§E17.19Lie 群と古典行列群

証明.$\det\colon M_n(\mathbb{R})\to\mathbb{R}$は成分の多項式であるから連続である。$GL_n(\mathbb{R})=\det^{-1}(\mathbb{R}\setminus\{0\})$は連続写像による開集合の逆像であるから$M_n(\mathbb{R})$の開集合である。$I\in GL_n(\mathbb{R})$であるから空でない。よって§E17.1 命題 7.1により、$GL_n(\mathbb{R})$は$M_n(\mathbb{R})$と同じ$n^{2}$という次元の$C^\infty$多様体である。群であることは§E7.1 命題 3.2による。

積の写像を調べる。$GL_n(\mathbb{R})\times GL_n(\mathbb{R})$は$\mathbb{R}^{n^{2}}\times\mathbb{R}^{n^{2}}$の開集合であり、その上で$\mu(A,B)=AB$の第$(i,j)$成分は

であって、$A$と$B$の成分の多項式である。多項式写像はすべての階数の偏導関数を持ち、それらは連続であるから$C^\infty$である。恒等写像をチャートに取ると、この座標表示がそのまま$\mu$の座標表示であるから、§E17.1 命題 4.2により$\mu$は$C^\infty$である。

逆元の写像を調べる。「部分多様体・はめ込み・埋め込み」の§E17.5 補題 1.1の証明で確かめたとおり、§E3.21 補題 1.1による随伴行列$\operatorname{adj}(A)$を用いると$A^{-1}=(\det A)^{-1}\operatorname{adj}(A)$である。$\operatorname{adj}(A)$の各成分は$A$の成分の多項式であり、$\det A$も多項式であって$GL_n(\mathbb{R})$の上で消えない。したがって$A^{-1}$の各成分は$A$の成分の有理式であり、分母が定義域の上で消えないので$C^\infty$である。よって$\iota$は$C^\infty$である。

$GL_n(\mathbb{C})$についても、複素行列$A=(A_{ij})$の実部と虚部を並べて$M_n(\mathbb{C})$を$\mathbb{R}^{2n^{2}}$と同一視すればよい。複素数の積は実部と虚部の双線形な式で書かれるから、$AB$の実部と虚部は$A$と$B$の実部と虚部の多項式である。行列式についても、$\det A$の実部と虚部は成分の実部と虚部の多項式であり、$\lvert\det A\rvert^{2}$は実数値の多項式である。$GL_n(\mathbb{C})=\{A\mid\lvert\det A\rvert^{2}\ne 0\}$は開集合であり、逆行列の成分は$(\det A)^{-1}$と余因子行列の成分の積として、実部と虚部の有理式で書かれ、分母$\lvert\det A\rvert^{2}$は消えない。よって同じ結論を得る。▨

証明.$j_g\colon G\to G\times G$を$j_g(h)=(g,h)$で定める。$G\times G$の可微分構造は§E17.1 命題 7.3の積のチャートで与えられているから、$j_g$の座標表示は定数写像と恒等写像を並べたものであり$C^\infty$である。§E17.1 命題 4.2により$j_g$は$C^\infty$である。$L_g=\mu\circ j_g$であり、$\mu$は定義 1.1により$C^\infty$であるから、§E17.1 系 4.3により$L_g$は$C^\infty$である。

群の結合律と単位元の性質から、すべての$h\in G$に対して

が成り立つ。したがって$L_g$は全単射であり、逆写像は$L_{g^{-1}}$である。$g^{-1}\in G$に対して上の議論を適用すると$L_{g^{-1}}$も$C^\infty$である。よって$L_g$は微分同相である（§E17.1 定義 4.1）。

右移動については、$j'_g(h)=(h,g)$と置いて同じ議論を行えばよい。$R_{g^{-1}}$が逆写像であることは$(hg)g^{-1}=h$と$(hg^{-1})g=h$による。

