関手 | 圏論 I | 天游ヶ丘数理学院

1 関手の定義

対象の対応と射の対応を組にし、圏の側の構造である合成と恒等射を保つことを要求する。

定義 1.1. $\mathcal C$ 、 $\mathcal D$ を圏とする。関手 (functor) $F : \mathcal C \to \mathcal D$ とは、次の二つの対応の組である。

$\mathcal C$ の各対象 $A$ に対する $\mathcal D$ の対象 $F(A)$ 。
$\mathcal C$ の各対象の組 $(A, B)$ と各射 $f \in \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A, B)$ に対する $\mathcal D$ の射 $F(f) \in \operatorname{Hom}_{\mathcal D}(F(A), F(B))$ 。

これらが次の二つの条件を満たす。

合成の保存 (preservation of composition): $\mathcal C$ の射 $f : A \to B$ 、 $g : B \to C$ について $F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)$ が成り立つ。
恒等射の保存 (preservation of identities): $\mathcal C$ の各対象 $A$ について $F(\mathrm{id}_A) = \mathrm{id}_{F(A)}$ が成り立つ。

区別が必要なときは、この意味の関手を共変関手 (covariant functor) という。

注意 1.2 (関手と函手). functor の訳語には「関手」と「函手」の二つが用いられる。本単元は「関手」で統一する。

関手そのものも、合成と恒等射をもつ。

命題 1.3. 次が成り立つ。

圏 $\mathcal C$ に対して、 $\mathrm{id}_{\mathcal C}(A) = A$ と $\mathrm{id}_{\mathcal C}(f) = f$ で定まる対応は関手 $\mathcal C \to \mathcal C$ である。これを $\mathcal C$ の恒等関手という。
関手 $F : \mathcal C \to \mathcal D$ と $G : \mathcal D \to \mathcal E$ に対して、 $(G \circ F)(A) = G(F(A))$ と $(G \circ F)(f) = G(F(f))$ で定まる対応は関手 $\mathcal C \to \mathcal E$ である。
関手 $F : \mathcal C \to \mathcal D$ 、 $G : \mathcal D \to \mathcal E$ 、 $H : \mathcal E \to \mathcal F$ について $H \circ (G \circ F) = (H \circ G) \circ F$ が成り立つ。また $F \circ \mathrm{id}_{\mathcal C} = F$ と $\mathrm{id}_{\mathcal D} \circ F = F$ が成り立つ。

証明.(1)を示す。 $f : A \to B$ に対して $\mathrm{id}_{\mathcal C}(f) = f$ は $\mathrm{id}_{\mathcal C}(A) = A$ から $\mathrm{id}_{\mathcal C}(B) = B$ への射であるから、射の対応の型は正しい。合成の保存は $g \circ f = g \circ f$ 、恒等射の保存は $\mathrm{id}_A = \mathrm{id}_A$ であり、いずれも成り立つ。

(2)を示す。 $f : A \to B$ に対して $F(f) : F(A) \to F(B)$ であるから $G(F(f)) : G(F(A)) \to G(F(B))$ であり、射の対応の型は正しい。合成については

(G \circ F)(g \circ f) = G\bigl(F(g \circ f)\bigr) = G\bigl(F(g) \circ F(f)\bigr) = G(F(g)) \circ G(F(f))

が成り立つ。第二の等号は $F$ の合成の保存、第三の等号は $G$ の合成の保存による。恒等射については

(G \circ F)(\mathrm{id}_A) = G\bigl(F(\mathrm{id}_A)\bigr) = G(\mathrm{id}_{F(A)}) = \mathrm{id}_{G(F(A))}

が成り立つ。

(3)を示す。関手は対象の対応と射の対応の組であるから、二つの関手が等しいことは、対象の対応と射の対応がともに一致することである。 $H \circ (G \circ F)$ と $(H \circ G) \circ F$ はいずれも対象 $A$ を $H(G(F(A)))$ へ、射 $f$ を $H(G(F(f)))$ へ送る。 $F \circ \mathrm{id}_{\mathcal C}$ と $\mathrm{id}_{\mathcal D} \circ F$ はいずれも対象 $A$ を $F(A)$ へ、射 $f$ を $F(f)$ へ送る。▨

