§E19.10直交標構と Cartan の構造方程式

最終更新

曲面の上の計算を座標基底xu,xv\boldsymbol{x}_u,\boldsymbol{x}_vで行うと、長さも直交性も第一基本形式の成分に依存し、式が煩雑になる。本記事は、座標基底の代わりに各点で正規直交する接ベクトル場の組を用い、その双対となる一次微分形式によって曲面の幾何を書き直す。

この書き換えによって得られるものは二つある。第一に、標構の微分を表す接続形式が、余標構の外微分だけで一意に決まるという事実である。接続形式の定義には周囲の空間における微分が現れるが、一意性が成り立つ以上、接続形式は第一基本形式だけで決まっている。第二に、単位法線を含めた三本の標構の微分から、接続形式の外微分と第二基本形式を結ぶ関係式が得られることである。

本記事が実際に示すのは次の五つである。第一に、正規直交接標構と余標構の構成と、接続形式が滑らかな一次微分形式であることである。第二に、第一構造方程式である。第三に、第一構造方程式を満たす一次微分形式が一意であり、したがって接続形式が第一基本形式だけで決まることである。第四に、接標構を回転させると接続形式が回転角の微分だけずれることである。第五に、第二構造方程式と、法線方向の接続形式が第二基本形式を表すことである。

接続形式の外微分と Gauss 曲率を結ぶ Gauss 方程式は本記事では扱わない。それは「Gauss 方程式と Gauss の驚異の定理」が証明する。

1 標構と余標構

以下、断りのないかぎりM⊆R3M\subseteq\mathbb{R}^3を正則曲面（§E19.3 定義 1.1）とし、U⊆MU\subseteq Mを開集合とする。R3\mathbb{R}^3の標準内積を⟨ , ⟩\langle\ ,\ \rangle、ベクトル積を×\times（§E19.2 定義 1.1）、ノルムを∥ ∥\lVert\ \rVertと書く。第一基本形式をI\mathrm{I}（§E19.4 定義 1.1）、共変微分を∇\nabla（§E19.7 定義 2.1）、周囲の空間における方向微分をDD（§E19.7 定義 1.3）と書く。

注意 1.1 (曲面の上の微分形式をどう読むか).MMは二次元のC∞C^\infty多様体であり（§E19.3 定義 1.1）、正則パラメータ表示の逆写像がチャートを与える（§E19.3 命題 1.7）。開集合U⊆MU\subseteq MはMMの開部分多様体であるから、それ自身が二次元のC∞C^\infty多様体である。本記事の一次微分形式と二次微分形式は、この多様体構造に関するもの（「多様体入門」の§E17.10 定義 2.1）であり、外微分は同単元の§E17.11 定義 2.1による。UU上のkk次微分形式の全体をΩk(U)\Omega^k(U)と書く。

接空間については§E19.7 注意 1.1の同一視を用いる。すなわち、多様体としての接空間とR3\mathbb{R}^3の部分空間としての接平面TpMT_pMを同じ記号で書き、正則パラメータ表示x\boldsymbol{x}の座標基底を∂1=xu\partial_1=\boldsymbol{x}_u、∂2=xv\partial_2=\boldsymbol{x}_vと書く。

外積の規約は「多様体入門」のもの（§E17.10 系 3.6）を用いる。とくに一次微分形式α,β\alpha,\betaと接ベクトルX,YX,Yについて

(α∧β)(X,Y)=α(X)β(Y)−α(Y)β(X)(\alpha\wedge\beta)(X,Y)=\alpha(X)\beta(Y)-\alpha(Y)\beta(X)

である。一次微分形式の外微分については、同単元の§E17.11 定理 4.2が与える不変表示

dα(X,Y)=X(α(Y))−Y(α(X))−α([X,Y])d\alpha(X,Y)=X\bigl(\alpha(Y)\bigr)-Y\bigl(\alpha(X)\bigr)-\alpha\bigl([X,Y]\bigr)

を繰り返し用いる。

定義 1.2.U⊆MU\subseteq Mを開集合とする。

  1. UU上の接ベクトル場の組(e1,e2)(e_1,e_2)（§E19.7 定義 1.2）がUU上の正規直交接標構 (orthonormal tangent frame) であるとは、各点p∈Up\in UでIp(ei,ej)=δij\mathrm{I}_p(e_i,e_j)=\delta_{ij}（i,j∈{1,2}i,j\in\{1,2\}）が成り立つことをいう。
  2. 正規直交接標構(e1,e2)(e_1,e_2)に対し、UU上の一次微分形式ω1,ω2\omega_1,\omega_2を ωi(X)=I(X,ei)(X∈TpM, p∈U)\omega_i(X)=\mathrm{I}(X,e_i)\qquad(X\in T_pM,\ p\in U) で定め、(ω1,ω2)(\omega_1,\omega_2)を(e1,e2)(e_1,e_2)の余標構 (coframe) という。各点でωi(ej)=δij\omega_i(e_j)=\delta_{ij}が成り立つので、(ω1,ω2)(\omega_1,\omega_2)は(e1,e2)(e_1,e_2)の双対基底である。すなわちX=ω1(X)e1+ω2(X)e2X=\omega_1(X)e_1+\omega_2(X)e_2である。
  3. MMが向きづけられ（§E19.3 定義 4.2）、NNをその単位法線ベクトル場とする。UU上の正規直交接標構(e1,e2)(e_1,e_2)がe1×e2=Ne_1\times e_2=Nを満たすとき、e3=Ne_3=Nと置いて組(e1,e2,e3)(e_1,e_2,e_3)をUU上の適合標構 (adapted frame) という。各点で(e1,e2,e3)(e_1,e_2,e_3)はR3\mathbb{R}^3の正の向きの正規直交基底である。

命題 1.3.x ⁣:W→M\boldsymbol{x}\colon W\to Mを正則パラメータ表示とし、U=x(W)U=\boldsymbol{x}(W)と置く。第一基本形式の成分をE,F,GE,F,G（§E19.4 定義 1.3）とする。

e1=xuE,e2=E xv−F xuEEG−F2e_1=\frac{\boldsymbol{x}_u}{\sqrt{E}},\qquad e_2=\frac{E\,\boldsymbol{x}_v-F\,\boldsymbol{x}_u}{\sqrt{E}\sqrt{EG-F^2}}

と定めると、(e1,e2)(e_1,e_2)はUU上の正規直交接標構であり、

e1×e2=xu×xvEG−F2e_1\times e_2=\frac{\boldsymbol{x}_u\times\boldsymbol{x}_v}{\sqrt{EG-F^2}}

が成り立つ。すなわち(e1,e2)(e_1,e_2)は、x\boldsymbol{x}が定める単位法線(xu×xv)/∥xu×xv∥(\boldsymbol{x}_u\times\boldsymbol{x}_v)/\lVert\boldsymbol{x}_u\times\boldsymbol{x}_v\rVert（§E19.3 定義 4.2）に関する適合標構を与える。さらに、余標構は

ω1=E du+FE dv,ω2=EG−F2E dv\omega_1=\sqrt{E}\,du+\frac{F}{\sqrt{E}}\,dv,\qquad \omega_2=\frac{\sqrt{EG-F^2}}{\sqrt{E}}\,dv

であり、ω1,ω2\omega_1,\omega_2はUU上のC∞C^\infty一次微分形式である。

証明.x\boldsymbol{x}ははめ込みであるからxu≠0\boldsymbol{x}_u\ne0でありE=∥xu∥2>0E=\lVert\boldsymbol{x}_u\rVert^2>0である。また§E19.4 補題 1.5によりEG−F2=∥xu×xv∥2>0EG-F^2=\lVert\boldsymbol{x}_u\times\boldsymbol{x}_v\rVert^2>0である。したがって二つの式の分母はWWの上で消えず、e1,e2e_1,e_2はUU上のC∞C^\infty接ベクトル場である。

正規直交性を示す。⟨e1,e1⟩=E/E=1\langle e_1,e_1\rangle=E/E=1である。⟨Exv−Fxu,xu⟩=EF−FE=0\langle E\boldsymbol{x}_v-F\boldsymbol{x}_u,\boldsymbol{x}_u\rangle=EF-FE=0であるから⟨e1,e2⟩=0\langle e_1,e_2\rangle=0である。また

∥Exv−Fxu∥2=E2G−2EF2+F2E=E(EG−F2)\lVert E\boldsymbol{x}_v-F\boldsymbol{x}_u\rVert^2=E^2G-2EF^2+F^2E=E(EG-F^2)

であるから⟨e2,e2⟩=E(EG−F2)/(E(EG−F2))=1\langle e_2,e_2\rangle=E(EG-F^2)/\bigl(E(EG-F^2)\bigr)=1である。

ベクトル積を計算する。ベクトル積は双線形でありxu×xu=0\boldsymbol{x}_u\times\boldsymbol{x}_u=0である（§E19.2 補題 1.2）から

e1×e2=1E⋅EEEG−F2 xu×xv=xu×xvEG−F2e_1\times e_2=\frac{1}{\sqrt{E}}\cdot\frac{E}{\sqrt{E}\sqrt{EG-F^2}}\,\boldsymbol{x}_u\times\boldsymbol{x}_v =\frac{\boldsymbol{x}_u\times\boldsymbol{x}_v}{\sqrt{EG-F^2}}

