共役類と類等式 | 群論入門 | 天游ヶ丘数理学院

1 共役に関する部分群

定義 1.1. 群 $G$ 、元 $x\in G$ 、部分群 $H\leq G$ に対し、次のように定める。

$x$ の中心化群 (centralizer of an element) は $C_G(x)=\{g\in G\mid gx=xg\}$ である。
$H$ の正規化群 (normalizer of a subgroup) は $N_G(H)=\{g\in G\mid gHg^{-1}=H\}$ である。
$G$ の中心 (center of a group) は $Z(G)=\{z\in G\mid zg=gz\text{ がすべての }g\in G\text{ について成り立つ}\}$ である。
元 $g\in G$ に対して $c_g\colon G\longrightarrow G,\qquad c_g(x)=gxg^{-1}$ と定める。次の命題により、 $c_g$ は自己同型である。自己同型 $c_g$ を $g$ による内部自己同型 (inner automorphism) と呼ぶ。
$x$ の共役類 (conjugacy class) は $\operatorname{Cl}_G(x)=\{gxg^{-1}\mid g\in G\}$ である。

命題 1.2. 任意の $g\in G$ に対して、写像 $c_g$ は $G$ の自己同型であり、その逆写像は $c_{g^{-1}}$ である。

証明. $x,y\in G$ に対して

c_g(xy) =gxyg^{-1} =(gxg^{-1})(gyg^{-1}) =c_g(x)c_g(y)

であるため、 $c_g$ は群準同型である。また、

\begin{aligned} c_{g^{-1}}(c_g(x)) &=g^{-1}(gxg^{-1})g =x,\\ c_g(c_{g^{-1}}(x)) &=g(g^{-1}xg)g^{-1} =x \end{aligned}

である。したがって、 $c_{g^{-1}}$ は $c_g$ の逆写像であり、 $c_g$ は自己同型である。▨

中心化群は一つの元を固定する元全体であり、正規化群は一つの部分群を集合として固定する元全体である。両者を混同してはならない。

命題 1.3. $C_G(x)$ と $N_G(H)$ は $G$ の部分群である。また、

Z(G)=\bigcap_{x\in G}C_G(x)

であり、 $Z(G)\trianglelefteq G$ である。

証明. $C_G(x)$ が部分群であることを示す。単位元は $x$ と可換する。 $a,b\in C_G(x)$ とすると、

(ab^{-1})x =a(b^{-1}x) =a(xb^{-1}) =(ax)b^{-1} =x(ab^{-1})

である。したがって、一段階部分群判定法により $C_G(x)\leq G$ である。

次に $N_G(H)$ を考える。単位元は $H$ を保つ。 $a,b\in N_G(H)$ ならば、

(ab^{-1})H(ab^{-1})^{-1} =a(b^{-1}Hb)a^{-1} =aHa^{-1} =H

である。よって $N_G(H)\leq G$ である。

元 $z$ がすべての $x\in G$ と可換することは、 $z\in C_G(x)$ がすべての $x\in G$ について成り立つことと同値である。以上の同値関係から $Z(G)=\bigcap_{x\in G}C_G(x)$ を得る。最後に、 $z\in Z(G)$ 、 $g\in G$ とすると $gz=zg$ であるから

gzg^{-1}=z\in Z(G)

である。したがって $Z(G)\trianglelefteq G$ である。▨

部分群 $H$ が正規部分群であることは $N_G(H)=G$ と同値である。一方、 $C_G(x)=G$ は $x\in Z(G)$ と同値である。

2 共役作用

命題 2.1. 式

g\cdot x=gxg^{-1}\qquad(g,x\in G)

は $G$ の $G$ 自身への左作用を定める。この作用における $x$ の軌道は $\operatorname{Cl}_G(x)$ であり、安定化群は $C_G(x)$ である。

証明. 単位元について $e\cdot x=x$ である。また、

(gh)\cdot x=(gh)x(gh)^{-1} =g(hxh^{-1})g^{-1} =g\cdot(h\cdot x)

であるから、左作用の公理が成り立つ。

軌道は定義から

G\cdot x=\{gxg^{-1}\mid g\in G\}=\operatorname{Cl}_G(x)

である。安定化群については、

g\cdot x=x \quad\Longleftrightarrow\quad gxg^{-1}=x \quad\Longleftrightarrow\quad gx=xg

であるから $G_x=C_G(x)$ である。▨

3 類等式

有限群 $G$ を考える。中心の元の共役類は一点からなり、中心に属さない元の共役類は二点以上を含む。共役作用の軌道分解に軌道安定化群定理を適用すると、各共役類の大きさを求めることができる。

