空間の構成と位相多様体 | 位相幾何入門

1 商写像と貼り合わせ

定義 1.1. 全射 $q:Z\to Q$ が商写像 (quotient map) であるとは、部分集合 $U\subseteq Q$ について、 $U$ が開であることと $q^{-1}(U)$ が $Z$ で開であることが同値であることをいう。集合 $Z$ の同値関係 $\sim$ に対し、射影 $q:Z\to Z/{\sim}$ が商写像になる位相を商位相 (quotient topology) という。

命題 1.2. $q:Z\to Q$ を商写像とし、 $h:Z\to Y$ を連続写像とする。 $q(z)=q(z')$ なら常に $h(z)=h(z')$ であるとき、一意な連続写像 $\bar h:Q\to Y$ が存在して $h=\bar h\circ q$ となる。

証明. $x\in Q$ に対し、 $q(z)=x$ を満たす $z\in Z$ を選び、 $\bar h(x)=h(z)$ と定める。仮定により、この値は $z$ の選択に依存しない。 $q$ は全射であるから $h=\bar h\circ q$ が成り立ち、この等式は $\bar h$ の一意性も与える。

$V\subseteq Y$ が開なら、

q^{-1}(\bar h^{-1}(V))=h^{-1}(V)

は $Z$ で開である。 $q$ が商写像であることから $\bar h^{-1}(V)$ は $Q$ で開であり、 $\bar h$ は連続である。▨

定義 1.3. 位相空間 $A,B$ の位相的直和 (topological sum) $A\sqcup B$ とは、集合

(A\times\{0\})\cup(B\times\{1\})

に、部分集合 $O$ が開であることと $O\cap(A\times\{0\})$ および $O\cap(B\times\{1\})$ がそれぞれの成分で開であることが同値になる位相を入れた空間である。標準写像

\iota_A:A\longrightarrow A\sqcup B, \qquad \iota_B:B\longrightarrow A\sqcup B

をそれぞれ $a\mapsto(a,0)$ 、 $b\mapsto(b,1)$ と定める。このとき、写像 $h:A\sqcup B\to Y$ が連続であることと、 $h\circ\iota_A$ および $h\circ\iota_B$ がともに連続であることは同値である。

定義 1.4. 位相空間 $A,B$ 、部分空間 $C\subseteq A$ および連続写像 $f:C\to B$ に対し、位相的直和 $A\sqcup B$ 上で $\iota_A(c)\sim\iota_B(f(c))$ として生成される同値関係による商を

A\cup_f B=(A\sqcup B)/{\sim}

と書き、接着空間 (adjunction space) という。商写像を $q_f:A\sqcup B\to A\cup_fB$ とし、標準写像を

j_A=q_f\circ\iota_A:A\longrightarrow A\cup_fB, \qquad j_B=q_f\circ\iota_B:B\longrightarrow A\cup_fB

と書く。このとき $j_A|_C=j_B\circ f$ である。

基点付き空間 $(A,a_0),(B,b_0)$ に対し、 $a_0\sim b_0$ として得る商を楔和 (wedge sum) $A\vee B$ という。

命題 1.5. $u:A\to Y$ と $v:B\to Y$ を連続写像とする。 $u|_C=v\circ f$ であることと、一意な連続写像

w:A\cup_f B\longrightarrow Y

が存在して、

w\circ j_A=u, \qquad w\circ j_B=v

となることは同値である。

証明. $u|_C=v\circ f$ なら、位相的直和上の連続写像 $u\sqcup v:A\sqcup B\to Y$ は、同一視される各対 $\iota_A(c),\iota_B(f(c))$ で同じ値をとる。したがって命題 1.2により、一意な連続写像 $w$ を誘導し、 $w\circ j_A=u$ 、 $w\circ j_B=v$ を満たす。逆に、この二つの等式を満たす $w$ が存在すれば、 $j_A(c)=j_B(f(c))$ から

u(c)=w(j_A(c))=w(j_B(f(c)))=v(f(c))

が従う。▨

楔和の場合、この普遍性は、基点を保つ二つの写像 $A\to Y$ 、 $B\to Y$ が一意な基点を保つ写像 $A\vee B\to Y$ を定めることを意味する。

