§E18.19胞体複体と基本性質

証明. 最初に一点$\{x\}$の閉性を示す。$x$が$k$次元の開胞体に属するとする。特性写像$\chi_\alpha:D_\alpha^n\to X$ごとに$\chi_\alpha^{-1}(\{x\})$が閉であることを、$n$に関する帰納法で示す。$n<k$なら逆像は空である。$n=k$なら、$x$が$e_\alpha^k$に属する場合の逆像は開球内の一点であり、それ以外は空である。$n>k$の場合、開球の内部は$n$次元胞体へ同相に写るので、逆像は境界球面に含まれる。接着写像の値域は$X^{n-1}$であり、帰納法の仮定によって$\{x\}$は$X^{n-1}$で閉であるから、境界球面上の逆像は閉である。境界球面は閉球内で閉なので、$\chi_\alpha^{-1}(\{x\})$は閉球内でも閉である。弱位相から$\{x\}$は$X$で閉である。

次に、部分複体$A$の閉性を骨格について帰納的に示す。$A\cap X^0$は離散空間$X^0$の部分集合なので閉である。$n$次胞体$e_\alpha^n$が$A$に含まれる場合、部分複体の定義から$\chi_\alpha^{-1}(A)=D_\alpha^n$である。$e_\alpha^n$が$A$に含まれない場合、逆像は境界球面に含まれ、

である。帰納法の仮定と接着写像の連続性から、この逆像は閉である。すべての特性写像について逆像が閉なので、弱位相から$A$は閉集合である。▨

証明. 閉包有限性により、各胞体$e_\alpha^n$の閉包は有限個の開胞体としか交わらない。したがって$S\cap\overline{e_\alpha^n}$は有限集合である。命題 1.2の証明で示したとおり CW 複体の一点は閉であるから、

は有限個の閉集合の合併であり、$D_\alpha^n$で閉である。弱位相から$S$は閉である。

$S$が各胞体と高々一点で交わる場合、任意の$s\in S$に対して$S\setminus\{s\}$も同じ条件を満たすので閉である。開集合$X\setminus(S\setminus\{s\})$は$s$を含み、$S$とは$s$だけで交わる。したがって$S$は離散部分空間である。▨

証明.$K$が無限個の開胞体と交わると仮定する。互いに異なる開胞体$e_1,e_2,\ldots$と点$x_i\in K\cap e_i$を選び、$S=\{x_i\mid i\geq1\}$と置く。補題 2.1により$S$は$X$の閉離散部分空間である。各$i$について

と置くと、$U_i$は開であり、$U_i\cap S=\{x_i\}$である。$K\setminus S$と$K\cap U_i$の族

は$K$の開被覆であるが、有限部分族は$S$のうち有限個の点しか覆わない。これは$K$のコンパクト性に反する。ゆえに$K$は有限個の開胞体としか交わらない。

$K$と交わる胞体を有限個取る。各胞体の閉包と交わる胞体は閉包有限性によって有限個であり、接着先の胞体は次元が真に低い。したがって、閉包に現れる胞体を次元について有限回追加すると有限部分複体が得られ、その部分複体は$K$を含む。▨

証明. 最初に、$F$上の有界連続実数値関数$h$と正の実数$\varepsilon$に対して、$D^n$上の連続関数$H$で

を満たすものを作る。$F$はコンパクトなので、$F$を覆う有限個の開集合$V_1,\ldots,V_r$と点$a_i\in F\cap V_i$を、$V_i\cap F$上で$h$の振幅が$\varepsilon$未満になるように取る。$V_0=D^n\setminus F$とし、

と置く。$V_0,V_1,\ldots,V_r$は$D^n$を覆うので$\sum_i\psi_i(x)>0$である。$c_0=0$、$c_i=h(a_i)$として

と定める。$x\in F$では$\psi_0(x)=0$であり、$\psi_i(x)>0$なら$x\in V_i$なので$\lvert h(a_i)-h(x)\rvert<\varepsilon$である。したがって所要の評価が成り立つ。

