§E18.29単体的カップ積とコホモロジー環の計算

1 単体的カップ積

順序付き Δ 複体$K$の単体鎖複体を$C_*^\Delta(K;R)$と書く。単体の向きは表示された頂点順序で定める。

特異余鎖の場合と同じ境界計算により

$$\delta(\varphi\smile\psi) =\delta\varphi\smile\psi+(-1)^p\varphi\smile\delta\psi$$

が成り立つ。したがって、この積は単体的コホモロジー上の積を定める。

2 向きづけ可能閉曲面

$\Sigma_g$を種数$g$の向きづけられた閉曲面とする。標準閉曲線$a_i,b_i$を、$a_i$と$b_i$が正向きに一度交わり、それ以外の組が交わらないように取る。十分に細分した三角形分割上で、$a_i,b_i$を横切る向き付き辺の符号付き通過数をそれぞれ与える一次余鎖を$\varphi_i,\psi_i$とする。すなわち、正向きの横断には$1$、逆向きの横断には$-1$、横断しない辺には$0$を与える。各向き付き二単体の境界と閉曲線の代数的交点数は零なので、$\delta\varphi_i=\delta\psi_i=0$である。

各交点の周りに、境界を正向きに$v_0,v_1,v_2,v_3$と並べ、対角辺$v_0v_2$をもつ四辺形を取る。基本二サイクル$z$には二つの順序付き三角形

$$\tau_i^+=[v_0,v_1,v_2], \qquad \tau_i^-=[v_0,v_2,v_3]$$

がともに係数$+1$で現れる。添字$i$を省略すると、局所辺上の余鎖値を次の表に固定することができる。逆向きの辺では表の値の符号を反転する。

$$\begin{array}{c|rrrrr} &01&12&02&23&03\\ \hline \varphi_i&1&0&1&-1&0\\ \psi_i&0&1&1&0&1 \end{array}$$

実際、$\delta\varphi_i$の二行は$0-1+1=0$と$-1-0+1=0$、$\delta\psi_i$の二行は$1-1+0=0$と$0-1+1=0$である。Alexander–Whitney 公式を二面に適用すると

$$\begin{array}{c|rr|r} &\tau_i^+&\tau_i^-&\text{和}\\ \hline \varphi_i\smile\psi_i &\varphi_i[01]\psi_i[12]=1 &\varphi_i[02]\psi_i[23]=0&1\\ \psi_i\smile\varphi_i &\psi_i[01]\varphi_i[12]=0 &\psi_i[02]\varphi_i[23]=-1&-1 \end{array}$$

となる。余鎖の細い台を表の四辺形以外では互いに交わらないように取ることができるので、異なる添字の混合積は$z$上で零である。従って

$$\langle\varphi_i\smile\psi_j,z\rangle=\delta_{ij}, \qquad \langle\psi_i\smile\varphi_j,z\rangle=-\delta_{ij}$$

を、順序付き局所三角形と余鎖値から再計算することができる。同じ種類で異なる添字の台は交わらない。自己積は§E18.28 定理 5.3によって$2$倍が零であり、$H^2(\Sigma_g;\mathbb Z)\cong\mathbb Z$は$2$捩れをもたないので零である。

種数$1$では、一次生成元を$a,b$と書けば

$$H^*(T^2;\mathbb Z)\cong\Lambda_{\mathbb Z}(a,b), \qquad a\smile b=\omega,\qquad b\smile a=-\omega$$

となる。

3 実射影平面の明示計算

$\mathbb RP^2$の六頂点三角形分割を、頂点集合$\{1,2,3,4,5,6\}$と次の十個の二単体で与える。

$$123,124,135,146,156,236,245,256,345,346.$$

各辺はちょうど二つの三角形に含まれ、頂点数・辺数・面数は$(6,15,10)$である。この閉じた非向きづけ可能曲面の Euler 標数は$1$なので、これは$\mathbb RP^2$の三角形分割である。以下では係数を$\mathbb F_2$とする。

