§E18.26特異コホモロジーと完全列

証明.$f$が誘導する鎖写像を$f_\#:C_n(X;R)\to C_n(Y;R)$と書く。余鎖$\varphi\in C^n(Y;R)$に対して

と定める。$f_\#\partial=\partial f_\#$であるから

であり、$f^\#$は余鎖写像である。したがって$f^\#$はコサイクルをコサイクルへ、コバウンダリをコバウンダリへ送り、商上の写像$f^*$を誘導する。

鎖写像について$(g\circ f)_\#=g_\#\circ f_\#$であるから、余鎖上では

となる。恒等写像についても同様である。これらの等式は商へ降りるので、定理の二つの関係を得る。▨

証明.$X$の特異$n$単体のうち、像が$A$に含まれないものが張る自由部分加群を$F_n(X,A;R)$と書く。基底が互いに素な二つの部分へ分かれるので

である。したがって、$A$の余鎖$\alpha$に対し、$C_n(A;R)$上では$\alpha$、$F_n(X,A;R)$上では零と定める延長$s_n(\alpha)$が存在する。$i^\#s_n=\operatorname{id}$であるから$i^\#$は全射である。

$i^\#\varphi=0$であることは、$\varphi$が$C_n(A;R)$上で零になることと同値であり、これは$\varphi$が商$C_n(X,A;R)$を通じて一意に分解することと同値である。したがって$\ker i^\#=\operatorname{im}j^\#$である。$j^\#$の単射性は商写像の全射性から従う。

この証明で用いたのは、$C_n(X;R)$が自由であることだけではなく、$C_n(A;R)$が指定された基底の部分集合で生成されることである。例えば$0\to2\mathbb Z\to\mathbb Z\to\mathbb Z/2\mathbb Z\to0$は中項が自由であっても分裂しない。なお、補集合に属する単体の境界が$A$に入ることがあるため、$s_n$は一般に余鎖写像ではない。▨

証明.(1)を示す。$Z_n:=\ker(\partial:P_n\to P_{n-1})$、$Z_{-1}:=0$と置く。非輪状性から各$n\geq0$について

が完全である。$Z_{-1}$は射影加群である。$Z_{n-1}$が射影的なら上の列は分裂し、$Z_n$は自由加群$P_n$の直和因子になるので射影的である。帰納法により、すべての列に切断

を選ぶことができる。分解$P_n=Z_n\oplus s_{n-1}(Z_{n-1})$に沿う射影を$\pi_n:P_n\to Z_n$とし、$h_n:=s_n\pi_n$と置く。$x=z+s_{n-1}(w)$に対して

であるから、$h$は縮約である。

(2)を示す。写像錐

を取る。$f$が quasi-isomorphism であることと写像錐の長完全列から、$\operatorname{Cone}(f)$は非輪状である。各項は自由であり、負次数で零なので、(1)によって写像錐は可縮である。縮約を直和分解に関する行列で

と書く。等式$dH+Hd=1$の左下成分は

を与えるので、$G:D_*\to C_*$は鎖写像である。左上成分と右下成分は、それぞれ

を与える。ここで$K_m:=E_{m+1}:C_m\to C_{m+1}$と置いた。したがって$G$は$f$の鎖ホモトピー逆である。二つの鎖ホモトピーを$\operatorname{Hom}_R(-,R)$で前合成すると余鎖ホモトピーが得られるため、双対写像も余鎖ホモトピー同値である。▨

証明.$\alpha\in C^n(A;R)$がコサイクルなら、$i^\#(\delta\widetilde\alpha)=\delta\alpha=0$である。したがって$\delta\widetilde\alpha$は相対余鎖であり、しかもコサイクルである。二つの延長の差は相対余鎖$\lambda$なので、対応する二つの像の差は相対コバウンダリ$\delta\lambda$である。$\alpha$を同じコホモロジー類の代表へ取り替えた場合も、取り替えの差を$X$へ延長すると像は相対コバウンダリだけ変わる。よって$\beta$は well-defined である。

完全性を三箇所で確かめる。絶対コサイクルの制限が零なら、そのコサイクルは相対余鎖なので$\ker i^*=\operatorname{im}j^*$である。より一般に制限が$\delta\gamma$である場合は、$\gamma$を$X$へ延長して絶対コサイクルからその余境界を引けば、同じ絶対コホモロジー類を表す相対コサイクルを得る。

$A$のコサイクル$\alpha$が絶対コサイクルの制限なら、$\delta\widetilde\alpha=0$となる延長$\widetilde\alpha$を選ぶことができるので$\beta[\alpha]=0$である。逆に$\beta[\alpha]=0$なら、ある相対余鎖$\lambda$に対して$\delta\widetilde\alpha=\delta\lambda$と書くことができる。$\widetilde\alpha-\lambda$は絶対コサイクルであり、その$A$への制限は$\alpha$である。したがって$\ker\beta=\operatorname{im}i^*$である。

最後に、相対コサイクル$\omega$の絶対コホモロジー類が零なら$\omega=\delta\eta$となる絶対余鎖$\eta$が存在する。$i^\#\eta$は$A$のコサイクルであり、その任意の延長として$\eta$を選べば$\beta[i^\#\eta]=[\omega]$となる。したがって$\ker j^*=\operatorname{im}\beta$である。次数をずらして同じ議論を繰り返すと、列全体の完全性を得る。▨

証明. 鎖複体には次数ごとの分裂短完全列

がある。実際、各特異単体が$U$と$V$のどちらに入るかを基底ごとに調べれば、核と像の一致および次数ごとの分裂を得る。$\operatorname{Hom}_R(-,R)$を施すと、分裂性によって

が短完全列になる。ここで$C^*_{U,V}(X;R)=\operatorname{Hom}_R(C_*^{U,V}(X;R),R)$である。

小さい単体の定理§E18.14 定理 3.1は、包含

がホモロジー同型を誘導することを証明している。ここでは、この事実から双対余鎖の同型が従う代数的な部分を補う。$C_*^{U,V}(X;R)$は、像が$U$または$V$に含まれる特異単体という$C_*(X;R)$の基底の部分集合で生成される。したがって商複体

は各次数で自由であり、負次数で零である。$\iota$が quasi-isomorphism であることと短完全列

のホモロジー長完全列から、$Q_*$は非輪状である。従って補題 2.3により$Q_*$は可縮である。

この鎖複体の短完全列は基底によって次数ごとに分裂するので、$\operatorname{Hom}_R(-,R)$を施すと短完全列

を得る。$Q_*$の縮約を双対化すると$\operatorname{Hom}_R(Q_*,R)$も可縮であるから、この短完全列のコホモロジー長完全列により$\iota^*$は quasi-isomorphism である。したがって前の短完全列に付随する長完全列の$H^n(C^*_{U,V})$を$H^n(X;R)$で標準的に置き換えることができる。写像の符号は鎖側の$c\mapsto(c,-c)$を双対化したものなので、中央の写像は二つの制限の差になる。▨