微分が線形同型であることは§E17.3 系 5.4による。▨

証明.命題 3.1により$L_{hg^{-1}}$は微分同相であり、$L_{hg^{-1}}(g)=(hg^{-1})g=h$である。▨

証明.(1)を示す。命題 3.1により$L_g$は微分同相であり、とくに同相写像であるから、開集合$U$の像$gU$は開集合である。$e\in U$であるから$g=ge\in gU$である。制限$L_g|_U\colon U\to gU$は全単射であり、$U$と$gU$を開部分多様体（§E17.1 命題 7.1）と見ると、$L_g|_U$とその逆写像$L_{g^{-1}}|_{gU}$はいずれも$C^\infty$写像の制限として$C^\infty$である。よって微分同相である。

(2)を示す。$V=U\cap U^{-1}$と置く。逆元の写像$\iota$は微分同相（$\iota\circ\iota=\operatorname{id}$であり$\iota$は$C^\infty$である）であるから$U^{-1}=\iota(U)$は開集合であり、$e^{-1}=e$より$e\in V$である。よって$V$は$e$の開近傍であり、$V=V^{-1}$を満たす。

と置く。$K$は積で閉じており、$V=V^{-1}$から逆元でも閉じているので、$G$の部分群である。

$K$が開集合であることを示す。$g\in K$とすると$g\in V^{k}$となる$k$が存在する。$gV\subseteq V^{k}V=V^{k+1}\subseteq K$であり、(1)により$gV$は$g$の開近傍である。よって$K$は開集合である。

$K$が閉集合であることを示す。$g\in G\setminus K$とする。$gV$が$K$と交わると仮定すると、$v\in V$と$x\in K$で$gv=x$となるものが存在し、$g=xv^{-1}\in KV^{-1}=KV\subseteq K$となって仮定に反する。よって$gV\cap K=\varnothing$であり、$gV$は$g$を含む開集合で$G\setminus K$に含まれる。したがって$G\setminus K$は開集合であり、$K$は閉集合である。

$K$は空でない（$e\in K$）開かつ閉な部分集合であるから、$G$が連結であること（§E2.43 定義 1.1）により$K=G$である。

(3)を示す。$h\in H$を任意に取る。$L_h$は微分同相であるから、$(hW,\varphi\circ L_{h^{-1}}|_{hW})$は$G$のチャートである。実際、$L_{h^{-1}}$は$hW$から$W$への微分同相であり（(1)）、$\varphi$は$W$から$\varphi(W)\subseteq\mathbb{R}^{m}$への同相写像であるから、合成は同相写像である。座標変換が$C^\infty$であることは、$\varphi$が$G$の可微分構造に属するチャートであり$L_{h^{-1}}$が微分同相であることから従う（§E17.1 系 7.2と§E17.1 系 4.3）。

$\psi=\varphi\circ L_{h^{-1}}|_{hW}$と置く。$H$は部分群であるから、$h\in H$に対して$L_{h^{-1}}(hW\cap H)=W\cap h^{-1}H=W\cap H$である。ここで$h^{-1}H=H$を用いた。したがって

である。最後の等号は$\psi(hW)=\varphi(W)$による。よって$(hW,\psi)$は$h$におけるスライスチャートである。$h\in H$は任意であったから、§E17.5 定義 4.1により$H$は$G$の$k$次元埋め込み部分多様体である。▨

証明.$H$は§E17.5 命題 4.2により$C^\infty$多様体であり、包含写像$\iota_H\colon H\to G$は埋め込みである。群であることは仮定に含まれる。

積の写像$\mu_H\colon H\times H\to H$が$C^\infty$であることを示す。$\mu_G$を$G$の積の写像とすると、合成

は$C^\infty$写像の合成であるから$C^\infty$である（§E17.1 系 4.3。$\iota_H\times\iota_H$が$C^\infty$であることは、積のチャートに関する座標表示が二つの座標表示を並べたものであることによる）。この合成の像は$H$に含まれ、$\mu_H$は像を$H$と見たものである。