である。§E19.4 補題 1.5により∥xu×xv∥=EG−F2\lVert\boldsymbol{x}_u\times\boldsymbol{x}_v\rVert=\sqrt{EG-F^2}であるから、右辺はx\boldsymbol{x}が定める単位法線に等しい。

余標構を計算する。ωi\omega_iは各点で線形形式であり、座標基底に対する値は

ω1(xu)=⟨xu,e1⟩=EE=E,ω1(xv)=⟨xv,e1⟩=FE,\omega_1(\boldsymbol{x}_u)=\langle\boldsymbol{x}_u,e_1\rangle=\frac{E}{\sqrt{E}}=\sqrt{E},\qquad \omega_1(\boldsymbol{x}_v)=\langle\boldsymbol{x}_v,e_1\rangle=\frac{F}{\sqrt{E}},ω2(xu)=⟨xu,Exv−Fxu⟩EEG−F2=EF−FEEEG−F2=0,ω2(xv)=EG−F2EEG−F2=EG−F2E\omega_2(\boldsymbol{x}_u)=\frac{\langle\boldsymbol{x}_u,E\boldsymbol{x}_v-F\boldsymbol{x}_u\rangle}{\sqrt{E}\sqrt{EG-F^2}}=\frac{EF-FE}{\sqrt{E}\sqrt{EG-F^2}}=0,\qquad \omega_2(\boldsymbol{x}_v)=\frac{EG-F^2}{\sqrt{E}\sqrt{EG-F^2}}=\frac{\sqrt{EG-F^2}}{\sqrt{E}}

である。したがってωi\omega_iは主張の式で与えられる。係数はWW上のC∞C^\infty関数であるから、ω1,ω2\omega_1,\omega_2はC∞C^\infty一次微分形式である（「多様体入門」の§E17.10 命題 2.2）。▨

命題 1.4.命題 1.3の記号のもとで

ω1∧ω2=EG−F2 du∧dv\omega_1\wedge\omega_2=\sqrt{EG-F^2}\ du\wedge dv

が成り立つ。すなわちω1∧ω2\omega_1\wedge\omega_2は、§E19.4 定義 5.1の面積要素dA=EG−F2 du dvdA=\sqrt{EG-F^2}\,du\,dvを、x\boldsymbol{x}が定める向きに関する二次微分形式として表したものである。以後、適合標構に対してdA=ω1∧ω2dA=\omega_1\wedge\omega_2と書く。

証明.du∧du=0du\wedge du=0でありdv∧dv=0dv\wedge dv=0である（§E17.10 系 3.6）から

ω1∧ω2=(E du+FE dv)∧EG−F2E dv=E⋅EG−F2E du∧dv\omega_1\wedge\omega_2 =\Bigl(\sqrt{E}\,du+\frac{F}{\sqrt{E}}\,dv\Bigr)\wedge\frac{\sqrt{EG-F^2}}{\sqrt{E}}\,dv =\sqrt{E}\cdot\frac{\sqrt{EG-F^2}}{\sqrt{E}}\ du\wedge dv

である。▨

2 接続形式

定義 2.1.MMを向きづけられた正則曲面、(e1,e2,e3)(e_1,e_2,e_3)をUU上の適合標構（定義 1.2）とする。p∈Up\in UとX∈TpMX\in T_pMに対して

ωij(X)=⟨DXei, ej⟩(i,j∈{1,2,3})\omega_{ij}(X)=\langle D_Xe_i,\ e_j\rangle\qquad(i,j\in\{1,2,3\})

と定める。ω12\omega_{12}を(e1,e2)(e_1,e_2)の接続形式 (connection form)、ω13\omega_{13}とω23\omega_{23}を法線方向の接続形式 (normal connection forms) という。

MMの向きを仮定せず、(e1,e2)(e_1,e_2)をUU上の正規直交接標構とするだけの場合には

ω12(X)=I(∇Xe1, e2)\omega_{12}(X)=\mathrm{I}(\nabla_Xe_1,\ e_2)

によって接続形式を定める。二つの定義は、適合標構に対して一致する。実際、e2e_2は接平面に属し∇\nablaは接平面への正射影であるから⟨DXe1,e2⟩=⟨∇Xe1,e2⟩\langle D_Xe_1,e_2\rangle=\langle\nabla_Xe_1,e_2\rangleである。

命題 2.2.MMを正則曲面、U⊆MU\subseteq Mを開集合とする。

  1. (e1,e2)(e_1,e_2)をUU上の正規直交接標構とすると、ω12\omega_{12}はUU上のC∞C^\infty一次微分形式であり、すべてのp∈Up\in UとX∈TpMX\in T_pMについて

    ∇Xe1=ω12(X) e2,∇Xe2=−ω12(X) e1\nabla_Xe_1=\omega_{12}(X)\,e_2,\qquad \nabla_Xe_2=-\omega_{12}(X)\,e_1

    が成り立つ。

    さらにMMが向きづけられ、(e1,e2,e3)(e_1,e_2,e_3)がUU上の適合標構であるとすると、次が成り立つ。

  2. 各ωij\omega_{ij}（i,j∈{1,2,3}i,j\in\{1,2,3\}）はUU上のC∞C^\infty一次微分形式である。

  3. すべてのi,ji,jについてωij=−ωji\omega_{ij}=-\omega_{ji}である。とくにω11=ω22=ω33=0\omega_{11}=\omega_{22}=\omega_{33}=0であり、独立な形式はω12,ω13,ω23\omega_{12},\omega_{13},\omega_{23}の三つである。

  4. すべてのp∈Up\in U、X∈TpMX\in T_pMについて

    DXei=∑j=13ωij(X) ej(i∈{1,2,3})D_Xe_i=\sum_{j=1}^{3}\omega_{ij}(X)\,e_j\qquad(i\in\{1,2,3\})

    が成り立つ。

証明.(1)を示す。X↦∇Xe1X\mapsto\nabla_Xe_1は各点で線形である（§E19.7 命題 2.2 (2)）から、ω12\omega_{12}は各点でTpMT_pM上の線形形式である。正則パラメータ表示x ⁣:W→U\boldsymbol{x}\colon W\to Uを取ると、e2e_2は接平面に属し∇\nablaは接平面への正射影であるから

ω12(xu)=⟨∂(e1∘x)∂u, e2⟩,ω12(xv)=⟨∂(e1∘x)∂v, e2⟩\omega_{12}(\boldsymbol{x}_u)=\Bigl\langle\frac{\partial(e_1\circ\boldsymbol{x})}{\partial u},\ e_2\Bigr\rangle,\qquad \omega_{12}(\boldsymbol{x}_v)=\Bigl\langle\frac{\partial(e_1\circ\boldsymbol{x})}{\partial v},\ e_2\Bigr\rangle

である（§E19.7 命題 1.4 (1)）。e1∘xe_1\circ\boldsymbol{x}とe2∘xe_2\circ\boldsymbol{x}はC∞C^\inftyであるから、これらはWW上のC∞C^\infty関数である。したがってω12=ω12(xu) du+ω12(xv) dv\omega_{12}=\omega_{12}(\boldsymbol{x}_u)\,du+\omega_{12}(\boldsymbol{x}_v)\,dvはC∞C^\infty一次微分形式である（§E17.10 命題 2.2）。

∇Xe1\nabla_Xe_1は接平面に属するから∇Xe1=I(∇Xe1,e1) e1+I(∇Xe1,e2) e2\nabla_Xe_1=\mathrm{I}(\nabla_Xe_1,e_1)\,e_1+\mathrm{I}(\nabla_Xe_1,e_2)\,e_2である。I(e1,e1)=1\mathrm{I}(e_1,e_1)=1は定数関数であるから、§E19.7 命題 2.2 (4)により0=X I(e1,e1)=2 I(∇Xe1,e1)0=X\,\mathrm{I}(e_1,e_1)=2\,\mathrm{I}(\nabla_Xe_1,e_1)であり、第一項は消える。よって∇Xe1=ω12(X)e2\nabla_Xe_1=\omega_{12}(X)e_2である。同様にI(∇Xe2,e2)=0\mathrm{I}(\nabla_Xe_2,e_2)=0であり、I(e1,e2)=0\mathrm{I}(e_1,e_2)=0が定数関数であることから

0=X I(e1,e2)=I(∇Xe1,e2)+I(e1,∇Xe2)=ω12(X)+I(∇Xe2,e1)0=X\,\mathrm{I}(e_1,e_2)=\mathrm{I}(\nabla_Xe_1,e_2)+\mathrm{I}(e_1,\nabla_Xe_2)=\omega_{12}(X)+\mathrm{I}(\nabla_Xe_2,e_1)

であるから∇Xe2=−ω12(X)e1\nabla_Xe_2=-\omega_{12}(X)e_1である。

(2)を示す。ωij\omega_{ij}は各点でTpMT_pM上の線形形式である。実際、X↦DXeiX\mapsto D_Xe_iは線形であり（§E19.7 命題 1.4 (2)）、⟨ ⋅ ,ej(p)⟩\langle\ \cdot\ ,e_j(p)\rangleは線形である。正則パラメータ表示x ⁣:W→U\boldsymbol{x}\colon W\to Uを取ると、§E19.7 命題 1.4 (1)により