部分圏へ関手を制限する操作も、関手を与える。

命題 1.4. $\mathcal D$ を圏 $\mathcal C$ の部分圏（§E21.1 定義 4.1）とする。次が成り立つ。

対象と射をそれ自身へ送る対応 $J : \mathcal D \to \mathcal C$ は関手である。これを包含関手という。
関手 $F : \mathcal C \to \mathcal E$ に対し、 $F$ の $\mathcal D$ への制限を $F|_{\mathcal D} = F \circ J$ で定める。これは関手 $\mathcal D \to \mathcal E$ であり、 $\mathcal D$ の対象 $A$ を $F(A)$ へ、 $\mathcal D$ の射 $f$ を $F(f)$ へ送る。

証明.(1)を示す。§E21.1 定義 4.1 条件 (b)により、 $\mathcal D$ の射 $f : A \to B$ は $\mathcal C$ の射 $A \to B$ であるから、射の対応の型は正しい。§E21.1 命題 4.2により $\mathcal D$ の合成と恒等射は $\mathcal C$ のものの制限であるから、 $J(g \circ f) = g \circ f = J(g) \circ J(f)$ と $J(\mathrm{id}_A) = \mathrm{id}_A = \mathrm{id}_{J(A)}$ が成り立つ。

(2)を示す。命題 1.3 (2)により関手の合成は関手であるから、 $F \circ J$ は関手 $\mathcal D \to \mathcal E$ である。対象と射の対応は $(F \circ J)(A) = F(A)$ と $(F \circ J)(f) = F(f)$ である。▨

命題 1.5. $F : \mathcal C \to \mathcal D$ を関手とする。 $\mathcal C$ の射 $f : A \to B$ が同型射ならば、 $F(f)$ は $\mathcal D$ の同型射であり

F(f)^{-1} = F(f^{-1})

が成り立つ。とくに $A \cong B$ ならば $F(A) \cong F(B)$ である。

証明. $f^{-1}$ を $f$ の逆射とする（§E21.1 命題 6.2）。 $F$ が合成と恒等射を保つことから

F(f^{-1}) \circ F(f) = F(f^{-1} \circ f) = F(\mathrm{id}_A) = \mathrm{id}_{F(A)}

および

F(f) \circ F(f^{-1}) = F(f \circ f^{-1}) = F(\mathrm{id}_B) = \mathrm{id}_{F(B)}

が成り立つ。したがって $F(f)$ は同型射であり、 $F(f^{-1})$ はその逆射である。逆射は一意である（§E21.1 命題 6.2）から $F(f)^{-1} = F(f^{-1})$ である。▨

命題 1.5の逆は成り立たない。 $F(f)$ が $\mathcal D$ の同型射であっても $f$ が $\mathcal C$ の同型射であるとは限らない。反例は命題 3.1で挙げる。

2 反対圏との関係と反変関手

双対空間をとる操作のように、射の向きを逆にする対応がある。これを扱うために、まず関手が反対圏の間に定める関手を構成する。

命題 2.1. $F : \mathcal C \to \mathcal D$ を関手とする。対象について $F^{\mathrm{op}}(A) = F(A)$ 、射について $F^{\mathrm{op}}(f) = F(f)$ と定めると、 $F^{\mathrm{op}}$ は関手 $\mathcal C^{\mathrm{op}} \to \mathcal D^{\mathrm{op}}$ である。

証明. 射の対応の型を確かめる。 $f \in \operatorname{Hom}_{\mathcal C^{\mathrm{op}}}(A, B) = \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(B, A)$ とすると

F(f) \in \operatorname{Hom}_{\mathcal D}(F(B), F(A)) = \operatorname{Hom}_{\mathcal D^{\mathrm{op}}}(F(A), F(B))

