§E19.7曲面上の共変微分と平行移動

証明.(1)を示す。$M$の開集合$U$は、それ自身が$\mathbb{R}^3$の二次元埋め込み部分多様体であるから正則曲面である。$Z$は$U$の上の滑らかな写像であるから、「第一基本形式と面積要素」の§E19.4 補題 2.3 (3)を、$U$と$Z$（値の空間の次元は$3$）へ適用することができる。§E19.4 補題 2.3 (3)の前半は、$(Z\circ\gamma)'(0)$が条件を満たす曲線$\gamma$の取り方に依らないこと、すなわち$D_XZ$が$\gamma$によらずに定まることを与える。§E19.4 補題 2.3 (3)の最後の等式は、正則パラメータ表示$\boldsymbol{x}$の微分による像$\sum_{i=1}^{2}a^i\partial_i(q)$に対する値が$\sum_{i=1}^{2}a^i\,\dfrac{\partial(Z\circ\boldsymbol{x})}{\partial u^i}(q)$に等しいことを述べているから、主張の表示を得る。

(2)を示す。§E19.4 補題 2.3 (3)により、$X\mapsto D_XZ$は線形写像である。1 の右辺が係数$(a^1,a^2)$について線形であり、$X\mapsto(a^1,a^2)$が線形同型であることからも従う。

(3)を示す。$\gamma$を条件を満たす曲線とすると、$\langle Z,\widetilde{Z}\rangle\circ\gamma=\langle Z\circ\gamma,\widetilde{Z}\circ\gamma\rangle$である。実数値関数の積の微分法を成分ごとに用いて$t=0$で微分すれば主張を得る。▨

証明. 正則パラメータ表示$\boldsymbol{x}:W\to U$を一つ取り、$X=\sum_{i}a^i\partial_i$、$Y=\sum_{j}b^j\partial_j$と書く。ここで$a^i,b^j$は$W$上の$C^\infty$関数である。実際、$\langle X,\partial_l\rangle=\sum_ia^ig_{il}$（$g_{il}=\langle\partial_i,\partial_l\rangle$）は$C^\infty$であり、行列$(g_{il})$は正則で成分が$C^\infty$であるから、Cramer の公式により$a^i$は$C^\infty$である。$b^j$についても同様である。

(1)と(3)の後半を示す。命題 1.4 (1)により

である。ここで$Xb^j=\sum_i a^i\,\partial b^j/\partial u^i$である。$W$の上で

と置くと$N$は$C^\infty$であり、$\nabla_XY=D_XY-\langle D_XY,N\rangle N$であるから、$\nabla_XY$は$C^\infty$である。値は各点で接平面に属するから$\nabla_XY\in\mathfrak{X}(U)$である。$fY$に対して$(\ast)$を適用すると$D_X(fY)=(Xf)Y+f\,D_XY$であり、$Y(p)\in T_pM$であるから射影して$\nabla_X(fY)=(Xf)Y+f\nabla_XY$を得る。

(2)と(3)の前半を示す。命題 1.4 (2)により$X\mapsto D_XY$は各点で線形であり、$f$倍については$D_{fX}Y=fD_XY$が同じ主張から従う。射影は線形であるから主張を得る。$D_X(Y_1+Y_2)=D_XY_1+D_XY_2$も方向微分の定義から従う。

(4)を示す。命題 1.4 (3)により$X\langle Y,Z\rangle=\langle D_XY,Z\rangle+\langle Y,D_XZ\rangle$である。$Z(p)\in T_pM$であり$\pi_p$は正射影であるから$\langle D_XY,Z(p)\rangle=\langle\pi_p(D_XY),Z(p)\rangle=\langle\nabla_XY,Z\rangle(p)$である。$\langle Y,D_XZ\rangle$についても同様である。

(5)を示す。$(\ast)$と、$X$と$Y$を入れ替えた同じ式との差を取る。$\boldsymbol{x}_{u^iu^j}=\boldsymbol{x}_{u^ju^i}$（「実解析 II」の§E4.4 定理 2.1。$\boldsymbol{x}$は$C^\infty$であるから仮定を満たす）であるから、二階偏導関数を含む項は相殺し、

となる。右辺は括弧積の座標表示（「多様体入門」の§E17.7 命題 1.3）に一致するから$D_XY-D_YX=[X,Y]$である。$[X,Y]$は接ベクトル場であるから、両辺を射影して$\nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y]$を得る。▨

