Brouwer の不動点定理と次元不変性 | 位相幾何入門

1 無レトラクション定理

定義 1.1. $A\subset X$ とする。連続写像 $r:X\to A$ が

r|_A=\operatorname{id}_A

を満たすとき、 $r$ を $X$ から $A$ へのレトラクションといい、 $A$ を $X$ のレトラクトという。

定理 1.2 (球体の無レトラクション定理). $n\geq1$ とし、 $D^n=\{x\in\mathbb R^n:\lVert x\rVert\leq1\}$ 、 $S^{n-1}=\partial D^n$ とする。 $D^n$ から $S^{n-1}$ へのレトラクションは存在しない。

証明. 包含写像を $i:S^{n-1}\hookrightarrow D^n$ とする。レトラクション $r:D^n\to S^{n-1}$ が存在すれば

r\circ i=\operatorname{id}_{S^{n-1}}

となる。被約ホモロジーと§E18.11 命題 1.5を用いると

r_*\circ i_*=\operatorname{id}_{\widetilde H_{n-1}(S^{n-1})}

を得る。

$n=1$ では $S^0$ は二点からなるため $\widetilde H_0(S^0)\cong\mathbb Z$ である。 $n\geq2$ では§E18.16 定理 2.1から $\widetilde H_{n-1}(S^{n-1})\cong\mathbb Z$ である。したがって、すべての $n\geq1$ について $\widetilde H_{n-1}(S^{n-1})\cong\mathbb Z$ となる。一方、 $D^n$ はホモトピー $H(x,t)=(1-t)x$ によって一点へ収縮する。§E18.11 定理 3.2と一点空間のホモロジーから

\widetilde H_{n-1}(D^n)=0

である。したがって $i_*$ は $\mathbb Z$ から零群への準同型であり、 $r_*\circ i_*$ は零準同型になる。これは $\mathbb Z$ 上の恒等準同型ではないため矛盾する。ゆえにレトラクションは存在しない。▨

系 1.3. $D^2$ からその境界 $S^1$ へのレトラクションは存在しない。

証明.定理 1.2で $n=2$ とすればよい。▨

二次元の場合は、 $\pi_1(S^1)\cong\mathbb Z$ と $\pi_1(D^2)=0$ を用いても同じ合成の矛盾を得る。基本群による証明は円板に対して十分であるが、一般の $n$ に対して $\pi_1(S^{n-1})$ は最高次元の穴を検出しない。被約ホモロジーを用いると、すべての $n\geq1$ を同じ式で扱うことができる。

2 Brouwer の不動点定理

無レトラクション定理を適用するため、不動点をもたない自己写像から境界へのレトラクションを具体的に構成する。

定理 2.1 (Brouwer の不動点定理). $n\geq1$ とする。任意の連続写像 $f:D^n\to D^n$ に対して、 $f(x)=x$ を満たす点 $x\in D^n$ が存在する。

証明. $f$ が不動点をもたないと仮定する。各 $x\in D^n$ に対して

v(x):=x-f(x)

と置く。不動点が存在しないという仮定から $v(x)\neq0$ である。 $f(x)$ を始点として $x$ を通る半直線と $S^{n-1}$ との交点のうち、 $x$ から $v(x)$ の向きへ進んで最初に得られる点を $r(x)$ とする。すなわち

r(x)=x+\lambda(x)v(x),\qquad \lambda(x)\geq0,

かつ $\lVert r(x)\rVert=1$ と定める。

$\lambda$ が一意かつ連続に定まることを示す。等式 $\lVert x+\lambda v(x)\rVert^2=1$ は

\lVert v(x)\rVert^2\lambda^2 +2\langle x,v(x)\rangle\lambda +\lVert x\rVert^2-1=0

と同値である。定数項は非正で最高次係数は正なので、二根の一方は非負であり、他方は非正である。非負根は

\lambda(x)= \frac{-\langle x,v(x)\rangle+ \sqrt{\langle x,v(x)\rangle^2+ \lVert v(x)\rVert^2(1-\lVert x\rVert^2)}} {\lVert v(x)\rVert^2}

である。分母は $v(x)\neq0$ によって正であり、根号の中は二つの非負数の和である。したがって $\lambda$ と $r$ は連続である。

$x\in S^{n-1}$ なら

\langle x,v(x)\rangle =1-\langle x,f(x)\rangle \geq1-\lVert f(x)\rVert \geq0.

