随伴の例 | 圏論 I | 天游ヶ丘数理学院

1 随伴を確かめる形

関手 $F:\mathcal C\to\mathcal D$ と $G:\mathcal D\to\mathcal C$ について $F\dashv G$ を示すには、各対象 $A,B$ に対して自然な全単射

\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(F(A),B) \cong \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A,G(B))

を与える。unit と counit は§E21.8 定義 2.1により、この全単射と恒等射から定まる。以下では、普遍性がすでに上流記事で証明されている場合、その普遍性が全単射を与えることを確認し、同じ存在一意性の証明を繰り返さない。

2 自由加群

$R$ を単位元をもつ結合環とする。左 $R$ 加群と $R$ 線形写像の圏を $R\text{-}\mathbf{Mod}$ と書く。

命題 2.1. 左 $R$ 加群の族 $(M_i)_{i\in I}$ に対し、成分ごとの加群構造を入れた $\prod_iM_i$ は直積であり、有限台の元からなる $\bigoplus_iM_i$ は余積である。右 $R$ 加群についても同じ主張が成り立つ。

証明. 射の族 $f_i:X\to M_i$ に対して $x\mapsto(f_i(x))_i$ は一意な $R$ 線形写像 $X\to\prod_iM_i$ を与える。射の族 $g_i:M_i\to X$ に対して $(m_i)_i\longmapsto\sum_{i\in\operatorname{supp}(m)}g_i(m_i)$ は一意な $R$ 線形写像 $\bigoplus_iM_i\to X$ を与える。第二の和は有限台の条件によって有限和である。これらは§E21.5 命題 2.3の二条件に一致する。右加群では作用を右から書けば同じ証明が成り立つ。▨

命題 2.2. 集合 $X$ に自由左 $R$ 加群 $R^{(X)}$ を対応させる。写像 $a:X\to Y$ に、標準元について $\delta_x\mapsto\delta_{a(x)}$ を満たす一意な $R$ 線形写像 $F(a):R^{(X)}\to R^{(Y)}$ を対応させると、関手 $F:\mathbf{Set}\to R\text{-}\mathbf{Mod}$ が定まる。

証明. $F(a)$ の存在と一意性は§E6.10 補題 1.4による。恒等写像と合成に対応する線形写像は、いずれも標準元上で恒等写像と合成に一致するため、同じ一意性から $F(\operatorname{id})=\operatorname{id}$ と $F(b\circ a)=F(b)\circ F(a)$ が従う。▨

定理 2.3. $U:R\text{-}\mathbf{Mod}\to\mathbf{Set}$ を忘却関手とする。自然な全単射

\operatorname{Hom}_{R\text{-}\mathbf{Mod}}(R^{(X)},M) \cong \operatorname{Hom}_{\mathbf{Set}}(X,U(M)), \qquad \varphi\longmapsto\bigl(x\mapsto\varphi(\delta_x)\bigr)

により $F\dashv U$ が成り立つ。unit は $x\mapsto\delta_x$ 、counit は

\varepsilon_M:R^{(U(M))}\to M, \qquad (a_m)_m\longmapsto\sum_{m\in\operatorname{supp}(a)}a_m m

である。

証明. 表示した対応の全単射性は§E6.10 補題 1.4そのものである。写像 $X'\to X$ と線形写像 $M\to M'$ に関する自然性は、標準元上で二つの合成を評価すると同じ値になることから従う。恒等射を対応へ代入すると、unit は標準元の写像、counit は形式的な有限一次結合を $M$ の中で計算する写像になる。▨

系 2.4. $k$ を体とする。集合 $X$ に自由線形空間 $k^{(X)}$ を対応させる関手は、忘却関手 $\mathbf{Vect}_k\to\mathbf{Set}$ の左随伴である。

証明. $R=k$ として定理 2.3を適用する。▨

命題 2.5. $U:R\text{-}\mathbf{Mod}\to\mathbf{Set}$ は存在する極限を保つ。一方、二つの加群の余積を集合の余積へ写さない。