$h_0=g$とする。上の構成を$\varepsilon=\lVert h_0\rVert_\infty/2$で適用して$H_0$を作り、$h_1=h_0-H_0|_F$と置く。同じ操作を繰り返すと、

となる。級数$\sum_{j\geq0}H_j$は一様収束するので連続関数$\widetilde G:D^n\to\mathbb R$を定め、$F$上では$g$に一致する。最後に$t\mapsto\min\{1,\max\{0,t\}\}$を合成すれば、値域が$[0,1]$である延長$G$を得る。▨

証明.$A,B\subset X$を互いに交わらない閉集合とする。$A$上で$0$、$B$上で$1$となる連続写像$f:X\to[0,1]$を骨格ごとに構成する。離散空間$X^0$上では、$A\cap X^0$で$0$、$B\cap X^0$で$1$、残りの点で$1/2$と定める。

$f$が$X^{n-1}$上で構成されているとする。各$n$次特性写像$\chi_\alpha:D_\alpha^n\to X^n$に対して、閉集合

上の関数を、境界球面では$f\circ a_\alpha$、$\chi_\alpha^{-1}(A)$では$0$、$\chi_\alpha^{-1}(B)$では$1$と定める。重なりでは帰納法の仮定によって値が一致するので、閉集合上の貼り合わせ補題から連続である。補題 3.1により、この関数を$D_\alpha^n$全体へ延長する。すべての胞体上の延長は境界で$f$と一致するため、接着空間の商位相によって$X^n$上の連続関数へ貼り合わさる。

すべての骨格について帰納構成した関数は、各特性写像との合成が連続である。弱位相から全体の写像$f:X\to[0,1]$は連続である。開集合

はそれぞれ$A$と$B$を含み、互いに交わらない。よって$X$は正規である。

命題 1.2の証明から一点集合は閉である。相異なる二点を$A$と$B$に取った上の構成は、二点を互いに交わらない開集合で分離する。したがって$X$は Hausdorff でもある。▨

証明. CW 複体$X$はコンパクト生成である。実際、部分集合$C\subset X$と任意のコンパクト部分集合$L\subset X$について$C\cap L$が閉であるとする。各胞体閉包$\overline e_\alpha^n$はコンパクトなので$C\cap\overline e_\alpha^n$は閉であり、弱位相から$C$は閉である。

コンパクト生成 Hausdorff 空間$Z$とコンパクト Hausdorff 空間$K$の積もコンパクト生成である。これを確かめるため、$C\subset Z\times K$がすべてのコンパクト部分集合との交わりで閉であるとする。$(z,k)\notin C$を取る。切片$C\cap(\{z\}\times K)$は閉なので、$k$の閉近傍$V$を、この切片と交わらないように取る。集合

は閉である。実際、コンパクト部分集合$L\subset Z$に対して$C\cap(L\times V)$はコンパクトであり、その第一射影$B_V\cap L$もコンパクト、したがって$L$の閉集合である。$Z$のコンパクト生成性から$B_V$は閉である。$z\notin B_V$なので、$(Z\setminus B_V)\times\mathring V$は$(z,k)$を含み$C$と交わらない。ゆえに$C$は閉であり、$Z\times K$はコンパクト生成である。

仮定した胞体円柱上の連続性から、$F$は任意の有限部分複体$L\subset X$と$K$の積上で連続である。これは、各特性写像がコンパクト空間から Hausdorff な胞体閉包への商写像であることと、有限閉被覆に対する貼り合わせ補題から従う。$X\times K$の任意のコンパクト部分集合の第一射影は定理 2.2によって有限部分複体$L$に含まれる。したがって、$Y$の任意の閉集合の逆像はすべてのコンパクト部分集合との交わりで閉であり、前段のコンパクト生成性から閉である。よって$F$は連続である。逆向きは合成の連続性から直ちに従う。