2 錐、懸垂および胞体接着

定義 2.1. 位相空間 $X$ の錐 (cone) を

CX=(X\times[0,1])/(X\times\{0\})

と定める。ここでは $X\times\{0\}$ 全体を一つの点へ潰す。

$X$ の懸垂 (suspension) $\Sigma X$ は、 $X\times\{0\}$ を一点 $s_-$ へ、 $X\times\{1\}$ を別の一点 $s_+$ へ潰して得る商である。二つの端は互いに同一視しない。

商写像の普遍性から、 $CX\to Y$ を与えることは、 $X\times[0,1]\to Y$ で $X\times\{0\}$ 上一定な連続写像を与えることと同値である。同様に、 $\Sigma X\to Y$ を与えることは、 $X\times\{0\}$ と $X\times\{1\}$ のそれぞれで一定な連続写像を与えることと同値である。ただし、二つの定値は一致する必要がない。

二変数の写像を商空間上へ降ろすためには、商写像と恒等写像の積が再び商写像になることを確認する必要がある。

補題 2.2. $q:Z\to Q$ を商写像とする。位相空間 $L$ が次の条件を満たすと仮定する。各 $t\in L$ と各開近傍 $N$ に対し、開近傍 $J$ で

t\in J\subseteq\overline J\subseteq N

となり、 $\overline J$ がコンパクトであるものが存在する。このとき、

q\times\operatorname{id}_L:Z\times L\longrightarrow Q\times L

は商写像である。特に、 $L=[0,1]$ の場合にこの結論が成り立つ。

証明. $W\subseteq Q\times L$ とし、 $G=(q\times\operatorname{id}_L)^{-1}(W)$ が開であると仮定する。 $(y,t)\in W$ を取り、 $z\in q^{-1}(y)$ を一つ選ぶ。 $G$ は $(z,t)$ の開近傍であるから、 $z\in O$ 、 $t\in N$ および $O\times N\subseteq G$ を満たす開集合 $O\subseteq Z$ 、 $N\subseteq L$ が存在する。 $L$ の仮定から、 $t$ の開近傍 $J$ で、 $K=\overline J$ がコンパクトかつ $K\subseteq N$ であるものを選ぶことができる。このとき

\{z\}\times K\subseteq G

となるものを選ぶことができる。 $G$ は $q\times\operatorname{id}_L$ の各ファイバーの和であるから、 $q^{-1}(y)\times K\subseteq G$ でもある。

集合

V=\{y'\in Q\mid q^{-1}(y')\times K\subseteq G\}

を考える。 $G$ がファイバーの和であることから

q^{-1}(V)=\{z'\in Z\mid \{z'\}\times K\subseteq G\}

である。この右辺の補集合は、閉集合 $(Z\times K)\setminus G$ の $Z$ への射影である。コンパクト空間 $K$ との積からの射影は閉写像である。実際、閉集合 $F\subseteq Z\times K$ の射影に属さない点 $z'$ に対し、コンパクト集合 $\{z'\}\times K$ を $F$ の補集合に含まれる有限個の積近傍で覆えば、 $z'$ の近傍で $F$ の射影と交わらないものを得る。したがって $q^{-1}(V)$ は開であり、 $q$ が商写像であることから $V$ は開である。

$y\in V$ であり、定義から $V\times J\subseteq W$ である。よって $W$ の各点は $W$ に含まれる積開近傍をもち、 $W$ は開である。以上から $q\times\operatorname{id}_L$ は商写像である。▨

命題 2.3. 任意の位相空間 $X$ に対し、錐 $CX$ は可縮である。

証明. $q:X\times[0,1]\to CX$ を商写像とする。連続写像

\widetilde K:(X\times[0,1])\times[0,1]\longrightarrow CX, \qquad \widetilde K((x,s),t)=q(x,(1-t)s)

を考える。 $q(x,s)=q(x',s')$ なら、 $(x,s)=(x',s')$ であるか、 $s=s'=0$ である。いずれの場合も

\widetilde K((x,s),t)=\widetilde K((x',s'),t)