証明. $U$ は定理 2.3の右随伴なので、§E21.9 定理 3.1により極限を保つ。加群の余積 $M\oplus N$ では、二つの入射がともに零元を同じ零元へ送る。集合の余積では二つの成分の零元は異なる元であるため、 $U(M\oplus N)$ と二つの入射は集合の余積の普遍性を満たさない。▨

注意 2.6 (自由構成に共通する形). 自由群、自由加群および自由線形空間では、unit が生成元を自由な対象へ入れ、counit が形式的な語または一次結合を対象の中で評価する。次の対称代数でも同じ形が現れる。代数系の指標と項による一般化は「普遍代数」が扱う。

3 対称代数

可換体 $k$ 上の単位的可換代数と単位的 $k$ 代数準同型の圏を $\mathbf{CAlg}_k$ と書く。忘却関手 $U:\mathbf{CAlg}_k\to\mathbf{Vect}_k$ は、加法とスカラー倍だけを残す。

定理 3.1. 対称代数を取る関手 $\operatorname{Sym}:\mathbf{Vect}_k\to\mathbf{CAlg}_k$ は $U$ の左随伴である。対応は

\operatorname{Hom}_{\mathbf{CAlg}_k}(\operatorname{Sym}(V),A) \cong \operatorname{Hom}_{\mathbf{Vect}_k}(V,U(A))

である。unit は次数一の標準写像 $V\to U(\operatorname{Sym}(V))$ 、counit は $A$ の元の形式的な可換多項式を $A$ の中で評価する準同型 $\operatorname{Sym}(U(A))\to A$ である。

証明.§E3.13 定理 3.6は、線形写像 $V\to U(A)$ が次数一で一致する一意な可換 $k$ 代数準同型 $\operatorname{Sym}(V)\to A$ へ延長することを述べている。これが表示した全単射である。前合成と後合成の自然性は、どちらの順序で合成しても次数一で同じ線形写像へ制限されることと、延長の一意性から従う。恒等射を対応させると、unit と counit は主張の写像になる。▨

4 結合代数の可換化

単位的結合的 $k$ 代数と単位的 $k$ 代数準同型の圏を $\mathbf{Alg}_k$ とし、可換代数を結合代数とみなす包含関手を $J:\mathbf{CAlg}_k\to\mathbf{Alg}_k$ と書く。

定理 4.1. $A\in\mathbf{Alg}_k$ に対し、交換子 $ab-ba$ の全体が生成する両側イデアルを $I_A$ とおき、

A_{\mathrm{ab}}=A/I_A

と定める。 $A\mapsto A_{\mathrm{ab}}$ は関手 $\operatorname{Ab}:\mathbf{Alg}_k\to\mathbf{CAlg}_k$ を定め、 $\operatorname{Ab}\dashv J$ が成り立つ。unit は商写像 $q_A:A\to J(A_{\mathrm{ab}})$ 、counit は可換代数 $B$ に対する標準同型 $(J(B))_{\mathrm{ab}}\cong B$ である。

証明. $I_A$ の存在には§E6.3 命題 3.1を用いる。 $A/I_A$ では任意の $a,b$ の像が可換するため、 $A_{\mathrm{ab}}$ は可換代数である。 $B$ を可換代数、 $\varphi:A\to J(B)$ を $k$ 代数準同型とすると、 $\varphi(ab-ba)=\varphi(a)\varphi(b)-\varphi(b)\varphi(a)=0$ である。したがって $I_A\subseteq\ker\varphi$ であり、§E6.3 命題 5.1の商環の普遍性から $\varphi=J(\overline\varphi)\circ q_A$ を満たす一意な準同型 $\overline\varphi:A_{\mathrm{ab}}\to B$ が存在する。逆に $\overline\varphi$ から $J(\overline\varphi)\circ q_A$ が得られるので、自然な全単射

\operatorname{Hom}_{\mathbf{CAlg}_k}(A_{\mathrm{ab}},B) \cong \operatorname{Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(A,J(B))

