§E19.4第一基本形式と面積要素

証明.$\mathbb{R}^3$の標準内積は対称双線形形式であり、線形部分空間への制限は対称双線形性を保つ。$X\in T_pM$に対して$\mathrm{I}_p(X,X)=\lVert X\rVert^2$であり、$X\ne0$ならば$\lVert X\rVert^2>0$である。

最後の主張を確かめる。$K=\mathbb{R}$の場合の§E3.32 定義 1.1が要求するのは、第一変数についての線形性、共役対称性、および正定値性である。実数体の上では共役は恒等写像であるから、共役対称性は対称性と同じである。三つの条件はいずれも上で確かめた。$T_pM$の次元は$2$である（§E19.3 定義 3.1）。▨

証明. 双線形性から

であり、これは主張の式である。$(a,b)\ne(0,0)$ならば$X=a\boldsymbol{x}_u+b\boldsymbol{x}_v\ne0$であるから、命題 1.2により

である。したがって$\mathrm{I}$は正定値対称行列である。$2$次の正定値対称行列については$E>0$であり、

であるから$EG-F^2>0$である。▨

証明.$\boldsymbol{a}=(a_1,a_2,a_3)$、$\boldsymbol{b}=(b_1,b_2,b_3)$と書く。左辺は

である。右辺は

であり、最後の和の各項は$(a_ib_j-a_jb_i)^2$に等しい。よって両辺は一致する。$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{x}_u$、$\boldsymbol{b}=\boldsymbol{x}_v$と置くと、右辺は$EG-F^2$であり、命題 1.4によりこれは正であるから、平方根を取って第二の等式を得る。▨

証明.$q\in U$を取り$p=\boldsymbol{x}(q)$と置く。$M$は$\mathbb{R}^3$の二次元埋め込み部分多様体（§E19.3 定義 1.1）であるから、§E17.5 定義 4.1により、$\mathbb{R}^3$の開集合$O\ni p$と$C^\infty$微分同相$\chi\colon O\to\chi(O)\subseteq\mathbb{R}^3$であって

を満たすものが存在する。$\boldsymbol{x}$は連続であるから、$q$の開近傍$U_1\subseteq U$で$\boldsymbol{x}(U_1)\subseteq O$を満たすものが存在する。$U_1$の上で$\chi\circ\boldsymbol{x}$の値は$\mathbb{R}^2\times\{0\}$に属するので、$C^\infty$写像$\alpha\colon U_1\to\mathbb{R}^2$によって$\chi\circ\boldsymbol{x}|_{U_1}=(\alpha,0)$と書くことができる。連鎖律（§E4.3 定理 1.1）により$D(\chi\circ\boldsymbol{x})(q)=D\chi(p)\,D\boldsymbol{x}(q)$であり、$D\chi(p)$は可逆、$D\boldsymbol{x}(q)$の階数は$2$であるから、この$3\times2$行列の階数は$2$である。第三行は$0$であるから$D\alpha(q)$は可逆である。§E4.7 定理 2.1と§E17.5 補題 1.1により、$q$の開近傍$U_0\subseteq U_1$が存在して$\alpha(U_0)$は$\mathbb{R}^2$の開集合であり、$\alpha\colon U_0\to\alpha(U_0)$は$C^\infty$微分同相である。

(1)は「正則曲面・接平面・向き」の§E19.3 命題 1.7 (1)で証明したので、ここでは繰り返さない。以下では、(2)の証明が必要とする局所的な形、すなわち上で取った$U_0$について$\boldsymbol{x}(U_0)$が$\mathbb{R}^3$の開集合と$M$との共通部分として書かれることを確かめる。$O_0=O\cap\chi^{-1}\bigl(\alpha(U_0)\times\mathbb{R}\bigr)$と置くと、$O_0$は$\mathbb{R}^3$の開集合である。$y\in M\cap O$について$\chi(y)\in\mathbb{R}^2\times\{0\}$であるから、$y\in O_0$であることと$\chi(y)\in\alpha(U_0)\times\{0\}$であることは同値であり、後者は$\chi(y)=\chi(\boldsymbol{x}(y'))$を満たす$y'\in U_0$が存在することと同値である。$\chi$は単射であるから、これは$y\in\boldsymbol{x}(U_0)$と同値である。したがって$M\cap O_0=\boldsymbol{x}(U_0)$であり、$\boldsymbol{x}(U_0)$は$M$の開集合である。

