Dirichlet エネルギーと調和写像 | 曲線と曲面

1 勾配・発散・Laplace–Beltrami 作用素

Dirichlet エネルギーの第一変分に現れる作用素を先に用意する。三つとも第一基本形式と共変微分だけから作られるので、抽象曲面に対して定まる。

定義 1.1. $h\colon M\to\mathbb{R}$ を滑らかな関数とする。各点 $p\in M$ において、すべての $X\in T_pM$ に対して

\mathrm{I}_p\bigl(\operatorname{grad}h(p),\ X\bigr)=dh_p(X)

を満たすベクトル $\operatorname{grad}h(p)\in T_pM$ を、 $h$ の $p$ における勾配 (gradient) という。 $\mathrm{I}_p$ は正定値であるから非退化であり、 $Y\in T_pM$ へ線形写像 $X\mapsto\mathrm{I}_p(Y,X)$ を対応させる写像は、 $T_pM$ からその双対空間への線形同型である。したがって $\operatorname{grad}h(p)$ は存在して一意である。

命題 1.2. $M$ のチャートの上で

\operatorname{grad}h=\sum_{i,j=1}^{2}g^{ij}\,\frac{\partial h}{\partial u^j}\,\partial_i

が成り立つ。とくに $\operatorname{grad}h$ は $M$ の上の滑らかな接ベクトル場である。

証明. 右辺を $Z$ と置く。 $k\in\{1,2\}$ に対して

\mathrm{I}(Z,\partial_k)=\sum_{i,j=1}^{2}g^{ij}\frac{\partial h}{\partial u^j}\,g_{ik} =\sum_{j=1}^{2}\delta^j_k\,\frac{\partial h}{\partial u^j} =\frac{\partial h}{\partial u^k} =dh(\partial_k)

である。ここで $\sum_ig^{ij}g_{ik}=\delta^j_k$ を用いた。 $\partial_1,\partial_2$ は各点で $T_pM$ の基底であり、両辺は第二変数について線形であるから、すべての $X\in T_pM$ について $\mathrm{I}(Z,X)=dh(X)$ が成り立つ。定義 1.1の一意性により $Z=\operatorname{grad}h$ である。 $(g^{ij})$ の成分は $\det g$ を分母とする $g_{ij}$ の多項式であり、 $\det g>0$ であるから滑らかである。よって $\operatorname{grad}h$ の成分は滑らかである。▨

定義 1.3. $X$ を $M$ の上の滑らかな接ベクトル場、 $p\in M$ とする。 $Y\in T_pM$ に対して、 $p$ の近傍の上の滑らかな接ベクトル場 $\tilde Y$ であって $\tilde Y(p)=Y$ を満たすものを取り

A_p(Y)=\bigl(\nabla_{\tilde Y}X\bigr)(p)\in T_pM

と定める。 $p$ を含むチャートを取り $X=\sum_kX^k\partial_k$ 、 $\tilde Y=\sum_ia^i\partial_i$ と書くと、§E19.7 定理 5.3により

\bigl(\nabla_{\tilde Y}X\bigr)(p)=\sum_{k=1}^{2}\Bigl(\sum_{i=1}^{2}a^i(p)\frac{\partial X^k}{\partial u^i}(p)+\sum_{i,j=1}^{2}\Gamma^k_{ij}(p)\,a^i(p)X^j(p)\Bigr)\partial_k(p)

であるから、右辺は $\tilde Y$ に $a^1(p),a^2(p)$ だけを通じて依存し、 $Y$ について線形である。とくに $A_p(Y)$ は $\tilde Y$ の取り方に依らない（成分が定数である場から $\tilde Y$ を作ることができるので、そのような $\tilde Y$ は存在する）。 $A_p$ は $T_pM$ 上の線形変換であり、その跡

\operatorname{div}X(p)=\operatorname{tr}A_p

を $X$ の $p$ における発散 (divergence) という。

命題 1.4. $X$ を $M$ の上の滑らかな接ベクトル場とする。

$p\in M$ とし、 $(\epsilon_1,\epsilon_2)$ を $\mathrm{I}_p$ に関する $T_pM$ の正規直交基底とすると $\operatorname{div}X(p)=\sum_{a=1}^{2}\mathrm{I}_p\bigl(A_p(\epsilon_a),\ \epsilon_a\bigr)$ が成り立つ。ここで $A_p$ は定義 1.3の線形変換である。とくに右辺は正規直交基底の取り方に依らない。
$M$ のチャートの上で $X=\sum_iX^i\partial_i$ と書くと $\operatorname{div}X=\frac{1}{\sqrt{\det g}}\sum_{i=1}^{2}\frac{\partial}{\partial u^i}\Bigl(\sqrt{\det g}\ X^i\Bigr)$ が成り立つ。とくに $\operatorname{div}X$ は $M$ の上の滑らかな関数である。

証明.(1)を示す。 $(\epsilon_1,\epsilon_2)$ は $T_pM$ の正規直交基底であるから、線形変換 $A_p$ のこの基底に関する表現行列の $(a,b)$ 成分は $\mathrm{I}_p(A_p(\epsilon_b),\epsilon_a)$ である。跡は対角成分の和であるから $\operatorname{tr}A_p=\sum_a\mathrm{I}_p(A_p(\epsilon_a),\epsilon_a)$ である。跡は基底の取り方に依らないので、右辺も正規直交基底の取り方に依らない。

(2)を示す。跡を座標基底で計算する。定義 1.3の式で $\tilde Y=\partial_i$ と取ると

A_p(\partial_i)=\sum_{k=1}^{2}\Bigl(\frac{\partial X^k}{\partial u^i}+\sum_{j=1}^{2}\Gamma^k_{ij}X^j\Bigr)\partial_k

であるから

\operatorname{div}X=\sum_{i=1}^{2}\frac{\partial X^i}{\partial u^i}+\sum_{i,j=1}^{2}\Gamma^i_{ij}X^j

である。したがって、次の等式を示せば足りる。

\sum_{i=1}^{2}\Gamma^i_{ij}=\frac{1}{\sqrt{\det g}}\ \frac{\partial\sqrt{\det g}}{\partial u^j} \qquad(j\in\{1,2\}).

§E19.7 定理 5.3の式により

\sum_{i=1}^{2}\Gamma^i_{ij} =\frac12\sum_{i,l=1}^{2}g^{il}\Bigl(\frac{\partial g_{jl}}{\partial u^i}+\frac{\partial g_{il}}{\partial u^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^l}\Bigr)

である。第一項の和と第三項の和は打ち消し合う。実際、第三項の和において添字の名前 $i$ と $l$ を入れ替え、 $g^{li}=g^{il}$ と $g_{lj}=g_{jl}$ を用いると、第三項の和は第一項の和に一致する。よって

\sum_{i=1}^{2}\Gamma^i_{ij}=\frac12\sum_{i,l=1}^{2}g^{il}\frac{\partial g_{il}}{\partial u^j}

である。 $\det g=g_{11}g_{22}-g_{12}^2$ と

g^{11}=\frac{g_{22}}{\det g},\qquad g^{12}=g^{21}=\frac{-g_{12}}{\det g},\qquad g^{22}=\frac{g_{11}}{\det g}

から

\sum_{i,l=1}^{2}g^{il}\frac{\partial g_{il}}{\partial u^j} =\frac{1}{\det g}\Bigl(g_{22}\frac{\partial g_{11}}{\partial u^j}-2g_{12}\frac{\partial g_{12}}{\partial u^j}+g_{11}\frac{\partial g_{22}}{\partial u^j}\Bigr) =\frac{1}{\det g}\ \frac{\partial(\det g)}{\partial u^j}