を得る。可換な $B$ では $I_{J(B)}=0$ であるため、counit は標準同型になる。▨

この左随伴は「中心で割る」操作ではない。中心 $Z(A)$ は一般に両側イデアルではなく、商環 $A/Z(A)$ は通常は定義されない。可換化で消すのは、交換子が生成する両側イデアルである。

5 対角関手と積・余積

圏の直積、対角関手、対角射および余対角射は§E21.5 定義 2.5、§E21.5 定義 2.6、§E21.5 命題 2.7で定義した。ここでは積と余積の普遍性を hom 集合の対応として読む。

定理 5.1. $\mathcal C$ の各対象の組に直積を一つずつ選ぶと、直積を取る関手 $P:\mathcal C\times\mathcal C\to\mathcal C$ が定まり、 $\Delta\dashv P$ である。対応は

\operatorname{Hom}_{\mathcal C\times\mathcal C}((A,A),(B,C)) \cong \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A,B\times C), \qquad (f,g)\longmapsto\langle f,g\rangle

である。unit は対角射 $\delta_A:A\to A\times A$ 、counit は射影の組 $(p_1,p_2):(B\times C,B\times C)\to(B,C)$ である。

証明. 全単射性は§E21.5 命題 2.3の直積に関する主張である。射 $(b,c):(B,C)\to(B',C')$ に対する $P(b,c)$ は、射影との合成が $b\circ p_1$ と $c\circ p_2$ になる一意な射として定める。恒等射、合成および全単射の自然性は、射影との合成を比較して直積の一意性を適用すると従う。恒等射を全単射へ代入すると、unit と counit は主張の射になる。▨

定理 5.2. $\mathcal C$ の各対象の組に余積を一つずつ選ぶと、余積を取る関手 $S:\mathcal C\times\mathcal C\to\mathcal C$ が定まり、 $S\dashv\Delta$ である。unit は入射の組 $(\iota_1,\iota_2):(B,C)\to(B\sqcup C,B\sqcup C)$ 、counit は余対角射 $\nabla_A:A\sqcup A\to A$ である。

証明. 余積の普遍性は

\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(B\sqcup C,A) \cong \operatorname{Hom}_{\mathcal C\times\mathcal C}((B,C),(A,A))

を与える。余積上の射の関手性と対応の自然性は、二つの入射との合成を比較して余積の一意性を適用すると従う。恒等射の像は入射の組と余対角射である。▨

例 5.3 (対角関手の随伴における保存の内容). 直積関手 $P$ は右随伴なので極限を保つ。たとえば $T$ が $\mathcal C$ の終対象ならば $(T,T)$ は $\mathcal C\times\mathcal C$ の終対象であり、 $P(T,T)=T\times T$ も終対象である。したがって $T\times T\cong T$ である。一方、対角関手が極限を保つことは随伴を仮定せず§E21.5 命題 2.8で証明した。

6 離散・忘却・密着

命題 6.1. 集合に離散位相を入れる操作 $D:\mathbf{Set}\to\mathbf{Top}$ と、密着位相を入れる操作 $I:\mathbf{Set}\to\mathbf{Top}$ は、写像を同じ台写像へ送る関手である。

証明. 離散空間からの任意の写像と、密着空間への任意の写像は連続である。対応は台写像を変えないため、恒等射と合成を保つ。▨

定理 6.2. $U:\mathbf{Top}\to\mathbf{Set}$ を忘却関手とすると $D\dashv U$ である。unit は恒等写像 $S\to U(D(S))$ 、counit は台集合上の恒等写像を連続写像とみなした $D(U(X))\to X$ である。

証明. 離散空間 $D(S)$ から $X$ への写像はすべて連続なので、台写像を取る対応 $\operatorname{Hom}_{\mathbf{Top}}(D(S),X)\cong\operatorname{Hom}_{\mathbf{Set}}(S,U(X))$ は自然な全単射である。▨

定理 6.3. $U\dashv I$ である。unit は台集合上の恒等写像を連続写像とみなした $X\to I(U(X))$ 、counit は恒等写像 $U(I(S))\to S$ である。