そこで、$C^\infty$写像$\Phi\colon N\to G$の像が埋め込み部分多様体$H$に含まれるならば、$\Phi$を$N\to H$と見たときも$C^\infty$であることを示す。$q\in N$を取り、$p=\Phi(q)\in H$とする。$p$におけるスライスチャート$(U,\varphi)$、$\varphi(U\cap H)=\varphi(U)\cap(\mathbb{R}^{k}\times\{0\})$を取ると、§E17.5 命題 4.2により$(U\cap H,\pi_k\circ\varphi|_{U\cap H})$は$H$のチャートである。$H$には部分空間位相を与えているので、$\Phi\colon N\to H$は連続である（$\Phi^{-1}(U\cap H)=\Phi^{-1}(U)$が開集合であることによる）。$q$の周りのチャート$(O,\chi)$を$\Phi(O)\subseteq U$となるように取ると、$\varphi\circ\Phi\circ\chi^{-1}$は$C^\infty$であり、その値は$\mathbb{R}^{k}\times\{0\}$に属する。$H$のチャートに関する座標表示はこれに線形写像$\pi_k$を合成したものであるから$C^\infty$である。§E17.1 命題 4.2により$\Phi\colon N\to H$は$C^\infty$である。

この事実を$\Phi=\mu_G\circ(\iota_H\times\iota_H)$へ適用すると$\mu_H$は$C^\infty$である。逆元の写像についても、$\iota_G\circ\iota_H\colon H\to G$の像が$H$に含まれることから同じ事実を適用すればよい。よって$H$は Lie 群である。▨

証明. $\operatorname{Herm}_n$の次元を数える。$S\in\operatorname{Herm}_n$とすると$\overline{S_{ii}}=S_{ii}$から対角成分は実数である。$i<j$については$S_{ji}=\overline{S_{ij}}$であるから、対角より上の成分$S_{ij}$（$i<j$）を任意の複素数として与えると$S$が定まる。よって実ベクトル空間としての次元は

である。$\operatorname{Herm}_n$は$M_n(\mathbb{C})\cong\mathbb{R}^{2n^{2}}$の実部分空間であり、$\mathbb{R}^{n^{2}}$と線形同型である。

$F$が$C^\infty$であることを示す。$F(A)$の$(i,j)$成分は$\sum_{l=1}^{n}\overline{A_{li}}\,A_{lj}$である。複素数の積と共役は、実部と虚部について双線形または線形であるから、この成分の実部と虚部は$A$の成分の実部と虚部の多項式である。多項式写像は$C^\infty$である。値が$\operatorname{Herm}_n$に属することは$F(A)^{*}=(A^{*}A)^{*}=A^{*}A=F(A)$による。

微分を計算する。$H\in M_n(\mathbb{C})$、$t\in\mathbb{R}$に対して

である。$F$の座標表示は実の座標についての多項式写像であり、$t$の一次の項の係数が全微分の$H$における値であるから、注意 2.2の同一視のもとで

である。

$I$が正則値であることを示す。$A\in F^{-1}(I)$、すなわち$A^{*}A=I$とし、$S\in\operatorname{Herm}_n$を任意に取る。$H=\tfrac12AS$と置く。$H^{*}=\tfrac12S^{*}A^{*}=\tfrac12SA^{*}$であるから

である。ここで$A^{*}A=I$と$S^{*}=S$を用いた。$S$は任意であったから$dF_A$は全射であり、$I$は$F$の正則値である。

次元と接空間を求める。$I\in U(n)$であるから$F^{-1}(I)\ne\varnothing$である。§E17.5 定理 4.3により$U(n)$は埋め込み部分多様体であり、次元は

である。単位行列における接空間は$\ker dF_I$であり、$dF_I(H)=H^{*}I+I^{*}H=H^{*}+H$であるから、$\ker dF_I$は$H^{*}+H=0$を満たす行列の全体、すなわち歪 Hermite 行列の全体である。

次元を独立に数えて確かめる。$H^{*}=-H$とすると$\overline{H_{ii}}=-H_{ii}$であるから対角成分は純虚数であり、実自由度は各$i$について$1$である。$i<j$については$H_{ji}=-\overline{H_{ij}}$であるから、$H_{ij}$（$i<j$）が任意の複素数として与えられ、実自由度は$2\cdot n(n-1)/2=n(n-1)$である。合計は$n+n(n-1)=n^{2}$であり、上で求めた次元と一致する。