である。 $\det g>0$ であるから

\frac12\cdot\frac{1}{\det g}\frac{\partial(\det g)}{\partial u^j} =\frac{1}{\sqrt{\det g}}\ \frac{\partial\sqrt{\det g}}{\partial u^j}

であり、求める等式が得られる。これを代入すると

\operatorname{div}X=\sum_{i=1}^{2}\frac{\partial X^i}{\partial u^i}+\sum_{i=1}^{2}X^i\ \frac{1}{\sqrt{\det g}}\frac{\partial\sqrt{\det g}}{\partial u^i} =\frac{1}{\sqrt{\det g}}\sum_{i=1}^{2}\frac{\partial}{\partial u^i}\Bigl(\sqrt{\det g}\,X^i\Bigr)

である。▨

定義 1.5. $h\colon M\to\mathbb{R}$ を滑らかな関数とする。

\Delta h=\operatorname{div}\bigl(\operatorname{grad}h\bigr)

と定め、 $\Delta$ を $(M,\mathrm{I})$ のLaplace–Beltrami 作用素 (Laplace–Beltrami operator) という。 $f=(f^1,\dots,f^n)\colon M\to\mathbb{R}^n$ が滑らかな写像であるときは、成分ごとに作用させて

\Delta f=\bigl(\Delta f^1,\dots,\Delta f^n\bigr)

と定める。

公式 1.6. $M$ のチャートの上で

\Delta h=\frac{1}{\sqrt{\det g}}\sum_{i,j=1}^{2}\frac{\partial}{\partial u^i}\Bigl(\sqrt{\det g}\ g^{ij}\frac{\partial h}{\partial u^j}\Bigr)

が成り立つ。この式は、命題 1.2の成分 $X^i=\sum_jg^{ij}\partial h/\partial u^j$ を命題 1.4 (2)へ代入して得られる。 $\mathbb{R}^n$ に値を持つ写像に対しては、右辺を成分ごとに読む。

定義 1.7. $M$ のチャート $(U,\phi)$ の座標が等温座標 (isothermal coordinates) であるとは、 $U$ の上の正の滑らかな関数 $\lambda$ が存在して、第一基本形式の成分が $U$ の全体で

g_{11}=g_{22}=\lambda^2,\qquad g_{12}=0

を満たすことをいう。

公式 1.8. $M$ のチャートの座標 $(u,v)$ が定義 1.7の意味の等温座標であり、 $\lambda$ を同定義の関数とすると、このチャートの上で

\Delta h=\frac{1}{\lambda^2}\Bigl(\frac{\partial^2h}{\partial u^2}+\frac{\partial^2h}{\partial v^2}\Bigr)

が成り立つ。

証明. $\det g=\lambda^4$ 、 $\sqrt{\det g}=\lambda^2$ 、 $g^{11}=g^{22}=\lambda^{-2}$ 、 $g^{12}=0$ である。公式 1.6へ代入すると

\Delta h=\frac{1}{\lambda^2}\Bigl[\frac{\partial}{\partial u}\Bigl(\lambda^2\cdot\lambda^{-2}\frac{\partial h}{\partial u}\Bigr)+\frac{\partial}{\partial v}\Bigl(\lambda^2\cdot\lambda^{-2}\frac{\partial h}{\partial v}\Bigr)\Bigr] =\frac{1}{\lambda^2}\bigl(h_{uu}+h_{vv}\bigr)

である。▨

注意 1.9 (符号の流儀と、等温座標を与えられたものとして扱うこと). 本単元は $\Delta=\operatorname{div}\circ\operatorname{grad}$ と定める。平面の標準的な第一基本形式（ $\lambda\equiv1$ ）に対して、この作用素は通常の Laplace 作用素 $\partial_u^2+\partial_v^2$ に一致する。解析の文献では、固有値を非負にするために符号を反転した $-\operatorname{div}\circ\operatorname{grad}$ を Laplace 作用素と呼ぶことがある。本記事の等式の符号は、上の定義に対するものである。

等温座標の存在は、本記事も本単元も証明しない。定義 1.7は、成分が上の形をしているチャートの座標に名前を与えたものであり、公式 1.8は、そのようなチャートが与えられたときに何が成り立つかを述べたものである。どちらも、そのようなチャートを取ることができることを主張していない。以下で等温座標を用いる箇所は、いずれも「与えられている」という仮定のもとにある。

2 Dirichlet エネルギー

定義 2.1. $f\colon M\to\mathbb{R}^n$ を滑らかな写像とする。点 $p\in M$ において $\mathrm{I}_p$ に関する $T_pM$ の正規直交基底 $(\epsilon_1,\epsilon_2)$ を取り

\lVert df\rVert^2(p)=\sum_{a=1}^{2}\bigl\lVert df_p(\epsilon_a)\bigr\rVert^2

と定める。命題 2.2により、この値は正規直交基底の取り方に依らない。 $e(f)=\tfrac12\lVert df\rVert^2$ を $f$ のエネルギー密度 (energy density) という。

$D\subseteq M$ をコンパクト集合とし、 $D$ が一つのチャート $(U,\phi)$ の定義域に含まれ、 $\phi(D)$ が Jordan 可測（「実解析 II」の§E4.11 定義 2.1）であるとする。 $f$ の $D$ 上のDirichlet エネルギー (Dirichlet energy) を

E(f;D)=\int_De(f)\,dA=\frac12\iint_{\phi(D)}\lVert df\rVert^2\sqrt{\det g}\ du^1du^2

と定める。被積分関数は連続であり $\phi(D)$ はコンパクトかつ Jordan 可測であるから、§E4.11 系 3.5によりこの積分は定まる。値がチャートの取り方に依らないことは、§E19.4 命題 5.2の証明と同じ変数変換による。 $M$ がコンパクトであり境界を持たない場合には、§E19.15 定理 1.1の三角形分割を一つ取れば、§E19.15 定義 2.1によって

E(f)=\frac12\int_M\lVert df\rVert^2\,dA

が定まる。本記事の以下の主張は、いずれも一つのチャートに含まれる領域の上の積分だけを用いるので、この形の積分を必要としない。

命題 2.2. $f\colon M\to\mathbb{R}^n$ を滑らかな写像とする。

正規直交基底による $\lVert df\rVert^2$ の定義は、基底の取り方に依らない。
$M$ のチャートの上で $\lVert df\rVert^2=\sum_{i,j=1}^{2}g^{ij}\Bigl\langle\frac{\partial f}{\partial u^i},\frac{\partial f}{\partial u^j}\Bigr\rangle$ が成り立つ。とくに $\lVert df\rVert^2$ は $M$ の上の滑らかな関数である。

証明. $p$ を含むチャートを一つ取り、 $\mathrm{I}_p$ に関する正規直交基底 $(\epsilon_1,\epsilon_2)$ を $\epsilon_a=\sum_iA^i_a\partial_i(p)$ と書く。 $\mathrm{I}_p(\epsilon_a,\epsilon_b)=\delta_{ab}$ は、行列 $A=(A^i_a)$ について $A^{\mathsf T}gA=I$ （ $I$ は二次単位行列）を意味する。 $g$ は正則であるから $A$ も正則であり、両辺の逆行列を取ると $A^{-1}g^{-1}(A^{\mathsf T})^{-1}=I$ 、すなわち $g^{-1}=AA^{\mathsf T}$ である。成分で書くと

\sum_{a=1}^{2}A^i_aA^j_a=g^{ij}

である。したがって

\sum_{a=1}^{2}\bigl\lVert df_p(\epsilon_a)\bigr\rVert^2 =\sum_{a=1}^{2}\sum_{i,j=1}^{2}A^i_aA^j_a\Bigl\langle\frac{\partial f}{\partial u^i},\frac{\partial f}{\partial u^j}\Bigr\rangle =\sum_{i,j=1}^{2}g^{ij}\Bigl\langle\frac{\partial f}{\partial u^i},\frac{\partial f}{\partial u^j}\Bigr\rangle