開集合$U$の場合、特性写像の直和が与える商写像を$U$の逆像へ制限した写像も商写像である。商写像とコンパクト Hausdorff 空間$K$の恒等写像との積は商写像なので、$\chi_\alpha^{-1}(U)\times K$上の連続写像が境界で一致すれば$U\times K$上の連続写像へ降下する。これで開部分集合についての判定も従う。▨

証明.$X$を$A$から相対胞体を順に接着して構成する。$A\times[0,1]$では恒等写像を用いる。低次元の相対骨格上でレトラクション$R$が構成されているとする。相対$n$胞体の特性写像$\chi_\alpha:D_\alpha^n\to X$と接着写像$a_\alpha:S_\alpha^{n-1}\to X^{n-1}$に対して、

上の写像を

で定める。交わり$S_\alpha^{n-1}\times\{0\}$では両者が$(a_\alpha(\theta),0)$に等しい。この写像と上で構成した$\rho_n$を合成すると、$D_\alpha^n\times[0,1]$上の連続な延長を得る。$\rho_n$が底面と側面を固定するため、この延長は既に定めた部分と一致する。

相対骨格についてこの操作を帰納的に行うと、連続なレトラクション

が得られる。各特性円柱上の制限は上の構成によって連続であるから、補題 4.2により$R$は積位相を入れた$X\times[0,1]$上で連続である。

$X\times\{0\}\cup A\times[0,1]$上の写像$G$を

と定める。仮定$h(a,0)=f(a)$により$G$は貼り合わさる。$F=G\circ R$と置けば、$F$は要求された延長である。▨

証明.$A$の閉性は命題 1.2で示した。$A$の開近傍$U$を骨格について構成する。$U^0=A\cap X^0$と置く。$U^{n-1}\subset X^{n-1}$が構成されているとする。$U^n$は$A\cap X^n$と$U^{n-1}$を含み、さらに各相対$n$胞体$e_\alpha^n\subset X\setminus A$について

となる点をすべて含むものとする。特性円板における$U^n$の逆像は、$A$の胞体では円板全体であり、相対胞体では$a_\alpha^{-1}(U^{n-1})$の半径方向の開カラーである。したがって$U^n$は$X^n$で開である。$U=\bigcup_{n\geq0}U^n$と置くと、各特性円板における逆像が開なので弱位相から$U$は$X$の開集合であり、$A\subset U$である。

各相対$n$胞体のカラー上で

と動かし、$A\cap X^n$と$U^{n-1}$を固定する。この式は$s=1$でカラーを接着先$U^{n-1}$へ送り、$r=1$では最初から接着先を固定するので、特性円板の境界で貼り合わさる。これにより$U^n$の相対$n$胞体部分を$U^{n-1}$へ押し出す変形を得る。

無限次元の場合にも一つのホモトピーを得るため、相対$n$胞体を押し出す変形を時間区間

で行う。時刻$0$では恒等写像とし、次元の大きい胞体から順に押し出す。$m$次元胞体に属する点は$[0,2^{-m}]$では動かず、その後は高々$m$回の変形で$A$に入る。したがって各特性円板上では有限個のホモトピーの連結となり、時刻$0$と時刻$1$を含めて連続である。補題 4.2の開部分集合版を$U\times[0,1]$に適用すると、全体のホモトピーも連続である。このホモトピーは$A$を各時刻で固定し、時刻$1$で$U$全体を$A$へ送るので、$A$は$U$の強変形レトラクトである。よって$(X,A)$は良い対である。▨

証明. 零骨格では

である。$n-1$骨格まで等式が成り立つと仮定する。$n$胞体が$A$と$B$の両方に属すれば、三つの近傍はその特性円板全体を含む。$A$にだけ属すれば、$U(A)$は円板全体を含み、$U(B)$との交わりは$B$のための境界カラーであり、これは$A\cap B$のための境界カラーと一致する。どちらにも属さない場合、二つの境界カラーの交わりは

を方向集合とする同じ半径幅のカラーである。したがって各特性円板上で等式が成り立ち、帰納法によって全体でも成り立つ。強変形収縮は命題 4.4で構成したものを用いる。二つの場合を帰納的に適用すれば有限個の場合を得る。▨