Δ複体と単体的ホモロジー | 位相幾何入門

1 Δ複体と境界作用素

定義 1.1. 位相空間 $X$ の Δ 複体構造 (Delta complex structure) とは、各 $n\geq 0$ に対する標準単体からの写像

\sigma_\alpha:\Delta^n\longrightarrow X

の族で、次の条件を満たすものをいう。

各 $\sigma_\alpha$ は $\mathring\Delta^n$ 上で単射であり、開単体 $\sigma_\alpha(\mathring\Delta^n)$ は互いに交わらず、その和集合が $X$ である。
$\sigma_\alpha$ を任意の面へ制限すると、頂点順序を保つ標準的な同一視を通じて、族に属する一つの写像 $\sigma_\beta$ になる。
部分集合 $U\subset X$ が開であることと、すべての $\alpha$ について $\sigma_\alpha^{-1}(U)$ が $\Delta^n$ で開であることが同値である。

$C_n^\Delta(X)$ を $X$ の $n$ 次元開単体を基底とする自由アーベル群とする。頂点順序を $[v_0,\ldots,v_n]$ で表し、面の向きを誘導された順序で定めるとき、境界作用素を

\partial_n[v_0,\ldots,v_n] =\sum_{i=0}^n(-1)^i[v_0,\ldots,\widehat v_i,\ldots,v_n]

で定める。貼り合わせによって同じ面になる項は、同じ基底元として符号を付けてまとめる。

注意 1.2 (Δ複体と CW 分解の違い). Δ 複体の一つの二単体には三つの一次元面しかない。したがって、境界語が $aba^{-1}b^{-1}$ である一つの二胞体を、そのまま一つの二単体とみなすことはできない。正方形へ対角線を一本加え、二つの三角形に分けてから辺を貼り合わせる必要がある。

定理 1.3. 任意の Δ 複体 $X$ と任意の $n\geq2$ について

\partial_{n-1}\partial_n=0

が成り立つ。

証明では、二つの頂点を除く順序だけが異なる二項を対応させる。

証明. $[v_0,\ldots,v_n]$ を一つの向きづけられた $n$ 単体とする。 $i<j$ を満たす二頂点 $v_i,v_j$ を除いた面は、先に $v_i$ を除いてから、添字が一つ下がった $v_j$ を除く項と、先に $v_j$ を除いてから $v_i$ を除く項の二回現れる。前者の符号は

(-1)^i(-1)^{j-1}=(-1)^{i+j-1}

であり、後者の符号は

(-1)^j(-1)^i=(-1)^{i+j}

である。二つの係数の和は零である。すべての二頂点の組について同じ相殺が起こるため、 $\partial_{n-1}\partial_n[v_0,\ldots,v_n]=0$ である。線形性により鎖群全体でも結論が成り立つ。▨

定義 1.4.定理 1.3により $\operatorname{im}\partial_{n+1}\subset\ker\partial_n$ である。商群

H_n^\Delta(X):=\ker\partial_n/\operatorname{im}\partial_{n+1}

を $X$ の第 $n$ 単体的ホモロジー群 (simplicial homology group) という。

2 円環面

正方形の向かい合う辺を同じ向きに貼り、対角線を一本加える。商では頂点は一つになり、二つの辺 $a,b$ と対角線 $c$ 、二つの二単体 $U,L$ が残る。向きを選ぶと

\partial_2U=c-a-b,\qquad \partial_2L=a+b-c, \qquad \partial_1a=\partial_1b=\partial_1c=0

となる。

命題 2.1. 円環面 $T^2$ について

H_0^\Delta(T^2)\cong\mathbb Z,\qquad H_1^\Delta(T^2)\cong\mathbb Z^2,\qquad H_2^\Delta(T^2)\cong\mathbb Z

であり、それ以外の次数では零である。

証明. 基底を $(a,b,c)$ と $(U,L)$ の順に取ると、 $\partial_2$ の行列は

\begin{pmatrix} -1&1\\ -1&1\\ 1&-1 \end{pmatrix}

であり、階数は一である。核は $U+L$ が生成するため $H_2^\Delta(T^2)\cong\mathbb Z$ である。 $\partial_1=0$ なので