である。右辺は正規直交基底を含まないので、1 と 2 がともに従う。 $(g^{ij})$ の成分と $\partial f/\partial u^i$ は滑らかであるから、右辺は滑らかである。▨

例 2.3 (共形なはめ込みのエネルギー密度は $1$ である). $W\subseteq\mathbb{R}^2$ を開集合、 $\boldsymbol{x}\colon W\to\mathbb{R}^3$ を滑らかなはめ込みとし、第一基本形式の成分（§E19.12 定義 2.1）が $E=G=\lambda^2$ 、 $F=0$ を満たすとする。 $\mathrm{I}$ は各点で正定値であるから、 $W$ に $\mathrm{I}$ を与えた組は抽象曲面である（§E19.7 定義 5.1）。これを定義域とみると、座標 $(u,v)$ は等温座標である。命題 2.2 (2)により

\lVert d\boldsymbol{x}\rVert^2=\lambda^{-2}\lVert\boldsymbol{x}_u\rVert^2+\lambda^{-2}\lVert\boldsymbol{x}_v\rVert^2=\lambda^{-2}\lambda^2+\lambda^{-2}\lambda^2=2

であるから $e(\boldsymbol{x})\equiv1$ である。したがって、コンパクトで Jordan 可測な $D\subseteq W$ について

E(\boldsymbol{x};D)=\int_D1\,dA=\iint_D\sqrt{EG-F^2}\ du\,dv

である。右辺は、 $\boldsymbol{x}$ が正則パラメータ表示であるときには像 $\boldsymbol{x}(D)$ の面積である（§E19.4 定義 5.1）。共形なはめ込みについて調和性と極小性が同じ条件になる理由は、二つの汎関数がこの場合に同じ値を取ることにある。

3 第一変分

変分の設定を、「面積の第一変分と極小曲面」と同じ形に取る。すなわち、写像を動かす範囲を一つのチャートに含まれるコンパクト集合に限る。この制限は、境界を固定するという条件を、境界を持たない対象に対して述べたものである。

定義 3.1. $f\colon M\to\mathbb{R}^n$ を滑らかな写像とする。組 $(\mathcal{K},\varepsilon,F)$ が $f$ の台がコンパクトな変分 (compactly supported variation) であるとは、次の三つがすべて成り立つことをいう。

$\mathcal{K}\subseteq M$ はコンパクト集合であり、あるチャート $(U,\phi)$ の定義域 $U$ に含まれる。
$\varepsilon>0$ であり、 $F\colon M\times(-\varepsilon,\varepsilon)\to\mathbb{R}^n$ は滑らかな写像である。
すべての $p\in M$ について $F(p,0)=f(p)$ が成り立ち、すべての $p\in M\setminus\mathcal{K}$ とすべての $s\in(-\varepsilon,\varepsilon)$ について $F(p,s)=f(p)$ が成り立つ。

$F_s=F(\cdot,s)$ と書く。

V(p)=\frac{\partial F}{\partial s}(p,0)

で定まる滑らかな写像 $V\colon M\to\mathbb{R}^n$ を、この変分の変分場 (variation field) という。条件 (c)により $M\setminus\mathcal{K}$ の上で $V=0$ であるから、 $V$ が零でない点の全体の閉包は $\mathcal{K}$ に含まれる。

補題 3.2. $f\colon M\to\mathbb{R}^n$ を滑らかな写像、 $\mathcal{K}\subseteq M$ を一つのチャートの定義域に含まれるコンパクト集合、 $V\colon M\to\mathbb{R}^n$ を滑らかな写像であって $M\setminus\mathcal{K}$ の上で $V=0$ となるものとする。このとき

F(p,s)=f(p)+s\,V(p)\qquad\bigl((p,s)\in M\times\mathbb{R}\bigr)

は、 $\varepsilon>0$ をどのように取っても定義 3.1の条件を満たす $f$ の変分であり、その変分場は $V$ である。

証明. $F$ は滑らかな写像の和と積であるから滑らかである。 $F(p,0)=f(p)$ であり、 $p\in M\setminus\mathcal{K}$ では $V(p)=0$ であるから $F(p,s)=f(p)$ である。 $\partial F/\partial s=V$ であるから、変分場は $V$ である。▨

補題 3.3. $\mathcal{O}\subseteq\mathbb{R}^2$ を開集合、 $\mathcal{K}\subseteq\mathcal{O}$ をコンパクト集合、 $P^1,P^2\colon\mathcal{O}\to\mathbb{R}$ を滑らかな関数であって $\mathcal{O}\setminus\mathcal{K}$ の上で $P^1=P^2=0$ となるものとする。このとき

\iint_{\mathcal{O}}\Bigl(\frac{\partial P^1}{\partial u^1}+\frac{\partial P^2}{\partial u^2}\Bigr)du^1du^2=0

が成り立つ。ここで左辺は、 $\mathcal{K}$ を含むコンパクトで Jordan 可測な $\mathcal{O}$ の部分集合の上の積分として定める。被積分関数が零でない点の全体の閉包は $\mathcal{K}$ に含まれるので、値はその取り方に依らない。

証明. $P^1$ と $P^2$ を、 $\mathbb{R}^2\setminus\mathcal{K}$ の上では $0$ と定めて $\mathbb{R}^2$ 全体へ延ばす。 $\mathcal{O}$ と $\mathbb{R}^2\setminus\mathcal{K}$ は $\mathbb{R}^2$ を覆う開集合であり、共通部分 $\mathcal{O}\setminus\mathcal{K}$ の上で二つの定め方は一致するから、延長は $\mathbb{R}^2$ の上で滑らかである。 $\mathcal{K}$ は有界であるから、閉長方形 $R=[a,b]\times[c,d]$ であって $\mathcal{K}\subseteq(a,b)\times(c,d)$ を満たすものが存在する。

被積分関数は $R$ の上で連続であるから、「実解析 II」の§E4.12 定理 1により

\iint_R\frac{\partial P^1}{\partial u^1}\,du^1du^2=\int_c^d\Bigl(\int_a^b\frac{\partial P^1}{\partial u^1}(u^1,u^2)\,du^1\Bigr)du^2

である。内側の積分は、「ε-論法と基礎解析」の微分積分学の基本定理（§D1.19 定理 2.1）により $P^1(b,u^2)-P^1(a,u^2)$ に等しく、点 $(b,u^2)$ と $(a,u^2)$ はいずれも $\mathcal{K}$ に属さないから、この値は $0$ である。したがって第一項の積分は $0$ である。 $P^2$ については $u^2$ について先に積分すればよく、同じ理由で $0$ である。▨

証明の方針を述べる。出発点は、変分に沿うエネルギー密度が座標と $s$ について滑らかであることである。中間目標は二つある。第一に、エネルギーの $s$ についての微分を積分記号の下へ入れることである。「測地線・測地曲率・エネルギーの第一変分」の§E19.8 補題 2.1は一つの変数についての積分に対する主張であるから、二重積分をいったん累次積分へ直し、内側の積分と外側の積分のそれぞれへ適用する。第二に、得られた被積分関数 $\sum_{i,j}g^{ij}\langle\partial_iV,\partial_jf\rangle$ から $V$ の微分を外すことである。この一手が本質的である。 $\sqrt{\det g}\sum_jg^{ij}\langle V,\partial_jf\rangle$ を第 $i$ 成分とする場を作ると、その発散が、被積分関数と $\sqrt{\det g}\,\langle V,\Delta f\rangle$ の和になる。補題 3.3により発散の積分は消えるので、符号を変えた等式が残る。ここで公式 1.6の形の $\Delta$ がそのまま現れることが、この作用素を $\operatorname{div}\circ\operatorname{grad}$ と定めたことの帰結である。

