§E19.2Frenet–Serret の公式と曲線論の基本定理

証明.(1)を示す。行列式を第三列について余因子展開すると

であり、右辺は$\langle u\times v,w\rangle$に等しい。

(2)を示す。(1)で$w=u$と置くと、同じ列を二つ持つ行列式は零であるから$\langle u\times v,u\rangle=0$である。$w=v$としても同様である。線形性と$u\times u=\boldsymbol{0}$は定義の式から直ちに従う。

(3)を示す。$(u,v)$を正規直交の対とする。$\mathrm{span}(u,v)$の直交補空間は$1$次元であるから、そこに属する単位ベクトル$w_0$を取ることができる。$(u,v,w_0)$は正規直交基底であり、それを列に並べた行列$P$は$P^{\mathsf T}P=I$を満たすので、§D3.4 定理 9.1により$(\det P)^2=1$、すなわち$\det P=\pm1$である。必要ならば$w_0$を$-w_0$に取り替えて$\det(u,v,w_0)=1$としてよい。このとき(1)により

である。$(u,v,w_0)$は正規直交基底であるから$u\times v=0\cdot u+0\cdot v+1\cdot w_0=w_0$である。よって$u\times v$は単位ベクトルであり、$(u,v,u\times v)$は行列式が$1$の正規直交基底である。

逆に$(u,v,w)$が正の向きの正規直交基底であるとする。上と同じ議論により、$\mathrm{span}(u,v)$の直交補空間に属する単位ベクトルは$\pm w$の二つであり、そのうち$\det(u,v,\cdot)=1$を満たすほうが$u\times v$である。$\det(u,v,w)$は$\pm1$のいずれかであって仮定より正であるから$\det(u,v,w)=1$であり、$w=u\times v$である。

(4)を示す。$R^{\mathsf T}R=I$から§D3.4 定理 9.1により$(\det R)^2=1$であり、$\det R=\pm1$である。$R$は可逆であるから、任意の$x\in\mathbb{R}^3$に対して$x=Rw$となる$w$が一意に存在する。ふたたび§D3.4 定理 9.1により

である。一方、$R^{\mathsf T}R=I$から内積が保たれるので

である。二つの値がすべての$w$について一致し、$Rw$は$\mathbb{R}^3$全体を動くから、$(Ru)\times(Rv)=\det R\cdot R(u\times v)$である。▨

証明.$\kappa\equiv0$とする。$\kappa=\lVert T'\rVert$であるから$T'\equiv\boldsymbol{0}$である。$J$は凸な開集合であるから、§E4.3 系 2.3により$T$は定数写像である。その値を$v$と書くと$\lVert v\rVert=1$であり、$\beta'\equiv v$である。$s\mapsto\beta(s)-\beta(s_0)-(s-s_0)v$の導関数は恒等的に零であり、$s=s_0$で値が零であるから、ふたたび§E4.3 系 2.3によりこの写像は恒等的に零である。

逆に$\beta(s)=\beta(s_0)+(s-s_0)v$ならば$\beta'\equiv v$、$\beta''\equiv\boldsymbol{0}$であるから$\kappa\equiv0$である。▨

証明.$\kappa=\lVert T'\rVert=\sqrt{\langle T',T'\rangle}$であり、$\langle T',T'\rangle$は$C^\infty$である。$\kappa$は連続であるから$J_{+}=\kappa^{-1}((0,\infty))$は開集合である。$J_{+}$の上では$\langle T',T'\rangle>0$であり、平方根は$(0,\infty)$の上で$C^\infty$であるから$\kappa$は$J_{+}$の上で$C^\infty$である。$N_{\mathrm{c}}=T'/\kappa$は$C^\infty$写像の商であって分母が消えないから$C^\infty$であり、$B=T\times N_{\mathrm{c}}$は成分が積と差で書くことができるから$C^\infty$である。

$s\in J_{+}$を取る。$\lVert N_{\mathrm{c}}\rVert=\lVert T'\rVert/\kappa=1$であり、$\langle T',T\rangle=0$から$\langle N_{\mathrm{c}},T\rangle=0$である。よって$(T,N_{\mathrm{c}})$は正規直交の対であり、補題 1.2 (3)により$(T,N_{\mathrm{c}},T\times N_{\mathrm{c}})$は正の向きの正規直交基底である。▨

