§E18.8普遍被覆の存在

証明. 半局所単連結性により、$x$の開近傍$W$で、包含$W\hookrightarrow X$が誘導する基本群準同型の像が自明であるものを取る。局所弧状連結性を$O\cap W$に適用し、$x$の弧状連結な開近傍$U$で

を満たすものを取る。$U$内の$x$を基点とする任意のループは$W$内のループでもあるから、そのループは$X$内でヌルホモトピックである。▨

証明. 最初に、$p|_{B([\alpha],U)}$が全単射であることを示す。$U$は弧状連結であるから、任意の$y\in U$に対して$x=\alpha(1)$から$y$への$U$内の道$\eta$が存在する。したがって$[\alpha*\eta]$は$y$の逆像であり、制限写像は全射である。

$\eta$と$\zeta$を$U$内の$x$から同じ点$y$への二つの道とする。ループ$\eta*\bar\zeta$は許容近傍$U$内にあるため、$X$内で定値ループに端点固定ホモトピックである。道の積の結合律と、$\bar\zeta*\zeta$が定値道に端点固定ホモトピックであることから、$\eta$と$\zeta$は端点を固定してホモトピックである。よって

であり、$y$の逆像は一点である。したがって制限写像は単射でもある。

次に開基の条件を確認する。各$[\alpha]\in\widetilde X$に対して$p([\alpha])$の許容近傍が存在し、定値道を$\alpha$の後に連結すれば$[\alpha]\in B([\alpha],U)$となる。

$[\gamma]\in B([\alpha],U)\cap B([\beta],V)$とする。$z=p([\gamma])$とおく。補題 1.2により、$z$の許容近傍$W$で$W\subseteq U\cap V$を満たすものを取る。$[\gamma]=[\alpha*\eta]$を与える$U$内の道$\eta$と、$[\gamma]=[\beta*\theta]$を与える$V$内の道$\theta$を取る。$W$内の$z$から始まる任意の道$\rho$に対し、$\eta*\rho$は$U$内にあり、$\theta*\rho$は$V$内にある。したがって

である。以上から$\mathcal B$は開基をなす。

$\mathcal B$が定める位相を$\widetilde X$に入れる。$O\subseteq X$を開集合とし、$[\alpha]\in p^{-1}(O)$とする。補題 1.2により、$p([\alpha])$の許容近傍$U\subseteq O$が存在するから、$B([\alpha],U)\subseteq p^{-1}(O)$である。よって$p$は連続である。

$B([\alpha],U)$の開部分集合$A$と$[\gamma]\in A$を取る。開基の定義により、ある開基の元$B([\gamma],W)$が存在して

となる。$p(B([\gamma],W))=W$は$X$の開集合であるから、$p(A)$は開である。したがって$p|_{B([\alpha],U)}$は開な連続全単射であり、同相写像である。▨

証明.$x\in X$とし、$x$の許容近傍$U$を取る。$X$は弧状連結であるから、$x_0$から$x$への道が存在し、$p^{-1}(x)$は空でない。各$[\alpha]\in p^{-1}(x)$に対して$B([\alpha],U)$を考える。

最初に、これらの集合が$p^{-1}(U)$を覆うことを示す。$[\gamma]\in p^{-1}(U)$とし、$y=p([\gamma])$とおく。$U$内の$x$から$y$への道$\eta$を取る。道$\gamma*\bar\eta$は$x_0$から$x$へ進むから、$[\gamma*\bar\eta]\in p^{-1}(x)$である。また、道の往復は端点固定ホモトピーによって消えるため、

である。

次に、二つの集合が交われば一致する添字をもつことを示す。$[\alpha],[\beta]\in p^{-1}(x)$とし、

が共通部分の一点を表すとする。ここで$\eta$と$\zeta$は$U$内の$x$から同じ点への道である。両辺の後に$\bar\eta$を連結すると

を得る。$\zeta*\bar\eta$は$U$内の$x$を基点とするループであり、$X$内でヌルホモトピックである。したがって$[\alpha]=[\beta]$である。

以上により

である。補題 2.2により、各制限$p|_{B([\alpha],U)}$は$U$への同相写像である。よって$U$は均等被覆近傍であり、$p$は被覆写像である。▨

証明.$t_0\in[0,1]$とし、$[\alpha_{t_0}]$の任意の開基に属する近傍を取る。補題 2.2によって、その開基に属する近傍の中に$B([\alpha_{t_0}],U)$の形の開基に属する近傍を取ることができる。$\alpha(t_0)\in U$であり$U$は開であるから、$t_0$の相対開近傍$J\subseteq[0,1]$で$\alpha(J)\subseteq U$を満たすものが存在する。