ωij(xu)=⟨∂(ei∘x)∂u, ej⟩,ωij(xv)=⟨∂(ei∘x)∂v, ej⟩\omega_{ij}(\boldsymbol{x}_u)=\Bigl\langle\frac{\partial(e_i\circ\boldsymbol{x})}{\partial u},\ e_j\Bigr\rangle,\qquad \omega_{ij}(\boldsymbol{x}_v)=\Bigl\langle\frac{\partial(e_i\circ\boldsymbol{x})}{\partial v},\ e_j\Bigr\rangle

であり、ei∘xe_i\circ\boldsymbol{x}はC∞C^\inftyであるから、これらはWW上のC∞C^\infty関数である。したがってωij\omega_{ij}はC∞C^\infty一次微分形式である（§E17.10 命題 2.2）。

(3)を示す。UUの上で⟨ei,ej⟩=δij\langle e_i,e_j\rangle=\delta_{ij}は定数関数であるから、§E19.7 命題 1.4 (3)により

0=X⟨ei,ej⟩=⟨DXei,ej⟩+⟨ei,DXej⟩=ωij(X)+ωji(X)0=X\langle e_i,e_j\rangle=\langle D_Xe_i,e_j\rangle+\langle e_i,D_Xe_j\rangle=\omega_{ij}(X)+\omega_{ji}(X)

である。i=ji=jと置くと2ωii(X)=02\omega_{ii}(X)=0を得る。

(4)を示す。各点ppで(e1,e2,e3)(e_1,e_2,e_3)はR3\mathbb{R}^3の正規直交基底であるから、w∈R3w\in\mathbb{R}^3はw=∑j⟨w,ej⟩ejw=\sum_j\langle w,e_j\rangle e_jと書かれる。w=DXeiw=D_Xe_iと取れば主張を得る。▨

3 第一構造方程式と接続形式の一意性

第一構造方程式は、余標構の外微分を接続形式によって表す。証明に用いるのは、外微分の不変表示と、共変微分が第一基本形式と両立し捩れを持たないこと（§E19.7 命題 2.2 (4)と§E19.7 命題 2.2 (5)）だけである。周囲の空間R3\mathbb{R}^3は現れない。

定理 3.1 (第一構造方程式).(e1,e2)(e_1,e_2)をUU上の正規直交接標構、(ω1,ω2)(\omega_1,\omega_2)をその余標構、ω12\omega_{12}を接続形式（定義 2.1）とし、ω21=−ω12\omega_{21}=-\omega_{12}と置く。このときUUの上で

dω1=ω12∧ω2,dω2=ω21∧ω1=ω1∧ω12d\omega_1=\omega_{12}\wedge\omega_2,\qquad d\omega_2=\omega_{21}\wedge\omega_1=\omega_1\wedge\omega_{12}

が成り立つ。

証明. 主張の両辺は各点でTpMT_pM上の交代双線形形式である。正則パラメータ表示の像に含まれる開集合の上では、座標基底∂1,∂2\partial_1,\partial_2が接ベクトル場であって各点でTpMT_pMの基底をなすから、UU上の接ベクトル場X,YX,Yに対して等式を示せば、(X,Y)=(∂1,∂2)(X,Y)=(\partial_1,\partial_2)と取ることで各点の等式が従う。以下X,YX,YをUU上の接ベクトル場とする。

第一の式を示す。ω1(Y)=I(Y,e1)\omega_1(Y)=\mathrm{I}(Y,e_1)であるから、§E19.7 命題 2.2 (4)により

X(ω1(Y))=I(∇XY,e1)+I(Y,∇Xe1)X\bigl(\omega_1(Y)\bigr)=\mathrm{I}(\nabla_XY,e_1)+\mathrm{I}(Y,\nabla_Xe_1)

である。命題 2.2 (1)により∇Xe1=ω12(X)e2\nabla_Xe_1=\omega_{12}(X)e_2であり、I(Y,e2)=ω2(Y)\mathrm{I}(Y,e_2)=\omega_2(Y)であるから

X(ω1(Y))=I(∇XY,e1)+ω12(X) ω2(Y)X\bigl(\omega_1(Y)\bigr)=\mathrm{I}(\nabla_XY,e_1)+\omega_{12}(X)\,\omega_2(Y)

となる。XXとYYを入れ替えると

Y(ω1(X))=I(∇YX,e1)+ω12(Y) ω2(X)Y\bigl(\omega_1(X)\bigr)=\mathrm{I}(\nabla_YX,e_1)+\omega_{12}(Y)\,\omega_2(X)

である。また、§E19.7 命題 2.2 (5)により[X,Y]=∇XY−∇YX[X,Y]=\nabla_XY-\nabla_YXであるから

ω1([X,Y])=I(∇XY,e1)−I(∇YX,e1)\omega_1\bigl([X,Y]\bigr)=\mathrm{I}(\nabla_XY,e_1)-\mathrm{I}(\nabla_YX,e_1)

である。§E17.11 定理 4.2の不変表示へ三つを代入すると、∇XY\nabla_XYと∇YX\nabla_YXを含む項が相殺して

dω1(X,Y)=ω12(X)ω2(Y)−ω12(Y)ω2(X)=(ω12∧ω2)(X,Y)d\omega_1(X,Y)=\omega_{12}(X)\omega_2(Y)-\omega_{12}(Y)\omega_2(X)=(\omega_{12}\wedge\omega_2)(X,Y)

を得る。

第二の式を示す。同じ計算をω2(Y)=I(Y,e2)\omega_2(Y)=\mathrm{I}(Y,e_2)について行う。∇Xe2=ω21(X)e1\nabla_Xe_2=\omega_{21}(X)e_1であるから

dω2(X,Y)=ω21(X)ω1(Y)−ω21(Y)ω1(X)=(ω21∧ω1)(X,Y)d\omega_2(X,Y)=\omega_{21}(X)\omega_1(Y)-\omega_{21}(Y)\omega_1(X)=(\omega_{21}\wedge\omega_1)(X,Y)

である。ω21=−ω12\omega_{21}=-\omega_{12}と、一次微分形式どうしの外積が反交換すること（§E17.10 系 3.6）によりω21∧ω1=ω1∧ω12\omega_{21}\wedge\omega_1=\omega_1\wedge\omega_{12}である。▨

次の定理が本記事の要である。接続形式ω12\omega_{12}の定義には、周囲の空間における微分DD、または接平面への正射影∇\nablaが現れている。次の定理は、そのω12\omega_{12}が第一構造方程式によって余標構だけから決定されることを述べる。したがってω12\omega_{12}は、曲面がR3\mathbb{R}^3へどのように入っているかに依存しない。

証明の方針を述べる。存在はすでに得られているので、示すべきは一意性だけである。出発点は、二つの解の差β=η−η′\beta=\eta-\eta'を取ると、外積が一次微分形式について双線形であることからβ∧ω1=0\beta\wedge\omega_1=0とβ∧ω2=0\beta\wedge\omega_2=0の二つが同時に成り立つことである。中間目標は、この二つの等式からβ\betaそのものが零であると結論することであり、そのためにβ\betaを余標構で展開する。(ω1,ω2)(\omega_1,\omega_2)は各点で余接空間の基底であるから、UU上の関数a,ba,bによってβ=a ω1+b ω2\beta=a\,\omega_1+b\,\omega_2と書かれる。本質的な一手は、この展開を二つの等式へ代入したときに、ω1∧ω1=0\omega_1\wedge\omega_1=0とω2∧ω2=0\omega_2\wedge\omega_2=0によって片方の係数だけが残ることである。残った項はω1∧ω2\omega_1\wedge\omega_2の関数倍であり、(ω1∧ω2)(e1,e2)=1(\omega_1\wedge\omega_2)(e_1,e_2)=1からこの二次微分形式は各点で消えないので、係数が零であると結論される。二つの等式からa=0a=0とb=0b=0が一つずつ得られる。片方の等式だけでは片方の係数しか消えないことは注意 3.3が述べる。

定理 3.2.(e1,e2)(e_1,e_2)をUU上の正規直交接標構、(ω1,ω2)(\omega_1,\omega_2)をその余標構とする。UU上の一次微分形式η\etaであって

dω1=η∧ω2,dω2=−η∧ω1d\omega_1=\eta\wedge\omega_2,\qquad d\omega_2=-\eta\wedge\omega_1

をともに満たすものは、ちょうど一つ存在する。それは定義 2.1の接続形式ω12\omega_{12}である。

証明. 存在は定理 3.1が与える。実際、η=ω12\eta=\omega_{12}と置くと第一の式が成り立ち、ω21∧ω1=−ω12∧ω1\omega_{21}\wedge\omega_1=-\omega_{12}\wedge\omega_1であるから第二の式も成り立つ。

一意性を示す。η\etaとη′\eta'がともに二つの式を満たすとし、β=η−η′\beta=\eta-\eta'と置く。外積は一次微分形式について双線形であるから

β∧ω2=0,β∧ω1=0\beta\wedge\omega_2=0,\qquad \beta\wedge\omega_1=0

である。(ω1,ω2)(\omega_1,\omega_2)は各点でTpMT_pMの双対空間の基底であるから、UU上の関数a,ba,bによってβ=a ω1+b ω2\beta=a\,\omega_1+b\,\omega_2と書かれる。ω2∧ω2=0\omega_2\wedge\omega_2=0であるから