一次余鎖$u$を、辺

$$15,26,34,35,36,56$$

で値$1$、残りの辺で値$0$を取るものとして定める。各二単体は、これらの辺を零本または二本含むので$\delta u=0$である。全二単体の和

$$z:=123+124+135+146+156+236+245+256+345+346$$

は$\mathbb F_2$係数基本サイクルである。

胞体分解を$\mathbb F_2$係数で計算すると、次数$0,1,2$に一つずつ$\mathbb F_2$があり、余境界はすべて零である。従って$[u]$は一次生成元であり、次元の理由で$[u]^3=0$なので

$$H^*(\mathbb RP^2;\mathbb F_2) \cong\mathbb F_2[u]/(u^3), \qquad |u|=1$$

となる。

4 非向きづけ可能閉曲面と環による識別

$N_h$を$h$個の射影平面の連結和とする。計算を再現することができるように、各交差帽へ「実射影平面の明示計算」で用いた六頂点三角形分割のコピーを置き、面$123$の内部を除く。境界辺$12,23,13$では余鎖$u$の値がすべて零である。これら$h$個の境界三角形を、$h$個の境界成分をもつ向きづけ可能な平面曲面へ貼り、全体を$N_h$とする。

$i$番目の交差帽で、辺

$$15,26,34,35,36,56$$

に値$1$、他の辺に値$0$を取る余鎖を$x_i$とし、その交差帽の外では零とする。境界三辺で零なので、この零延長は貼り合わせ後も定義される。各交差帽の残る九面

$$124,135,146,156,236,245,256,345,346$$

は指定した辺を零本または二本含み、中央の平面曲面では余鎖が零なので、$\delta x_i=0$である。順序付き面$[a,b,c]$上では

$$(x_i\smile x_i)[a,b,c]=x_i[ab]x_i[bc]$$

である。九面のうち$156$では$x_i[15]x_i[56]=1$となり、他の八面では零になる。異なる$x_i,x_j$の台は別の交差帽にあるので、一つの二単体上で両方が非零になることはない。従って二進係数基本サイクルへの評価は

$$\langle x_i\smile x_j,[N_h]_2\rangle =\begin{cases} 1,&i=j,\\ 0,&i\ne j \end{cases}$$

となる。ここで$[N_h]_2$は二進係数基本類である。

Klein の壺$K=N_2$では$x_1^2=x_2^2=\omega$、$x_1x_2=0$である。整数係数では

$$H^0(K;\mathbb Z)\cong\mathbb Z,\qquad H^1(K;\mathbb Z)\cong\mathbb Z,\qquad H^2(K;\mathbb Z)\cong\mathbb Z/2\mathbb Z$$

であり、一次生成元は射影$K\to S^1$からの引き戻しとして取ることができるので、その平方は零である。

円環面と Klein の壺が二進係数で同じホモロジー群をもつことも、胞体鎖から直接確認することができる。どちらも一つの零胞体、二つの一胞体、一つの二胞体をもつ。円環面の接着語$aba^{-1}b^{-1}$の胞体境界は零であり、Klein の壺を$N_2$として表した接着語$a_1a_1a_2a_2$の境界係数は$(2,2)$である。$\mathbb F_2$係数では後者も零になるので、両空間の胞体鎖複体はともに

$$0\longrightarrow\mathbb F_2 \xrightarrow{\,0\,}\mathbb F_2^2 \xrightarrow{\,0\,}\mathbb F_2 \longrightarrow0$$

である。従って両者について直接

$$H_0\cong\mathbb F_2, \qquad H_1\cong\mathbb F_2^2, \qquad H_2\cong\mathbb F_2, \qquad H_n=0\ (n>2)$$

を得る。

一方、円環面ではすべての一次類$y$が$y^2=0$を満たし、Klein の壺では$x_1^2=\omega\ne0$である。従って、二つの空間は二進係数ホモロジー群がすべて同型であるにもかかわらず、二進係数コホモロジー環は同型ではない。群だけでは見えない差を積が検出している。

5 演習

解答.

1. 各単体の特性写像を特異単体とみなす写像は、前面と後面の特性写像を対応する特異面へ送る。従って単体を分けてから特異鎖へ送る操作と、特異鎖へ送ってから Alexander–Whitney 写像を施す操作が各項ごとに一致する。
2. $123,124,146,245$は指定した辺を含まず、$135,156,236,256,345,346$は指定した辺を二本ずつ含む。二進係数で各面境界上の値の和は零なので、$\delta u=0$である。
3. 円環面の一次類を$ra+sb$と書くと、二進係数でも$(ra+sb)^2=r^2a^2+rs(ab+ba)+s^2b^2=0$である。Klein の壺には平方が$\omega$となる$x_1$がある。環同型は平方がすべて零である性質を保つので、両者は同型でない。

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