カップ積の構成と性質 | 位相幾何入門

1 微分次数付き代数と複体のテンソル積

定義 1.1. $R$ 上のコホモロジー的微分次数付き代数 (cohomological differential graded algebra) とは、次数付き $R$ 加群 $A^*=\bigoplus_nA^n$ 、次数 $1$ の微分 $d$ 、次数を加える結合的な積、および単位元 $1\in A^0$ からなり、斉次元 $a\in A^p$ と $b\in A^q$ に対して

d^2=0, \qquad d(ab)=(da)b+(-1)^p a(db)

を満たすものである。

定義 1.2. 鎖複体 $(C_*,\partial_C)$ と $(D_*,\partial_D)$ のテンソル積 (tensor product of chain complexes) を

(C\otimes_R D)_n:=\bigoplus_{i+j=n}C_i\otimes_R D_j

とし、 $c\in C_i$ 、 $d\in D_j$ に対して

\partial_\otimes(c\otimes d) :=\partial_Cc\otimes d+(-1)^i c\otimes\partial_Dd

と定める。

補題 1.3.定義 1.2の微分は $\partial_\otimes^2=0$ を満たす。

証明. $c\in C_i$ と $d\in D_j$ に対して展開すると

\begin{aligned} \partial_\otimes^2(c\otimes d) &=\partial_C^2c\otimes d +(-1)^{i-1}\partial_Cc\otimes\partial_Dd\\ &\quad+(-1)^i\partial_Cc\otimes\partial_Dd +c\otimes\partial_D^2d=0. \end{aligned}

中央の二項が打ち消し合う。▨

定義 1.4. $R$ 上の鎖複体 $(C_*,\partial)$ の双対余鎖複体 (dual cochain complex) を

C^n:=\operatorname{Hom}_R(C_n,R), \qquad (\delta\varphi)(c):=\varphi(\partial c)

で定める。

2 Alexander–Whitney 対角写像

特異 $n$ 単体 $\sigma:\Delta^n\to X$ と $0\le i\le j\le n$ に対し、頂点 $v_i,\ldots,v_j$ が張る面への制限を $\sigma[i,\ldots,j]$ と書く。

定義 2.1. 特異鎖複体上の鎖対角近似 (chain diagonal approximation) とは、自然な鎖写像

\Delta_X:C_*(X;R)\longrightarrow C_*(X;R)\otimes_R C_*(X;R)

であって、零次では $x\mapsto x\otimes x$ と一致し、増大写像 $\varepsilon:C_0(X;R)\to R$ に対して

(\varepsilon\otimes1)\Delta_X=1, \qquad (1\otimes\varepsilon)\Delta_X=1

を満たすものをいう。右辺の $x\mapsto x\otimes x$ は一般の鎖上では線形でないため、鎖対角近似は単体ごとの公式として定める必要がある。

例 2.2 (Alexander–Whitney 対角写像). 特異単体 $\sigma:\Delta^n\to X$ に対して

\operatorname{AW}_X(\sigma) :=\sum_{i=0}^n \sigma[0,\ldots,i]\otimes\sigma[i,\ldots,n]

と定め、 $R$ 線形に拡張する。この写像を Alexander–Whitney 対角写像という。

命題 2.3. $\operatorname{AW}_X$ は次の性質を満たす。

$\partial_\otimes\operatorname{AW}_X=\operatorname{AW}_X\partial$ である。
連続写像 $f:X\to Y$ に対して $\operatorname{AW}_Yf_\#=(f_\#\otimes f_\#)\operatorname{AW}_X$ である。
鎖写像として厳密に余結合的であり、 $(\operatorname{AW}\otimes1)\operatorname{AW} =(1\otimes\operatorname{AW})\operatorname{AW}$ を満たす。
増大写像に関して左右の余単位則を満たす。

証明.(1)を示す。 $\partial_\otimes\operatorname{AW}(\sigma)$ を展開すると、前面の境界から生じる項と、前面の次数による符号 $(-1)^i$ を伴う後面の境界から生じる項を得る。分割頂点 $v_i$ を前面側で除く項と、同じ頂点を後面側で除く項は、隣り合う分割 $i-1$ と $i$ から反対符号で現れて打ち消し合う。残る項は、ある頂点 $v_k$ を先に除いてから、その $(n-1)$ 単体を前面と後面に分けた項であり、係数は $(-1)^k$ である。したがって残りの和は $\operatorname{AW}(\partial\sigma)$ に等しい。