0=β∧ω2=a ω1∧ω20=\beta\wedge\omega_2=a\,\omega_1\wedge\omega_2

である。(ω1∧ω2)(e1,e2)=ω1(e1)ω2(e2)−ω1(e2)ω2(e1)=1(\omega_1\wedge\omega_2)(e_1,e_2)=\omega_1(e_1)\omega_2(e_2)-\omega_1(e_2)\omega_2(e_1)=1であるからω1∧ω2\omega_1\wedge\omega_2は各点で消えず、a=0a=0である。同様にω1∧ω1=0\omega_1\wedge\omega_1=0から

0=β∧ω1=b ω2∧ω1=−b ω1∧ω20=\beta\wedge\omega_1=b\,\omega_2\wedge\omega_1=-b\,\omega_1\wedge\omega_2

でありb=0b=0である。したがってβ=0\beta=0、すなわちη=η′\eta=\eta'である。▨

注意 3.3 (二つの式の両方が必要であること).定理 3.2の証明では、第一の式からa=0a=0を、第二の式からb=0b=0を得た。片方の式だけを課すと一意性は成り立たない。実際、dω1=η∧ω2d\omega_1=\eta\wedge\omega_2だけを満たすη\etaはω12+b ω2\omega_{12}+b\,\omega_2（bbは任意のC∞C^\infty関数）の形をすべて含む。第一構造方程式が二本の式からなることは、記法の都合ではなく、接続形式を決定するための条件である。

系 3.4.MMとMˉ\bar Mを正則曲面、ϕ ⁣:M→Mˉ\phi\colon M\to\bar Mを局所等長写像（§E19.4 定義 7.1）とする。Uˉ⊆Mˉ\bar U\subseteq\bar Mを開集合、(eˉ1,eˉ2)(\bar e_1,\bar e_2)をUˉ\bar U上の正規直交接標構、(ωˉ1,ωˉ2)(\bar\omega_1,\bar\omega_2)をその余標構、ωˉ12\bar\omega_{12}をその接続形式とする。U⊆ϕ−1(Uˉ)U\subseteq\phi^{-1}(\bar U)を、ϕ\phiの制限がUUからMˉ\bar Mの開集合への微分同相となる開集合とし、UUの上で

ei=(dϕ)−1(eˉi∘ϕ)(i=1,2)e_i=(d\phi)^{-1}\bigl(\bar e_i\circ\phi\bigr)\qquad(i=1,2)

と定める。このとき(e1,e2)(e_1,e_2)はUU上の正規直交接標構であり、その余標構と接続形式は

ωi=ϕ∗ωˉi (i=1,2),ω12=ϕ∗ωˉ12\omega_i=\phi^{*}\bar\omega_i\ (i=1,2),\qquad \omega_{12}=\phi^{*}\bar\omega_{12}

を満たす。

証明.X∈TpMX\in T_pMがdϕp(X)=0d\phi_p(X)=0を満たすとすると、局所等長性からIp(X,X)=0\mathrm{I}_p(X,X)=0であり、第一基本形式は正定値であるからX=0X=0である。dim⁡TpM=dim⁡Tϕ(p)Mˉ=2\dim T_pM=\dim T_{\phi(p)}\bar M=2であるからdϕpd\phi_pは線形同型である。仮定を満たすUUが各点のまわりに存在することは§E19.4 命題 7.2 (2)による。局所等長性から

I(ei,ej)=Iˉ(dϕ(ei),dϕ(ej))=Iˉ(eˉi,eˉj)=δij\mathrm{I}(e_i,e_j)=\bar{\mathrm{I}}\bigl(d\phi(e_i),d\phi(e_j)\bigr)=\bar{\mathrm{I}}(\bar e_i,\bar e_j)=\delta_{ij}

であるから(e1,e2)(e_1,e_2)は正規直交接標構である。ϕ\phiの制限は微分同相であるから、eie_iはUU上のC∞C^\infty接ベクトル場である。

X∈TpMX\in T_pMに対してdϕp(X)=∑jωˉj(dϕpX) eˉjd\phi_p(X)=\sum_j\bar\omega_j(d\phi_pX)\,\bar e_jであり、局所等長性から

ωi(X)=I(X,ei)=Iˉ(dϕpX,eˉi)=ωˉi(dϕpX)=(ϕ∗ωˉi)(X)\omega_i(X)=\mathrm{I}(X,e_i)=\bar{\mathrm{I}}\bigl(d\phi_pX,\bar e_i\bigr)=\bar\omega_i\bigl(d\phi_pX\bigr)=(\phi^{*}\bar\omega_i)(X)

である。よってωi=ϕ∗ωˉi\omega_i=\phi^{*}\bar\omega_iである。

引き戻しは外積と可換であり（「多様体入門」の§E17.10 定理 5.3）、外微分とも可換である（同§E17.11 命題 3.1）。したがってη=ϕ∗ωˉ12\eta=\phi^{*}\bar\omega_{12}と置くと

dω1=dϕ∗ωˉ1=ϕ∗dωˉ1=ϕ∗(ωˉ12∧ωˉ2)=η∧ω2d\omega_1=d\phi^{*}\bar\omega_1=\phi^{*}d\bar\omega_1=\phi^{*}\bigl(\bar\omega_{12}\wedge\bar\omega_2\bigr)=\eta\wedge\omega_2

であり、同様にdω2=−η∧ω1d\omega_2=-\eta\wedge\omega_1である。定理 3.2によりη=ω12\eta=\omega_{12}である。▨

4 標構の回転

一つの開集合の上に正規直交接標構は一つとは限らない。次の定理は、二つの標構の接続形式がどれだけ異なるかを述べる。

定理 4.1.(e1,e2)(e_1,e_2)をUU上の正規直交接標構、(ω1,ω2)(\omega_1,\omega_2)をその余標構、ω12\omega_{12}をその接続形式とする。

  1. θ∈C∞(U)\theta\in C^\infty(U)に対して e~1=cos⁡θ e1+sin⁡θ e2,e~2=−sin⁡θ e1+cos⁡θ e2\tilde e_1=\cos\theta\,e_1+\sin\theta\,e_2,\qquad \tilde e_2=-\sin\theta\,e_1+\cos\theta\,e_2 と置くと、(e~1,e~2)(\tilde e_1,\tilde e_2)はUU上の正規直交接標構であり ω~1=cos⁡θ ω1+sin⁡θ ω2,ω~2=−sin⁡θ ω1+cos⁡θ ω2,\tilde\omega_1=\cos\theta\,\omega_1+\sin\theta\,\omega_2,\qquad \tilde\omega_2=-\sin\theta\,\omega_1+\cos\theta\,\omega_2, ω~1∧ω~2=ω1∧ω2,ω~12=ω12+dθ\tilde\omega_1\wedge\tilde\omega_2=\omega_1\wedge\omega_2,\qquad \tilde\omega_{12}=\omega_{12}+d\theta が成り立つ。
  2. (e~1,e~2)=(e1,−e2)(\tilde e_1,\tilde e_2)=(e_1,-e_2)と置くと(e~1,e~2)(\tilde e_1,\tilde e_2)はUU上の正規直交接標構であり ω~1=ω1,ω~2=−ω2,ω~1∧ω~2=−ω1∧ω2,ω~12=−ω12\tilde\omega_1=\omega_1,\qquad\tilde\omega_2=-\omega_2,\qquad \tilde\omega_1\wedge\tilde\omega_2=-\omega_1\wedge\omega_2,\qquad \tilde\omega_{12}=-\omega_{12} が成り立つ。
  3. (e~1,e~2)(\tilde e_1,\tilde e_2)をUU上の任意の正規直交接標構とする。各点p∈Up\in Uに対してppの連結な開近傍V⊆UV\subseteq Uとθ∈C∞(V)\theta\in C^\infty(V)が存在して、VVの上で(e~1,e~2)(\tilde e_1,\tilde e_2)は 1 の形か、または 1 の形と 2 の合成の形に書かれる。

証明.(1)を示す。I(e~1,e~1)=cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\mathrm{I}(\tilde e_1,\tilde e_1)=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1であり、I(e~1,e~2)=−cos⁡θsin⁡θ+sin⁡θcos⁡θ=0\mathrm{I}(\tilde e_1,\tilde e_2)=-\cos\theta\sin\theta+\sin\theta\cos\theta=0、I(e~2,e~2)=1\mathrm{I}(\tilde e_2,\tilde e_2)=1である。余標構については

ω~1(X)=I(X,e~1)=cos⁡θ I(X,e1)+sin⁡θ I(X,e2)\tilde\omega_1(X)=\mathrm{I}(X,\tilde e_1)=\cos\theta\,\mathrm{I}(X,e_1)+\sin\theta\,\mathrm{I}(X,e_2)

であり、ω~2\tilde\omega_2についても同様である。外積は

ω~1∧ω~2=cos⁡2θ ω1∧ω2−sin⁡2θ ω2∧ω1=ω1∧ω2\tilde\omega_1\wedge\tilde\omega_2 =\cos^2\theta\ \omega_1\wedge\omega_2-\sin^2\theta\ \omega_2\wedge\omega_1 =\omega_1\wedge\omega_2

である。

接続形式を計算する。§E19.7 命題 2.2 (3)により

∇Xe~1=−sin⁡θ (Xθ) e1+cos⁡θ ∇Xe1+cos⁡θ (Xθ) e2+sin⁡θ ∇Xe2\nabla_X\tilde e_1=-\sin\theta\,(X\theta)\,e_1+\cos\theta\,\nabla_Xe_1+\cos\theta\,(X\theta)\,e_2+\sin\theta\,\nabla_Xe_2

