基本群の関手性とホモトピー不変性 | 位相幾何入門

1 誘導準同型と関手性

定理 1.1. 基点付き連続写像 $f:(X,x_0)\to(Y,y_0)$ 、すなわち $f(x_0)=y_0$ を満たす連続写像に対し、

f_\#:\pi_1(X,x_0)\longrightarrow\pi_1(Y,y_0), \qquad f_\#([\alpha])=[f\circ\alpha]

は well-defined な群準同型である。

証明. $\alpha\simeq\beta$ を端点固定ホモトピー $H$ が与えるなら、 $f\circ H$ は $f\circ\alpha$ から $f\circ\beta$ への端点固定ホモトピーである。したがって $f_\#$ は代表元の選択に依存しない。

道の積の定義から

f\circ(\alpha*\beta)=(f\circ\alpha)*(f\circ\beta)

が写像として成り立つ。よって

f_\#([\alpha][\beta])=f_\#([\alpha])f_\#([\beta])

であり、 $f_\#$ は群準同型である。▨

定理 1.2. 基点付き連続写像 $f:(X,x_0)\to(Y,y_0)$ と $g:(Y,y_0)\to(Z,z_0)$ に対し、

(g\circ f)_\#=g_\#\circ f_\#, \qquad (\operatorname{id}_X)_\#=\operatorname{id}_{\pi_1(X,x_0)}

が成り立つ。したがって、基本群は基点付き位相空間と基点付き連続写像から群と群準同型への関手をなす。

証明. 任意のループ $\alpha$ に対し、

(g\circ f)_\#([\alpha])=[g\circ f\circ\alpha] =g_\#([f\circ\alpha]) =(g_\#\circ f_\#)([\alpha])

である。また、 $\operatorname{id}_X\circ\alpha=\alpha$ であるから恒等写像に関する等式も成り立つ。▨

基点変更と誘導準同型は次の意味で可換する。

補題 1.3. $f:X\to Y$ を連続写像とし、 $\gamma$ を $x_0$ から $x_1$ への道とする。 $f$ が各基点で誘導する準同型を添字で区別すると、

f_{x_1\#}\circ\beta_\gamma = \beta_{f\circ\gamma}\circ f_{x_0\#}

が成り立つ。

証明. $x_0$ におけるループ $\alpha$ に対し、左辺は

[f\circ\bar\gamma*f\circ\alpha*f\circ\gamma]

を与える。これは右辺が与える値と同じである。▨

2 自由ホモトピーと基点の移動

補題 2.1. $f,f':X\to Y$ を連続写像とし、 $H:f\simeq f'$ とする。 $x_0\in X$ を固定し、

h(t)=H(x_0,t)

を $f(x_0)$ から $f'(x_0)$ への道とする。このとき

f'_{x_0\#}=\beta_h\circ f_{x_0\#}: \pi_1(X,x_0)\longrightarrow\pi_1(Y,f'(x_0))

である。

証明. $\alpha$ を $x_0$ におけるループとし、 $F(s,t)=H(\alpha(s),t)$ と定める。正方形の境界を

(0,0)\to(1,0)\to(1,1)\to(0,1)\to(0,0)

の順にたどると、その $F$ による像は

(f\circ\alpha)*h*\overline{f'\circ\alpha}*\bar h

である。正方形の境界ループは正方形内で定値ループにホモトピックであるため、この像も $Y$ 内で定値ループにホモトピックである。基本群で積を整理すると

[f'\circ\alpha]=[\bar h*(f\circ\alpha)*h] =\beta_h(f_{x_0\#}([\alpha]))

を得る。▨

3 ホモトピー同値と基本群

定義 3.1. 連続写像 $f:X\to Y$ がホモトピー同値写像であるとは、連続写像 $g:Y\to X$ が存在して

g\circ f\simeq\operatorname{id}_X, \qquad f\circ g\simeq\operatorname{id}_Y

となることをいう。

定理 3.2. $f:X\to Y$ がホモトピー同値写像なら、任意の $x_0\in X$ に対して

f_{x_0\#}:\pi_1(X,x_0)\longrightarrow\pi_1(Y,f(x_0))

は群の同型である。

証明. $g:Y\to X$ をホモトピー逆写像とする。 $H:g\circ f\simeq\operatorname{id}_X$ とし、 $h(t)=H(x_0,t)$ とおく。補題 2.1により

\operatorname{id}_{\pi_1(X,x_0)} =\beta_h\circ(g\circ f)_{x_0\#} =\beta_h\circ g_{f(x_0)\#}\circ f_{x_0\#}.