(2)を示す。$g$は連続であり$g(A)\subseteq M$であるから、(1)により$A'=g^{-1}(\boldsymbol{x}(U))$は$A$の開集合である。$C^\infty$性は局所的な性質であるから、$a\in A'$を取り、$q=\boldsymbol{x}^{-1}(g(a))$に対して上の$U_0$、$\alpha$、$O_0$を取る。$A_0=g^{-1}(\boldsymbol{x}(U_0))=g^{-1}(O_0)$は$a$を含む$A$の開集合である。$\mathrm{pr}\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$を最初の二成分への射影とすると、$a'\in A_0$に対して$g(a')=\boldsymbol{x}(y)$を満たす$y\in U_0$が存在し

であるから$\boldsymbol{x}^{-1}(g(a'))=y=\alpha^{-1}\bigl(\mathrm{pr}(\chi(g(a')))\bigr)$である。右辺は$C^\infty$写像の合成であるから、$\boldsymbol{x}^{-1}\circ g$は$A_0$の上で$C^\infty$である。▨

証明.(1)を示す。補題 2.1を$g=\gamma$に適用すると、$\gamma^{-1}(\boldsymbol{x}(U))$は$0$を含む開集合であり、その上で$c=\boldsymbol{x}^{-1}\circ\gamma$は$C^\infty$であって$\gamma=\boldsymbol{x}\circ c$が成り立つ。連鎖律（§E4.3 定理 1.1）により

である。ここで最後の等式は§E19.3 定義 3.1による。

(2)を示す。$X\in T_pM$に対して$X=D\boldsymbol{x}(q)\xi$を満たす$\xi\in\mathbb{R}^2$を取る。$U$は開集合であるから、$\varepsilon>0$を十分小さく取れば$|t|<\varepsilon$のとき$q+t\xi\in U$である。$\gamma(t)=\boldsymbol{x}(q+t\xi)$と定めると$\gamma$は$M$の中の$C^\infty$曲線であり、$\gamma(0)=p$、$\gamma'(0)=D\boldsymbol{x}(q)\xi=X$である。

命題 7.2 (3)を示す。$\gamma$を$\gamma(0)=p$、$\gamma'(0)=X$を満たす$C^\infty$曲線とし、$c=\boldsymbol{x}^{-1}\circ\gamma$と置く。1 の議論により$X=D\boldsymbol{x}(q)c'(0)$である。$D\boldsymbol{x}(q)\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$は単射（§E19.3 定義 3.1により像は二次元）であるから、$c'(0)$は$X$によって一意に定まる。一方、$\boldsymbol{w}\circ\gamma=(\boldsymbol{w}\circ\boldsymbol{x})\circ c$であるから、ふたたび連鎖律により

である。右辺は$X$だけで定まるので、$\gamma_1$と$\gamma_2$に対する値は一致する。さらに、$X\mapsto c'(0)$は線形写像$D\boldsymbol{x}(q)$の像への逆写像であるから線形であり、$d\boldsymbol{w}_p$は線形写像の合成として線形である。最後の等式は、上の等式で$c'(0)=\xi$と取ったものである。

命題 7.2 (4)を示す。$\gamma$を 2 で構成した曲線とすると$\phi\circ\gamma$は$\bar M$の中の$C^\infty$曲線であり、$(\phi\circ\gamma)(0)=\phi(p)$である。1 を$\bar M$と$\phi\circ\gamma$へ適用すると$(\phi\circ\gamma)'(0)\in T_{\phi(p)}\bar M$を得る。▨