である。命題 2.2 (1)により∇Xe1=ω12(X)e2\nabla_Xe_1=\omega_{12}(X)e_2、∇Xe2=−ω12(X)e1\nabla_Xe_2=-\omega_{12}(X)e_1であるから

∇Xe~1=(−sin⁡θ (Xθ)−sin⁡θ ω12(X))e1+(cos⁡θ (Xθ)+cos⁡θ ω12(X))e2\nabla_X\tilde e_1=\bigl(-\sin\theta\,(X\theta)-\sin\theta\,\omega_{12}(X)\bigr)e_1 +\bigl(\cos\theta\,(X\theta)+\cos\theta\,\omega_{12}(X)\bigr)e_2

である。e~2=−sin⁡θ e1+cos⁡θ e2\tilde e_2=-\sin\theta\,e_1+\cos\theta\,e_2との内積を取ると

ω~12(X)=I(∇Xe~1,e~2)=sin⁡2θ((Xθ)+ω12(X))+cos⁡2θ((Xθ)+ω12(X))=(Xθ)+ω12(X)\tilde\omega_{12}(X)=\mathrm{I}(\nabla_X\tilde e_1,\tilde e_2) =\sin^2\theta\bigl((X\theta)+\omega_{12}(X)\bigr)+\cos^2\theta\bigl((X\theta)+\omega_{12}(X)\bigr) =(X\theta)+\omega_{12}(X)

である。Xθ=dθ(X)X\theta=d\theta(X)であるからω~12=ω12+dθ\tilde\omega_{12}=\omega_{12}+d\thetaを得る。

(2)を示す。正規直交性は明らかである。ω~2(X)=I(X,−e2)=−ω2(X)\tilde\omega_2(X)=\mathrm{I}(X,-e_2)=-\omega_2(X)であり、ω~1∧ω~2=−ω1∧ω2\tilde\omega_1\wedge\tilde\omega_2=-\omega_1\wedge\omega_2である。∇Xe~1=∇Xe1=ω12(X)e2\nabla_X\tilde e_1=\nabla_Xe_1=\omega_{12}(X)e_2であるから

ω~12(X)=I(ω12(X)e2, −e2)=−ω12(X)\tilde\omega_{12}(X)=\mathrm{I}\bigl(\omega_{12}(X)e_2,\ -e_2\bigr)=-\omega_{12}(X)

である。

(3)を示す。a=I(e~1,e1)a=\mathrm{I}(\tilde e_1,e_1)、b=I(e~1,e2)b=\mathrm{I}(\tilde e_1,e_2)と置くとa,b∈C∞(U)a,b\in C^\infty(U)であり、e~1=a e1+b e2\tilde e_1=a\,e_1+b\,e_2、a2+b2=I(e~1,e~1)=1a^2+b^2=\mathrm{I}(\tilde e_1,\tilde e_1)=1である。e~2\tilde e_2はe~1\tilde e_1に直交する単位接ベクトル場であるから、各点でe~2=ε(−b e1+a e2)\tilde e_2=\varepsilon(-b\,e_1+a\,e_2)（ε∈{1,−1}\varepsilon\in\{1,-1\}）である。ε=I(e~2,−b e1+a e2)\varepsilon=\mathrm{I}(\tilde e_2,-b\,e_1+a\,e_2)は連続で値が二点集合に含まれるから局所的に定数である。

p∈Up\in Uを取り、a(p)=cos⁡θ0a(p)=\cos\theta_0、b(p)=sin⁡θ0b(p)=\sin\theta_0を満たすθ0∈R\theta_0\in\mathbb{R}を取る。

c=a a(p)+b b(p),s=b a(p)−a b(p)c=a\,a(p)+b\,b(p),\qquad s=b\,a(p)-a\,b(p)

と置くとc,s∈C∞(U)c,s\in C^\infty(U)、c2+s2=1c^2+s^2=1、c(p)=1c(p)=1である。c>0c>0かつε\varepsilonが定数となるppの連結な開近傍VVを取り、VVの上でθ=θ0+arctan⁡(s/c)\theta=\theta_0+\arctan(s/c)と定める。arctan⁡\arctanはR\mathbb{R}上のC∞C^\infty関数であるからθ∈C∞(V)\theta\in C^\infty(V)であり、c=cos⁡(θ−θ0)c=\cos(\theta-\theta_0)、s=sin⁡(θ−θ0)s=\sin(\theta-\theta_0)が成り立つ。実際、c>0c>0かつc2+s2=1c^2+s^2=1であるからθ−θ0∈(−π/2,π/2)\theta-\theta_0\in(-\pi/2,\pi/2)の範囲で正接の値がs/cs/cである角は一つに定まり、それがarctan⁡(s/c)\arctan(s/c)である。したがって

a=c a(p)−s b(p)=cos⁡(θ−θ0)cos⁡θ0−sin⁡(θ−θ0)sin⁡θ0=cos⁡θa=c\,a(p)-s\,b(p)=\cos(\theta-\theta_0)\cos\theta_0-\sin(\theta-\theta_0)\sin\theta_0=\cos\theta

であり、同様にb=sin⁡θb=\sin\thetaである。ε=1\varepsilon=1ならば(e~1,e~2)(\tilde e_1,\tilde e_2)は 1 の形であり、ε=−1\varepsilon=-1ならば 1 の形に 2 を合成した形である。▨

5 第二構造方程式

ここからは単位法線を用いる。まず、周囲の空間における二階の方向微分が対称であることを確かめる。これはR3\mathbb{R}^3の平坦性を表す事実であり、以後の計算の出発点である。

補題 5.1.U⊆MU\subseteq Mを開集合、Z ⁣:U→R3Z\colon U\to\mathbb{R}^3を滑らかな写像、X,YX,YをUU上の接ベクトル場とする。このときUUの上で

DXDYZ−DYDXZ=D[X,Y]ZD_XD_YZ-D_YD_XZ=D_{[X,Y]}Z

が成り立つ。

証明. 主張は局所的であるから、正則パラメータ表示x ⁣:W→U\boldsymbol{x}\colon W\to Uを取り、X=∑iai∂iX=\sum_ia^i\partial_i、Y=∑jbj∂jY=\sum_jb^j\partial_jと書く（ai,bja^i,b^jはWW上のC∞C^\infty関数、∂1=xu\partial_1=\boldsymbol{x}_u、∂2=xv\partial_2=\boldsymbol{x}_v）。§E19.7 命題 1.4 (1)によりDYZ=∑jbj ∂j(Z∘x)D_YZ=\sum_jb^j\,\partial_j(Z\circ\boldsymbol{x})であるから、ふたたび同じ主張により

DXDYZ=∑i,j=12ai(∂ibj)∂j(Z∘x)+∑i,j=12aibj ∂i∂j(Z∘x)D_XD_YZ=\sum_{i,j=1}^{2}a^i\bigl(\partial_ib^j\bigr)\partial_j(Z\circ\boldsymbol{x}) +\sum_{i,j=1}^{2}a^ib^j\,\partial_i\partial_j(Z\circ\boldsymbol{x})

である。XXとYYを入れ替えた式との差を取る。Z∘xZ\circ\boldsymbol{x}はC∞C^\inftyであるから§E4.4 定理 2.1により∂i∂j(Z∘x)=∂j∂i(Z∘x)\partial_i\partial_j(Z\circ\boldsymbol{x})=\partial_j\partial_i(Z\circ\boldsymbol{x})であり、二階偏導関数を含む項は相殺する。残るのは

∑k=12(∑i=12(ai∂ibk−bi∂iak))∂k(Z∘x)\sum_{k=1}^{2}\Bigl(\sum_{i=1}^{2}\bigl(a^i\partial_ib^k-b^i\partial_ia^k\bigr)\Bigr)\partial_k(Z\circ\boldsymbol{x})

であり、括弧積の座標表示（「多様体入門」の§E17.7 命題 1.3）により、これはD[X,Y]ZD_{[X,Y]}Zに等しい。▨

補題 5.2.MMを向きづけられた正則曲面、(e1,e2,e3)(e_1,e_2,e_3)をUU上の適合標構とする。i,j∈{1,2,3}i,j\in\{1,2,3\}とUU上の接ベクトル場X,YX,Yについて

dωij(X,Y)=⟨DYei, DXej⟩−⟨DXei, DYej⟩d\omega_{ij}(X,Y)=\langle D_Ye_i,\ D_Xe_j\rangle-\langle D_Xe_i,\ D_Ye_j\rangle

が成り立つ。

証明.§E19.7 命題 1.4 (3)により

X(ωij(Y))=X⟨DYei,ej⟩=⟨DXDYei,ej⟩+⟨DYei,DXej⟩X\bigl(\omega_{ij}(Y)\bigr)=X\langle D_Ye_i,e_j\rangle=\langle D_XD_Ye_i,e_j\rangle+\langle D_Ye_i,D_Xe_j\rangle

である。XXとYYを入れ替えると

Y(ωij(X))=⟨DYDXei,ej⟩+⟨DXei,DYej⟩Y\bigl(\omega_{ij}(X)\bigr)=\langle D_YD_Xe_i,e_j\rangle+\langle D_Xe_i,D_Ye_j\rangle