であるから、 $F^{\mathrm{op}}(f)$ は $\mathcal D^{\mathrm{op}}$ の射 $F^{\mathrm{op}}(A) \to F^{\mathrm{op}}(B)$ である。

合成の保存を示す。 $f \in \operatorname{Hom}_{\mathcal C^{\mathrm{op}}}(A, B)$ 、 $g \in \operatorname{Hom}_{\mathcal C^{\mathrm{op}}}(B, C)$ とする。§E21.1 定義 5.1により $g \circ^{\mathrm{op}} f = f \circ g$ であるから

F^{\mathrm{op}}(g \circ^{\mathrm{op}} f) = F(f \circ g) = F(f) \circ F(g) = F^{\mathrm{op}}(g) \circ^{\mathrm{op}} F^{\mathrm{op}}(f)

が成り立つ。最後の等号は $\mathcal D^{\mathrm{op}}$ における合成の定義による。恒等射については、 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ と $\mathcal D^{\mathrm{op}}$ の恒等射がそれぞれ $\mathcal C$ と $\mathcal D$ のものと同じであるから、 $F^{\mathrm{op}}(\mathrm{id}_A) = F(\mathrm{id}_A) = \mathrm{id}_{F(A)}$ が成り立つ。▨

定義 2.2. $\mathcal C$ 、 $\mathcal D$ を圏とする。 $\mathcal C$ から $\mathcal D$ への反変関手 (contravariant functor) とは、関手 $F : \mathcal C^{\mathrm{op}} \to \mathcal D$ のことである。

反変関手を $\mathcal C$ の対象と射の言葉で書き直すと、次の形になる。

命題 2.3. $\mathcal C$ 、 $\mathcal D$ を圏とする。次の二つのデータの組を考える。

$\mathcal C$ の各対象 $A$ に対する $\mathcal D$ の対象 $F(A)$ 。
$\mathcal C$ の各射 $f : A \to B$ に対する $\mathcal D$ の射 $F(f) : F(B) \to F(A)$ 。

この組が反変関手 $\mathcal C^{\mathrm{op}} \to \mathcal D$ を定めることと、次の二つが成り立つことは同値である。

$\mathcal C$ の射 $f : A \to B$ 、 $g : B \to C$ について $F(g \circ f) = F(f) \circ F(g)$ が成り立つ。
$\mathcal C$ の各対象 $A$ について $F(\mathrm{id}_A) = \mathrm{id}_{F(A)}$ が成り立つ。

証明.§E21.1 定義 5.1により、 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の対象は $\mathcal C$ の対象であり、 $\operatorname{Hom}_{\mathcal C^{\mathrm{op}}}(B, A) = \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A, B)$ である。したがって、上の二つのデータの組は、関手 $\mathcal C^{\mathrm{op}} \to \mathcal D$ の対象の対応と射の対応をちょうど与えている。残るのは、関手の二つの条件が上の二つの等式に一致することである。

合成について確かめる。 $\mathcal C$ の射 $f : A \to B$ と $g : B \to C$ を取る。 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ では $g$ は $C \to B$ の射、 $f$ は $B \to A$ の射であり、 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ における合成は

f \circ^{\mathrm{op}} g = g \circ f

である。したがって $\mathcal C^{\mathrm{op}} \to \mathcal D$ の関手としての合成の保存

F(f \circ^{\mathrm{op}} g) = F(f) \circ F(g)

は、 $\mathcal C$ の言葉では $F(g \circ f) = F(f) \circ F(g)$ である。 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の合成可能な射の組は、この形ですべて尽くされる。

恒等射については、 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の恒等射が $\mathcal C$ のものと同じであるから、二つの条件は同じ等式である。以上により、二つの条件と二つの等式は同値である。▨