証明.(1)$\Rightarrow$(2)を示す。1 の第二の等式を、添字を入れ替えて三通り書く。

第一式と第二式を加え、第三式を引く。1 の対称性$\Gamma_{ab,c}=\Gamma_{ba,c}$により$\Gamma_{il,j}=\Gamma_{li,j}$と$\Gamma_{jl,i}=\Gamma_{lj,i}$が成り立つので、これらの項は相殺し、残るのは$\Gamma_{ij,l}+\Gamma_{ji,l}=2\Gamma_{ij,l}$である。よって 2 を得る。

(2)$\Rightarrow$(1)を示す。2 の右辺は$i$と$j$の入れ替えについて対称であるから$\Gamma_{ij,l}=\Gamma_{ji,l}$である。また

である。▨

証明.$\Gamma_{ij,l}=\sum_kg_{kl}\Gamma^k_{ij}$と置く。定義から

である。$\nabla_{\partial_i}\partial_j=(\boldsymbol{x}_{u^iu^j})^{\top}$であり$\partial_l\in T_pM$であるから

である。

対称性を示す。$\boldsymbol{x}$は$C^\infty$であるから§E4.4 定理 2.1により$\boldsymbol{x}_{u^iu^j}=\boldsymbol{x}_{u^ju^i}$であり、したがって$\Gamma_{ij,l}=\Gamma_{ji,l}$である。$(g_{kl})$は可逆であるから、これは$\Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji}$と同値である。

第一基本形式の微分との関係を示す。$g_{ij}=\langle\partial_i,\partial_j\rangle$を$u^k$について偏微分すると、内積についての積の微分法により

である。

以上により補題 3.2 (1)が成り立つので、同補題により

である。両辺に$g^{kl}$を掛けて$l$について和を取ると、$\sum_lg^{kl}\Gamma_{ij,l}=\sum_{l,m}g^{kl}g_{ml}\Gamma^m_{ij}=\Gamma^k_{ij}$であるから、主張の式を得る。▨

証明.$F=0$であるから$(g_{ij})=\operatorname{diag}(E,G)$であり$g^{11}=1/E$、$g^{22}=1/G$、$g^{12}=g^{21}=0$である。定理 3.3の式で$l=k$の項だけが残るので

である。$g_{11}=E$、$g_{22}=G$、$g_{12}=g_{21}=0$を代入する。たとえば$\Gamma^1_{22}$については、$g_{21}=0$より第一項と第二項が消え、第三項が$-\partial g_{22}/\partial u^1=-G_u$となるので$\Gamma^1_{22}=-G_u/(2E)$である。$\Gamma^2_{12}$については、第一項が$\partial g_{22}/\partial u^1=G_u$、第二項が$\partial g_{12}/\partial u^2=0$、第三項が$-\partial g_{12}/\partial u^2=0$であるから$\Gamma^2_{12}=G_u/(2G)$である。残りの四つも同じ代入で得られる。▨

証明. 存在を示す。命題 2.2 (2)と命題 2.2 (3)により、定義 2.1の共変微分は定義 4.1の意味の接続である。命題 2.2 (4)が(1)を、命題 2.2 (5)が(2)を与える。

Koszul の公式を導く。$\nabla$を(1)と(2)を満たす接続とする。(1)を三通りに書くと

である。第一式と第二式を加え、第三式を引く。第一式の第一項と第二式の第二項をまとめ、残りを二つずつ組にすると

となる。(2)により$\nabla_XZ-\nabla_ZX=[X,Z]$と$\nabla_YZ-\nabla_ZY=[Y,Z]$が成り立ち、また$\nabla_XY+\nabla_YX=2\nabla_XY-[X,Y]$である。代入して整理すると

となり、移項すれば Koszul の公式を得る。

一意性を示す。$\nabla$と$\widetilde{\nabla}$がともに条件 1 と 2 を満たすとする。Koszul の公式の右辺は$\nabla$を含まないので、すべての$X,Y,Z\in\mathfrak{X}(M)$に対して

である。$p\in M$と$w\in T_pM$を任意に取る。$p$のまわりの正則パラメータ表示を取り、山型関数（「多様体入門」の§E17.2 命題 1.5）$\chi$を、$p$の近傍で$\chi\equiv1$、台が座標近傍に含まれるように取ると、座標基底の定数係数の一次結合に$\chi$を掛けて零で延長したものは$\mathfrak{X}(M)$に属し、$p$での値を$w$にすることができる。この$Z$を取ると$\mathrm{I}_p(\nabla_XY(p)-\widetilde{\nabla}_XY(p),w)=0$であり、$w$は任意であるから、$\mathrm{I}_p$が正定値であること（したがって非退化であること）により$\nabla_XY(p)=\widetilde{\nabla}_XY(p)$である。$p$と$X,Y$は任意であったから$\nabla=\widetilde{\nabla}$である。▨