このとき上の公式で $1-\lVert x\rVert^2=0$ であるから $\lambda(x)=0$ となり、 $r(x)=x$ を得る。ゆえに $r:D^n\to S^{n-1}$ はレトラクションである。これは定理 1.2に反する。したがって $f$ は不動点をもつ。▨

系 2.2 (Brouwer の不動点定理の二次元の場合). 任意の連続写像 $f:D^2\to D^2$ は不動点をもつ。

証明.定理 2.1で $n=2$ とすればよい。▨

3 局所ホモロジーと次元不変性

§E18.15 定義 2.1で定義した局所ホモロジーを Euclid 空間で計算する。局所ホモロジーが非零になる次数が、Euclid 空間の次元を与える。

命題 3.1. $m\geq1$ 、 $x\in\mathbb R^m$ とする。このとき

H_k(\mathbb R^m,\mathbb R^m\setminus\{x\};\mathbb Z) \cong \begin{cases} \mathbb Z&k=m,\\ 0&k\neq m \end{cases}

である。

証明. 平行移動によって $x=0$ としてよい。 $\mathbb R^m$ は可縮であり、 $\mathbb R^m\setminus\{0\}$ は

H(z,t)=\left((1-t)+\frac{t}{\lVert z\rVert}\right)z

によって $S^{m-1}$ へ変形収縮する。対 $(\mathbb R^m,\mathbb R^m\setminus\{0\})$ の長完全列を被約ホモロジーで書くと、 $k\geq1$ について

H_k(\mathbb R^m,\mathbb R^m\setminus\{0\}) \cong\widetilde H_{k-1}(\mathbb R^m\setminus\{0\}) \cong\widetilde H_{k-1}(S^{m-1})

となる。§E18.16 定理 2.1から右辺は $k=m$ のときだけ $\mathbb Z$ であり、それ以外は零である。零次では、非空な部分空間の零次ホモロジーから連結な $\mathbb R^m$ の零次ホモロジーへの写像が全射なので、相対零次ホモロジーは零である。▨

定理 3.2. $m,n$ を正の整数とする。空でない開集合 $U\subset\mathbb R^m$ と $V\subset\mathbb R^n$ が同相ならば $m=n$ である。

証明. 同相写像 $h:U\to V$ が存在するとし、 $x\in U$ 、 $y:=h(x)$ と置く。同相写像は対の同相

(U,U\setminus\{x\})\longrightarrow(V,V\setminus\{y\})

を与えるため、すべての $k$ について

H_k(U,U\setminus\{x\})\cong H_k(V,V\setminus\{y\})

である。

$U$ は開いているので、 $x$ を中心とし閉包が $U$ に含まれる開球を取ることができる。§E18.15 定理 1.1によって、 $U$ における $x$ の局所ホモロジーは $\mathbb R^m$ における $x$ の局所ホモロジーと同型である。同様に、 $V$ における $y$ の局所ホモロジーは $\mathbb R^n$ における $y$ の局所ホモロジーと同型である。したがって命題 3.1から

H_k(U,U\setminus\{x\})\cong \begin{cases}\mathbb Z&k=m,\\0&k\neq m, \end{cases} \qquad H_k(V,V\setminus\{y\})\cong \begin{cases}\mathbb Z&k=n,\\0&k\neq n. \end{cases}

となる。二つの次数別群が同型であるため、非零になる唯一の次数が一致し、 $m=n$ を得る。▨

注意 3.3 (次元不変性の範囲).定理 3.2は、次元の異なる Euclid 空間の空でない開集合が同相でないことを述べる。連続単射が開写像になるという領域不変性、および球面が Euclid 空間を分離するという Jordan–Brouwer の分離定理は証明していない。