であるから、 $\widetilde K$ は $q\times\operatorname{id}_{[0,1]}$ の各ファイバー上で一定である。補題 2.2により $q\times\operatorname{id}_{[0,1]}$ は商写像である。したがって商写像の普遍性から、一意な連続写像

K(q(x,s),t)=q(x,(1-t)s)

が誘導される。 $K(-,0)=\operatorname{id}_{CX}$ であり、 $K(-,1)$ は頂点への定値写像である。したがって $CX$ は可縮である。▨

定義 2.4. 位相空間 $X$ 、正の整数 $n$ および連続写像 $\varphi:S^{n-1}\to X$ に対し、

X\cup_\varphi D^n=(X\sqcup D^n)/(z\sim\varphi(z)\text{ for }z\in S^{n-1})

を、 $X$ に $n$ 次元胞体を $\varphi$ によって接着した空間という。 $\varphi$ を接着写像 (attaching map) という。

命題 1.5を $A=D^n$ 、 $C=S^{n-1}$ 、 $B=X$ に適用すると、 $X\cup_\varphi D^n$ からの連続写像は、 $X$ 上の写像と $D^n$ 上の写像で、境界上の値が $\varphi$ を介して一致するものに一対一に対応する。これは胞体接着の普遍性である。

円周の錐は円板に同相であり、円周の懸垂は二球面に同相である。後者では二つの端を別々の点へ潰すことが、北極と南極を区別することに対応する。

3 位相多様体と多角形表示

定義 3.1. 非負整数 $n$ に対し、 $n$ 次元位相多様体 (topological manifold) とは、Hausdorff かつ第二可算な位相空間 $M$ で、各点が $\mathbb R^n$ の開集合と同相な開近傍をもつものをいう。二次元位相多様体を曲面 (surface) という。本記事では境界を持たない多様体だけを扱う。

標準的な多角形表示を同値関係として明記する。

例 3.2 (三つの多角形表示). 正方形 $I^2=[0,1]^2$ に次の同一視を入れる。

$(0,t)\sim(1,t)$ 、 $(s,0)\sim(s,1)$ とすると、商は円環面である。写像 $(s,t)\mapsto(e^{2\pi i s},e^{2\pi i t})$ が商から $S^1\times S^1$ への同相を誘導する。
$(0,t)\sim(1,t)$ 、 $(s,0)\sim(1-s,1)$ とすると、商は Klein の壺である。
円板 $D^2$ の境界で $x\sim-x$ とすると、商は実射影平面 $\mathbb{RP}^2$ である。

命題 3.3.例 3.2の三つの商空間は、いずれも Hausdorff かつ第二可算な曲面である。

証明. 正方形の場合は $P=I^2$ 、実射影平面の場合は $P=D^2$ とし、商写像を $q:P\to Q$ 、同値関係を $R\subseteq P\times P$ と書く。最初に $R$ が閉であることを示す。円環面と Klein の壺では、 $R$ は対角集合と、閉辺の間の指定された貼り合わせ写像およびその有限個の合成のグラフとの有限和である。合成が追加するのは頂点間の同一視だけであり、各同値類は内部で一点、辺の内点で二点、頂点で四点以下である。各グラフはコンパクト集合から Hausdorff 空間 $P\times P$ への連続像であるから閉であり、 $R$ は閉である。実射影平面の場合は

R=\Delta_{D^2}\cup\{(x,-x)\mid x\in S^1\}

であり、右辺は閉集合二つの和である。したがって三例のいずれでも $R$ は閉である。

閉集合 $F\subseteq P$ の飽和を

\operatorname{Sat}(F)=\{y\in P\mid \text{ある }x\in F\text{ に対して }x\mathrel R y\}

と書く。集合 $R\cap(F\times P)$ はコンパクトであり、その第二射影 $\operatorname{Sat}(F)$ もコンパクトである。 $P$ は Hausdorff であるから $\operatorname{Sat}(F)$ は閉である。よって $q$ は閉写像である。

異なる二つの同値類 $C,D$ を取る。コンパクト Hausdorff 空間 $P$ は正規であるから、 $C,D$ を含む互いに交わらない開集合 $O_C,O_D$ が存在する。集合