$U(n)$が群であることは、$A^{*}A=I$と$B^{*}B=I$から$(AB)^{*}(AB)=B^{*}A^{*}AB=B^{*}B=I$であり、$A^{*}A=I$から$A^{-1}=A^{*}$であって$(A^{*})^{*}A^{*}=AA^{*}=I$であることによる。最後の等式は、$A^{*}A=I$を満たす正方行列$A$が可逆で$A^{-1}=A^{*}$であることから従う。よって$U(n)$は$GL_n(\mathbb{C})$の部分群であり、命題 4.2により Lie 群である。▨

証明. $\det$が$C^\infty$であることを示す。$\det A=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}A_{i\sigma(i)}$は成分の多項式であるから$C^\infty$である。

$\det(I+tB)$の一次の項を求める。上の展開式で$A=I+tB$と置く。$\sigma$が恒等置換でないならば、$\sigma(i)\ne i$となる添字が少なくとも二つ存在するので（一つだけということはない。$\sigma$が全単射であるからである）、対応する項$\prod_{i}(I+tB)_{i\sigma(i)}$は少なくとも二つの因子$tB_{i\sigma(i)}$を含み、$t^{2}$で割り切れる。恒等置換に対応する項は

である。したがって

である。

微分を計算する。$A\in GL_n(\mathbb{R})$、$H\in M_n(\mathbb{R})$とする。行列式の乗法性（§E3.15 命題 2.2）により

である。(1) を$B=A^{-1}H$に適用すると、$t$の一次の項の係数は$\det(A)\operatorname{tr}(A^{-1}H)$である。$\det$の座標表示は多項式であるから、注意 2.2の同一視のもとで

である。

$1$が正則値であることを示す。$A\in\det^{-1}(1)$とする。$T_1\mathbb{R}$を$\mathbb{R}$と同一視すると、$dF_A$が全射であることは$d(\det)_A$が零写像でないことと同値である。$c\in\mathbb{R}$を任意に取り、$H=\tfrac{c}{n}A$と置く。$\det A=1$であるから

である。よって$d(\det)_A$は全射であり、$1$は正則値である。

次元と接空間を求める。$I\in SL_n(\mathbb{R})$であるから逆像は空でない。§E17.5 定理 4.3により$SL_n(\mathbb{R})$は$GL_n(\mathbb{R})$の$n^{2}-1$次元埋め込み部分多様体である。単位行列における接空間は$\ker d(\det)_I$であり、$d(\det)_I(H)=\det(I)\operatorname{tr}(I^{-1}H)=\operatorname{tr}H$であるから、$\ker d(\det)_I=\{H\mid\operatorname{tr}H=0\}$である。この空間は、$n^{2}$個の成分に一つの線形条件$\sum_{i=1}^{n}H_{ii}=0$を課したものであり、条件は自明でないので次元は$n^{2}-1$である。求めた次元と一致する。

$SL_n(\mathbb{R})$が$GL_n(\mathbb{R})$の部分群であることは§E7.2 命題 2.2による。したがって命題 4.2により Lie 群である。▨

証明. 同値性を示す。$\omega_0(Au,Aw)=(Au)^{\mathsf T}J(Aw)=u^{\mathsf T}(A^{\mathsf T}JA)w$である。したがって、$A^{\mathsf T}JA=J$ならばすべての$u,w$について$\omega_0(Au,Aw)=u^{\mathsf T}Jw=\omega_0(u,w)$である。逆に、すべての$u,w$について$u^{\mathsf T}(A^{\mathsf T}JA)w=u^{\mathsf T}Jw$が成り立つとすると、$B=A^{\mathsf T}JA-J$について$u^{\mathsf T}Bw=0$がすべての$u,w$で成り立つ。標準基底$e_i$、$e_j$を代入すると$B_{ij}=0$であるから$B=0$である。▨