H_1^\Delta(T^2) =\mathbb Z\langle a,b,c\rangle/\langle c-a-b\rangle \cong\mathbb Z\langle a,b\rangle

となる。頂点が一つなので $H_0^\Delta(T^2)\cong\mathbb Z$ である。▨

3 Klein の壺

Klein の壺では、正方形の一組の向かい合う辺を同じ向きに、もう一組を反対向きに貼る。対角線を加えた Δ 複体は一頂点、三辺 $a,b,c$ 、二つの二単体 $U,L$ をもち、向きを

\partial_2U=c-a-b,\qquad \partial_2L=c-a+b

となるように選ぶことができる。すべての辺は同じ頂点を始点と終点にもつので $\partial_1=0$ である。

命題 3.1. Klein の壺 $K$ について

H_0^\Delta(K)\cong\mathbb Z,\qquad H_1^\Delta(K)\cong\mathbb Z\oplus\mathbb Z/2\mathbb Z,\qquad H_2^\Delta(K)=0

である。

証明. $\partial_2U=0$ と $\partial_2L=0$ を同時に満たす二鎖 $xU+yL$ を考える。 $b$ の係数から $-x+y=0$ 、 $c$ の係数から $x+y=0$ を得るので $x=y=0$ である。したがって $H_2^\Delta(K)=0$ である。一次ホモロジーでは二つの関係

c=a+b,\qquad c=a-b

が課される。第一の関係で $c$ を消去すると第二の関係は $2b=0$ となるため

H_1^\Delta(K)\cong \mathbb Z\langle a\rangle\oplus(\mathbb Z/2\mathbb Z)\langle b\rangle

である。 $H_0^\Delta(K)$ は一頂点から $\mathbb Z$ になる。▨

4 実射影平面

円板の境界上の対蹠点を同一視する表示を、二つの三角形へ分ける。得られる Δ 複体には二頂点 $v_0,v_1$ 、三辺 $a,b,c$ 、二つの二単体 $U,L$ がある。 $a,b$ を $v_0$ から $v_1$ へ向け、 $c$ をループとして向きづけると

\partial_1a=\partial_1b=v_1-v_0,\qquad \partial_1c=0,

\partial_2U=a-b+c,\qquad \partial_2L=a-b-c

となる。二つの境界が $\ker\partial_1$ に属することは直接確かめることができる。

命題 4.1. 実射影平面について

H_0^\Delta(\mathbb{RP}^2)\cong\mathbb Z,\qquad H_1^\Delta(\mathbb{RP}^2)\cong\mathbb Z/2\mathbb Z,\qquad H_2^\Delta(\mathbb{RP}^2)=0

である。

証明. $\operatorname{im}\partial_1$ は $v_1-v_0$ が生成するので $H_0^\Delta\cong\mathbb Z$ である。 $\ker\partial_1$ は

p:=a-b,\qquad q:=c

を基底とする自由アーベル群である。この基底で

\partial_2U=p+q,\qquad \partial_2L=p-q

となる。二つの列は一次独立なので $H_2^\Delta=0$ である。また、商では $p=-q$ と $p=q$ が同時に成り立つため $2q=0$ であり、

H_1^\Delta(\mathbb{RP}^2) =\mathbb Z\langle p,q\rangle/\langle p+q,p-q\rangle \cong\mathbb Z/2\mathbb Z

を得る。▨

三例の計算は、貼り合わせの向きを境界行列の符号へ変換する手順を示している。単体的集合では退化単体も構造に含めるが、本記事の Δ 複体には退化作用素を導入していない。

5 演習

問題 5.1.

円環面の二単体の向きを一方だけ反転した場合に、境界行列とホモロジー群がどのように変わるかを求めよ。
実射影平面の計算で、 $\partial_2$ の像が $\ker\partial_1$ の指数二の部分群であることを、行列式によって確認せよ。

解答。 第一問では、対応する列全体の符号が反転する。核と像は変わらないため、ホモロジー群は変わらない。第二問では、 $\ker\partial_1$ の基底 $(p,q)$ に関する $\partial_2$ の行列は

\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}

である。その行列式の絶対値は二なので、像の指数は二である。

§E18.10Δ複体と単体的ホモロジー

1 Δ複体と境界作用素

2 円環面

3 Klein の壺

4 実射影平面

5 演習

参考文献

前提記事