W_C=P\setminus\operatorname{Sat}(P\setminus O_C), \qquad W_D=P\setminus\operatorname{Sat}(P\setminus O_D)

は、それぞれ $C,D$ を含む飽和開集合であり、 $W_C\subseteq O_C$ 、 $W_D\subseteq O_D$ を満たす。したがって $q(W_C),q(W_D)$ は $Q$ における互いに交わらない開近傍である。ゆえに $Q$ は Hausdorff である。

次に第二可算性を示す。 $P$ の可算開基を $\mathcal A$ とし、 $\mathcal A$ の元の有限和全体を $\mathcal A_{\mathrm{fin}}$ とする。 $O\in\mathcal A_{\mathrm{fin}}$ に対して

W_O=P\setminus\operatorname{Sat}(P\setminus O)

とおくと、 $q(W_O)$ は開であり、このような集合は可算個しかない。 $N\subseteq Q$ を開集合、 $y\in N$ とする。コンパクトな同値類 $q^{-1}(y)$ は開集合 $q^{-1}(N)$ に含まれるため、有限個の開基の元を用いて

q^{-1}(y)\subseteq O\subseteq q^{-1}(N)

を満たす $O\in\mathcal A_{\mathrm{fin}}$ を選ぶことができる。このとき $y\in q(W_O)\subseteq N$ である。したがって $\{q(W_O)\}$ は $Q$ の可算開基であり、 $Q$ は第二可算である。

最後に、飽和開近傍と局所模型を構成する。 $P$ の内部点には、境界と交わらない小さい開円板 $N$ を取る。この $N$ は飽和しており、 $q|_N$ は $q(N)$ への同相写像である。

辺の内点では、その点と貼り合わせ相手の点の周囲に、頂点を含まない二つの相対開半円板を、境界直径が貼り合わせ写像で対応するように取る。二つの半円板の和 $N$ は飽和開集合である。各半円板を上半円板と下半円板へ写し、貼り合わせられる直径上で二つの写像を一致させると、接着空間の普遍性により $q(N)$ から開円板への連続全単射を得る。同じ構成で逆写像も連続になるため、 $q(N)$ は開円板と同相である。実射影平面の境界点については、対蹠な二点の半円板をこの二枚として用いる。

円環面と Klein の壺の頂点では、四頂点の周囲に、辺の貼り合わせと両立する同じ大きさの相対開四分円板を取る。その和 $N$ は頂点の同値類を含む飽和開集合である。四つの四分円板は辺の同一視によって循環的に並ぶ。各四分円板を、開円板を四本の半径で分けた連続する四つの扇形へ写すと、隣接する半径上の写像が貼り合わせと一致するように選ぶことができる。接着空間の普遍性により得られる写像と、扇形ごとに定めた逆写像はともに連続であるから、 $q(N)$ は開円板と同相である。以上により、三つの商空間の各点は $\mathbb R^2$ の開集合と同相な開近傍をもつ。▨

4 演習

問題 4.1.

懸垂の二つの端を同じ一点へ潰してはならない理由を、 $X=S^1$ の場合に説明せよ。
写像 $u:X\to Y$ と $v:D^n\to Y$ が胞体接着空間 $X\cup_\varphi D^n$ 上の写像を誘導するための条件を述べよ。
多角形表示が曲面になることを確認するとき、内部点と辺の内点だけでなく頂点の同値類を調べる必要がある理由を述べよ。

解答.

正しい懸垂では二つの端が北極と南極に対応し、 $\Sigma S^1\cong S^2$ となる。両端を同じ一点へ潰すと、北極と南極まで同一視した別の商空間になる。
境界上で $v|_{S^{n-1}}=u\circ\varphi$ が成り立つことが必要十分である。接着空間の普遍性が、この二つの写像から一意な連続写像を与える。
複数の頂点が一つの同値類になると、周囲の扇形の接着順によってリンクが円周にならない場合がある。リンクが円周であることを確認して初めて、頂点の像の近傍が開円板になると結論することができる。

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§E18.2空間の構成と位相多様体

1 商写像と貼り合わせ

2 錐、懸垂および胞体接着

3 位相多様体と多角形表示

4 演習

参考文献

前提記事