反変関手どうしを合成すると共変関手になる。合成の順序を確かめるために、命題 2.1を用いて型をそろえる。

命題 2.4. $F : \mathcal C^{\mathrm{op}} \to \mathcal D$ と $G : \mathcal D^{\mathrm{op}} \to \mathcal E$ をいずれも反変関手とする。このとき $G \circ F^{\mathrm{op}}$ は共変関手 $\mathcal C \to \mathcal E$ であり、対象 $A$ を $G(F(A))$ へ、射 $f : A \to B$ を $\mathcal E$ の射

G(F(f)) : G(F(A)) \longrightarrow G(F(B))

へ送る。

証明.命題 2.1を $F$ に適用すると、 $F^{\mathrm{op}}$ は関手 $(\mathcal C^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}} \to \mathcal D^{\mathrm{op}}$ である。§E21.1 命題 5.2により $(\mathcal C^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}} = \mathcal C$ であるから、 $F^{\mathrm{op}}$ は関手 $\mathcal C \to \mathcal D^{\mathrm{op}}$ である。命題 1.3により、合成 $G \circ F^{\mathrm{op}}$ は関手 $\mathcal C \to \mathcal E$ である。

対応を確かめる。対象については $(G \circ F^{\mathrm{op}})(A) = G(F(A))$ である。 $\mathcal C$ の射 $f : A \to B$ については $F^{\mathrm{op}}(f) = F(f)$ であり、これは $\mathcal D$ の射 $F(B) \to F(A)$ 、すなわち $\mathcal D^{\mathrm{op}}$ の射 $F(A) \to F(B)$ である。これに $G$ を施すと $\mathcal E$ の射 $G(F(A)) \to G(F(B))$ を得る。▨

3 関手の例

最初の例は、構造の一部を落とす対応である。後続の記事がこの関手を根拠として引くので、命題として述べる。

命題 3.1. 群 $G$ にその台集合 $U(G)$ を対応させ、群準同型 $f : G \to H$ にそれを写像とみなしたもの $U(f) : U(G) \to U(H)$ を対応させる規則は、関手 $U : \mathbf{Grp} \to \mathbf{Set}$ を定める。同じ規則により、位相空間にその台集合を対応させる $U : \mathbf{Top} \to \mathbf{Set}$ 、線形空間にその台集合を対応させる $U : \mathbf{Vect}_k \to \mathbf{Set}$ 、環にその台集合を対応させる $U : \mathbf{Ring} \to \mathbf{Set}$ 、および単位元をもつ結合環 $R$ に対して左 $R$ 加群にその台集合を対応させる $U : R\text{-}\mathbf{Mod} \to \mathbf{Set}$ と、右 $R$ 加群にその台集合を対応させる $U : \mathbf{Mod}\text{-}R \to \mathbf{Set}$ も関手である。構造の一部を落とすこれらの関手を忘却関手と総称する。忘却関手は特定の一つの関手の名称ではない。

証明. $\mathbf{Grp}$ の場合を示す。群準同型 $f : G \to H$ は写像であるから、 $U(f)$ は $\mathbf{Set}$ の射 $U(G) \to U(H)$ であり、射の対応の型は正しい。§E21.1 例 2.2により $\mathbf{Grp}$ の合成は写像の合成であり、恒等射は恒等写像である。したがって $\mathbf{Set}$ における等式として

U(g \circ f) = U(g) \circ U(f), \qquad U(\mathrm{id}_G) = \mathrm{id}_{U(G)}

がそのまま成り立つ。 $\mathbf{Top}$ 、 $\mathbf{Vect}_k$ 、 $\mathbf{Ring}$ 、 $R\text{-}\mathbf{Mod}$ 、 $\mathbf{Mod}\text{-}R$ の場合も、§E21.1 例 2.2と§E21.1 例 2.3により、射が写像であり、合成が写像の合成、恒等射が恒等写像であるから、同じ議論による。▨

忘却関手 $U : \mathbf{Top} \to \mathbf{Set}$ は、命題 1.5の逆が成り立たないことを示す。連続な全単射であって同相写像でない写像 $f$ を取る（§E2.12 例 6.9）。 $U(f)$ は全単射であるから $\mathbf{Set}$ の同型射である（§E21.1 命題 6.4）。一方 $f$ は同相写像ではないので $\mathbf{Top}$ の同型射ではない。