証明. 空間 $X$ から密着空間 $I(S)$ への写像はすべて連続なので、台写像を取る対応 $\operatorname{Hom}_{\mathbf{Top}}(X,I(S))\cong\operatorname{Hom}_{\mathbf{Set}}(U(X),S)$ は自然な全単射である。▨

命題 6.4. $D\dashv U\dashv I$ である。したがって $U$ は極限と余極限の両方を保つ。

証明. 二つの随伴は定理 6.2と定理 6.3である。 $U$ は一方では右随伴、他方では左随伴なので、§E21.9 定理 3.1を二つの向きに適用する。▨

注意 6.5 (位相の細粗と随伴を対応させる). 離散位相は最も細かく、密着位相は最も粗い。これを固定した集合上の位相の順序として述べることと、集合から位相空間を作る二つの関手が忘却関手の左右の随伴になることは、対象とする圏が異なる。counit $D(U(X))\to X$ は連続な全単射だが、 $X$ が離散空間でなければ同相写像ではない。

7 距離空間の完備化

距離空間と 1-Lipschitz 写像の圏を $\mathbf{Met}_1$ 、完備距離空間がなす充満部分圏を $\mathbf{CMet}_1$ 、包含関手を $J$ と書く。

定理 7.1.§E2.6 定理 2.6の Cauchy 列による完備化 $X\mapsto\widehat X$ は関手 $\widehat{(-)}:\mathbf{Met}_1\to\mathbf{CMet}_1$ を定め、 $\widehat{(-)}\dashv J$ が成り立つ。unit は定値列による等長写像 $\iota_X:X\to\widehat X$ である。完備距離空間 $Y$ における counit $\widehat Y\to Y$ は、Cauchy 列の同値類をその極限へ送る。

証明. 1-Lipschitz 写像 $f:X\to X'$ に対し、 $\widehat f([(x_n)])=[(f(x_n))]$ と定める。1-Lipschitz 条件は Cauchy 性と Cauchy 列の同値を保つため、この写像は well-defined であり、同じ条件を満たす。定義から恒等射と合成を保つ。

$Y$ を完備距離空間、 $g:X\to Y$ を 1-Lipschitz 写像とする。 $(g(x_n))$ は Cauchy 列なので、

\widehat g([(x_n)])=\lim_{n\to\infty}g(x_n)

と定めることができる。同値な代表列は項間距離が $0$ へ収束するため同じ極限を与える。また、

d_Y(\widehat g([(x_n)]),\widehat g([(x'_n)])) \le \lim_{n\to\infty}d_X(x_n,x'_n)

であるから $\widehat g$ は 1-Lipschitz であり、 $\widehat g\circ\iota_X=g$ を満たす。 $\iota_X(X)$ は $\widehat X$ で稠密で、1-Lipschitz 写像は連続なので、この条件を満たす延長は一意である。よって

\operatorname{Hom}_{\mathbf{CMet}_1}(\widehat X,Y) \cong \operatorname{Hom}_{\mathbf{Met}_1}(X,J(Y))

を得る。構成が前合成と後合成に可換であることは極限の一意性から従う。恒等射を対応させると主張の unit と counit を得る。▨

8 距離の切断

定理 8.1. $R>0$ を固定し、直径が $R$ 以下の距離空間がなす $\mathbf{Met}_1$ の充満部分圏を $\mathbf{Met}_{1,\le R}$ 、包含関手を $J_R$ と書く。距離空間 $(X,d)$ に

d_R(x,x')=\min\{d(x,x'),R\}

を入れる操作 $T_R:\mathbf{Met}_1\to\mathbf{Met}_{1,\le R}$ は $J_R$ の左随伴である。unit と counit は、いずれも台集合上の恒等写像である。

証明. $d_R$ の非負性、対称律および同一律は $R>0$ から従う。三角不等式には $\min\{a+b,R\}\le\min\{a,R\}+\min\{b,R\}$ を用いる。1-Lipschitz 写像は距離の切断後にも 1-Lipschitz なので $T_R$ は関手である。

