§E19.14局所 Gauss–Bonnet とホロノミー

証明.(1)を示す。$T$は単位ベクトルであり$(e_1,e_2)$は各点で正規直交基底であるから

は$S^1$に値を取る。$T$、$e_i\circ\gamma$および$\mathrm{I}$は滑らかであるから$w$は$C^\infty$である。§E19.13 補題 2.1により$w$の偏角の連続な選択$\varphi$が存在し、$\varphi(a)$を指定すれば一意である。$T=\mathrm{I}(T,e_1)e_1+\mathrm{I}(T,e_2)e_2$であるから、主張の等式が成り立つ。$\varphi$が$C^\infty$であることは、§E19.13 補題 2.2の証明の前半と同じ議論による。すなわち、$w$の成分のうち零でない方に応じて逆三角関数を局所的に合成する。

(2)を示す。$m=-\sin\varphi\,e_1+\cos\varphi\,e_2$と置く。$(e_1,e_2)$が正規直交であるから$\lVert m\rVert=1$かつ$\mathrm{I}(T,m)=0$である。また$(T,m)$から$(e_1,e_2)$への基底変換行列は角$\varphi$の回転行列であり、行列式が$1$であるから、$(T,m)$は正の基底である。§E19.8 定義 5.1の三条件を満たすベクトルは一意であるから$n=m$である。

(3)を示す。§E19.7 命題 6.2 (1)の積の規則と(2)により

である。§E19.10 命題 2.2 (1)により$\nabla_Te_1=\omega_{12}(T)e_2$、$\nabla_Te_2=-\omega_{12}(T)e_1$であるから、右辺の後半は

である。(2)により前半は$\varphi'\,n$であるから

であり、$\mathrm{I}(n,n)=1$を用いて$\kappa_g=\mathrm{I}(DT/ds,n)=\varphi'+\omega_{12}(T)$を得る。▨

証明.$\boldsymbol{x}=\phi^{-1}$と置き、座標を$(u,v)$と書く。$\boldsymbol{x}^{\ast}\omega_{12}$は$\phi(U)$上の$C^\infty$一次微分形式であるから

と書くことができる。

線積分の書き換え。$c=\phi\circ\gamma$と置く。$\phi$はチャートであるから、$c$は$\gamma$の座標表示であり、各弧の上で$C^\infty$である（$M$が正則曲面である場合は§E19.4 補題 2.1による）。$\gamma'\ne0$と$d\boldsymbol{x}$が同型であることから$c'\ne0$である。連鎖律により$T=d\boldsymbol{x}(c')$であるから

である。よって定義 3.1の和は、平面の線積分

に等しい。ここで$\partial Q$には$c$が与える向きを取る。

向きの一致。$c$が§E4.22 定義 1.2 条件 (d)の正の向き、すなわち$Q$を左に見る向きを与えることを示す。$s$を境界の滑らかな弧の内部の点とし、$p=\gamma(s)$、$q=c(s)$と置く。$d\boldsymbol{x}_q\colon\mathbb{R}^2\to T_pM$は線形同型であり、チャートが正の向きを持つので、$\mathbb{R}^2$の標準的な正の基底を$T_pM$の正の基底へ写す。$n$を§E19.8 定義 5.1の単位法ベクトルとし、$\nu=(d\boldsymbol{x}_q)^{-1}(n)$と置くと、$(c'(s),\nu)$は$\mathbb{R}^2$の正の基底であるから$\det(c'(s),\nu)>0$である。一方、$\mathbb{R}^2$の正の向きの直角回転を$J$と書くと$\det(c'(s),Jc'(s))=\lVert c'(s)\rVert^2>0$である。$\nu$と$Jc'(s)$はいずれも$c'(s)$に平行でなく、$\det(c'(s),\cdot)$の符号が等しいから、直線$\mathbb{R}c'(s)$の同じ側にある。

§E4.22 定義 1.2 条件 (c)により、$q$の十分小さい球$B(q,r)$について$B(q,r)\setminus\partial Q$はちょうど二つの連結成分を持ち、一方が$Q$の内部、他方が$Q$の外部に含まれる。$r$を十分小さく取ると、$\partial Q$は$B(q,r)$の中で$C^1$の正則な弧であり、二つの成分は直線$q+\mathbb{R}c'(s)$の両側に対応する。したがって、$q$から出る短い線分の終点が$Q$の内部にあるかどうかは、方向ベクトル$w$について$\det(c'(s),w)$の符号だけで決まる。$R$を左に見る向きに取ったことにより$n$は$R$の内側を向くから、$\nu$の側が$Q$の内部であり、したがって$Jc'(s)$の側も$Q$の内部である。すなわち$Q$は進行方向の左側にある。