(2)を示す。 $f_\#\sigma[i,\ldots,j]=(f_\#\sigma)[i,\ldots,j]$ から各項ごとに従う。

(3)を示す。どちらの辺を $\sigma$ に施しても

\sum_{0\le i\le j\le n} \sigma[0,\ldots,i]\otimes \sigma[i,\ldots,j]\otimes \sigma[j,\ldots,n]

となる。

(4)を示す。最後に、増大写像を第一成分へ施すと $i=0$ の項だけが残り、第二成分へ施すと $i=n$ の項だけが残るので、左右の余単位則を得る。▨

3 カップ積

定義 3.1. $\varphi\in C^p(X;R)$ と $\psi\in C^q(X;R)$ に対して

\varphi\smile\psi :=\mu_R(\varphi\otimes\psi)\operatorname{AW}_X \in C^{p+q}(X;R)

と定める。ここで $\mu_R:R\otimes_RR\to R$ は環の乗法である。すなわち、特異 $(p+q)$ 単体 $\sigma$ 上では

(\varphi\smile\psi)(\sigma) =\varphi(\sigma[0,\ldots,p]) \psi(\sigma[p,\ldots,p+q])

である。

命題 3.2. $\varphi\in C^p(X;R)$ と $\psi\in C^q(X;R)$ に対して

\delta(\varphi\smile\psi) =\delta\varphi\smile\psi +(-1)^p\varphi\smile\delta\psi

が成り立つ。したがって

H^p(X;R)\times H^q(X;R) \longrightarrow H^{p+q}(X;R), \qquad ([\varphi],[\psi])\longmapsto[\varphi\smile\psi]

は代表元の選択によらず定まる。

証明.命題 2.3の鎖写像性と定義 1.2の符号を双対化すると、表示した Leibniz 則を得る。直接には、 $(p+q+1)$ 単体の境界を前面で頂点を除く項と後面で頂点を除く項へ分け、分割頂点を除く二項を相殺すれば同じ式になる。

$\varphi$ と $\psi$ がコサイクルなら右辺は零なので、 $\varphi\smile\psi$ もコサイクルである。 $\alpha\in C^{p-1}(X;R)$ と $\beta\in C^{q-1}(X;R)$ に対し、 $\varphi$ と $\psi$ がコサイクルなら

(\varphi+\delta\alpha)\smile\psi- \varphi\smile\psi=\delta(\alpha\smile\psi),

\varphi\smile(\psi+\delta\beta)- \varphi\smile\psi=(-1)^p\delta(\varphi\smile\beta)

である。よって、どちらの代表元をコバウンダリだけ変えても積のコホモロジー類は変わらない。▨

定義 3.3. カップ積を備えた次数付き $R$ 加群

H^*(X;R):=\bigoplus_{n\ge0}H^n(X;R)

を $X$ のコホモロジー環 (cohomology ring) という。

命題 2.3の厳密な余結合性から、余鎖上ですでに

(\varphi\smile\psi)\smile\chi =\varphi\smile(\psi\smile\chi)

が成り立つ。定数零次余鎖 $1_X$ は余単位則によって積の単位元になる。したがって $C^*(X;R)$ は定義 1.1の微分次数付き代数であり、 $H^*(X;R)$ は単位的結合代数である。

注意 3.4 (ホモロジーには一般に積がないこと). 対角写像は鎖を二つの鎖へ送るので、双対化すると二つの余鎖から一つの余鎖への積を与える。一方、同じ構成だけから二つのホモロジー類を一つのホモロジー類へ送る写像は得られない。ホモロジー上の積には、位相群の乗法など別の構造が必要である。

4 自然性と相対カップ積

命題 4.1. 連続写像 $f:X\to Y$ と $u\in H^p(Y;R)$ 、 $v\in H^q(Y;R)$ に対して

f^*(u\smile v)=f^*u\smile f^*v

が成り立つ。したがって $f^*:H^*(Y;R)\to H^*(X;R)$ は次数付き環準同型である。

証明. 余鎖 $\varphi,\psi$ に対して、命題 2.3の自然性から

\begin{aligned} f^\#(\varphi\smile\psi) &=\mu_R(\varphi\otimes\psi)\operatorname{AW}_Yf_\#\\ &=\mu_R(\varphi\otimes\psi)(f_\#\otimes f_\#)\operatorname{AW}_X\\ &=f^\#\varphi\smile f^\#\psi \end{aligned}

である。この余鎖上の等式をコホモロジーへ移せばよい。▨

二つの相対条件を同時に課すときは、まず二つの部分空間上の鎖の和で割った複体を用いる。開集合または CW 部分複体の場合に、この中間複体を通常の相対複体と標準的に比較することができる。