$Y$ の直径が $R$ 以下であるとする。写像 $f:X\to Y$ が $d$ について 1-Lipschitz ならば、 $d(x,x')\le R$ の場合は元の不等式を用い、 $d(x,x')>R$ の場合は $d_Y(f(x),f(x'))\le R=d_R(x,x')$ を用いると、 $f:T_R(X)\to Y$ も 1-Lipschitz である。逆に $d_R\le d$ なので、 $d_R$ について 1-Lipschitz ならば $d$ についても 1-Lipschitz である。したがって同じ台写像による自然な等式

\operatorname{Hom}_{\mathbf{Met}_{1,\le R}}(T_R(X),Y) = \operatorname{Hom}_{\mathbf{Met}_1}(X,J_R(Y))

が成り立つ。▨

9 T0 化

T0 空間と連続写像の圏を $\mathbf{Top}_0$ 、包含関手を $J_0:\mathbf{Top}_0\to\mathbf{Top}$ と書く。

定理 9.1. 位相空間 $X$ の二点 $x,x'$ について、すべての開集合 $U\subseteq X$ に対し $x\in U$ と $x'\in U$ が同値であるとき $x\sim x'$ と定める。商集合 $X_0=X/{\sim}$ に商位相を入れると $X_0$ は T0 空間であり、 $X\mapsto X_0$ は $J_0$ の左随伴を定める。unit は商写像 $q_X:X\to X_0$ である。

証明. 開集合への所属が一致するという関係は、反射律、対称律および推移律を満たすので同値関係である。相異なる同値類 $[x]\ne[x']$ には、 $x,x'$ の一方だけを含む開集合 $U$ が存在する。同値関係の定義から $U$ は同値類の和であり、 $q_X^{-1}(q_X(U))=U$ である。商位相の定義により $q_X(U)$ は開集合なので、 $X_0$ は T0 である。

連続写像 $f:X\to Y$ の終域 $Y$ が T0 であるとする。 $x\sim x'$ ならば $f(x)=f(x')$ である。実際、値が異なれば T0 性によって一方だけを含む開集合が存在し、その逆像が $x,x'$ を区別して矛盾する。したがって§E2.12 定理 8.10により、 $f=\overline f\circ q_X$ を満たす連続写像 $\overline f:X_0\to Y$ がただ一つ存在する。これが自然な全単射

\operatorname{Hom}_{\mathbf{Top}_0}(X_0,Y) \cong \operatorname{Hom}_{\mathbf{Top}}(X,J_0(Y))

を与える。T0 空間では相異なる点が同値にならないため、counit $(J_0Y)_0\to Y$ は標準的な同相写像である。▨

10 テンソル積と hom

$N$ を左 $R$ ・右 $S$ 双加群として固定する。

定理 10.1 (テンソル積と hom の随伴). 関手 $F=-\otimes_RN:\mathbf{Mod}\text{-}R\to\mathbf{Mod}\text{-}S$ と $G=\operatorname{Hom}_S(N,-):\mathbf{Mod}\text{-}S\to\mathbf{Mod}\text{-}R$ について $F\dashv G$ が成り立つ。unit と counit は

\eta_M(m)(n)=m\otimes n, \qquad \varepsilon_P(h\otimes n)=h(n)

である。

証明.§E6.14 定理 10.1の自然な全単射

\operatorname{Hom}_S(M\otimes_RN,P) \cong \operatorname{Hom}_R(M,\operatorname{Hom}_S(N,P))

が随伴を与える。恒等写像を同対応と逆対応へ代入すると、表示した unit と counit を得る。▨

命題 10.2. 右 $S$ 加群の族 $(P_i)$ と右 $R$ 加群の族 $(M_i)$ に対し、標準同型

\operatorname{Hom}_S\left(N,\prod_iP_i\right)\cong\prod_i\operatorname{Hom}_S(N,P_i), \qquad \left(\bigoplus_iM_i\right)\otimes_RN\cong\bigoplus_i(M_i\otimes_RN)