Green の定理。$Q$は§E4.22 定義 1.2の正則領域であり穴を持たないから、「実解析 II」の§E4.22 定理 4.1を$D=Q$、$P$、$Q_1$に適用して

を得る。$P,Q_1$は$Q$を含む開集合$\phi(U)$の上で$C^\infty$であるから、定理の仮定は満たされる。

被積分関数の同定。$(M,\mathrm{I})$は抽象曲面であるから、$d\omega_{12}=-K\,\omega_1\wedge\omega_2$は§E19.11 定理 2.1 (1)が Gauss 曲率$K$を定めるために用いる等式そのものである。$M$が正則曲面であるときは、§E19.11 定理 2.1 (3)により、この$K$は§E19.6 定義 2.1の Gauss 曲率に一致し、上の等式は§E19.11 定理 1.2に一致する。外微分と引き戻しが可換であること（「多様体入門」の§E17.11 命題 3.1）により

である。

面積要素との突き合わせ。§E19.10 命題 1.4は、§E19.10 命題 1.3が座標基底の Gram–Schmidt 直交化として作る標構についての主張である。本補題の$(e_1,e_2)$は$U$上の任意の正の正規直交接標構であるから、二つの標構で$\omega_1\wedge\omega_2$が一致することを確かめる。

§E19.10 命題 1.3の標構を$(\bar e_1,\bar e_2)$、その余標構を$(\bar\omega_1,\bar\omega_2)$と書く。座標基底$(\partial_1,\partial_2)$から$(\bar e_1,\bar e_2)$への基底変換の行列式は

であり、チャートが正の向きを持つから、$(\bar e_1,\bar e_2)$は各点で正の基底である。§E19.10 定理 4.1 (3)により、各点の連結な開近傍の上で$(e_1,e_2)$は$(\bar e_1,\bar e_2)$から§E19.10 定理 4.1 (1)の回転によって得られるか、または§E19.10 定理 4.1 (1)と§E19.10 定理 4.1 (2)の合成によって得られる。§E19.10 定理 4.1 (2)の取り替え$(\bar e_1,\bar e_2)\mapsto(\bar e_1,-\bar e_2)$は基底変換の行列式を$-1$倍するので、正の基底を負の基底へ移す。$(e_1,e_2)$と$(\bar e_1,\bar e_2)$はともに各点で正の基底であるから、§E19.10 定理 4.1 (2)を含む場合は起こらない。よって近傍ごとに§E19.10 定理 4.1 (1)の形であり、§E19.10 定理 4.1 (1)により$\omega_1\wedge\omega_2=\bar\omega_1\wedge\bar\omega_2$である。この等式は各点で成り立つから$U$の全体で成り立つ。

§E19.10 命題 1.3が与える余標構の式に§E19.10 命題 1.4の計算を適用すると、$\bar\omega_1\wedge\bar\omega_2$の引き戻しは$\sqrt{EG-F^2}\,du\wedge dv$である。この計算は余標構の成分の外積だけを用いるので、抽象曲面に対してもそのまま通る。したがって

である。定義 1.2により

であり、主張が従う。▨

証明.$W=\phi(U)$と置き、$W$の上の二次形式の族$g$を

で定める。$d\boldsymbol{x}_q$は単射であり$\mathrm{I}$は正定値であるから$g_q$は正定値対称双線形形式であり、その成分行列は$\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}$であるから$q$について$C^\infty$である。定義により$d\boldsymbol{x}_q\colon(\mathbb{R}^2,g_q)\to(T_pM,\mathrm{I}_p)$は線形等長同型である。

標構の対応。§E19.13 定義 9.1の Gram–Schmidt 標構$(f_1,f_2)$を$g$について作る。標準基底を$(\varepsilon_1,\varepsilon_2)$と書くと$g(\varepsilon_1,\varepsilon_1)=E$、$g(\varepsilon_1,\varepsilon_2)=F$、$g(\varepsilon_2,\varepsilon_2)=G$であるから

であり

である。$d\boldsymbol{x}(\varepsilon_1)=\boldsymbol{x}_u$、$d\boldsymbol{x}(\varepsilon_2)=\boldsymbol{x}_v$であるから

となり、右辺は§E19.10 命題 1.3の$e_1$、$e_2$そのものである。すなわち$d\boldsymbol{x}(f_i)=e_i$である。

角の対応。$c=\phi\circ\gamma$と置く。補題 3.2の証明で見たとおり、$c$は$Q$を左に見る向きの区分的に滑らかな正則単純閉曲線である。単純性は$\gamma$の単純性と$\phi$の単射性から従う。$c$の単位接ベクトル（$g$に関して正規化したもの）を$\hat T$と書くと、$d\boldsymbol{x}$が等長であることから$d\boldsymbol{x}(\hat T)=T$である。したがって