証明.$J_{+}$は開集合であるから、以下の微分はすべて$J_{+}$の各点で意味を持つ。命題 3.2により各点で$(T,N_{\mathrm{c}},B)$は正規直交基底であるから、$\mathbb{R}^3$の任意のベクトル$x$は

と書くことができる。命題 3.2により標構の三成分は$J_{+}$の上で$C^\infty$であるから、以下に現れる導関数はすべて存在する。この展開の形で$T'$、$N_{\mathrm{c}}'$、$B'$の三つを順に決める。

$T'$について。$N_{\mathrm{c}}=T'/\kappa$の定義から$T'=\kappa N_{\mathrm{c}}$である。これが第一の公式である。とくに$\langle T',T\rangle=0$、$\langle T',B\rangle=\kappa\langle N_{\mathrm{c}},B\rangle=0$である。

$N_{\mathrm{c}}'$について。$\langle N_{\mathrm{c}},N_{\mathrm{c}}\rangle\equiv1$を微分すると$2\langle N_{\mathrm{c}}',N_{\mathrm{c}}\rangle=0$であるから、$N_{\mathrm{c}}$成分は零である。$\langle T,N_{\mathrm{c}}\rangle\equiv0$を微分すると

であり、$\langle T',N_{\mathrm{c}}\rangle=\kappa\langle N_{\mathrm{c}},N_{\mathrm{c}}\rangle=\kappa$であるから$\langle N_{\mathrm{c}}',T\rangle=-\kappa$である。$B$成分は定義 3.3により$\tau$である。よって$N_{\mathrm{c}}'=-\kappa T+\tau B$である。

$B'$について。$\langle B,B\rangle\equiv1$を微分すると$\langle B',B\rangle=0$であるから、$B$成分は零である。$\langle T,B\rangle\equiv0$を微分すると$\langle T',B\rangle+\langle T,B'\rangle=0$であり、上で見たとおり$\langle T',B\rangle=0$であるから$\langle B',T\rangle=0$である。$\langle N_{\mathrm{c}},B\rangle\equiv0$を微分すると

であり、$\langle N_{\mathrm{c}}',B\rangle=\tau$であるから$\langle B',N_{\mathrm{c}}\rangle=-\tau$である。よって$B'=-\tau N_{\mathrm{c}}$である。▨

証明.$s$を$\gamma$の弧長関数とすると$\gamma=\beta\circ s$であり$s'=v$である。連鎖律により

である。ここで$T=\beta'$を$s$の関数と見て、$\frac{d}{dt}T(s(t))=T'(s(t))\,v(t)$を用いた。補題 1.2 (2)により$T\times T=\boldsymbol{0}$であるから

である。$T'$は$T$と直交する。$T'=\boldsymbol{0}$ならば両辺は零であり、主張の等式は$\kappa=0$とともに成り立つ。$T'\ne\boldsymbol{0}$ならば$(T,\ T'/\lVert T'\rVert)$は正規直交の対であるから、補題 1.2 (3)により$T\times(T'/\lVert T'\rVert)$は単位ベクトルであり

である。よって$\lVert\gamma'\times\gamma''\rVert=v^{3}\kappa$である。$v>0$であるから、$\kappa>0$と$\gamma'\times\gamma''\ne\boldsymbol{0}$は同値である。

以下$\kappa>0$とする。$T'=\kappa N_{\mathrm{c}}$であるから$T\times T'=\kappa\,(T\times N_{\mathrm{c}})=\kappa B$であり

である。$v^{3}\kappa>0$であるから$B$の表示を得る。

三階微分を計算する。$\gamma''=v'T+v^{2}\kappa N_{\mathrm{c}}$をふたたび$t$で微分すると、定理 3.4を用いて

となる。ここで$\kappa$、$N_{\mathrm{c}}$、$B$はいずれも$s(t)$における値であり、連鎖律によって$t$についての微分に因子$v$が付く。$B$との内積を取ると、$T$と$N_{\mathrm{c}}$の項は消えて

である。したがって

であり、$v^{6}\kappa^{2}>0$で割ると$\tau$の表示を得る。▨

証明.$\tau\equiv0$とする。定理 3.4により$B'=-\tau N_{\mathrm{c}}\equiv\boldsymbol{0}$であるから、§E4.3 系 2.3により$B$は定数写像である。その値を$n$と書くと$\lVert n\rVert=1$である。$s\mapsto\langle\beta(s),n\rangle$の導関数は$\langle T,B\rangle=0$であるから、この関数は定数である。その値を$d$とすればよい。