右辺で $f_{x_0\#}$ より後の写像を合成すると左逆写像になるため、 $f_{x_0\#}$ は単射である。

次に $K:f\circ g\simeq\operatorname{id}_Y$ を $y_0=f(x_0)$ で考える。同じ議論から $(f\circ g)_{y_0\#}$ は同型である。関手性により

(f\circ g)_{y_0\#}=f_{g(y_0)\#}\circ g_{y_0\#}

であるから、 $f_{g(y_0)\#}$ は全射である。

$h$ は $g(f(x_0))=g(y_0)$ から $x_0$ への道である。補題 1.3により

f_{x_0\#}\circ\beta_h =\beta_{f\circ h}\circ f_{g(y_0)\#}.

二つの基点変更写像は同型であり、右辺の最後の写像は全射である。したがって $f_{x_0\#}$ は全射である。以上から $f_{x_0\#}$ は同型である。▨

系 3.3. ホモトピー同値な二つの空間は、対応する基点において同型な基本群をもつ。

定義 3.4. 空でない位相空間 $X$ が単連結 (simply connected) であるとは、 $X$ が弧状連結であり、ある基点 $x_0\in X$ に対して $\pi_1(X,x_0)$ が自明群であることをいう。弧状連結性と基点変更同型により、この条件は基点の選択に依存しない。

系 3.5. 可縮空間は単連結であり、その基本群は自明群である。

証明. 可縮空間は一点空間とホモトピー同値である。一点空間は弧状連結で、その基本群は自明群である。定理 3.2により、可縮空間の基本群も自明である。また、可縮ホモトピーは任意の点を縮約点へ結ぶ道を与えるため、可縮空間は弧状連結である。▨

定理 3.6. 空でない凸集合 $C\subseteq\mathbb R^n$ は単連結である。

証明. $x_0\in C$ を固定する。 $H(x,t)=(1-t)x+tx_0$ と定めると、凸性から $H(x,t)\in C$ であり、 $H$ は恒等写像から $x_0$ への定値写像へのホモトピーである。したがって $C$ は可縮であり、系 3.5から単連結である。▨

例 3.7 (円板の可縮性). 閉円板 $D^2$ では $H(x,t)=(1-t)x$ が恒等写像から原点への定値写像へのホモトピーを与える。したがって $D^2$ は可縮であり、 $\pi_1(D^2)=0$ である。

4 演習

問題 4.1.

$f_\#$ がホモトピー類の代表元に依存しないことを証明するとき、端点固定条件をどこで用いるかを述べよ。
$H:f\simeq f'$ が基点を固定しない場合に $f_\#=f'_\#$ と書くことができない理由を、定義域と終域から説明せよ。
ホモトピー不変性の証明で、 $f_{g(f(x_0))\#}$ の全射性から $f_{x_0\#}$ の全射性へ移るために必要な写像を述べよ。

解答.

$f\circ H$ の両端が常に $f(x_0)=y_0$ に固定されることを確認する箇所で用いる。この条件がなければ、 $f\circ\alpha$ と $f\circ\beta$ は同じ基点のループの端点固定ホモトピー類にならない。
$f_\#$ の終域は $\pi_1(Y,f(x_0))$ であり、 $f'_\#$ の終域は $\pi_1(Y,f'(x_0))$ である。二つの基点が異なる場合、道 $h(t)=H(x_0,t)$ による基点変更同型を挟む必要がある。
$g(f(x_0))$ から $x_0$ への道 $h$ による $X$ 側の基点変更同型と、その像 $f\circ h$ による $Y$ 側の基点変更同型を用いる。基点変更の自然性が二つの $f_\#$ を結ぶ。

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§E18.4基本群の関手性とホモトピー不変性

1 誘導準同型と関手性

2 自由ホモトピーと基点の移動

3 ホモトピー同値と基本群

4 演習

参考文献

前提記事