であり、§E19.13 定義 9.1の意味で$g$に関する$c$の偏角は、補題 2.1の$\varphi_j$と一致する。外角についても、$d\boldsymbol{x}$が第一基本形式と$g$を対応させ$f_i$を$e_i$へ写すことから、$c$の$g$に関する外角は$\theta_j$に等しい。とくに$c$は$g$に関して尖点を持たない。

回転定理の適用。以上により、§E19.13 定義 9.1の記号で

である。$\gamma$が尖点を持たないことと§E19.13 注意 9.3により、$c$は Euclid 内積に関しても尖点を持たない。§E19.13 命題 9.2により$\iota_g(c)=\iota(c)$であり、$c$が$Q$を左に見る向きの区分的に滑らかな正則単純閉曲線であって$Q$が§E4.22 定義 1.2の正則領域であるから、§E19.13 定理 7.1により$\iota(c)=1$である。▨

証明.$(U,\phi)$を定義 1.1のチャート、$(e_1,e_2)$を§E19.10 命題 1.3が与える$U$上の正規直交接標構とする。この標構は各点で正の基底である。実際、補題 4.1の証明で示したとおり$e_i=d\boldsymbol{x}(f_i)$であり、$(f_1,f_2)$は

により$\mathbb{R}^2$の正の基底であり、チャートが正の向きを持つので$d\boldsymbol{x}$は正の基底を正の基底へ写す。$\omega_{12}$をこの標構の接続形式とする。

境界を$\gamma\colon[0,L]\to U$と径数づけ、分割を$0=s_0<s_1<\cdots<s_N=L$とする。各弧$[s_{j-1},s_j]$の上で補題 2.1を適用し、角$\varphi_j$を取る。補題 2.1 (3)により、各弧の上で

である。$[s_{j-1},s_j]$の上で積分すると、微積分学の基本定理（§D1.19 定理 2.1）により

である。$j=1,\ldots,N$について加えると、定義 3.1の定義により

である。

第一項に補題 4.1を適用すると

であり、第二項に補題 3.2を適用すると

である。二つを代入すると

であり、移項して主張の等式を得る。▨

証明.$(U,\phi)$を定義 1.1のチャート、$(e_1,e_2)$を定理 6.1の証明で用いた$U$上の正の正規直交接標構、$\omega_{12}$をその接続形式とする。$\gamma\colon[0,L]\to U$を境界の弧長による径数づけとし、$\gamma(0)=\gamma(L)=p$とする。

$V_0\in T_pM$を取り、$V$を$\gamma$に沿って平行で$V(0)=V_0$を満たすベクトル場とする（§E19.7 定理 6.5。区分的に滑らかな曲線に対しては、各弧に順に適用して繋げる。$V$は$[0,L]$の上で連続である）。$P_{\partial R}$は線形写像であり、$V_0=0$のときは$P_{\partial R}V_0=0$が任意の回転の像と一致するから、$V_0\ne0$の場合を示せば足りる。§E19.7 定理 6.5 (2)により$\lVert V\rVert$は定数であるから、$V$を$V/\lVert V_0\rVert$に置き換えて$\lVert V\rVert\equiv1$としてよい。

補題 2.1 (1)と同じ議論により、連続関数$\psi\colon[0,L]\to\mathbb{R}$であって

を満たすものが存在する。$V$は各弧の上で滑らかであるから$\psi$も各弧の上で滑らかである。各弧の上で§E19.7 命題 6.2の積の規則と§E19.10 命題 2.2 (1)により

である。括弧の中のベクトルは単位ベクトルであるから$\psi'=-\omega_{12}(T)$である。各弧の上で積分し、$\psi$が$[0,L]$の上で連続であることを用いて加えると

である。最後の等号は補題 3.2による。

$\gamma(L)=\gamma(0)=p$であるから$e_i(\gamma(L))=e_i(\gamma(0))$であり、

は、$V_0=\cos\psi(0)e_1+\sin\psi(0)e_2$を$(e_1,e_2)$の正の向きに角$\psi(L)-\psi(0)$だけ回したものである。この角は$V_0$に依らないから、$P_{\partial R}$は角$\int_RK\,dA$の回転である。$(e_1,e_2)$は正の基底であるから、この回転の向きは$T_pM$の正の向きである。▨

証明. 三つの弧は測地線の一部であるから、§E19.8 命題 5.2 (1)により、その上で$\kappa_g\equiv0$である。よって$\int_{\partial T}\kappa_g\,ds=0$である。定理 6.1により

である。$\theta_j=\pi-\alpha_j$を代入すると

であり、整理して主張を得る。▨