である。またωij([X,Y])=⟨D[X,Y]ei,ej⟩\omega_{ij}([X,Y])=\langle D_{[X,Y]}e_i,e_j\rangleである。§E17.11 定理 4.2の不変表示へ代入すると

dωij(X,Y)=⟨DXDYei−DYDXei−D[X,Y]ei, ej⟩+⟨DYei,DXej⟩−⟨DXei,DYej⟩d\omega_{ij}(X,Y) =\bigl\langle D_XD_Ye_i-D_YD_Xe_i-D_{[X,Y]}e_i,\ e_j\bigr\rangle +\langle D_Ye_i,D_Xe_j\rangle-\langle D_Xe_i,D_Ye_j\rangle

となる。補題 5.1をZ=eiZ=e_iに適用すると第一項の内積の左側は00である。▨

命題 5.3.MMを向きづけられた正則曲面、(e1,e2,e3)(e_1,e_2,e_3)をUU上の適合標構、II\mathrm{II}を第二基本形式（§E19.5 定義 3.1）とし、hij=II(ei,ej)h_{ij}=\mathrm{II}(e_i,e_j)（i,j∈{1,2}i,j\in\{1,2\}）と置く。このときUUの上で

ω13(X)=II(X,e1),ω23(X)=II(X,e2)\omega_{13}(X)=\mathrm{II}(X,e_1),\qquad \omega_{23}(X)=\mathrm{II}(X,e_2)

が成り立ち、

ω13=h11 ω1+h12 ω2,ω23=h12 ω1+h22 ω2\omega_{13}=h_{11}\,\omega_1+h_{12}\,\omega_2,\qquad \omega_{23}=h_{12}\,\omega_1+h_{22}\,\omega_2

である。ここでh12=h21h_{12}=h_{21}である。向きを−N-Nへ反転すると、ω13\omega_{13}とω23\omega_{23}の符号が変わる。

証明.UUの上で⟨e1,e3⟩=0\langle e_1,e_3\rangle=0であるから、§E19.7 命題 1.4 (3)により

0=X⟨e1,e3⟩=⟨DXe1,e3⟩+⟨e1,DXe3⟩0=X\langle e_1,e_3\rangle=\langle D_Xe_1,e_3\rangle+\langle e_1,D_Xe_3\rangle

である。e3=Ne_3=Nであり、§E19.4 定義 2.2の微分の定義と§E19.7 定義 1.3は同じ値を与えるからDXe3=dN(X)=−S(X)D_Xe_3=dN(X)=-S(X)（§E19.5 定義 1.4）である。したがって

ω13(X)=⟨DXe1,e3⟩=⟨e1,S(X)⟩=II(X,e1)\omega_{13}(X)=\langle D_Xe_1,e_3\rangle=\langle e_1,S(X)\rangle=\mathrm{II}(X,e_1)

である。ここで最後の等号は、内積の対称性と第二基本形式の定義II(X,Y)=⟨S(X),Y⟩\mathrm{II}(X,Y)=\langle S(X),Y\rangle（§E19.5 定義 3.1）による。ω23\omega_{23}についても同様である。

成分表示を示す。ω13\omega_{13}は一次微分形式であり、(ω1,ω2)(\omega_1,\omega_2)は各点で双対空間の基底であるからω13=ω13(e1) ω1+ω13(e2) ω2\omega_{13}=\omega_{13}(e_1)\,\omega_1+\omega_{13}(e_2)\,\omega_2である。ω13(ek)=II(ek,e1)=hk1\omega_{13}(e_k)=\mathrm{II}(e_k,e_1)=h_{k1}であり、II\mathrm{II}は対称である（§E19.5 定義 3.1）からhk1=h1kh_{k1}=h_{1k}である。ω23\omega_{23}についても同様である。

向きの反転については、§E19.5 命題 3.4によりII\mathrm{II}の符号が変わることから従う。▨

定理 5.4 (第二構造方程式).MMを向きづけられた正則曲面、(e1,e2,e3)(e_1,e_2,e_3)をUU上の適合標構とする。このときUUの上で

dω12=ω13∧ω32=−ω13∧ω23d\omega_{12}=\omega_{13}\wedge\omega_{32}=-\omega_{13}\wedge\omega_{23}

が成り立つ。

証明.X,YX,YをUU上の接ベクトル場とする。命題 2.2 (4)と命題 2.2 (3)により

DXe1=ω12(X)e2+ω13(X)e3,DXe2=−ω12(X)e1+ω23(X)e3D_Xe_1=\omega_{12}(X)e_2+\omega_{13}(X)e_3,\qquad D_Xe_2=-\omega_{12}(X)e_1+\omega_{23}(X)e_3

である。(e1,e2,e3)(e_1,e_2,e_3)は各点で正規直交基底であり、⟨e2,e1⟩=⟨e2,e3⟩=⟨e3,e1⟩=0\langle e_2,e_1\rangle=\langle e_2,e_3\rangle=\langle e_3,e_1\rangle=0、⟨e3,e3⟩=1\langle e_3,e_3\rangle=1であるから

⟨DYe1,DXe2⟩=⟨ ω12(Y)e2+ω13(Y)e3,  −ω12(X)e1+ω23(X)e3 ⟩=ω13(Y) ω23(X)\langle D_Ye_1,D_Xe_2\rangle =\bigl\langle\ \omega_{12}(Y)e_2+\omega_{13}(Y)e_3,\ \ -\omega_{12}(X)e_1+\omega_{23}(X)e_3\ \bigr\rangle =\omega_{13}(Y)\,\omega_{23}(X)

である。XXとYYを入れ替えると

⟨DXe1,DYe2⟩=ω13(X) ω23(Y)\langle D_Xe_1,D_Ye_2\rangle=\omega_{13}(X)\,\omega_{23}(Y)

である。補題 5.2を(i,j)=(1,2)(i,j)=(1,2)に適用すると

dω12(X,Y)=ω13(Y)ω23(X)−ω13(X)ω23(Y)=−(ω13∧ω23)(X,Y)d\omega_{12}(X,Y)=\omega_{13}(Y)\omega_{23}(X)-\omega_{13}(X)\omega_{23}(Y) =-\bigl(\omega_{13}\wedge\omega_{23}\bigr)(X,Y)

を得る。ω32=−ω23\omega_{32}=-\omega_{23}であるから、これはω13∧ω32\omega_{13}\wedge\omega_{32}に等しい。▨

注意 5.5 (第二構造方程式が述べていないこと).定理 5.4の右辺は、第二基本形式によって書かれた量である（命題 5.3）。したがって、この等式だけからはdω12d\omega_{12}が第一基本形式で決まるという結論は得られない。その結論は、右辺ω13∧ω23\omega_{13}\wedge\omega_{23}が Gauss 曲率と面積要素の積に等しいという Gauss 方程式と、定理 3.2による左辺の内在性とを組み合わせて初めて得られる。Gauss 方程式は「Gauss 方程式と Gauss の驚異の定理」が証明する。

同様に、補題 5.2を(i,j)=(1,3)(i,j)=(1,3)と(2,3)(2,3)に適用すると、dω13d\omega_{13}とdω23d\omega_{23}についての等式が得られる。それらは Codazzi–Mainardi 方程式であり、「曲面論の基本定理」が扱う。本記事は接平面の側の等式だけを述べる。

6 抽象曲面への移行

注意 6.1 (標構と接続形式は第一基本形式だけを与えられた対象へ移ること).(M,I)(M,\mathrm{I})を抽象曲面（§E19.7 定義 5.1）とし、∇\nablaを§E19.7 定理 5.3の接続とする。次の構成は、R3\mathbb{R}^3への埋め込みを用いていない。

  • 定義 1.2 (1)と定義 1.2 (2)、すなわち正規直交接標構と余標構。
  • 命題 1.3の存在。ただしチャート(V,(u1,u2))(V,(u^1,u^2))の座標基底∂1,∂2\partial_1,\partial_2から同じ式で作る。ベクトル積についての主張はR3\mathbb{R}^3に固有であるから除く。
  • 定義 2.1の第二の定義、すなわちω12(X)=I(∇Xe1,e2)\omega_{12}(X)=\mathrm{I}(\nabla_Xe_1,e_2)。
  • 命題 2.2 (1)。ただしω12\omega_{12}がC∞C^\infty一次微分形式であることは、チャート上でω12(∂i)=I(∇∂ie1,e2)\omega_{12}(\partial_i)=\mathrm{I}(\nabla_{\partial_i}e_1,e_2)が Christoffel 記号とe1,e2e_1,e_2の成分のC∞C^\infty関数であることによって示す。
  • 定理 3.1、定理 3.2、注意 3.3および定理 4.1。これらの証明が用いたのは、∇\nablaが第一基本形式と両立し捩れを持たないこと（§E19.7 定理 5.3が与える）と、外微分の不変表示だけである。
  • 系 3.4。ただし局所等長写像を、抽象曲面の間の第一基本形式を保つ滑らかな写像と読み替える。

一方、e3e_3、ω13\omega_{13}、ω23\omega_{23}、命題 5.3および定理 5.4は、単位法線を持つ正則曲面に対してだけ意味を持つ。この線引きが、本単元の内在的な量と外在的な量の境目である。