逆に$\langle\beta(s),n\rangle\equiv d$（$\lVert n\rVert=1$）とする。両辺を微分して$\langle T,n\rangle\equiv0$を得る。もう一度微分して$\langle T',n\rangle\equiv0$、すなわち$\kappa\langle N_{\mathrm{c}},n\rangle\equiv0$を得る。$\kappa>0$であるから$\langle N_{\mathrm{c}},n\rangle\equiv0$である。よって$n$は$T$とも$N_{\mathrm{c}}$とも直交する単位ベクトルであり、命題 3.2により$\mathrm{span}(T,N_{\mathrm{c}})$の直交補空間は$B$が張る$1$次元空間であるから、各$s$で$\langle B(s),n\rangle\in\{1,-1\}$である。$s\mapsto\langle B(s),n\rangle$は連続であり、区間$J$の上で値が二点集合に入るから定数である。したがって$B$は定数写像$\pm n$であり$B'\equiv\boldsymbol{0}$である。$B'=-\tau N_{\mathrm{c}}$と$\lVert N_{\mathrm{c}}\rVert=1$から$\tau\equiv0$である。▨

証明.$\tilde\beta'(s)=R\beta'(s)=RT(s)$である。$R$は内積を保つので$\lVert\tilde\beta'\rVert=\lVert T\rVert=1$であり、$\tilde\beta$は単位速度である。$\tilde T=RT$であり$\tilde T'=RT'$であるから

である。$\kappa>0$の点では$\tilde N_{\mathrm{c}}=\tilde T'/\tilde\kappa=RT'/\kappa=RN_{\mathrm{c}}$である。補題 1.2 (4)により

である。最後の等号で$\det R=1$を用いた。捩率は

である。

$\det R=-1$の場合も$\tilde T=RT$、$\tilde\kappa=\kappa$、$\tilde N_{\mathrm{c}}=RN_{\mathrm{c}}$は同じである。補題 1.2 (4)により$(RT)\times(RN_{\mathrm{c}})=\det R\cdot R(T\times N_{\mathrm{c}})=-RB$であるから$\tilde B=-RB$である。よって$\tilde\tau=\langle RN_{\mathrm{c}}',\ -RB\rangle=-\langle N_{\mathrm{c}}',B\rangle=-\tau$である。▨

証明.$g_{ij}(s)=\langle Y_i(s),Y_j(s)\rangle$と置く。内積の双線形性と積の微分により

が成り立つ。右辺は$g_{11},\dots,g_{33}$の九つの成分についての一次形式であり、その係数は$\kappa(s)$と$\tau(s)$の一次式であるから$s$について連続である。したがって$(g_{ij})$は、$\mathbb{R}^{9}$に値を持つ連続な係数の線形常微分方程式系の解である。

定数関数$\hat g_{ij}\equiv\delta_{ij}$（$\delta$は Kronecker の記号）も同じ系の解である。実際

であり、$\Omega$が交代行列であることからこれは零に等しく、$\hat g_{ij}'=0$と合う。

仮定より$g_{ij}(s_0)=\delta_{ij}$であるから、$(g_{ij})$と$(\hat g_{ij})$は同じ初期値を持つ。「常微分方程式」の§E10.7 系 1.2により、連続な係数を持つ線形系の初期値問題の解は区間$I$全体で一意であるから$g_{ij}\equiv\delta_{ij}$である。すなわち$(Y_1,Y_2,Y_3)$は各点で正規直交である。

向きについては、$d(s)=\det(Y_1(s),Y_2(s),Y_3(s))$と置く。$d$は成分の多項式であるから連続である。各$s$で$(Y_1,Y_2,Y_3)$を列に並べた行列$P(s)$は$P(s)^{\mathsf T}P(s)=I$を満たすから、§D3.4 定理 9.1により$d(s)^{2}=1$、すなわち$d(s)\in\{1,-1\}$である。$I$は区間であり$d(s_0)=1$であるから、中間値の定理により$d\equiv1$である。▨

証明. 存在。$s_0\in I$、$p_0\in\mathbb{R}^3$を取り、$\mathbb{R}^3$の正の向きの正規直交基底$(T_0,N_0,B_0)$を一つ固定する。補題 5.2の$\Omega$を用いて、未知写像$Y=(Y_1,Y_2,Y_3)\colon I\to\mathbb{R}^{9}$についての方程式