$t\in J$に対し、$\alpha_t$と$\alpha_{t_0}$の相違は$\alpha|_J$の一部分を順向きまたは逆向きに連結することだけである。再パラメータ化と道の往復を消す端点固定ホモトピーにより、$[\alpha_t]$は$B([\alpha_{t_0}],U)$に属する。したがって$\widehat\alpha(J)\subseteq B([\alpha_{t_0}],U)$であり、$\widehat\alpha$は$t_0$で連続である。$t_0$は任意であるから$\widehat\alpha$は連続である。

残りの等式は定義から従う。▨

証明.命題 3.1により$p$は被覆写像である。任意の点$[\alpha]\in\widetilde X$は、補題 4.1の道$\widehat\alpha$によって$\widetilde x_0$と結ばれる。したがって$\widetilde X$は弧状連結である。

$\lambda$を$\widetilde x_0$を基点とする$\widetilde X$内のループとし、$\omega=p\circ\lambda$とおく。$\lambda$と$\widehat\omega$は、同じ始点$\widetilde x_0$をもつ$\omega$の持ち上げである。道の持ち上げの一意性（§E18.5 補題 2.1）により

である。$\lambda(1)=\widetilde x_0$である一方、補題 4.1により$\widehat\omega(1)=[\omega]$である。よって$[\omega]=[e_{x_0}]$であり、$\omega$は$X$内でヌルホモトピックである。

被覆写像が誘導する基本群準同型は単射である（§E18.5 定理 3.3）。したがって

から$[\lambda]=1$が従う。任意の基点付きループ$\lambda$がヌルホモトピックであるため、$\widetilde X$は単連結である。よって$p$は普遍被覆である。▨

証明.$p:\widetilde X\to X$を普遍被覆とし、$x\in X$を取る。$x$の均等被覆近傍$U$と、$U$上の一つのシート$V$を取る。$x$の持ち上げ$\widetilde x\in V$を固定する。

$U$内の$x$を基点とする任意のループ$\alpha$は、同相写像$(p|_V)^{-1}:U\to V$によって$\widetilde x$を基点とするループへ持ち上がる。$\widetilde X$は単連結であるから、持ち上げたループは$\widetilde X$内でヌルホモトピックである。ヌルホモトピーに$p$を合成すると、$\alpha$は$X$内でヌルホモトピックである。したがって、包含$U\hookrightarrow X$が誘導する基本群準同型の像は自明である。$x$は任意であるから$X$は半局所単連結である。▨

証明. 各円周$C_n$は$o$を通り、すべての円周は$o$だけで交わる。各点を$o$へ円周に沿って結ぶことができるため、$\mathbb H$は弧状連結である。$o$以外の点には一つの円周内の弧からなる近傍基がある。$o$では、十分小さい開円板との共通部分の各点を$o$へ円周に沿って結ぶことができるため、弧状連結な開近傍を選ぶことができる。よって$\mathbb H$は局所弧状連結である。

$U$を$\mathbb H$における$o$の任意の開近傍とする。$C_n$の各点と$o$との距離は$2/n$以下であるから、十分大きい$n$について$C_n\subseteq U$となる。

固定した$n$に対し、$r_n:\mathbb H\to C_n$を$C_n$上では恒等写像とし、他の円周を$o$へ写す写像とする。$C_n$と$\bigcup_{m\ne n}C_m$は$\mathbb H$の閉部分集合であり、交わり$\{o\}$上で二つの定義は一致する。閉集合による貼り合わせ補題から$r_n$は連続であり、$C_n$へのレトラクションである。

$C_n$を一周する$o$を基点とするループを$\ell_n$とする。$\ell_n$が$\mathbb H$内でヌルホモトピックなら、そのヌルホモトピーに$r_n$を合成することにより、$\ell_n$は$C_n$内でもヌルホモトピックになる。しかし$C_n$は円周であり、$\pi_1(C_n,o)\cong\mathbb Z$であるから、一周するループは非自明である。したがって$U$内のループ$\ell_n$は$\mathbb H$内で消えない。

任意の$o$の開近傍について同じ結論が成り立つため、$\mathbb H$は$o$で半局所単連結でない。命題 5.1により、$\mathbb H$は普遍被覆をもたない。▨