Euler 標数と Betti 数 | 位相幾何入門

1 自由部分と捩れ部分

まず、前提となる PID 上有限生成加群の構造定理をホモロジー群へ適用する。

定義 1.1. $R$ を非零可換 PID、 $K$ を $R$ の分数体、 $M$ を有限生成 $R$ 加群とする。 $M$ の階数 (rank) と捩れ部分 (torsion submodule) を

\operatorname{rank}_R M :=\dim_K(M\otimes_RK), \qquad T_R(M):=\{x\in M\mid rx=0\text{ を満たす }0\neq r\in R\text{ が存在する}\}

で定める。

§E6.29 定理 14.1を用いると、ある非負整数 $b$ と、非零非単元 $d_1,\ldots,d_s\in R$ が存在して

M\cong R^b\oplus R/(d_1)\oplus\cdots\oplus R/(d_s), \qquad d_1\mid d_2\mid\cdots\mid d_s

と書くことができる。 $b$ は一意であり、各 $d_i$ の同伴類も一意である。自由直和因子が $K^b$ へ移り、巡回捩れ直和因子が $K$ とのテンソル積で消えるため、 $b=\operatorname{rank}_R M$ である。

定義 1.2. $H_n(X;\mathbb Z)$ が有限生成であるとする。構造定理による一意な表示を

H_n(X;\mathbb Z) \cong \mathbb Z^{b_n(X)} \oplus \mathbb Z/d_{n,1}\mathbb Z \oplus\cdots\oplus \mathbb Z/d_{n,s_n}\mathbb Z,

2\leq d_{n,1}\mid d_{n,2}\mid\cdots\mid d_{n,s_n}

と書く。 $b_n(X)$ を第 $n$ Betti 数 (Betti number) といい、正の整数 $d_{n,1},\ldots,d_{n,s_n}$ を第 $n$ ホモロジーの捩れ係数 (torsion coefficient) という。

例 1.3 (実射影平面の自由部分と捩れ部分). $H_0(\mathbb {RP}^2;\mathbb Z)\cong\mathbb Z$ 、 $H_1(\mathbb {RP}^2;\mathbb Z)\cong\mathbb Z/2\mathbb Z$ 、 $H_2(\mathbb {RP}^2;\mathbb Z)=0$ である。したがって

(b_0,b_1,b_2)=(1,0,0)

であり、唯一の捩れ係数は次数 $1$ に属する $2$ である。Betti 数だけでは、この $2$ を復元することができない。

2 階数の加法性

Euler 標数の証明に必要な代数的事実を、分数体への局所化から導く。

補題 2.1. $R$ を非零可換 PID とし、

0\longrightarrow A\xrightarrow{i}B\xrightarrow{q}C\longrightarrow0

を有限生成 $R$ 加群の短完全列とする。このとき

\operatorname{rank}_RB =\operatorname{rank}_RA+\operatorname{rank}_RC

である。

証明. $S:=R\setminus\{0\}$ と置く。分数体 $K$ とのテンソル積は $S$ による局所化と同じである。局所化した列

0\longrightarrow S^{-1}A\longrightarrow S^{-1}B \longrightarrow S^{-1}C\longrightarrow0

が完全であることを直接確かめる。

$a/s\in S^{-1}A$ の像が零なら、ある $t\in S$ が存在して $ti(a)=0$ となる。 $i$ は単射なので $ta=0$ であり、 $a/s=0$ である。したがって左の写像は単射である。 $b/s\in S^{-1}B$ の像が零なら、ある $t\in S$ が存在して $tq(b)=0$ となる。よって $tb\in\ker q=\operatorname{im}i$ であり、ある $a\in A$ が存在して $i(a)=tb$ となる。このとき

\frac{b}{s}=\frac{tb}{ts}=\frac{i(a)}{ts}

であるから、中央の核は左の像に一致する。右の写像の全射性は $q$ の全射性から従う。

以上により、 $K$ ベクトル空間の短完全列

0\longrightarrow A\otimes_RK\longrightarrow B\otimes_RK \longrightarrow C\otimes_RK\longrightarrow0

を得る。有限次元ベクトル空間の次元の加法性を適用すれば、表示した階数の等式を得る。▨

3 胞体数と Betti 数の交代和

定義 3.1. $X$ を有限 CW 複体とし、 $n$ 次元胞体の個数を $c_n(X)$ と書く。 $X$ の Euler 標数 (Euler characteristic) を

\chi(X):=\sum_{n\geq0}(-1)^nc_n(X)

で定める。有限 CW 複体では、和に現れる非零項は有限個である。

主定理の証明では、胞体鎖群の二つの短完全列へ補題 2.1を適用する。境界群の階数が隣り合う次数に一度ずつ現れ、交代和の中で相殺することが本質である。

定理 3.2. 有限 CW 複体 $X$ について

\chi(X)=\sum_{n\geq0}(-1)^nb_n(X)

である。したがって定義 3.1の値は、 $X$ に入れた有限 CW 分解のとり方に依存しない。

証明. $C_n:=C_n^{\mathrm{cell}}(X)$ 、 $Z_n:=\ker\partial_n$ 、 $B_n:=\operatorname{im}\partial_{n+1}$ と置く。有限 CW 複体では各 $C_n$ は階数 $c_n(X)$ の有限生成自由アーベル群である。部分群 $Z_n,B_n$ と商群 $H_n:=Z_n/B_n$ も有限生成である。§E18.21 定理 2.1により $H_n$ は $H_n(X;\mathbb Z)$ と同型である。

