§E17.5部分多様体・はめ込み・埋め込み

証明.§E4.7 定理 2.1により$g$は$C^{1}$級であり、$V_0$の各点$y$で

が成り立つ。とくに$Df(g(y))$はすべての$y\in V_0$で可逆である。

正則行列に逆行列を対応させる写像が$C^\infty$級であることを示す。ここでは行列式と随伴行列に関する「線形代数 II」の結果を用いる。$n$次正方行列の全体を$\mathbb{R}^{n^{2}}$と同一視する。$\det$は成分の多項式であるから連続であり、

は開集合である。§E3.21 補題 1.1により、随伴行列$\operatorname{adj}(A)$について$A\operatorname{adj}(A)=(\det A)I$が成り立つので、$A\in\mathrm{GL}$に対して$A^{-1}=(\det A)^{-1}\operatorname{adj}(A)$である。$\operatorname{adj}(A)$の各成分は$A$の成分の多項式であり、$\det A$も多項式で$\mathrm{GL}$の上で消えないから、$A^{-1}$の各成分は$A$の成分の有理式であって分母が消えない。したがって写像$\operatorname{inv}\colon\mathrm{GL}\to\mathbb{R}^{n^{2}}$、$\operatorname{inv}(A)=A^{-1}$は$C^\infty$級である。

$k=1$ならば結論は§E4.7 定理 2.1そのものである。$k\ge 2$（$k=\infty$を含む）とする。$1\le j$かつ$j\le k-1$を満たす整数$j$について、$g$が$C^{j}$級ならば$g$が$C^{j+1}$級であることを示す。$Df$は$C^{k-1}$級であるから$C^{j}$級である。$g$は$C^{j}$級であるから、§E17.1 補題 1.1により$Df\circ g$は$C^{j}$級である。$\operatorname{inv}$は$C^\infty$級であるから$C^{j}$級であり、ふたたび§E17.1 補題 1.1により

は$C^{j}$級である。よって$g$は$C^{j+1}$級である。

$j=1$から始めてこの手順を繰り返すと、$k$が有限ならば$j=k-1$の段で$g$が$C^{k}$級であることが得られる。$k=\infty$ならばすべての正の整数$j$について繰り返すことができるので、$g$は$C^\infty$級である。▨

証明.$S^1$のチャートを§E17.1 命題 5.1の立体射影で取ると、$\varphi_N(x,y)=x/(1-y)$、$\varphi_S(x,y)=x/(1+y)$である。$\theta=2\pi s$と置くと

であり、前者は$\sin\theta\ne 1$、後者は$\sin\theta\ne-1$の範囲で分母が消えず$C^\infty$である。さらに

であり、それぞれのチャートの定義域で導関数は消えない。二つの定義域は$\mathbb{R}$を覆うので、$e$は$C^\infty$写像であり、補題 1.1により至るところ局所微分同相である。▨

証明.$p$を含むチャート$(U_1,\varphi_1)$と$F(p)$を含むチャート$(V_1,\psi_1)$を、$\varphi_1(p)=0$、$\psi_1(F(p))=0$、$F(U_1)\subseteq V_1$、かつ$U_1$が仮定の近傍に含まれるように取る（$F$は連続であるから$U_1$を小さく取り直せばよい）。$\Omega=\varphi_1(U_1)$と置き、$f=\psi_1\circ F\circ\varphi_1^{-1}\colon\Omega\to\mathbb{R}^{n}$とする。$f$は$C^\infty$であり$f(0)=0$、§E17.3 命題 5.5により$\operatorname{rank}Df=k$が$\Omega$の各点で成り立つ。

$Df(0)$の階数が$k$であるから、$k$次の小行列で行列式が$0$でないものが存在する。$\mathbb{R}^{m}$と$\mathbb{R}^{n}$の座標の番号を置換すると（座標の置換は線形微分同相であり、チャートに合成してもチャートである）、左上の$k$次小行列$\bigl(\partial f^{a}/\partial x^{b}\bigr)_{1\le a,b\le k}$の行列式が$0$でないとしてよい。行列式は連続であるから、$\Omega$を小さく取り直してこの行列式が$\Omega$全体で$0$でないとしてよい。

$x=(x',x'')\in\mathbb{R}^{k}\times\mathbb{R}^{m-k}$、$f=(f',f'')$（$f'$は$\mathbb{R}^{k}$値、$f''$は$\mathbb{R}^{n-k}$値）と書き、