証明.補題 2.1により$c$は$C^\infty$である。連鎖律（§E4.3 定理 1.1）により

である。命題 1.4を$X=Y=\gamma'(t)$に適用すると

を得る。長さの定義（§E19.1 定義 1.4）はこの平方根の積分である。▨

証明.$\tilde{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{x}\circ\Phi$であるから、連鎖律（§E4.3 定理 1.1）により

である。ここで$\boldsymbol{x}_u$、$\boldsymbol{x}_v$の引数は$\Phi(\tilde u,\tilde v)$である。命題 1.4を$(a,b)=(u_{\tilde u},v_{\tilde u})$と$(c,d)=(u_{\tilde v},v_{\tilde v})$の組合せへ適用すると、$\tilde E$、$\tilde F$、$\tilde G$の三つの式が得られる。これらは行列の等式

をまとめて書いたものである。両辺の行列式を取ると、行列式の乗法性と$\det(D\Phi)^{\mathsf T}=\det D\Phi$により最後の等式を得る。▨

証明.$W=\boldsymbol{x}(U)\cap\tilde{\boldsymbol{x}}(\tilde U)$と置くと$R\subseteq W$である。$\Phi=\boldsymbol{x}^{-1}\circ\tilde{\boldsymbol{x}}$は開集合$\tilde{\boldsymbol{x}}^{-1}(W)$から開集合$\boldsymbol{x}^{-1}(W)$への$C^\infty$微分同相である（§E19.3 定理 1.8）。とくに$\Phi$は$C^1$級微分同相である。

$\boldsymbol{x}$と$\tilde{\boldsymbol{x}}$は像への同相写像であり$R$はコンパクトであるから、$Q$と$\tilde Q$はいずれもコンパクトであり、$\tilde Q\subseteq\tilde{\boldsymbol{x}}^{-1}(W)$、$\Phi(\tilde Q)=Q$が成り立つ。したがって$\tilde Q$は有界 Jordan 可測であり、$\overline{\tilde Q}=\tilde Q\subseteq\tilde{\boldsymbol{x}}^{-1}(W)$である。被積分関数$\sqrt{EG-F^2}$は$\Phi(\tilde Q)=Q$を含む開集合$\boldsymbol{x}^{-1}(W)$の上で連続である。よって§E4.14 定理 2.1の仮定がすべて満たされ

が成り立つ。命題 4.1により、右辺の被積分関数は

に等しい。以上を合わせて主張を得る。▨

証明. 偏導関数は

である。内積を取ると$E=\varphi'^2+\psi'^2$、$G=\varphi^2$であり

である。よって$EG-F^2=\varphi^2(\varphi'^2+\psi'^2)>0$であり、補題 1.5により$\boldsymbol{x}_u\times\boldsymbol{x}_v\ne0$であるから$\boldsymbol{x}$ははめ込みである。面積要素は$\sqrt{EG-F^2}=\varphi\sqrt{\varphi'^2+\psi'^2}$である。

最後の主張を示す。$\boldsymbol{x}(u,v)=(X,Y,Z)$とすると$\sqrt{X^2+Y^2}=\varphi(u)$かつ$Z=\psi(u)$であるから、$\sigma(u)$は$(X,Y,Z)$から定まる。仮定により$\sigma$は像への同相写像であるから$u$が定まり、その対応は連続である。次に$\varphi(u)>0$であるから$(\cos v,\sin v)=(X,Y)/\sqrt{X^2+Y^2}$が定まる。$J$は長さ$2\pi$の開区間であるから、写像$v\mapsto(\cos v,\sin v)$は$J$から単位円周のある開部分集合への全単射であり、その逆写像は偏角の連続な分枝として連続である。したがって$v$も定まり、その対応は連続である。ゆえに$\boldsymbol{x}$は単射であり、逆写像$(X,Y,Z)\mapsto(u,v)$は$\boldsymbol{x}(I\times J)$の上で連続である。はめ込みであることと合わせて、$\boldsymbol{x}$は像への同相となる単射なはめ込み、すなわち正則パラメータ表示である。▨