が存在する。

証明. $G$ は右随伴なので直積を保ち、 $F$ は左随伴なので余積を保つ。加群圏の直積と余積には命題 2.1を用いる。▨

注意 10.3 (右完全性との関係). 左随伴 $-\otimes_RN$ は余積だけでなく coequalizer も保つ。加法圏でこの事実を核と余核の言葉へ移すと、テンソル積の右完全性につながる。完全列と導来関手の一般論は「ホモロジー代数」が扱う。

11 Galois 接続

定義 11.1. 前順序集合 $P,Q$ の間の単調写像 $l:P\to Q$ と $r:Q\to P$ が、任意の $p\in P$ と $q\in Q$ について

l(p)\le q\iff p\le r(q)

を満たすとき、 $(l,r)$ をGalois 接続 (Galois connection) という。

定理 11.2. 前順序集合を圏とみなすと、単調写像の組 $(l,r)$ が Galois 接続であることと $l\dashv r$ であることは同値である。unit は $p\le r(l(p))$ 、counit は $l(r(q))\le q$ である。

証明. 前順序集合が定める圏では、 $\operatorname{Hom}(p,q)$ は $p\le q$ のとき一元集合、そうでないとき空集合である。したがって $\operatorname{Hom}(l(p),q)$ と $\operatorname{Hom}(p,r(q))$ の間に全単射が存在することは、二つの不等式が同値であることに等しい。hom 集合の元は高々一つなので自然性と三角恒等式は自動的に成り立つ。▨

12 閉包と開核

定理 12.1. 位相空間 $X$ を固定する。 $X$ の部分集合全体を包含で順序づけた半順序集合を $\mathcal P(X)$ 、閉集合全体と開集合全体が定める部分半順序集合をそれぞれ $\operatorname{Closed}(X)$ 、 $\operatorname{Open}(X)$ とする。包含写像を $j_{\mathrm{cl}}$ 、 $j_{\mathrm{op}}$ と書くと、

\operatorname{cl}\dashv j_{\mathrm{cl}}, % notation-ok: tp-closure-macro 閉包作用素そのものを射として書く \qquad j_{\mathrm{op}}\dashv\operatorname{int} % notation-ok: tp-interior-macro 内部作用素そのものを射として書く

が成り立つ。

証明.§E2.11 命題 2.5の極値性により、任意の $A\subseteq X$ 、閉集合 $F$ および開集合 $O$ について

\overline A\subseteq F\iff A\subseteq F, \qquad O\subseteq A\iff O\subseteq\tpint{A}

が成り立つ。これらが二つの Galois 接続である。第一の unit は $A\subseteq\overline A$ 、第二の counit は $\tpint{A}\subseteq A$ である。閉集合の閉包と開集合の内部は元の集合に等しいため、残る counit と unit は等号になる。▨

13 像・逆像・小像

例 13.1 (像・逆像・小像の三重随伴). 写像 $f:X\to Y$ に対し、部分集合の像、逆像および小像を

\exists_f(A)=f(A), \qquad f^*(B)=f^{-1}(B), \qquad \forall_f(A)=\{y\in Y\mid f^{-1}(\{y\})\subseteq A\}

と書く。このとき、包含順序に関して

\exists_f\dashv f^*\dashv\forall_f

が成り立つ。

実際、任意の $A\subseteq X$ と $B\subseteq Y$ について

f(A)\subseteq B\iff A\subseteq f^{-1}(B), \qquad f^{-1}(B)\subseteq A\iff B\subseteq\forall_f(A)

である。第二の同値は、各 $y\in B$ のすべての逆像が $A$ に属することを両辺が同じく述べる。小像は $\forall_f(A)=Y\setminus f(X\setminus A)$ とも書くことができる。

したがって像は任意の和集合を、逆像は任意の和集合と共通部分を、小像は任意の共通部分を保つ。unit と counit は、左側の随伴では $A\subseteq f^{-1}(f(A))$ と $f(f^{-1}(B))\subseteq B$ 、右側の随伴では $f^{-1}(\forall_f(A))\subseteq A$ と $B\subseteq\forall_f(f^{-1}(B))$ である。