と定める。$\Phi$は$\Omega$上の$C^\infty$写像であり

であるから$\det D\Phi=\det(\partial f'/\partial x')\ne 0$である。§E4.7 定理 2.1と補題 1.1により、$0$を含む開集合$\Omega_0\subseteq\Omega$と$\Phi(0)=0$を含む開集合$\Omega_1$が存在して、$\Phi\colon\Omega_0\to\Omega_1$は$C^\infty$微分同相である。逆写像を$\Psi$と書き、$\Omega_1$の座標を$(u,v)\in\mathbb{R}^{k}\times\mathbb{R}^{m-k}$と書く。

$\Phi\circ\Psi=\operatorname{id}$の第一成分から$f'(\Psi(u,v))=u$、第二成分から$\Psi''(u,v)=v$である。$G=f''\circ\Psi$と置くと

である。$\Psi$は微分同相であるから$D\Psi$は可逆であり、§E4.3 定理 1.1により$D(f\circ\Psi)=Df(\Psi)\,D\Psi$の階数は$Df$の階数に等しく$k$である。一方

である。$(\partial G/\partial v)_{c,d}\ne 0$となる添字$c,d$が存在すると仮定する。第$1,\dots,k$行と第$k+c$行、第$1,\dots,k$列と第$k+d$列から作る$(k+1)$次小行列式は、第一列から第$k$列までの形から

となり、階数が$k+1$以上になって矛盾する。よって$\partial G/\partial v=0$が$\Omega_1$の各点で成り立つ。

$0$を含む開球の積$W'\times W''\subseteq\Omega_1$（$W'\subseteq\mathbb{R}^{k}$、$W''\subseteq\mathbb{R}^{m-k}$）を取る。$u\in W'$を固定すると、$W''$は凸であり$v\mapsto G(u,v)$の微分は$0$であるから、§E4.3 系 2.3により$G(u,v)$は$v$に依らない。そこで$g(u)=G(u,0)$と置くと、$W'\times W''$の上で$f\circ\Psi(u,v)=(u,g(u))$である。$g$は$C^\infty$であり、$g(0)=G(0,0)=f''(\Psi(0,0))=f''(0)=0$である。

終域側の写像を

で定める。$\chi$は$C^\infty$であり、$(z',z'')\mapsto(z',z''+g(z'))$が逆写像を与えるので$C^\infty$微分同相である。

$U=\varphi_1^{-1}\bigl(\Psi(W'\times W'')\bigr)$、$\varphi=\Phi\circ\varphi_1|_{U}$と置く。$\Phi$は微分同相であるから$(U,\varphi)$は$M$のチャートであり、$\varphi(p)=\Phi(0)=(f'(0),0)=0$である。また$V=V_1\cap\psi_1^{-1}(W'\times\mathbb{R}^{n-k})$、$\psi=\chi\circ\psi_1|_{V}$と置くと、$(V,\psi)$は$N$のチャートであり$\psi(F(p))=\chi(0)=(0,-g(0))=0$である。$q\in U$に対して$\psi_1(F(q))=f(\Psi(u,v))=(u,g(u))$（ここで$(u,v)=\varphi(q)$）であり$u\in W'$であるから$F(U)\subseteq V$である。

最後に、$\varphi(U)=W'\times W''$の上で

であり、$\chi(u,g(u))=(u,g(u)-g(u))=(u,0)$であるから

が成り立つ。これは主張の式である。▨

証明.$S$は Hausdorff 空間の部分空間であるから Hausdorff であり、第二可算空間の部分空間であるから第二可算である。

$\varphi_S$を調べる。$\varphi(U\cap S)\subseteq\mathbb{R}^{k}\times\{0\}$であるから、$\pi_k$の$\mathbb{R}^{k}\times\{0\}$への制限は同相写像$\mathbb{R}^{k}\times\{0\}\to\mathbb{R}^{k}$であり、$\varphi_S$は単射である。像は

であり、これは連続写像$u\mapsto(u,0)$による開集合$\varphi(U)$の逆像であるから$\mathbb{R}^{k}$の開集合である。$U\cap S$は$S$の開集合であり、$\varphi$は同相写像であるから$\varphi|_{U\cap S}$は$U\cap S$から$\varphi(U)\cap(\mathbb{R}^{k}\times\{0\})$（部分空間位相）への同相写像である。$\pi_k$の制限と合わせて$\varphi_S$は同相写像である。定義域の合併は$S$に等しい。