7 例

以下の例では、余標構と接続形式を第一構造方程式から独立に決定する。定理 3.2により、この方法で得られる形式は定義 2.1の接続形式に一致する。

例 7.1 (平面の直交座標と極座標).P={(x,y,0):x,y∈R}P=\{(x,y,0):x,y\in\mathbb{R}\}を平面とする。

直交座標。x(u,v)=(u,v,0)\boldsymbol{x}(u,v)=(u,v,0)に対してE=G=1E=G=1、F=0F=0であるから、命題 1.3によりe1=(1,0,0)e_1=(1,0,0)、e2=(0,1,0)e_2=(0,1,0)、ω1=du\omega_1=du、ω2=dv\omega_2=dvである。dω1=dω2=0d\omega_1=d\omega_2=0であり、η=0\eta=0が定理 3.2の二つの式を満たすからω12=0\omega_{12}=0である。

極座標。y(r,φ)=(rcos⁡φ, rsin⁡φ, 0)\boldsymbol{y}(r,\varphi)=(r\cos\varphi,\ r\sin\varphi,\ 0)（r>0r>0、φ∈R\varphi\in\mathbb{R}）に対してE=1E=1、F=0F=0、G=r2G=r^2であるからω1=dr\omega_1=dr、ω2=r dφ\omega_2=r\,d\varphiである。dω1=0d\omega_1=0、dω2=dr∧dφd\omega_2=dr\wedge d\varphiである。ω12=a dr+b r dφ\omega_{12}=a\,dr+b\,r\,d\varphiと置くと

0=dω1=ω12∧ω2=a r dr∧dφ,0=d\omega_1=\omega_{12}\wedge\omega_2=a\,r\,dr\wedge d\varphi,dr∧dφ=dω2=−ω12∧ω1=−b r dφ∧dr=b r dr∧dφdr\wedge d\varphi=d\omega_2=-\omega_{12}\wedge\omega_1=-b\,r\,d\varphi\wedge dr=b\,r\,dr\wedge d\varphi

であるからa=0a=0、b=1/rb=1/r、すなわちω12=dφ\omega_{12}=d\varphiである。とくにdω12=0d\omega_{12}=0である。

平面の第二基本形式は零である（§E19.5 例 5.1）からω13=ω23=0\omega_{13}=\omega_{23}=0である（命題 5.3）。定理 5.4の両辺はいずれも00であり、二つの座標のどちらでも整合する。ω12\omega_{12}の値が座標によって異なるのは、ω12\omega_{12}が標構に依存する量だからである。二つの標構は定理 4.1 (1)の形で結ばれており、θ=φ\theta=\varphiと取ると直交座標の標構から極座標の標構が得られ、0+dφ=dφ0+d\varphi=d\varphiが接続形式の変換則と一致する。

例 7.2 (球面). 半径r>0r>0の球面M={p∈R3:∥p∥=r}M=\{p\in\mathbb{R}^3:\lVert p\rVert=r\}に、§E19.4 例 6.2の表示

x(u,v)=r(sin⁡ucos⁡v, sin⁡usin⁡v, cos⁡u)(0<u<π, v∈R)\boldsymbol{x}(u,v)=r(\sin u\cos v,\ \sin u\sin v,\ \cos u)\qquad(0<u<\pi,\ v\in\mathbb{R})

を取る。E=r2E=r^2、F=0F=0、G=r2sin⁡2uG=r^2\sin^2uである。本単元は有界領域を囲む閉曲面に内向きの単位法線を取る（§E19.3 定義 4.2）ので、N=−x/rN=-\boldsymbol{x}/rとする。

§E19.7 例 7.3で確かめたとおり、

e1=xvrsin⁡u,e2=xure_1=\frac{\boldsymbol{x}_v}{r\sin u},\qquad e_2=\frac{\boldsymbol{x}_u}{r}

と取るとe1×e2=Ne_1\times e_2=Nであるから、(e1,e2,N)(e_1,e_2,N)は適合標構である。余標構は

ω1=rsin⁡u dv,ω2=r du\omega_1=r\sin u\,dv,\qquad \omega_2=r\,du

である。外微分はdω1=rcos⁡u du∧dvd\omega_1=r\cos u\,du\wedge dv、dω2=0d\omega_2=0である。ω12=a ω1+b ω2\omega_{12}=a\,\omega_1+b\,\omega_2と置くと

0=dω2=−ω12∧ω1=−b r du∧rsin⁡u dv=−b r2sin⁡u du∧dv0=d\omega_2=-\omega_{12}\wedge\omega_1=-b\,r\,du\wedge r\sin u\,dv=-b\,r^2\sin u\,du\wedge dv

からb=0b=0であり、

rcos⁡u du∧dv=dω1=ω12∧ω2=a rsin⁡u dv∧r du=−a r2sin⁡u du∧dvr\cos u\,du\wedge dv=d\omega_1=\omega_{12}\wedge\omega_2=a\,r\sin u\,dv\wedge r\,du=-a\,r^2\sin u\,du\wedge dv

からa=−cos⁡u/(rsin⁡u)a=-\cos u/(r\sin u)である。したがって

ω12=−cos⁡u dv,dω12=sin⁡u du∧dv\omega_{12}=-\cos u\,dv,\qquad d\omega_{12}=\sin u\,du\wedge dv

である。

第二構造方程式を確かめる。N(p)=−p/rN(p)=-p/rであるからdN(X)=−X/rdN(X)=-X/r、すなわちS(X)=X/rS(X)=X/rでありII(X,Y)=⟨X,Y⟩/r\mathrm{II}(X,Y)=\langle X,Y\rangle/rである。よってh11=h22=1/rh_{11}=h_{22}=1/r、h12=0h_{12}=0であり、命題 5.3により

ω13=1rω1,ω23=1rω2\omega_{13}=\frac{1}{r}\omega_1,\qquad \omega_{23}=\frac{1}{r}\omega_2

である。ω1∧ω2=rsin⁡u dv∧r du=−r2sin⁡u du∧dv\omega_1\wedge\omega_2=r\sin u\,dv\wedge r\,du=-r^2\sin u\,du\wedge dvであるから

−ω13∧ω23=−1r2 ω1∧ω2=sin⁡u du∧dv-\omega_{13}\wedge\omega_{23}=-\frac{1}{r^2}\,\omega_1\wedge\omega_2=\sin u\,du\wedge dv

となり、dω12d\omega_{12}と一致する。

なお、標構の順序を入れ替えてe1′=xu/re_1'=\boldsymbol{x}_u/r、e2′=xv/(rsin⁡u)e_2'=\boldsymbol{x}_v/(r\sin u)と取るとω1′=r du\omega_1'=r\,du、ω2′=rsin⁡u dv\omega_2'=r\sin u\,dvとなり、同じ計算でω12′=cos⁡u dv\omega_{12}'=\cos u\,dvを得る。この組は定理 4.1 (2)によって上の組と結ばれており、e1′×e2′e_1'\times e_2'は外向きの単位法線であるから、内向きのNNに対する適合標構ではない。適合性を要求する主張へ用いるときは、この違いを落としてはならない。

例 7.3 (円柱). 半径r>0r>0の円柱M={(x,y,z):x2+y2=r2}M=\{(x,y,z):x^2+y^2=r^2\}にx(u,v)=(rcos⁡u, rsin⁡u, v)\boldsymbol{x}(u,v)=(r\cos u,\ r\sin u,\ v)を取る。E=r2E=r^2、F=0F=0、G=1G=1であるから

e1=xur=(−sin⁡u, cos⁡u, 0),e2=xv=(0,0,1),ω1=r du,ω2=dve_1=\frac{\boldsymbol{x}_u}{r}=(-\sin u,\ \cos u,\ 0),\qquad e_2=\boldsymbol{x}_v=(0,0,1),\qquad \omega_1=r\,du,\qquad\omega_2=dv

である。e1×e2=(cos⁡u, sin⁡u, 0)e_1\times e_2=(\cos u,\ \sin u,\ 0)は外向きの単位法線であるから、外向きの向きに関する適合標構である。dω1=dω2=0d\omega_1=d\omega_2=0であり、η=0\eta=0が定理 3.2の二つの式を満たすからω12=0\omega_{12}=0である。

これは平面の直交座標の場合と同じ値である。平面と円柱は局所等長であり（§E19.4 例 7.4）、上で取った標構は系 3.4の対応で移り合うから、接続形式が一致することは同系の帰結である。

一方、法線方向の接続形式は消えない。N=(cos⁡u, sin⁡u, 0)N=(\cos u,\ \sin u,\ 0)に対してxuu=(−rcos⁡u,−rsin⁡u,0)\boldsymbol{x}_{uu}=(-r\cos u,-r\sin u,0)であるから⟨N,xuu⟩=−r\langle N,\boldsymbol{x}_{uu}\rangle=-rであり、h11=II(e1,e1)=⟨N,xuu⟩/r2=−1/rh_{11}=\mathrm{II}(e_1,e_1)=\langle N,\boldsymbol{x}_{uu}\rangle/r^2=-1/r、h12=h22=0h_{12}=h_{22}=0である。したがってω13=−ω1/r\omega_{13}=-\omega_1/r、ω23=0\omega_{23}=0であり、ω13∧ω23=0=dω12\omega_{13}\wedge\omega_{23}=0=d\omega_{12}となって第二構造方程式が成り立つ。ω12=0\omega_{12}=0でありながらω13≠0\omega_{13}\ne0であるという事実が、接平面の側の量と法線方向の量の違いを表している。