べき集合をとる操作は、像を取るか逆像を取るかによって、二つの異なる関手を与える。

命題 3.2. 集合 $A$ にそのべき集合 $\mathcal P(A)$ を対応させ、射の対応を次のいずれかで定める。像と逆像は§E1.1 定義 4.1による。

写像 $f : A \to B$ に対して $\mathcal P_*(f) : \mathcal P(A) \to \mathcal P(B)$ を $\mathcal P_*(f)(S) = f(S)$ で定める。このとき $\mathcal P_*$ は関手 $\mathbf{Set} \to \mathbf{Set}$ である。
写像 $f : A \to B$ に対して $\mathcal P^*(f) : \mathcal P(B) \to \mathcal P(A)$ を $\mathcal P^*(f)(T) = f^{-1}(T)$ で定める。このとき $\mathcal P^*$ は反変関手 $\mathbf{Set}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Set}$ である。

同じ対象の対応が、像を取るか逆像を取るかによって共変と反変に分かれる。

証明.(1)を示す。写像 $f : A \to B$ 、 $g : B \to C$ と $S \subseteq A$ について

(g \circ f)(S) = \{g(f(x)) \mid x \in S\} = g\bigl(\{f(x) \mid x \in S\}\bigr) = g(f(S))

であるから $\mathcal P_*(g \circ f) = \mathcal P_*(g) \circ \mathcal P_*(f)$ である。また $S \subseteq A$ について $\mathcal P_*(\mathrm{id}_A)(S) = S$ であるから $\mathcal P_*(\mathrm{id}_A) = \mathrm{id}_{\mathcal P(A)}$ である。

(2)を示す。 $T \subseteq C$ と $x \in A$ について

x \in (g \circ f)^{-1}(T) \iff g(f(x)) \in T \iff f(x) \in g^{-1}(T) \iff x \in f^{-1}\bigl(g^{-1}(T)\bigr)

であるから $\mathcal P^*(g \circ f) = \mathcal P^*(f) \circ \mathcal P^*(g)$ である。また $T \subseteq A$ について $\mathcal P^*(\mathrm{id}_A)(T) = T$ である。命題 2.3により、 $\mathcal P^*$ は反変関手 $\mathbf{Set}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Set}$ である。▨

例 3.3 (双対空間をとる反変関手). $k$ を体とする。線形空間 $V$ にその双対空間 $V^* = \operatorname{Hom}_k(V, k)$ （§E3.5 定義 1.1）を対応させ、線形写像 $f : V \to W$ に双対写像 $f^* : W^* \to V^*$ 、 $f^*(\varphi) = \varphi \circ f$ （§E3.5 定義 3.1）を対応させる。§E3.5 命題 3.2は、線形写像 $f : V \to W$ 、 $g : W \to X$ について

(g \circ f)^* = f^* \circ g^*, \qquad (\mathrm{id}_V)^* = \mathrm{id}_{V^*}

が成り立つことを示している。これは命題 2.3の二つの等式であるから、この対応は反変関手

(-)^* : \mathbf{Vect}_k^{\mathrm{op}} \longrightarrow \mathbf{Vect}_k

を定める。「双対空間と双対写像」は双対空間を $V^{\vee}$ と書いているが、本単元では $V^*$ と書く。

対象の対応が定まっていても、射の対応が定まるとは限らない。

例 3.4 (関手を定めない対応). 群 $G$ にその中心 $Z(G)$ （§E7.12 定義 1.1）を対応させ、群準同型 $f : G \to H$ に $f$ の $Z(G)$ への制限を対応させる規則は、 $\mathbf{Grp}$ から $\mathbf{Grp}$ への関手を定めない。