座標変換を調べる。$(U,\varphi)$、$(U',\varphi')$をスライスチャートとすると、$u\in\varphi_S(U\cap U'\cap S)$に対して

である。右辺は$C^\infty$写像$\varphi'\circ\varphi^{-1}$に、$C^\infty$写像$u\mapsto(u,0)$と線形写像$\pi_k$を合成したものであり$C^\infty$である。定義域は$\varphi_S(U\cap U'\cap S)$であり、$U\cap U'\cap S$が$S$の開集合であることから開集合である。逆向きも同様であるから、二つのスライスチャートは両立する。

包含写像を調べる。$(U\cap S,\varphi_S)$と$(U,\varphi)$に関する$\iota$の座標表示は$u\mapsto\varphi(\varphi_S^{-1}(u))=(u,0)$であり$C^\infty$である。§E17.1 命題 4.2により$\iota$は滑らかである。この座標表示の Jacobi 行列は、上の$k$行が単位行列$I_k$、下の$m-k$行が零行列である$m\times k$行列であるから階数は$k$であり、§E17.3 命題 5.5により$d\iota_q$は単射である。よって$\iota$ははめ込みであり、単射である。$S$には部分空間位相を与えているので、$\iota\colon S\to\iota(S)=S$は恒等写像であり同相である。したがって$\iota$は埋め込みである。▨

証明.$p\in S$を取る。$dF_p$は全射であるから$m\ge n$であり、§E17.3 命題 5.5により、$p$の周りのチャート表示の Jacobi 行列の階数は$n$である。階数が$n$であることは$n$次の小行列式のいずれかが$0$でないことと同値であり、小行列式は連続であるから、その小行列式は$p$のある近傍で$0$でない。したがってその近傍で階数は$n$以上であり、行の個数が$n$であるから階数はちょうど$n$である。すなわち$\operatorname{rank}dF$は$p$の近傍で定数$n$である。

定理 3.1を$k=n$として適用すると、$p$を含むチャート$(U,\varphi)$と$c=F(p)$を含むチャート$(V,\psi)$で、$F(U)\subseteq V$、$\varphi(p)=0$、$\psi(c)=0$かつ

を満たすものを取ることができる。$q\in U$に対して$F(q)\in V$であるから、$F(q)=c$であることと$\psi(F(q))=0$であることは同値である。よって

である。座標の番号を、$x^{n+1},\dots,x^{m}$を先に、$x^{1},\dots,x^{n}$を後に並べ替える置換と合成すると（線形微分同相であるからチャートである）、条件は$\varphi'(U\cap S)=\varphi'(U)\cap(\mathbb{R}^{m-n}\times\{0\})$の形になる。$p\in S$は任意であったから、$S$は$(m-n)$次元埋め込み部分多様体である。

接空間を調べる。命題 4.2により$S$は$(m-n)$次元多様体であり、$\iota$は埋め込みである。合成$F\circ\iota\colon S\to N$は値が定数$c$の写像である。定数写像$\kappa$については、$v\in T_pS$と$g\in C^\infty(N)$に対して$g\circ\kappa$が定数関数であるから、§E17.3 補題 1.2により$d\kappa_p(v)(g)=v(g\circ\kappa)=0$である。よって§E17.3 定理 5.3により

であり、$d\iota_p(T_pS)\subseteq\ker dF_p$である。$d\iota_p$は単射であるから$\dim d\iota_p(T_pS)=\dim T_pS=m-n$である。

$\dim\ker dF_p=m-n$を示す。上で取ったチャート$(U,\varphi)$、$(V,\psi)$に関して$\psi\circ F\circ\varphi^{-1}(x^{1},\dots,x^{m})=(x^{1},\dots,x^{n})$であるから、§E17.3 命題 5.5により、座標基底に関する$dF_p$の表示は

である。$v=\sum_{i=1}^{m}a^{i}\,\partial/\partial x^{i}|_p$に対して$dF_p(v)=\sum_{i=1}^{n}a^{i}\,\partial/\partial y^{i}|_{c}$であり、§E17.3 定理 3.3の一次独立性により、$dF_p(v)=0$であることと$a^{1}=\cdots=a^{n}=0$であることは同値である。したがって$\ker dF_p$は$\{\partial/\partial x^{n+1}|_p,\dots,\partial/\partial x^{m}|_p\}$が張る部分空間であり、その次元は$m-n$である。

次元が一致する部分空間の包含は等号であるから、$d\iota_p(T_pS)=\ker dF_p$である。▨