14 Boolean 代数の完備化は素朴には随伴でない

完備化という名称だけから、完備な対象のなす部分圏への反射が得られるとは限らない。射がどの演算を保つかを指定する必要がある。

例 14.1 (Boolean 代数の完備化における延長の失敗). $\mathcal A$ を $\mathbb N$ の有限部分集合と余有限部分集合からなる Boolean 代数とする。その標準的な完備化は冪集合代数 $\mathcal P(\mathbb N)$ であり、 $\mathcal A$ は単集合の任意和によって $\mathcal P(\mathbb N)$ を生成する。

二元 Boolean 代数 $2=\{0,1\}$ への準同型 $h:\mathcal A\to2$ を、有限集合では $0$ 、余有限集合では $1$ と定める。この $h$ は $\mathcal P(\mathbb N)$ からの完全 Boolean 準同型へ延長しない。実際、延長 $\overline h$ が任意の上限を保つならば、各単集合が有限なので

1=\overline h(\mathbb N) =\overline h\left(\bigcup_{n\in\mathbb N}\{n\}\right) =\bigvee_{n\in\mathbb N}\overline h(\{n\}) =\bigvee_{n\in\mathbb N}0=0

となって矛盾する。

したがって、通常の Boolean 準同型を射とする Boolean 代数の圏と、任意の上限を保つ準同型を射とする完備 Boolean 代数の圏の間では、この標準的な完備化は左随伴の unit にならない。完備化の普遍性は、稠密な埋め込みなど、別の射と条件を指定して述べる必要がある。

15 各例における保存の対照

注意 15.1 (忘却関手と反射の保存). 群と加群の忘却関手は自由構成の右随伴なので極限を保つが、一般には余積を保たない。位相空間の忘却関手は左随伴と右随伴の両方をもつので、極限と余極限の両方を保つ。

完備化、距離の切断、T0 化および可換化は左随伴なので余極限を保つ。包含側は右随伴なので極限を保つ。ただし、これは該当する圏で極限または余極限が存在する場合の主張であり、保存定理だけからそれらの存在は従わない。

注意 15.2 (保存から随伴は出ない). 本記事では随伴を hom 集合の全単射によって先に確認し、保存性を後から導いた。極限を保つことだけから右随伴の存在は従わない。随伴の存在を保存性と追加条件から導く随伴関手定理は「圏論 II」が扱う。

16 演習

問題 16.1.

定理 3.1の counitを $A=k[t]/(t^2)$ について記述し、 $\operatorname{Sym}(U(A))$ の次数一の元がどのように評価されるかを述べよ。
定理 4.1を行列代数 $M_n(k)$ （ $n\ge2$ ）へ適用したとき、交換子が生成する両側イデアルが全体になることを、行列単位を用いて確かめよ。
定理 5.1の unit と counit について、三角恒等式を直積の射影との合成によって確かめよ。
定理 8.1で $R>0$ が必要な理由を、二点以上をもつ距離空間と $R=0$ を用いて説明せよ。
定理 9.1の同値関係が、二点の閉包が等しいことと同値であることを証明せよ。
定理 12.1の二つの随伴について unit と counit をすべて書き、どれが常に等号になるかを述べよ。
例 13.1の小像が $Y\setminus f(X\setminus A)$ に等しいことを証明し、空の逆像をもつ点が小像に属する理由を説明せよ。
例 14.1で、 $h$ が有限和、有限積および補元を保つことを確かめよ。

17 扱った範囲

本記事では、自由構成、商による可換化、積と余積、位相と距離の反射、テンソル積と hom、および順序上の Galois 接続を、hom 集合の対応として比較した。とくに、距離空間の完備化が 1-Lipschitz 写像に対して反射になる一方、Boolean 代数の標準的な完備化は通常の射の選択では同じ形の随伴にならないことを区別した。

随伴関手定理、モナド、Kan 拡張、反射部分圏と局所化の一般論は「圏論 II」が扱う。完全列と導来関手は「ホモロジー代数」が扱う。極限と余極限の具体的な計算は「極限・余極限の計算」にある。

§E21.12随伴の例