定理 3.4 (Dirichlet エネルギーの第一変分). $f\colon M\to\mathbb{R}^n$ を滑らかな写像、 $(\mathcal{K},\varepsilon,F)$ を定義 3.1の変分、 $V$ をその変分場、 $(U,\phi)$ を $\mathcal{K}\subseteq U$ となるチャートとする。 $D\subseteq U$ をコンパクト集合であって、 $\phi(D)$ が Jordan 可測であり、 $\mathcal{K}$ が $D$ の内部に含まれるものとする。このとき

s\longmapsto E(F_s;D)

は $(-\varepsilon,\varepsilon)$ の上で $C^1$ 級であり

\left.\frac{d}{ds}\right|_{s=0}E(F_s;D)=-\int_D\bigl\langle V,\ \Delta f\bigr\rangle\,dA

が成り立つ。右辺の被積分関数が零でない点の全体の閉包は $\mathcal{K}$ に含まれるので、右辺は $D$ の取り方に依らない。

証明. $\phi$ による座標を $(u^1,u^2)$ と書き、 $\widehat{U}=\phi(U)$ 、 $\widehat{\mathcal{K}}=\phi(\mathcal{K})$ 、 $\widehat{D}=\phi(D)$ と置く。 $U$ の上の写像は座標を通じて $\widehat{U}$ の上の写像とみなす。

被積分関数の差を延長する。命題 2.2 (2)により、 $\lvert s\rvert<\varepsilon$ に対して

\psi(u^1,u^2,s)=\frac12\Bigl(\sum_{i,j=1}^{2}g^{ij}\bigl\langle\partial_iF_s,\partial_jF_s\bigr\rangle-\sum_{i,j=1}^{2}g^{ij}\bigl\langle\partial_if,\partial_jf\bigr\rangle\Bigr)\sqrt{\det g}

と置く。ここで $\partial_i=\partial/\partial u^i$ である。 $F$ は $M\times(-\varepsilon,\varepsilon)$ の上で滑らかであり、 $g^{ij}$ と $\sqrt{\det g}$ は $\widehat{U}$ の上で滑らかであるから、 $\psi$ は $\widehat{U}\times(-\varepsilon,\varepsilon)$ の上で滑らかである。定義 3.1 条件 (c)により、 $\widehat{U}\setminus\widehat{\mathcal{K}}$ の上では $F_s=f$ であるから $\psi=0$ である。そこで $\psi$ を $(\mathbb{R}^2\setminus\widehat{\mathcal{K}})\times(-\varepsilon,\varepsilon)$ の上では $0$ と定めて $\mathbb{R}^2\times(-\varepsilon,\varepsilon)$ へ延ばす。 $\widehat{\mathcal{K}}\subseteq\widehat{U}$ であるから、二つの開集合 $\widehat{U}$ と $\mathbb{R}^2\setminus\widehat{\mathcal{K}}$ は $\mathbb{R}^2$ を覆い、共通部分の上で二つの定め方は一致するから、延長は滑らかである。

積分領域を長方形へ取り替える。閉長方形 $R=[a,b]\times[c,d]$ を $\widehat{\mathcal{K}}\subseteq(a,b)\times(c,d)$ となるように取る。各 $s$ について $\psi(\cdot,\cdot,s)$ は連続であり、零でない点の全体の閉包は $\widehat{\mathcal{K}}$ に含まれるから、 $\widehat{\mathcal{K}}$ を含むコンパクトで Jordan 可測な集合の上の積分の値は、どれを取っても等しい。 $\widehat{\mathcal{K}}\subseteq\widehat{D}$ かつ $\widehat{\mathcal{K}}\subseteq R$ であるから

E(F_s;D)-E(f;D)=\iint_{\widehat{D}}\psi(u^1,u^2,s)\,du^1du^2=\iint_R\psi(u^1,u^2,s)\,du^1du^2=:\Phi(s)

である。したがって $\Phi$ を調べれば足りる。

累次積分へ直して積分記号の下で微分する。各 $s$ について $\psi(\cdot,\cdot,s)$ は $R$ の上で連続であるから、§E4.12 定理 1により

\Phi(s)=\int_a^b\Bigl(\int_c^d\psi(u^1,u^2,s)\,du^2\Bigr)du^1

である。内側の積分を $\eta(u^1,s)$ と書く。 $u^1\in[a,b]$ を固定すると、 $\psi$ と $\partial_s\psi$ は $[c,d]\times(-\varepsilon,\varepsilon)$ の上で連続であるから、§E19.8 補題 2.1により $s\mapsto\eta(u^1,s)$ は $C^1$ 級であり $\partial_s\eta(u^1,s)=\int_c^d\partial_s\psi(u^1,u^2,s)\,du^2$ である。次に $\eta$ と $\partial_s\eta$ が二変数の関数として連続であることを確かめる。 $0<\varepsilon'<\varepsilon$ を取ると $R\times[-\varepsilon',\varepsilon']$ はコンパクトであるから、 $\psi$ と $\partial_s\psi$ はその上で一様連続である。 $(u^1,s)$ と $(w,t)$ を $[a,b]\times[-\varepsilon',\varepsilon']$ の点とすると

\bigl\lvert\eta(u^1,s)-\eta(w,t)\bigr\rvert \le(d-c)\sup_{u^2\in[c,d]}\bigl\lvert\psi(u^1,u^2,s)-\psi(w,u^2,t)\bigr\rvert

であり、右辺は一様連続性により $(w,t)\to(u^1,s)$ のとき $0$ へ収束する。 $\partial_s\eta$ についても同じ評価を $\partial_s\psi$ に対して行えばよい。よって $\eta$ と $\partial_s\eta$ は $[a,b]\times(-\varepsilon,\varepsilon)$ の上で連続であり、ふたたび§E19.8 補題 2.1を適用して、 $\Phi$ は $(-\varepsilon,\varepsilon)$ の上で $C^1$ 級であり

\Phi'(s)=\int_a^b\Bigl(\int_c^d\frac{\partial\psi}{\partial s}(u^1,u^2,s)\,du^2\Bigr)du^1 =\iint_R\frac{\partial\psi}{\partial s}(u^1,u^2,s)\,du^1du^2

である。最後の等号は、 $\partial_s\psi(\cdot,\cdot,s)$ が $R$ の上で連続であることから§E4.12 定理 1による。

$s=0$ における被積分関数を計算する。 $g^{ij}=g^{ji}$ であるから、積の微分法により $\widehat{U}\times(-\varepsilon,\varepsilon)$ の上で

\frac{\partial}{\partial s}\Bigl(\frac12\sum_{i,j=1}^{2}g^{ij}\bigl\langle\partial_iF,\partial_jF\bigr\rangle\Bigr) =\sum_{i,j=1}^{2}g^{ij}\Bigl\langle\frac{\partial}{\partial s}\partial_iF,\ \partial_jF\Bigr\rangle

である。 $F$ は滑らかであるから「実解析 II」の§E4.4 定理 2.1により $\partial_s\partial_iF=\partial_i\partial_sF$ であり、 $s=0$ では $\partial_sF=V$ である。したがって、 $\widehat{U}$ の上で

\frac{\partial\psi}{\partial s}(u^1,u^2,0)=\Bigl(\sum_{i,j=1}^{2}g^{ij}\bigl\langle\partial_iV,\partial_jf\bigr\rangle\Bigr)\sqrt{\det g}