補題 4.2. $A,B\subseteq X$ がともに開集合であるか、または $X$ の同じ CW 構造に関する部分複体であるとする。

S_*:=C_*(A;R)+C_*(B;R), \qquad K^*(X;A,B):=\operatorname{Hom}_R(C_*(X;R)/S_*,R)

と置く。標準商写像

q_{A,B}:C_*(X;R)/S_* \longrightarrow C_*(X,A\cup B;R)

の双対は、自然な同型

H(q_{A,B}^*):H^*(X,A\cup B;R) \xrightarrow{\cong}H^*(K^*(X;A,B))

を誘導する。この同型は補助的な近傍や鎖ホモトピーの選択に依存しない。

証明. $T_*:=C_*(A\cup B;R)$ と置く。最初に包含 $S_*\hookrightarrow T_*$ が quasi-isomorphism であることを切除から示す。開集合の場合、これは $A\cup B$ の開被覆 $\{A,B\}$ に対する小さい単体の定理、すなわち切除定理の鎖レベルの証明である。

$A$ と $B$ が $X$ の同じ CW 構造に関する部分複体の場合、§E18.19 命題 4.4のカラー幅をすべての部分複体について同じ $1/2<r<1$ に固定する。部分複体 $L$ に対して得る開近傍を $U(L)$ と書く。骨格について帰納すると

U(A)\cap U(B)=U(A\cap B), \qquad U(A)\cup U(B)=U(A\cup B)

が成り立つ。実際、一つの特性円板で、胞体が $L$ に属すれば $U(L)$ の逆像は円板全体であり、属さなければ逆像は

\{r\theta\mid 1/2<r<1,\ a(\theta)\in U(L)\}

である。同じ半径条件を用いるため、二つの逆像の共通部分と合併は、帰納法の仮定を接着写像 $a$ の逆像へ適用したものになる。胞体が $A$ または $B$ の一方だけに属す場合にも、対応する一方の逆像が円板全体になるので同じ等式が成り立つ。

§E18.19 命題 4.4の変形収縮により、各包含 $L\hookrightarrow U(L)$ はホモロジー同型を誘導する。対の長完全列を比較し、絶対群に対するこの同型と五項補題を用いると、包含

(A,A\cap B)\hookrightarrow(U(A),U(A\cap B))

および

(A\cup B,B)\hookrightarrow(U(A\cup B),U(B))

も相対ホモロジー同型を誘導する。ここでは二つの変形収縮が同じホモトピーであるとは仮定していない。必要なのは、同一カラー構成によって上の二つが実際に対の包含になり、長完全列の比較図式が定まることである。

開集合 $U(A),U(B)$ に対する小さい単体の定理を $U(A\cup B)=U(A)\cup U(B)$ の中で適用すると、下段の包含

H_*(U(A),U(A\cap B);R) \longrightarrow H_*(U(A\cup B),U(B);R)

は同型である。この写像と二つの相対ホモロジー同型が作る可換正方形から、上段の包含が標準的な胞体的切除同型

H_*(A,A\cap B;R)\xrightarrow{\cong} H_*(A\cup B,B;R)

を誘導することが分かる。近傍は、この標準包含が同型であることを証明するためだけに用いている。

どちらの場合も、短完全列を並べた図式

\begin{array}{ccccccccc} 0&\to&C_*(B)&\to&S_*&\to&C_*(A)/C_*(A\cap B)&\to&0\\ &&\Vert&&\downarrow&&\downarrow&&\\ 0&\to&C_*(B)&\to&T_*&\to&C_*(A\cup B)/C_*(B)&\to&0 \end{array}

で右の縦写像が切除による quasi-isomorphism である。二つのホモロジー長完全列から中央の $S_*\hookrightarrow T_*$ も quasi-isomorphism になる。

$S_*$ と $T_*$ は、それぞれ指定された特異単体の集合で生成される。従って

T_*/S_*

は負次数で零の自由複体であり、直前の quasi-isomorphism から非輪状である。§E18.26 補題 2.3により $T_*/S_*$ は可縮である。短完全列

0\longrightarrow T_*/S_* \longrightarrow C_*(X)/S_* \xrightarrow{q_{A,B}}C_*(X)/T_* \longrightarrow0

は特異単体基底によって次数ごとに分裂する。双対化すると、 $q_{A,B}^*$ の余核は可縮な $\operatorname{Hom}_R(T_*/S_*,R)$ になるので、 $q_{A,B}^*$ はコホモロジー同型を誘導する。

この同型を定める写像は初めから標準商写像 $q_{A,B}$ だけである。開近傍や縮約は $q_{A,B}^*$ が同型であることの証明にだけ現れるため、得られた同型はそれらの選択に依存しない。▨