対称群 $S_3$ （§E7.4 定義 1.1）を用いる。積は写像の合成であり、 $\tau \sigma$ は右側の $\sigma$ を先に作用させる。巡回置換の記法は§E7.4 定義 2.1による。 $\tau = (1\ 2) \in S_3$ とし、 $G = \{\mathrm{id}, \tau\}$ を $\tau$ が生成する部分群、 $f : G \to S_3$ を包含準同型とする。 $G$ はアーベル群であるから $Z(G) = G$ であり、 $\tau \in Z(G)$ である。一方、 $\sigma = (1\ 2\ 3)$ とすると

\tau \sigma = (2\ 3), \qquad \sigma \tau = (1\ 3)

であり、両者は異なる。したがって $\tau$ は $S_3$ の中心に属さない。 $f$ の $Z(G)$ への制限は $\tau$ を $\tau$ へ送るから、 $Z(G)$ から $Z(S_3)$ への写像を与えない。すなわち射の対応が定義されない。

4 自由群の構成が定める関手

自由群の構成は、集合の圏から群の圏への対象の対応を与える。射の対応は、自由群の普遍性の一意性から定まる。普遍性そのものは「自由群・自由積と群の表示」が証明しているので、本記事では引用する。

以下、集合 $S$ 上の自由群を $\mathrm{Free}(S)$ と書く。「自由群・自由積と群の表示」は自由群を $F(S)$ と書いているが、本記事では関手を表す記号と区別するために $\mathrm{Free}$ を用いる。

命題 4.1. 集合 $S$ に対し、 $\mathrm{Free}(S)$ を $S$ 上の自由群（§E7.9 定義 1.4）、 $\iota_S : S \to U(\mathrm{Free}(S))$ を標準的な写像とする。ここで $U : \mathbf{Grp} \to \mathbf{Set}$ は忘却関手である。§E7.9 定理 1.6により、任意の群 $G$ と任意の写像 $h : S \to U(G)$ に対して

U(\widehat h) \circ \iota_S = h

を満たす群準同型 $\widehat h : \mathrm{Free}(S) \to G$ がただ一つ存在する。

写像 $u : S \to T$ に対して、 $\mathrm{Free}(u) : \mathrm{Free}(S) \to \mathrm{Free}(T)$ を、写像 $\iota_T \circ u : S \to U(\mathrm{Free}(T))$ に対応する一意な群準同型として定める。この対応により $\mathrm{Free}$ は関手 $\mathbf{Set} \to \mathbf{Grp}$ である。

証明. 定義により、 $u : S \to T$ に対する $\mathrm{Free}(u)$ は

U(\mathrm{Free}(u)) \circ \iota_S = \iota_T \circ u \tag{1}

を満たす唯一の群準同型である。

恒等射の保存を示す。 $u = \mathrm{id}_S$ とすると、式 (1) は $U(\mathrm{Free}(\mathrm{id}_S)) \circ \iota_S = \iota_S$ である。一方、 $U$ が関手であること（命題 3.1）から

U(\mathrm{id}_{\mathrm{Free}(S)}) \circ \iota_S = \mathrm{id}_{U(\mathrm{Free}(S))} \circ \iota_S = \iota_S

が成り立つ。したがって $\mathrm{Free}(\mathrm{id}_S)$ と $\mathrm{id}_{\mathrm{Free}(S)}$ はともに、写像 $\iota_S : S \to U(\mathrm{Free}(S))$ に対応する群準同型である。普遍性の一意性により $\mathrm{Free}(\mathrm{id}_S) = \mathrm{id}_{\mathrm{Free}(S)}$ である。

合成の保存を示す。写像 $u : S \to T$ 、 $v : T \to R$ を取る。 $U$ が関手であることと式 (1) を二度用いると

U\bigl(\mathrm{Free}(v) \circ \mathrm{Free}(u)\bigr) \circ \iota_S = U(\mathrm{Free}(v)) \circ U(\mathrm{Free}(u)) \circ \iota_S = U(\mathrm{Free}(v)) \circ \iota_T \circ u = \iota_R \circ v \circ u