であり、 $\widehat{U}$ の外では $\partial_s\psi(\cdot,\cdot,0)=0$ である。この関数が零でない点の全体の閉包は $\widehat{\mathcal{K}}$ に含まれるから

\Phi'(0)=\iint_{\widehat{U}}\Bigl(\sum_{i,j=1}^{2}g^{ij}\bigl\langle\partial_iV,\partial_jf\bigr\rangle\Bigr)\sqrt{\det g}\ du^1du^2

である。

$V$ の微分を外す。 $\widehat{U}$ の上で

P^i=\sqrt{\det g}\sum_{j=1}^{2}g^{ij}\bigl\langle V,\ \partial_jf\bigr\rangle\qquad(i\in\{1,2\})

と置く。 $V$ は $\widehat{U}\setminus\widehat{\mathcal{K}}$ の上で零であるから $P^1$ と $P^2$ も同じ集合の上で零である。積の微分法により

\sum_{i=1}^{2}\partial_iP^i =\sum_{i,j=1}^{2}\sqrt{\det g}\ g^{ij}\bigl\langle\partial_iV,\partial_jf\bigr\rangle +\Bigl\langle V,\ \sum_{i,j=1}^{2}\partial_i\Bigl(\sqrt{\det g}\ g^{ij}\partial_jf\Bigr)\Bigr\rangle

である。公式 1.6を $f$ の成分ごとに読むと、右辺の第二項は $\sqrt{\det g}\,\langle V,\Delta f\rangle$ である。補題 3.3を $\mathcal{O}=\widehat{U}$ として適用すると左辺の積分は $0$ であるから

\Phi'(0)=-\iint_{\widehat{U}}\bigl\langle V,\Delta f\bigr\rangle\sqrt{\det g}\ du^1du^2 =-\int_D\bigl\langle V,\Delta f\bigr\rangle\,dA

である。最後の等号は、被積分関数が零でない点の全体の閉包が $\widehat{\mathcal{K}}\subseteq\widehat{D}$ に含まれることによる。 $E(F_s;D)=E(f;D)+\Phi(s)$ であるから、主張が従う。▨

4 調和写像

定義 4.1. 滑らかな写像 $f\colon M\to\mathbb{R}^n$ が調和写像 (harmonic map) であるとは、 $M$ の全体で

\Delta f=0

が成り立つことをいう。すなわち、 $f$ の $n$ 個の成分がいずれも $(M,\mathrm{I})$ の Laplace–Beltrami 作用素（定義 1.5）によって消えることをいう。 $n=1$ の場合には、 $f$ を調和関数 (harmonic function) という。

定理 4.2. $f\colon M\to\mathbb{R}^n$ を滑らかな写像とする。次の二つは同値である。

定義 3.1のすべての変分 $(\mathcal{K},\varepsilon,F)$ と、定理 3.4の条件を満たすすべての $D$ について $\left.\frac{d}{ds}\right|_{s=0}E(F_s;D)=0$ が成り立つ。
$f$ は調和写像である。

証明.(2) $\Rightarrow$ (1)を示す。 $\Delta f=0$ ならば定理 3.4の右辺の被積分関数が恒等的に零であるから、値は $0$ である。

(1) $\Rightarrow$ (2)を示す。 $p\in M$ を任意に取り、 $p$ を含むチャート $(U,\phi)$ を取る。 $\widehat{U}=\phi(U)$ と置く。 $c\in\mathbb{R}^n$ と、零でない点の全体の閉包がコンパクトで $\widehat{U}$ に含まれる滑らかな関数 $\varphi\colon\widehat{U}\to\mathbb{R}$ を任意に取る。その閉包を $\widehat{\mathcal{K}}$ 、 $\mathcal{K}=\phi^{-1}(\widehat{\mathcal{K}})$ と置く。 $V\colon M\to\mathbb{R}^n$ を、 $U$ の上では $V=\varphi\,c$ （座標を通じて読む）、 $M\setminus\mathcal{K}$ の上では $V=0$ と定める。二つの定め方は $U\setminus\mathcal{K}$ の上で一致するので、 $V$ は $M$ の上で滑らかである。補題 3.2により $F(q,s)=f(q)+sV(q)$ は変分場 $V$ を持つ変分である。定理 3.4が要求する $D$ は、次のようにして得られる。 $\widehat{\mathcal{K}}$ はコンパクトであって開集合 $\widehat U$ に含まれるから、 $\widehat{\mathcal{K}}$ と $\mathbb{R}^2\setminus\widehat U$ との距離 $\rho$ （ $\widehat U=\mathbb{R}^2$ のときは任意の正の数）は正であり、辺の長さが $\rho/2$ より小さい正方格子の閉正方形のうち $\widehat{\mathcal{K}}$ と交わるものは有限個であって、その合併はコンパクトかつ Jordan 可測であり、 $\widehat{\mathcal{K}}$ を内部に含み $\widehat U$ に含まれる。この合併を $\phi^{-1}$ で引き戻したものを $D$ と取る。仮定と定理 3.4により

0=-\int_D\bigl\langle V,\Delta f\bigr\rangle\,dA =-\iint_{\widehat{U}}\varphi\ \bigl\langle c,\Delta f\bigr\rangle\sqrt{\det g}\ du^1du^2

である。 $w=\langle c,\Delta f\rangle\sqrt{\det g}$ と置くと、 $w$ は $\widehat{U}$ の上の連続関数であり、上の等式は、台がコンパクトで $\widehat{U}$ に含まれるすべての滑らかな $\varphi$ について $\iint_{\widehat{U}}w\varphi\,du^1du^2=0$ が成り立つことを意味する。「面積の第一変分と極小曲面」の§E19.16 補題 3.1により $w\equiv0$ である。 $\sqrt{\det g}>0$ であるから $\widehat{U}$ の上で $\langle c,\Delta f\rangle=0$ であり、 $c\in\mathbb{R}^n$ は任意であったから $U$ の上で $\Delta f=0$ である。とくに $\Delta f(p)=0$ である。 $p$ は任意であったから、 $M$ の全体で $\Delta f=0$ である。▨

例 4.3 (平面領域の上の調和関数). $W\subseteq\mathbb{R}^2$ を開集合とし、 $\mathrm{I}$ を $\mathbb{R}^2$ の標準内積の各点への制限とする。この抽象曲面のチャートとして恒等写像を取ると $g_{11}=g_{22}=1$ 、 $g_{12}=0$ であるから、公式 1.8を $\lambda\equiv1$ として適用して $\Delta h=h_{uu}+h_{vv}$ である。したがって定義 4.1は、この場合には通常の意味の調和関数の定義に一致する。たとえば $h(u,v)=u^2-v^2$ は $h_{uu}+h_{vv}=2-2=0$ を満たすので調和関数である。

台がコンパクトで $W$ に含まれる滑らかな関数 $\varphi$ を取り、 $V=\varphi$ を変分場とする変分 $F(\cdot,s)=h+s\varphi$ を考えると、定理 3.4は

\left.\frac{d}{ds}\right|_{s=0}\frac12\iint_D\bigl\lVert\operatorname{grad}(h+s\varphi)\bigr\rVert^2du\,dv=-\iint_D\varphi\,(h_{uu}+h_{vv})\,du\,dv

という古典的な等式になる。ここで $D$ は、 $\varphi$ の台を内部に含むコンパクトで Jordan 可測な $W$ の部分集合である。

4.1 勾配降下を目で追う

調和写像は Dirichlet エネルギーの臨界点であり、臨界点は勾配が消える点である。有限個の頂点からなる格子でこの構造を近似すると、各頂点で勾配の逆向きへ動かす操作を繰り返すことができ、エネルギーが減るにつれてその向きが消えていく様子を追うことができる。次の図はその操作を実行する。