証明.定理 4.2の一意性の証明は、注意 4.3のとおり$\mathbb{R}^3$への埋め込みを用いていない。したがって同じ議論がそのまま抽象曲面に対して成り立ち、条件 1 と 2 を満たす接続は高々一つである。同じ議論は$M$の任意の開集合$V$に対しても成り立つ。$V$は$\mathrm{I}$の制限によってふたたび抽象曲面になるからである。

チャート上で接続を作る。チャート$(U,(u^1,u^2))$を取り、上の式で$\Gamma^k_{ij}$を定める。$(g_{ij})$は各点で正定値であるから可逆であり、$g^{kl}$は$C^\infty$関数である（逆行列の成分は行列式の商として書かれる）。$X=\sum_ia^i\partial_i$、$Y=\sum_jb^j\partial_j\in\mathfrak{X}(U)$に対して

と定める。右辺は$C^\infty$係数の接ベクトル場であり、$X$について$C^\infty(U)$線形、$Y$について加法的であり、$\nabla^U_X(fY)=(Xf)Y+f\nabla^U_XY$を満たす。したがって$\nabla^U$は$U$の接続である。

条件 2 を確かめる。写像$T(X,Y)=\nabla^U_XY-\nabla^U_YX-[X,Y]$は$X$と$Y$の両方について$C^\infty(U)$線形である。実際、$X$についての$C^\infty(U)$線形性は接続の条件 1 と$[fX,Y]=f[X,Y]-(Yf)X$から、$Y$についてのそれは接続の条件 3 と$[X,fY]=f[X,Y]+(Xf)Y$から従う（括弧積のこれらの性質は§E17.7 命題 1.3から直ちに得られる）。$U$はチャートの定義域であるから、$X=\sum_ia^i\partial_i$、$Y=\sum_jb^j\partial_j$を$U$全体で書くことができ、$C^\infty(U)$双線形性により$T(X,Y)=\sum_{i,j}a^ib^j\,T(\partial_i,\partial_j)$である。補題 3.2により$\Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji}$であり、$[\partial_i,\partial_j]=0$である（§E17.7 命題 1.3で成分が定数であることによる）から$T(\partial_i,\partial_j)=0$であり、$T\equiv0$である。

条件 1 を確かめる。写像$C(X;Y,Z)=X\,\mathrm{I}(Y,Z)-\mathrm{I}(\nabla^U_XY,Z)-\mathrm{I}(Y,\nabla^U_XZ)$は$X,Y,Z$のそれぞれについて$C^\infty(U)$線形である。$X$については接続の条件 1 から、$Y$については

から、$Z$については同じ計算から従う。前段と同じ理由で$C(X;Y,Z)=\sum_{i,j,k}a^kb^ic^j\,C(\partial_k;\partial_i,\partial_j)$（$Z=\sum_jc^j\partial_j$）であるから、座標基底について確かめれば足りる。補題 3.2 (2)$\Rightarrow$(1)への含意により$\partial g_{ij}/\partial u^k=\Gamma_{ki,j}+\Gamma_{kj,i}$であり、これは

にほかならない。よって$C(\partial_k;\partial_i,\partial_j)=0$である。

貼り合わせる。二つのチャート$(U_1,\ \cdot\ )$と$(U_2,\ \cdot\ )$の像が重なるとき、$\nabla^{U_1}$と$\nabla^{U_2}$の$U_1\cap U_2$への制限は、ともに$U_1\cap U_2$の接続であって条件 1 と 2 を満たす。$\nabla^U_XY$を与える上の式は、点$p$における値が$X(p)$、$Y(p)$、$p$の近傍における$Y$の成分および$p$における$\Gamma^k_{ij}$の値だけで決まる形をしているので、開部分集合へ制限しても接続の三条件と条件 1、2 がそのまま成り立つ。$U_1\cap U_2$は抽象曲面であるから、冒頭で述べた一意性により両者は一致する。したがって$p\in M$と$X,Y\in\mathfrak{X}(M)$に対して$(\nabla_XY)(p)=(\nabla^U_{X|_U}Y|_U)(p)$（$U$は$p$を含む任意のチャートの定義域）と定めることができ、$\nabla$は well-defined である。接続の三条件と条件 1、2 はいずれも各点で確かめられる形をしているので、$\nabla$はこれらを満たす。

正則曲面の場合を確かめる。$M\subseteq\mathbb{R}^3$が正則曲面であるとき、定義 2.1の共変微分は条件 1 と 2 を満たす接続であるから（命題 2.2）、一意性により$\nabla$に一致する。▨