命題 4.3. $A,B\subseteq X$ とする。余鎖レベルのカップ積は

C^p(X,A;R)\times C^q(X;R)\to C^{p+q}(X,A;R),

C^p(X;R)\times C^q(X,B;R)\to C^{p+q}(X,B;R)

を定める。さらに $A$ と $B$ が開集合である場合、または CW 部分複体である場合には、自然な積

H^p(X,A;R)\times H^q(X,B;R) \longrightarrow H^{p+q}(X,A\cup B;R)

が定まる。

さらに、 $A',B'\subseteq X'$ についても $A',B'$ がともに開集合であるか、または $X'$ の同じ CW 構造に関する部分複体であるとする。 $f:(X;A,B)\to(X';A',B')$ が $f(A)\subseteq A'$ と $f(B)\subseteq B'$ を満たす連続写像なら、 $u\in H^p(X',A';R)$ と $v\in H^q(X',B';R)$ に対して

f^*(u\smile v)=f^*u\smile f^*v

が成り立つ。

証明. $\varphi$ が $A$ 上で零なら、像が $A$ に含まれる単体の前面上でも $\varphi$ は零である。したがって $\varphi\smile\psi$ は $A$ 上で零になる。第二の写像も後面について同様である。

一般の二部分空間に対しては、 $C_*(A;R)+C_*(B;R)$ 上で零になる余鎖を考える。 $A$ に入る単体では第一因子が零になり、 $B$ に入る単体では第二因子が零になるため、

C^p(X,A;R)\times C^q(X,B;R) \longrightarrow K^{p+q}(X;A,B)

が定まる。Leibniz 則により、 $\varphi$ と $\psi$ が相対コサイクルなら $\varphi\smile\psi$ は $K^*(X;A,B)$ のコサイクルである。一方を相対コバウンダリだけ変えたときの積の差も、命題 3.2と同じ式によって $K^*(X;A,B)$ のコバウンダリになる。従って

H^p(X,A;R)\times H^q(X,B;R) \longrightarrow H^{p+q}(K^*(X;A,B))

は代表元の選択によらず定まる。 $A,B$ が補題の条件を満たすとき、この積と

H(q_{A,B}^*)^{-1}:H^{p+q}(K^*(X;A,B)) \longrightarrow H^{p+q}(X,A\cup B;R)

を合成して、主張の相対カップ積を定める。標準同一視の選択独立性により、この定義にも補助的な選択は残らない。

最後に、命題で仮定した $f:(X;A,B)\to(X';A',B')$ を考える。誘導鎖写像は二つの標準商写像について可換な正方形を作る。さらに Alexander–Whitney 写像の自然性から、中間複体上の積も $f^*$ と可換する。従って $H(q^*)$ の逆同型を取った後にも

f^*(u\smile v)=f^*u\smile f^*v

が成り立ち、相対積は自然である。▨

5 次数付き交換律

補題 5.1. $c\in C_i$ と $d\in D_j$ に対して

\tau(c\otimes d):=(-1)^{ij}d\otimes c

と定めると、 $\tau:C\otimes D\to D\otimes C$ は鎖写像である。

証明. 定義を用いて $\partial\tau(c\otimes d)$ と $\tau\partial(c\otimes d)$ を展開する。 $\partial d\otimes c$ の符号は双方で $(-1)^{ij}$ 、 $d\otimes\partial c$ の符号は双方で $(-1)^{ij+j}$ となるので一致する。▨

頂点の順序を反転するアフィン写像を $r_n:\Delta^n\to\Delta^n$ とし、 $r_n(v_i)=v_{n-i}$ と定める。特異 $n$ 単体上の作用素を

\rho_n(\sigma):= (-1)^{n(n+1)/2}\sigma\circ r_n

と定める。

補題 5.2. $\rho:C_*(X;R)\to C_*(X;R)$ は自然な鎖写像であり、自然な次数 $1$ の作用素 $D$ で

\partial D+D\partial=\rho-1

を満たすものが存在する。

証明. $\varepsilon_n=(-1)^{n(n+1)/2}$ と置く。 $r_n$ は第 $j$ 面を順序反転後の第 $n-j$ 面へ送る。 $\varepsilon_n(-1)^n=\varepsilon_{n-1}$ であるから、境界の交代和を取ると $\partial\rho_n=\rho_{n-1}\partial$ となる。

鎖ホモトピーを標準単体上で帰納的に構成する。恒等特異単体を $\iota_n:\Delta^n\to\Delta^n$ と書く。 $D_0(\iota_0)=0$ とする。 $D$ が $n-1$ 次まで構成されたとし、

z_n:=\rho_n(\iota_n)-\iota_n-D_{n-1}(\partial\iota_n)