離散 Dirichlet エネルギーの勾配降下

三次元の閉曲線を境界とする格子の面が描かれ、境界を除く各頂点から短い矢印が伸びている。矢印は離散 Dirichlet エネルギーの勾配の逆向きであり、隣接する頂点の平均へ向かう。図の左上には座標系を置く。曲面と同じ正射影で三本の軸を描き、x 軸を実線、y 軸を破線、z 軸を点線として、それぞれの先に x・y・z の文字を添えるので、色を見分けることができなくても三本を区別することができる。視点を回すと座標系も曲面と一緒に回るので、面がどの向きに置かれているかを読み取ることができる。境界の閉曲線は xy 平面の単位円の上に載り、z 方向へ上下する。反復を進めると面は滑らかになり、矢印は一様に短くなって消える。エネルギーは 6.41 から 4.29 へ、矢印の最大の長さは 0.023 から 0.00004 へ単調に減り、313 回の反復で停止条件に達する。到達する曲面は離散調和写像であり、平均曲率が零である極小曲面と一致するとは限らない。

境界を三次元の閉曲線に固定し、素朴に張った面から出発して、各頂点を隣接する頂点の平均へ少しずつ寄せる。矢印の長さの倍率は初期の値で固定してあるので、短くなることがそのまま勾配の減少を表す。ここで得られるのは調和写像であって、平均曲率が零である極小曲面そのものではない。両者は写像が等温座標を与える場合に一致するが、この格子でそれが成り立つとは限らない。

矢印が消えていくことは、勾配が零へ向かうことの見え方である。有限の格子で得られるのは離散化した問題の停留点であり、連続な問題の解へ収束することを本記事は主張しない。

5 共形なはめ込みと極小曲面

本節では、写像を $\boldsymbol{x}$ と書く。第二基本形式の成分 $e,f,g$ （§E19.5 命題 3.2）と記号が衝突することを避けるためである。

証明の方針を述べる。等温座標では公式 1.8により $\Delta\boldsymbol{x}=\lambda^{-2}(\boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv})$ であるから、示すべきことは $\boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv}$ を計算することである。この和を、正規直交基底 $(\boldsymbol{x}_u/\lambda,\ \boldsymbol{x}_v/\lambda,\ N)$ によって分解する。接方向の二つの成分は、第一基本形式の成分の偏導関数だけで書くことができ、 $E=G=\lambda^2$ と $F=0$ を代入すると打ち消し合って零になる。法方向の成分は定義により $e+g$ であり、共形性のもとで平均曲率の成分表示がこれを $2\lambda^2H$ へ書き換える。二つを合わせると $\boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv}=2\lambda^2HN$ が得られる。

定理 5.1. $W\subseteq\mathbb{R}^2$ を開集合とし、 $\boldsymbol{x}\colon W\to\mathbb{R}^3$ を $C^\infty$ のはめ込みとする。§E19.12 定義 2.1の記号のもとで、座標 $(u,v)$ が $\boldsymbol{x}$ の第一基本形式に対する等温座標であることを仮定する。すなわち、 $W$ の上の正の $C^\infty$ 関数 $\lambda$ が存在して

E=G=\lambda^2,\qquad F=0

が $W$ の全体で成り立つと仮定する。このような座標を取ることができることは、本記事も本単元も証明しない。本定理は、そのような座標が与えられている場合についての主張である。

$W$ に第一基本形式 $\mathrm{I}$ を与えた抽象曲面を定義域とみなし、 $\boldsymbol{x}$ を $W$ から $\mathbb{R}^3$ への滑らかな写像とみなす。 $N$ を§E19.12 定義 2.1の単位法線、 $H=\dfrac{eG-2fF+gE}{2(EG-F^2)}$ をこの向きに関する平均曲率とする。このとき次が成り立つ。

$W$ の全体で $\Delta\boldsymbol{x}=2HN$ である。
$\boldsymbol{x}$ が定義 4.1の意味で調和写像であることと、 $W$ の全体で $H\equiv0$ であることは同値である。
$\boldsymbol{x}$ が正則曲面の正則パラメータ表示であるとき、2 の条件は、像 $\boldsymbol{x}(W)$ が極小曲面であること（§E19.16 定義 3.2）と同値である。

単位法線を $-N$ へ取り替えると $H$ と $N$ がともに符号を変えるので（§E19.6 命題 2.4）、1 の等式は保たれる。

証明. 基底を用意する。 $\lVert\boldsymbol{x}_u\rVert^2=\lVert\boldsymbol{x}_v\rVert^2=\lambda^2$ かつ $\langle\boldsymbol{x}_u,\boldsymbol{x}_v\rangle=0$ であるから、各点で $\bigl(\boldsymbol{x}_u/\lambda,\ \boldsymbol{x}_v/\lambda,\ N\bigr)$ は $\mathbb{R}^3$ の正規直交基底である。したがって、ベクトル $Z\in\mathbb{R}^3$ は

Z=\frac{\langle Z,\boldsymbol{x}_u\rangle}{\lambda^2}\boldsymbol{x}_u+\frac{\langle Z,\boldsymbol{x}_v\rangle}{\lambda^2}\boldsymbol{x}_v+\langle Z,N\rangle N

と分解される。

接方向の成分を計算する。 $\boldsymbol{x}$ は $C^\infty$ であるから「実解析 II」の§E4.4 定理 2.1により $\boldsymbol{x}_{uv}=\boldsymbol{x}_{vu}$ である。 $E=\langle\boldsymbol{x}_u,\boldsymbol{x}_u\rangle$ を $u$ で偏微分して

\langle\boldsymbol{x}_{uu},\boldsymbol{x}_u\rangle=\tfrac12E_u

を得る。 $F=\langle\boldsymbol{x}_u,\boldsymbol{x}_v\rangle$ を $v$ で偏微分し、 $G=\langle\boldsymbol{x}_v,\boldsymbol{x}_v\rangle$ を $u$ で偏微分すると

F_v=\langle\boldsymbol{x}_{uv},\boldsymbol{x}_v\rangle+\langle\boldsymbol{x}_u,\boldsymbol{x}_{vv}\rangle,\qquad G_u=2\langle\boldsymbol{x}_{vu},\boldsymbol{x}_v\rangle

であるから

\langle\boldsymbol{x}_{vv},\boldsymbol{x}_u\rangle=F_v-\tfrac12G_u

である。二つを加えると

\bigl\langle\boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv},\ \boldsymbol{x}_u\bigr\rangle=\tfrac12E_u+F_v-\tfrac12G_u

である。仮定 $E=G=\lambda^2$ と $F=0$ を代入すると、右辺は $\tfrac12(\lambda^2)_u+0-\tfrac12(\lambda^2)_u=0$ である。 $u$ と $v$ を入れ替えた同じ計算により

\bigl\langle\boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv},\ \boldsymbol{x}_v\bigr\rangle=\tfrac12G_v+F_u-\tfrac12E_v=0

である。

法方向の成分を計算する。§E19.12 定義 2.1により $\langle\boldsymbol{x}_{uu},N\rangle=e$ 、 $\langle\boldsymbol{x}_{vv},N\rangle=g$ であるから

\bigl\langle\boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv},\ N\bigr\rangle=e+g

である。一方、 $E=G=\lambda^2$ と $F=0$ から $EG-F^2=\lambda^4$ であり

H=\frac{eG-2fF+gE}{2(EG-F^2)}=\frac{\lambda^2(e+g)}{2\lambda^4}=\frac{e+g}{2\lambda^2}

