=-B(X,Y)$であり、とくに$B(X,X)=0$である。

$B$が$C^\infty(M)$双線形であることを見る。交代性から第二引数について確かめれば足りる。$f\in C^\infty(M)$に対し、§E17.7 定義 1.2の定義から$[X,fY]=f[X,Y]+(Xf)Y$である。実際、$g\in C^\infty(M)$に対して

である。したがって

である。加法性は明らかであるから、$B$は$C^\infty(M)$双線形である。

補題 4.1により、$B$は$M$上の$2$次微分形式を定める。左辺$d\omega$も$2$次微分形式であるから、両者が各点の座標基底の上で一致することを示せばよい。

$p\in M$を取り、チャート$(U,\varphi=(x^1,\dots,x^n))$と、その上の座標基底を取る。補題 4.1の証明で作った$E_i=\chi\,\partial/\partial x^i$を用いると、$p$の近傍$W$の上で$E_i=\partial/\partial x^i$であり、括弧積の局所性から$[E_i,E_j]|_W=[\partial/\partial x^i,\partial/\partial x^j]|_W=0$である（座標基底どうしの括弧積が消えることは、$\partial_i\partial_j f=\partial_j\partial_i f$、すなわち§E4.4 定理 2.1による）。