二つの短完全列

0\longrightarrow Z_n\longrightarrow C_n \xrightarrow{\partial_n}B_{n-1}\longrightarrow0,

0\longrightarrow B_n\longrightarrow Z_n \longrightarrow H_n\longrightarrow0

へ補題 2.1を適用する。 $r_n:=\operatorname{rank}B_n$ と置くと

c_n(X)=\operatorname{rank}Z_n+r_{n-1} =b_n(X)+r_n+r_{n-1}

を得る。 $X$ の最高胞体次元を $N$ とし、 $r_{-1}=r_N=0$ と約束する。したがって

\begin{aligned} \chi(X) &=\sum_{n=0}^N(-1)^n\bigl(b_n(X)+r_n+r_{n-1}\bigr)\\ &=\sum_{n=0}^N(-1)^nb_n(X) +\sum_{n=0}^{N-1}(-1)^nr_n +\sum_{n=1}^{N}(-1)^nr_{n-1}\\ &=\sum_{n=0}^N(-1)^nb_n(X). \end{aligned}

最後の二つの和は、第二の和で添字を一つずらすと項ごとに相殺する。右辺は特異ホモロジー群だけから定まるため、左辺は有限 CW 分解のとり方に依存しない。▨

捩れ係数は上の交代和に現れない。例えば、円板と $\mathbb {RP}^2$ はともに Euler 標数 $1$ をもつが、 $\mathbb {RP}^2$ の一次ホモロジーには位数 $2$ の捩れがある。Euler 標数が等しいことだけから二つの空間がホモトピー同値であると結論してはならない。

4 ホモトピー不変性

系 4.1. 有限 CW 複体 $X$ と $Y$ がホモトピー同値なら

\chi(X)=\chi(Y)

である。

証明. ホモトピー同値は、§E18.11 定理 3.2と特異ホモロジーの関手性により、各次数で同型

H_n(X;\mathbb Z)\cong H_n(Y;\mathbb Z)

を誘導する。したがって $b_n(X)=b_n(Y)$ がすべての $n$ で成り立つ。定理 3.2の両辺へ Betti 数の等式を代入すれば結論を得る。▨

5 多面体の Euler 公式

定理 5.1 (多面体の Euler 公式). 凸三次元多面体の頂点数、辺数および面数を、それぞれ $V,E,F$ とする。このとき

V-E+F=2

である。より一般に、 $S^2$ の任意の有限胞体分解について同じ等式が成り立つ。

証明. 凸多面体の内部の点 $p$ を一つ取る。 $p$ を始点とする各半直線は多面体の境界とちょうど一度交わるため、 $p$ を中心とする球面への動径射影は、多面体の境界から $S^2$ への連続な全単射を与える。定義域はコンパクトで終域は Hausdorff 空間なので、この全単射は同相写像である。

多面体の頂点、辺および面は、その境界へ有限 CW 分解を与える。したがって定義 3.1から

\chi(S^2)=V-E+F

である。一方、§E18.16 定理 2.1により

H_0(S^2;\mathbb Z)\cong\mathbb Z, \qquad H_1(S^2;\mathbb Z)=0, \qquad H_2(S^2;\mathbb Z)\cong\mathbb Z

であり、他の次数のホモロジー群は零である。定理 3.2から

\chi(S^2)=1-0+1=2

を得る。二つの等式を合わせると $V-E+F=2$ である。同じ証明は $S^2$ の任意の有限胞体分解へ適用することができる。▨

例 5.2 (代表的な閉曲面の検算). 球面、円環面および実射影平面の標準胞体分解では、それぞれ

\begin{array}{c|c|c|c|c} X&c_0&c_1&c_2&\chi(X)\\ \hline S^2&1&0&1&2\\ T^2&1&2&1&0\\ \mathbb {RP}^2&1&1&1&1 \end{array}

となる。対応する Betti 数の交代和は、それぞれ $1+1=2$ 、 $1-2+1=0$ 、 $1=1$ であり、胞体数の計算と一致する。 $\mathbb {RP}^2$ の捩れ係数 $2$ は Euler 標数へ寄与しない。

6 演習

問題 6.1.

有限鎖複体 $0\to C_N\to\cdots\to C_0\to0$ の各 $C_n$ が有限生成自由 $R$ 加群であるとする。補題 2.1だけを用いて、鎖群の階数の交代和がホモロジー群の階数の交代和に等しいことを示せ。
正十二面体では $(V,E,F)=(20,30,12)$ である。多面体の Euler 公式を直接検算せよ。
有限 CW 複体の Euler 標数が等しくても、ホモトピー同値であるとは限らない理由を、円板と $\mathbb {RP}^2$ のホモロジー群から説明せよ。

解答.

(1)では $Z_n=\ker\partial_n$ 、 $B_n=\operatorname{im}\partial_{n+1}$ と置き、二つの短完全列から $\operatorname{rank}C_n=\operatorname{rank}H_n+\operatorname{rank}B_n+\operatorname{rank}B_{n-1}$ を得る。交代和を取ると二つの境界群の和が相殺する。(2)では $20-30+12=2$ である。(3)では両空間の Euler 標数は $1$ であるが、円板の正次数ホモロジー群はすべて零である一方、 $H_1(\mathbb {RP}^2;\mathbb Z)\cong\mathbb Z/2\mathbb Z$ である。ホモトピー同値はホモロジー同型を誘導するため、二つの空間はホモトピー同値でない。▨

§E18.22Euler 標数と Betti 数