と置く。帰納法の関係と $\partial^2=0$ から $\partial z_n=0$ である。標準単体は可縮なので、頂点 $v_0$ への特異錐作用素 $c$ が存在し、増大鎖複体上で

\partial c+c\partial=1

を満たす。そこで $D_n(\iota_n):=c(z_n)$ と置けば

\partial D_n(\iota_n)+D_{n-1}(\partial\iota_n) =\rho_n(\iota_n)-\iota_n

となる。任意の特異単体 $\sigma:\Delta^n\to X$ に対して

D_n(\sigma):=\sigma_\#D_n(\iota_n)

と定める。これにより関係式はすべての鎖上で成り立ち、定義から $D$ は連続写像について自然である。▨

定理 5.3 (カップ積の次数付き交換律). $u\in H^p(X;R)$ と $v\in H^q(X;R)$ に対して

u\smile v=(-1)^{pq}v\smile u

が成り立つ。

証明. $\rho^*$ を余鎖への引き戻しとする。補題 5.2を双対化すると $\rho^*$ は恒等写像と余鎖ホモトピーであり、コホモロジー上では恒等写像を誘導する。

$\varepsilon_n=(-1)^{n(n+1)/2}$ とすると

\frac{\varepsilon_{p+q}}{\varepsilon_p\varepsilon_q}=(-1)^{pq}

である。Alexander–Whitney 公式の前 $p$ 面と後 $q$ 面の順序を $r_{p+q}$ で反転すると、後面が反転した前面へ、前面が反転した後面へ移る。したがって余鎖上で

\rho^*(\psi\smile\varphi) =(-1)^{pq}(\rho^*\varphi\smile\rho^*\psi)

となる。 $R$ が可換であることをここで用いた。コホモロジー上で $\rho^*=1$ とすれば

[\psi]\smile[\varphi]=(-1)^{pq}[\varphi]\smile[\psi]

を得る。 $(-1)^{pq}$ は自身の逆なので、定理の表示と同値である。▨

系 5.4. $u\in H^{2k+1}(X;R)$ なら

2(u\smile u)=0

である。特に $2$ が $R$ で可逆なら $u\smile u=0$ である。

証明.定理 5.3に $p=q=2k+1$ を代入すると $u\smile u=-u\smile u$ となる。▨

6 最初の例

例 6.1 (円環面のコホモロジー環). 円環面 $T^2$ の向きを固定する。二つの一次生成元を $a,b$ 、向きに対応する二次生成元を $\omega$ とすると、順序付き三角形上の Alexander–Whitney 公式を直接評価して

a\smile b=\omega, \qquad b\smile a=-\omega, \qquad a^2=b^2=0

を得る。したがって

H^*(T^2;\mathbb Z) \cong\Lambda_{\mathbb Z}(a,b), \qquad |a|=|b|=1

である。各三角形上の評価と他の閉曲面との比較は、単体的カップ積の記事で行う。

7 演習

問題 7.1.

Alexander–Whitney 写像の二通りの反復が、同じ三重和になることを示せ。
$\varphi\in C^p(X,A;R)$ と $\psi\in C^q(X,B;R)$ の積が $C_*(A)+C_*(B)$ 上で零になる理由を説明せよ。
順序反転の係数 $(-1)^{n(n+1)/2}$ が鎖写像性に必要であることを、 $n=2$ の境界で確かめよ。

解答.

$(\operatorname{AW}\otimes1)\operatorname{AW}(\sigma)$ では、まず $j$ で前面と後面へ分け、前面を $i$ で再び分ける。 $(1\otimes\operatorname{AW})\operatorname{AW}(\sigma)$ では、まず $i$ で分け、後面を $j$ で分ける。どちらも $0\le i\le j\le n$ にわたる $\sigma[0,\ldots,i]\otimes\sigma[i,\ldots,j]\otimes\sigma[j,\ldots,n]$ の和になる。
単体が $A$ に入れば前面も $A$ に入り、第一因子の評価が零になる。単体が $B$ に入れば後面も $B$ に入り、第二因子の評価が零になる。線形性により和 $C_*(A)+C_*(B)$ 上でも零になる。
$r_2$ は三頂点の順序を反転し、向きを一回反転するので係数は $(-1)^3=-1$ である。三本の辺では $\rho_1=-r_1$ となる。 $\partial(-\sigma r_2)$ と $\rho_1(\partial\sigma)$ を展開すると、反転による面の順序変更とこの符号が補い合って一致する。

▨

§E18.28カップ積の構成と性質