例 7.4 (弧長を母線のパラメータに取った回転面).§E19.9 命題 1.2の記号で、母線が単位速度である回転面を取る。第一基本形式は

I=dt2+f(t)2 dθ2(f>0)\mathrm{I}=dt^2+f(t)^2\,d\theta^2\qquad(f>0)

である。E=1E=1、F=0F=0、G=f2G=f^2であるからω1=dt\omega_1=dt、ω2=f dθ\omega_2=f\,d\thetaである。dω1=0d\omega_1=0、dω2=f′ dt∧dθd\omega_2=f'\,dt\wedge d\thetaである。ω12=a ω1+b ω2\omega_{12}=a\,\omega_1+b\,\omega_2と置くと

0=dω1=ω12∧ω2=a f dt∧dθ0=d\omega_1=\omega_{12}\wedge\omega_2=a\,f\,dt\wedge d\theta

からa=0a=0であり、

f′ dt∧dθ=dω2=−ω12∧ω1=−b f dθ∧dt=b f dt∧dθf'\,dt\wedge d\theta=d\omega_2=-\omega_{12}\wedge\omega_1=-b\,f\,d\theta\wedge dt=b\,f\,dt\wedge d\theta

からb=f′/fb=f'/fである。したがって

ω12=f′ dθ,dω12=f′′ dt∧dθ\omega_{12}=f'\,d\theta,\qquad d\omega_{12}=f''\,dt\wedge d\theta

である。ω1∧ω2=f dt∧dθ\omega_1\wedge\omega_2=f\,dt\wedge d\thetaであるからdω12=(f′′/f) ω1∧ω2d\omega_{12}=(f''/f)\,\omega_1\wedge\omega_2である。

球面はこの形の回転面であり、f(t)=rsin⁡(t/r)f(t)=r\sin(t/r)、t∈(0,πr)t\in(0,\pi r)と取るとφ(t)=rsin⁡(t/r)\varphi(t)=r\sin(t/r)、ψ(t)=rcos⁡(t/r)\psi(t)=r\cos(t/r)が単位速度の母線を与え、f′′/f=−1/r2f''/f=-1/r^2である。u=t/ru=t/r、v=θv=\thetaと置くと、本例の余標構はω1=dt=r du\omega_1=dt=r\,du、ω2=f dθ=rsin⁡u dv\omega_2=f\,d\theta=r\sin u\,dvであり、例 7.2の余標構ω1=rsin⁡u dv\omega_1=r\sin u\,dv、ω2=r du\omega_2=r\,duとは二本の順序が入れ替わっている。順序の入れ替えは、定理 4.1 (1)を定数θ=π/2\theta=\pi/2について適用したものと 2 との合成であるから、同じ命題により接続形式の符号が変わる。実際、本例のω12=f′ dθ=cos⁡u dv\omega_{12}=f'\,d\theta=\cos u\,dvは例 7.2の−cos⁡u dv-\cos u\,dvの符号を変えたものである。

8 演習

問題 8.1.

  1. 定理 3.2の一意性の証明を再現する。次に、β=aω1+bω2\beta=a\omega_1+b\omega_2と展開する段階で(ω1,ω2)(\omega_1,\omega_2)が各点で双対空間の基底であることをどこで用いたかを特定し、正規直交でない余標構に対して同じ議論が成り立つかどうかを述べる。
  2. 注意 3.3の主張を確かめる。すなわち、bbを任意のC∞C^\infty関数としてη=ω12+b ω2\eta=\omega_{12}+b\,\omega_2がdω1=η∧ω2d\omega_1=\eta\wedge\omega_2を満たすことを計算で示し、dω2=−η∧ω1d\omega_2=-\eta\wedge\omega_1が成り立つのがb=0b=0の場合に限ることを示す。
  3. 定理 3.1の証明では、共変微分が第一基本形式と両立することと捩れを持たないことを一度ずつ用いた。それぞれの箇所を特定し、どちらか一方を落とすと式の右辺に何が残るかを書き下す。
  4. 系 3.4の証明で、引き戻しが外微分と可換であることを用いた箇所を特定する。この可換性を用いずにϕ∗ωˉ12\phi^{*}\bar\omega_{12}がω12\omega_{12}に一致することを直接示そうとすると、どこで議論が止まるかを述べる。
  5. 定理 4.1 (1)の計算を、ω~12\tilde\omega_{12}の代わりにω~21\tilde\omega_{21}について実行し、ω~21=ω21−dθ\tilde\omega_{21}=\omega_{21}-d\thetaを確かめる。この結果が交代性ω~12=−ω~21\tilde\omega_{12}=-\tilde\omega_{21}と整合することを述べる。
  6. 定理 4.1 (3)の証明では、c>0c>0となる近傍へ制限してからarctan⁡\arctanを用いた。ccの符号についての制限を外すと、どの段階が成り立たなくなるかを述べる。次に、UU全体で定義されたθ\thetaを取ることができるとは限らないことを、UUが円環状の領域である場合を念頭に説明する。
  7. 補題 5.2の証明を(i,j)=(1,3)(i,j)=(1,3)の場合に書き下し、定理 5.4と同じ手順でdω13d\omega_{13}をω12\omega_{12}とω23\omega_{23}で表す。得られた式が注意 5.5の述べる Codazzi–Mainardi 方程式であることを確かめる。
  8. 例 7.3で、外向きの単位法線の代わりに内向きの単位法線を取った場合に、適合標構をどのように取り直す必要があるかを述べる。そのときω1,ω2,ω12,ω13,ω23\omega_1,\omega_2,\omega_{12},\omega_{13},\omega_{23}のそれぞれがどう変わるかを書き下し、第二構造方程式が保たれることを確かめる。
  9. 例 7.4の計算を、母線が単位速度でない一般の回転面I=(φ′2+ψ′2)du2+φ2dv2\mathrm{I}=(\varphi'^2+\psi'^2)du^2+\varphi^2dv^2に対して実行し、ω12\omega_{12}を書き下す。φ′2+ψ′2≡1\varphi'^2+\psi'^2\equiv1と置くと本文の式に戻ることを確かめる。

9 境界と次

標構は大域的に取ることができるとは限らないこと。命題 1.3が与えるのは、一つの正則パラメータ表示の像の上の標構である。曲面全体で正規直交接標構を取ることは一般にはできない。たとえば球面の上には、至るところ消えない連続な接ベクトル場が存在しない。本記事の主張はすべて、標構を取ることができる開集合の上で述べられている。局所 Gauss–Bonnet の定理が「一つの正規直交標構を取ることができる座標近傍に含まれる領域」という仮定を置くのは、この事情による。

接続形式は標構に依存すること。定理 4.1のとおり、ω12\omega_{12}の値は標構の取り方で変わる。ω12=0\omega_{12}=0であるかどうかは曲面の性質ではない。例 7.1の平面は、直交座標ではω12=0\omega_{12}=0、極座標ではω12=dφ\omega_{12}=d\varphiである。標構に依らない量はdω12d\omega_{12}であり、その意味は「Gauss 方程式と Gauss の驚異の定理」が与える。

一般のベクトル束の接続へ広げないこと。本記事のωij\omega_{ij}は、接平面と法線という具体的な束の上の接続を、一つの標構で表した成分である。標構の取り替えに対する変換則ω~12=ω12+dθ\tilde\omega_{12}=\omega_{12}+d\thetaと、外微分dω12d\omega_{12}が変換で不変であることは、一般のベクトル束の上の接続形式と曲率形式の関係の二次元での原型である。一般論、すなわち束の上の接続、曲率形式、特性類および Chern–Weil 理論は「ベクトル束と接続」が扱う。一般次元の Riemann 多様体に対する同種の構成は「Riemann 幾何 I」が扱う。

変換則を汎関数の対称性として扱わないこと。本記事が示したのは、標構を取り替えると接続形式がdθd\thetaだけずれ、その外微分が変わらないという計算上の事実だけである。標構の取り替え全体のなす群をゲージ群として扱い、接続形式を変数とする Yang–Mills 汎関数とその臨界点を論じることは「ゲージ理論」が扱う。

次の記事へ渡すもの。定理 3.2は、ω12\omega_{12}が第一基本形式だけで決まることを与える。定理 5.4は、dω12d\omega_{12}を第二基本形式で書かれた量−ω13∧ω23-\omega_{13}\wedge\omega_{23}と等しいと述べる。この二つを、ω13∧ω23=K ω1∧ω2\omega_{13}\wedge\omega_{23}=K\,\omega_1\wedge\omega_2という Gauss 方程式によって結ぶと、Gauss 曲率が第一基本形式だけで決まるという結論が得られる。それが次の記事の主定理である。補題 5.2は、法線方向の接続形式の外微分にも適用され、「曲面論の基本定理」が Codazzi–Mainardi 方程式を導くときに用いられる。

参考文献

  1. Barrett O'Neill, Elementary Differential Geometry, 2 (revised) ed., Academic Press, 2006.標構場と接続形式の定義、第一構造方程式および第二構造方程式の導出を参考にした。
  2. Michael Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, 3rd ed., vol. 2, Publish or Perish, Inc., Houston, 1999.動標構による曲面論の定式化と、余標構から接続形式が一意に定まるという事実の位置づけを参考にした。
  3. Sebastián Montiel and Antonio Ros, Curves and Surfaces, 2nd ed., Graduate Studies in Mathematics 69, American Mathematical Society, Providence, 2009.正規直交標構を座標基底の直交化として構成する扱いを参考にした。

前提記事