が成り立つ。一方、式 (1) を $v \circ u : S \to R$ に対して用いると

U\bigl(\mathrm{Free}(v \circ u)\bigr) \circ \iota_S = \iota_R \circ (v \circ u)

である。したがって $\mathrm{Free}(v) \circ \mathrm{Free}(u)$ と $\mathrm{Free}(v \circ u)$ はともに、写像 $\iota_R \circ v \circ u : S \to U(\mathrm{Free}(R))$ に対応する群準同型である。普遍性の一意性により両者は等しい。▨

この証明は、自由群の元が語であることを一度も用いていない。用いたのは、普遍性が主張する群準同型の存在と一意性、および忘却関手が関手であることだけである。

例 4.2 (自由群の関手性の具体的な確認). $S = \{a, b\}$ とし、 $u : S \to S$ を $u(a) = b$ 、 $u(b) = a$ で定める。 $\mathrm{Free}(u)$ は $\iota_S \circ u$ に対応する群準同型であるから、生成元 $a$ を $b$ へ、 $b$ を $a$ へ送る。§E7.9 定理 1.6が与える具体的な式により、 $\mathrm{Free}(u)$ は簡約語の各文字を入れ替える。たとえば $a b^{-1} a$ は $b a^{-1} b$ へ写る。

$u \circ u = \mathrm{id}_S$ であるから、命題 4.1により

\mathrm{Free}(u) \circ \mathrm{Free}(u) = \mathrm{Free}(u \circ u) = \mathrm{Free}(\mathrm{id}_S) = \mathrm{id}_{\mathrm{Free}(S)}

である。実際、 $a b^{-1} a$ は $b a^{-1} b$ を経て $a b^{-1} a$ へ戻る。したがって $\mathrm{Free}(u)$ は $\mathbf{Grp}$ の同型射であり、命題 1.5の主張と整合する。

5 演習

問題 5.1.

命題 1.5の証明を、逆射の一意性を用いた箇所を明示して再現せよ。
$\mathcal P^*$ が反変関手であることを、命題 2.3を経由せず、 $\mathbf{Set}^{\mathrm{op}}$ からの関手の定義に直接戻って確かめよ。
$F : \mathcal C^{\mathrm{op}} \to \mathcal D$ を反変関手、 $G : \mathcal D \to \mathcal E$ を共変関手とする。 $G \circ F$ が $\mathcal C$ から $\mathcal E$ への反変関手であることを示せ。また、 $F$ が共変で $G$ が反変である場合に、合成がどちらになるかを型を追って述べよ。
中心をとる対応が関手を定めないことを、例 3.4と異なる群と準同型の組で示せ。
命題 4.1の証明で、自由群の普遍性の一意性を用いた箇所をすべて挙げ、存在の部分をどこで用いたかを述べよ。
忘却関手 $U : \mathbf{Grp} \to \mathbf{Set}$ について、 $U(f)$ が $\mathbf{Set}$ の同型射であるならば $f$ が $\mathbf{Grp}$ の同型射であることを示せ。この結論が $U : \mathbf{Top} \to \mathbf{Set}$ では成り立たない理由を述べよ。

6 扱った範囲と次の記事

本記事では、関手、恒等関手、関手の合成、部分圏への制限、および反変関手を定義し、関手が同型射を保つことを証明した。例として、忘却関手、べき集合をとる二つの関手、双対空間をとる反変関手、自由群の構成が定める関手を扱い、対象の対応だけでは関手にならない例を挙げた。

次の記事「自然変換と関手圏」は、同じ二つの圏の間の二つの関手を比べる射として自然変換を定義し、関手を対象、自然変換を射とする圏を構成する。関手が極限を保つかどうかは「極限と余極限」以降が扱う。忘却関手と自由構成が対をなすことは「随伴」が随伴として定式化する。関手と自然変換が作る二段の構造を圏として体系的に扱う枠組みは「圏論 II」が扱う。

§E21.2関手