4 偶数次元球面上のベクトル場

$S^n\subset\mathbb R^{n+1}$ の点 $x$ における接ベクトルを、 $x$ と直交するベクトルとして表す。

定理 4.1. $n\geq2$ を偶数とする。すべての $x\in S^n$ で

v(x)\perp x,\qquad v(x)\neq0

を満たす連続写像 $v:S^n\to\mathbb R^{n+1}$ は存在しない。

証明. そのような $v$ が存在すると仮定し、

w(x):=\frac{v(x)}{\lVert v(x)\rVert}

と置く。 $w$ は連続であり、 $\lVert w(x)\rVert=1$ および $w(x)\perp x$ を満たす。写像

H:S^n\times[0,1]\longrightarrow S^n, \qquad H(x,t)=\cos(\pi t)x+\sin(\pi t)w(x)

を考える。直交性から

\lVert H(x,t)\rVert^2 =\cos^2(\pi t)\lVert x\rVert^2 +\sin^2(\pi t)\lVert w(x)\rVert^2 =1

であるため、 $H$ の値は常に $S^n$ に属する。また $H(x,0)=x$ 、 $H(x,1)=-x$ なので、 $H$ は恒等写像と対蹠写像 $a$ の間のホモトピーである。

§E18.17 命題 1.2のホモトピー不変性から

1=\deg(\operatorname{id}_{S^n})=\deg a

となる。しかし§E18.17 定理 2.2と $n$ の偶数性から $\deg a=(-1)^{n+1}=-1$ である。これは矛盾である。ゆえに至る所で非零となる連続接ベクトル場は存在しない。▨

例 4.2 (奇数次元との対比). $S^1\subset\mathbb R^2$ では

v(x_1,x_2)=(-x_2,x_1)

が連続で至る所非零の接ベクトル場を与える。実際、 $\langle(x_1,x_2),v(x_1,x_2)\rangle=0$ であり、 $\lVert v(x_1,x_2)\rVert=1$ である。この例は、偶数次元という仮定を外した主張が成り立たないことを示す。

5 演習

問題 5.1.

無レトラクション定理の証明で、被約ホモロジーを用いると $n=1$ も同じ議論に含まれる理由を説明せよ。
Brouwer の不動点定理の証明で、 $x\in S^{n-1}$ なら $\lambda(x)=0$ となることを式から確かめよ。
$U\subset\mathbb R^3$ と $V\subset\mathbb R^5$ を空でない開集合とする。局所ホモロジーのどの次数を比較すれば、 $U$ と $V$ が同相でないと分かるか。
非零接ベクトル場から恒等写像と対蹠写像の間のホモトピーが得られる理由を、ノルムの計算を含めて再構成せよ。

解答 (解答).

第一問では $S^0$ が二点からなるため $\widetilde H_0(S^0)\cong\mathbb Z$ である一方、区間 $D^1$ は可縮なので $\widetilde H_0(D^1)=0$ である。したがって $n=1$ でも恒等準同型が零群を経由するという矛盾が生じる。第二問では $\lVert x\rVert=1$ かつ $\langle x,v(x)\rangle=1-\langle x,f(x)\rangle\geq0$ なので、平方根は $\langle x,v(x)\rangle$ に等しく、分子が零になる。第三問では第3局所ホモロジーを比較すればよい。 $U$ 側では $\mathbb Z$ であるが、 $V$ 側では零である。第四問では $x$ と正規化したベクトル場 $w(x)$ が直交するため、 $\cos(\pi t)x+\sin(\pi t)w(x)$ のノルムの二乗は $\cos^2(\pi t)+\sin^2(\pi t)=1$ である。端点 $t=0,1$ ではそれぞれ $x,-x$ となる。▨

§E18.18Brouwer の不動点定理と次元不変性

1 無レトラクション定理

2 Brouwer の不動点定理

3 局所ホモロジーと次元不変性

4 偶数次元球面上のベクトル場

5 演習

参考文献

前提記事