であるから $e+g=2\lambda^2H$ である。

(1)を示す。上の分解に $Z=\boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv}$ を代入すると

\boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv}=0\cdot\boldsymbol{x}_u+0\cdot\boldsymbol{x}_v+2\lambda^2H\,N=2\lambda^2H\,N

である。座標 $(u,v)$ は等温座標であるから、公式 1.8を $\boldsymbol{x}$ の成分ごとに適用して

\Delta\boldsymbol{x}=\frac{1}{\lambda^2}\bigl(\boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv}\bigr)=2HN

である。

(2)を示す。 $\lVert N\rVert=1$ であるから $\lVert\Delta\boldsymbol{x}\rVert=2\lvert H\rvert$ である。したがって、 $\Delta\boldsymbol{x}=0$ が $W$ の全体で成り立つことと $H\equiv0$ は同値である。

(3)を示す。 $\boldsymbol{x}$ が正則パラメータ表示であるとき、§E19.12 定義 2.1の成分は§E19.4 定義 1.3と§E19.5 命題 3.2の成分に一致するから、上の $H$ は§E19.6 公式 2.3が与える像の平均曲率に一致する。§E19.16 定義 3.2により、像が極小曲面であることは、その上で平均曲率が恒等的に零であることである。よって 2 の条件は像が極小曲面であることと同値である。▨

例 5.2 (球面による符号と係数の検算). $r>0$ とし、 $w=1+u^2+v^2$ と置いて

\boldsymbol{x}(u,v)=\frac{r}{w}\bigl(2u,\ 2v,\ w-2\bigr)\qquad\bigl((u,v)\in\mathbb{R}^2\bigr)

と定める。この写像は、北極 $(0,0,r)$ からの立体射影の逆写像であり、像は半径 $r$ の球面から北極を除いたものである。

像が球面に含まれることを確かめる。 $\rho^2=u^2+v^2$ と置くと $w=1+\rho^2$ 、 $w-2=\rho^2-1$ であるから

\lVert\boldsymbol{x}\rVert^2=\frac{r^2}{w^2}\bigl(4\rho^2+(\rho^2-1)^2\bigr)=\frac{r^2}{w^2}\bigl(\rho^4+2\rho^2+1\bigr)=\frac{r^2}{w^2}\,w^2=r^2

である。

等温座標であることを確かめる。偏微分すると

\boldsymbol{x}_u=\frac{2r}{w^2}\bigl(w-2u^2,\ -2uv,\ 2u\bigr),\qquad \boldsymbol{x}_v=\frac{2r}{w^2}\bigl(-2uv,\ w-2v^2,\ 2v\bigr)

である。 $v^2+1=w-u^2$ に注意して

(w-2u^2)^2+4u^2v^2+4u^2=w^2-4u^2w+4u^4+4u^2(v^2+1)=w^2-4u^2w+4u^4+4u^2(w-u^2)=w^2

であるから $E=\dfrac{4r^2}{w^2}$ である。同じ計算により $G=\dfrac{4r^2}{w^2}$ である。さらに

F=\frac{4r^2}{w^4}\cdot2uv\Bigl(-(w-2u^2)-(w-2v^2)+2\Bigr)=\frac{8r^2uv}{w^4}\cdot2\bigl(1+u^2+v^2-w\bigr)=0

である。よって $\lambda=\dfrac{2r}{w}$ として定理 5.1の仮定が満たされる。

単位法線が内向きであることを確かめる。 $(u,v)=(0,0)$ では $\boldsymbol{x}=(0,0,-r)$ 、 $\boldsymbol{x}_u=2r(1,0,0)$ 、 $\boldsymbol{x}_v=2r(0,1,0)$ であるから $\boldsymbol{x}_u\times\boldsymbol{x}_v=4r^2(0,0,1)$ であり、 $N(0,0)=(0,0,1)=-\boldsymbol{x}(0,0)/r$ である。関数 $(u,v)\mapsto\langle N,\boldsymbol{x}\rangle/r$ は $\mathbb{R}^2$ の上で連続であり、値は $\{1,-1\}$ に含まれ、 $\mathbb{R}^2$ は連結であるから、この値は恒等的に $-1$ である。すなわち $N=-\boldsymbol{x}/r$ であり、この向きは球面が囲む領域から見て内向きである。したがって、この向きは本単元が閉曲面に対して固定した向きである。§E19.6 命題 4.3により、内向きの単位法線に関して $H\equiv1/r$ である。

両辺を独立に計算する。まず

\frac{\partial^2}{\partial u^2}\frac1w+\frac{\partial^2}{\partial v^2}\frac1w =-\frac{2w-8u^2}{w^3}-\frac{2w-8v^2}{w^3} =\frac{8\rho^2-4w}{w^3}=\frac{4(w-2)}{w^3}

である（ $\rho^2=w-1$ による）。したがって第三成分については

\frac{\partial^2}{\partial u^2}\Bigl(r-\frac{2r}{w}\Bigr)+\frac{\partial^2}{\partial v^2}\Bigl(r-\frac{2r}{w}\Bigr)=-\frac{8r(w-2)}{w^3}

である。第一成分については

\frac{\partial^2}{\partial u^2}\frac uw+\frac{\partial^2}{\partial v^2}\frac uw=u\cdot\frac{4(w-2)}{w^3}+2\cdot\Bigl(-\frac{2u}{w^2}\Bigr)=\frac{-8u}{w^3}

であるから、値は $-\dfrac{16ru}{w^3}$ である。第二成分も同様に $-\dfrac{16rv}{w^3}$ である。以上をまとめると

\boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv}=-\frac{8r}{w^3}\bigl(2u,\ 2v,\ w-2\bigr)=-\frac{8}{w^2}\,\boldsymbol{x}

である。 $\lambda^2=4r^2/w^2$ であるから

\Delta\boldsymbol{x}=\frac{w^2}{4r^2}\Bigl(-\frac{8}{w^2}\boldsymbol{x}\Bigr)=-\frac{2}{r^2}\,\boldsymbol{x}

である。一方、 $H\equiv1/r$ と $N=-\boldsymbol{x}/r$ から

2HN=2\cdot\frac1r\cdot\Bigl(-\frac{\boldsymbol{x}}{r}\Bigr)=-\frac{2}{r^2}\,\boldsymbol{x}

である。二つは一致する。

この検算は係数 $2$ と符号の両方を確かめている。仮に等式を $\Delta\boldsymbol{x}=HN$ と書いていれば右辺は $-\boldsymbol{x}/r^2$ となり、 $\Delta\boldsymbol{x}=-2HN$ と書いていれば右辺は $+2\boldsymbol{x}/r^2$ となり、いずれも左辺と一致しない。さらに、この符号は「面積の第一変分と極小曲面」の§E19.16 定理 2.1と整合する。同記事の§E19.16 例 2.3は外向きの単位法線を取って $H\equiv-1/r$ とし、面積の第一変分 $-\int2H\varphi\,dA$ が、球面を外へ膨らませたときの面積の増加率と一致することを確かめている。本例で内向きを取ると $H$ と $N$ がともに符号を変えるので、積 $2HN$ は変わらない。

例 5.3 (懸垂面と常螺旋面の共形なパラメータ表示). 懸垂面。 $\boldsymbol{x}(u,v)=\bigl(\cosh u\cos v,\ \cosh u\sin v,\ u\bigr)$ と置く。これは「面積の第一変分と極小曲面」の§E19.16 例 4.1の懸垂面の母数を $c=1$ とした場合である。

\boldsymbol{x}_u=\bigl(\sinh u\cos v,\ \sinh u\sin v,\ 1\bigr),\qquad \boldsymbol{x}_v=\bigl(-\cosh u\sin v,\ \cosh u\cos v,\ 0\bigr)

であるから $E=\sinh^2u+1=\cosh^2u$ 、 $G=\cosh^2u$ 、 $F=0$ であり、 $\lambda=\cosh u$ として定理 5.1の仮定が満たされる。さらに

\boldsymbol{x}_{uu}=\bigl(\cosh u\cos v,\ \cosh u\sin v,\ 0\bigr),\qquad \boldsymbol{x}_{vv}=\bigl(-\cosh u\cos v,\ -\cosh u\sin v,\ 0\bigr)

であるから $\boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv}=0$ であり、 $\Delta\boldsymbol{x}=0$ である。すなわち $\boldsymbol{x}$ は調和写像である。定理 5.1 (2)により $H\equiv0$ であり、§E19.16 例 4.1の直接計算と一致する。

常螺旋面。 $\boldsymbol{x}(u,v)=\bigl(\sinh u\cos v,\ \sinh u\sin v,\ v\bigr)$ と置く。 $t=\sinh u$ と置くと、これは§E19.6 命題 4.3の常螺旋面（母数 $c=1$ ）の母数の取り替えであり、 $\sinh$ が $\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への微分同相であるから、像は同じ正則曲面である。

\boldsymbol{x}_u=\bigl(\cosh u\cos v,\ \cosh u\sin v,\ 0\bigr),\qquad \boldsymbol{x}_v=\bigl(-\sinh u\sin v,\ \sinh u\cos v,\ 1\bigr)

であるから $E=\cosh^2u$ 、 $G=\sinh^2u+1=\cosh^2u$ 、 $F=0$ であり、ここでも $\lambda=\cosh u$ である。

\boldsymbol{x}_{uu}=\bigl(\sinh u\cos v,\ \sinh u\sin v,\ 0\bigr),\qquad \boldsymbol{x}_{vv}=\bigl(-\sinh u\cos v,\ -\sinh u\sin v,\ 0\bigr)

であるから $\boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv}=0$ であり、 $\boldsymbol{x}$ は調和写像である。したがって $H\equiv0$ であり、§E19.6 命題 4.3の表と一致する。

母数を $c\ne1$ に取ると、上の懸垂面の表示は共形でなくなる。§E19.16 例 4.1の懸垂面では $E=\cosh^2(u/c)$ 、 $G=c^2\cosh^2(u/c)$ であるから、 $E=G$ が成り立つのは $c=1$ の場合に限る。極小性そのものは母数に依らない。したがってこの例は、調和性が座標の取り方に依存する条件であり、極小性が座標の取り方に依らない条件であることを示している。定理 5.1が二つを結ぶのは、等温座標が与えられているという仮定のもとに限る。

6 演習

問題 6.1.

命題 1.4 (2)の証明のうち、 $\sum_i\Gamma^i_{ij}$ が $\sqrt{\det g}$ の対数微分に等しいことを示した部分を再現する。Christoffel 記号の式の三つの項のうち、第一項の和と第三項の和が打ち消し合う理由を、添字の入れ替えと $g^{il}=g^{li}$ の使い方に即して述べる。
命題 2.2の証明で $g^{-1}=AA^{\mathsf T}$ を導いた箇所を再現する。 $(\epsilon_1,\epsilon_2)$ が正規直交でない基底であるとき、 $\sum_a\lVert df_p(\epsilon_a)\rVert^2$ が基底の取り方に依存することを、平面の標準的な第一基本形式と $f(u,v)=u$ の場合に具体例で示す。
定理 3.4の証明で§E19.8 補題 2.1を二度適用した。二度目の適用のために $\eta$ と $\partial_s\eta$ の連続性を確かめる段を省くと、同補題のどの仮定が満たされないかを述べる。
定理 3.4の証明のうち、 $P^i=\sqrt{\det g}\sum_jg^{ij}\langle V,\partial_jf\rangle$ と置いて $V$ の微分を外した部分を再現する。 $P^i$ の定義から因子 $\sqrt{\det g}$ を落とすと、公式 1.6の形が現れなくなる理由を述べる。
定理 4.2 (1) $\Rightarrow$ (2)を導く部分を再現する。変分場を $V=\varphi c$ という形に限ってよい理由と、 $c\in\mathbb{R}^n$ を任意に動かす必要がある理由を、それぞれ述べる。
定理 4.2の証明が§E19.16 補題 3.1を用い、§E19.8 補題 3.5を用いていない理由を述べる。後者を二重積分へ適用しようとすると、主張のどの部分が対応しなくなるかを指摘する。
定理 5.1の証明のうち、接方向の二つの成分が零になる部分を再現する。仮定 $F=0$ を落として $E=G$ だけを仮定した場合に、 $\langle\boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv},\boldsymbol{x}_u\rangle$ がどのような式になるかを書き下す。
例 5.2の検算を、単位法線を外向きに取った場合について書き直す。 $H$ 、 $N$ および積 $2HN$ がそれぞれどのように変わるかを追い、等式が保たれることを確かめる。
常螺旋面の母数 $c=2$ の表示 $\boldsymbol{x}(u,v)=(u\cos v,\ u\sin v,\ 2v)$ について第一基本形式の成分を計算し、この座標が等温座標でないことを確かめる。次に $\boldsymbol{x}_{uu}+\boldsymbol{x}_{vv}$ を計算し、その値が定理 5.1 (1)の右辺と一致しないことを確かめる。この不一致が定理の反例にならない理由を述べる。
例 2.3を用いて、共形なはめ込みについて Dirichlet エネルギーと面積が一致することを再現する。この一致が、定理 4.2と§E19.16 定理 3.4をどのように結ぶかを述べる。

7 境界と次

標的を Euclid 空間に限ったこと。定義 4.1は標的が $\mathbb{R}^n$ である場合の定義である。標的が第一基本形式を持つ一般の多様体であるとき、定理 3.4の右辺には標的の Christoffel 記号を含む項が加わり、方程式は張力場が消えるという形になる。その定式化、および標的の曲率が解の振る舞いへ与える制約は「Riemann 幾何 II」が扱う。

等温座標の存在を証明していないこと。定理 5.1は、等温座標が与えられている場合についての主張である。第一基本形式を与えられた曲面のどの点のまわりにも等温座標を取ることができるという事実は成り立つが、その証明は本単元の範囲外であり、本記事のどの主張の根拠にも用いていない。例 5.3が示すとおり、極小性は座標の取り方に依らない条件であり、調和性は座標の取り方に依存する条件である。等温座標の存在は、後者から前者を復元するために必要になる。

解の存在を扱わないこと。本記事が示したのは、臨界点であることと $\Delta f=0$ が同値であることだけである。境界の値を指定したときに調和写像が存在するかどうか、その解が滑らかであるかどうか、および臨界点が最小点であるかどうかは、いずれも本記事の範囲外である。汎関数の下限が達成されることを示す直接法、下半連続性および弱コンパクト性は「変分法」が扱う。調和写像の存在、正則性、第二変分および安定性は「Riemann 幾何 II」が扱う。

次の記事へ渡すもの。定義 2.1と定義 4.1は「極小曲面と調和性の計算実験」が用いる。同記事は、長方形領域の上の Dirichlet 問題を差分で離散化し、反復によって離散エネルギーと離散調和性の残差が減少することを観察する。公式 1.8は、その離散化が五点差分の形になる根拠である。

§E19.17Dirichlet エネルギーと調和写像

1 勾配・発散・Laplace–Beltrami 作用素

2 Dirichlet エネルギー

3 第一変分

4 調和写像

4.1 勾配降下を目で追う

5 共形なはめ込みと極小曲面

6 演習

7 境界と次

参考文献

前提記事