証明では、共役作用の軌道によって $G$ を共役類へ分割する。中心の元が定める軌道は一点集合であることを確認し、その寄与を $|Z(G)|$ として分離する。中心の外側では、共役作用の安定化群が $C_G(x_i)$ であることを用いる。最後に軌道安定化群定理で各共役類の大きさを指数へ変換し、分割の要素数を足す。

定理 3.1 (類等式). 有限群 $G$ に対し、中心 $Z(G)$ の外側にある共役類から代表元 $x_1,\ldots,x_r$ を一つずつ取る。このとき

|G| =|Z(G)|+\sum_{i=1}^{r}[G:C_G(x_i)]

が成り立つ。

証明. 共役作用の軌道は共役類であるから、共役類全体は $G$ を分割する。 $z\in Z(G)$ ならば、すべての $g\in G$ に対して $gzg^{-1}=z$ である。したがって $\operatorname{Cl}_G(z)=\{z\}$ である。中心の元からなる一点共役類を合わせた要素数は $|Z(G)|$ である。

中心の外側の共役類は $\operatorname{Cl}_G(x_1),\ldots,\operatorname{Cl}_G(x_r)$ である。§E7.10 定理 3.4 (軌道安定化群定理)と命題 2.1により、

|\operatorname{Cl}_G(x_i)|=[G:C_G(x_i)]

である。共役類による分割の各部分の要素数を足せば主張を得る。▨

例 3.2 ( $S_3$ の類等式). $S_3$ の共役類は、巡回置換の型によって

\{e\},\qquad \{(12),(13),(23)\},\qquad \{(123),(132)\}

に分かれる。したがって

6=1+3+2

が $S_3$ の類等式である。例えば $C_{S_3}((12))=\{e,(12)\}$ であるから、

|\operatorname{Cl}_{S_3}((12))| =[S_3:C_{S_3}((12))]=6/2=3

である。また $Z(S_3)=\{e\}$ である。

可換群では $C_G(x)=G$ がすべての $x\in G$ について成り立つ。したがって、すべての共役類は一点集合であり、類等式は $|G|=|Z(G)|$ となる。

4 正二十面体の回転軸と共役類

正二十面体を一つ固定し、その向きを保つ回転群を $I^+$ と書く。§E7.6 例 3.1 (正二十面体の三つの軌道)から $|I^+|=60$ である。

例 4.1 (正二十面体の回転の共役類). $I^+$ の共役類は、回転軸と回転角によって次の五つに分かれる。

回転の型	軸の本数	一つの軸上の元	共役類の大きさ
恒等変換	—	—	$1$
辺の中点を結ぶ軸のまわりの半回転	$15$	$1$	$15$
面の中心を結ぶ軸のまわりの $\pm 2\pi/3$ 回転	$10$	$2$	$20$
頂点を結ぶ軸のまわりの $\pm 2\pi/5$ 回転	$6$	$2$	$12$
頂点を結ぶ軸のまわりの $\pm 4\pi/5$ 回転	$6$	$2$	$12$

したがって、類等式は

60=1+15+20+12+12

となる。

証明. $R,Q\in I^+$ とし、 $Q$ が軸 $\ell$ のまわりの回転であるとする。共役 $RQR^{-1}$ は軸 $R(\ell)$ のまわりの回転であり、回転角の絶対値を保つ。したがって、表の異なる行に属する回転が共役になることはない。

向かい合う二頂点、二面、二辺が定める軸の本数は、それぞれ

\frac{12}{2}=6,\qquad \frac{20}{2}=10,\qquad \frac{30}{2}=15

である。頂点軸上には四つの非自明な回転があり、回転角の絶対値によって $2\pi/5$ と $4\pi/5$ の二組に分かれる。面軸上には二つの非自明な回転があり、辺軸上には一つの半回転がある。よって各行の元の個数は表の右端の値になる。

$I^+$ は同じ種類の軸に可移的に作用し、各軸の両端を交換する回転によって角度 $\theta$ の回転と角度 $-\theta$ の回転が共役になる。したがって、表の各行は一つの共役類である。五つの大きさの和は $60$ なので、表は $I^+$ の全元を尽くす。同種の軸に対する可移性と軸の両端を交換する回転の存在は次の注意で外部文献へ委ねる。□

注意 4.2 (回転による共役類の幾何学的入力). 同じ種類の回転軸に対する可移性と、軸の両端を交換する回転の存在は、正二十面体の幾何学的分類に属する。本記事はこの部分を完全証明せず、参考文献欄の Coxeter の文献へ委ねる。上の例は、有限 $p$ 群の中心および Cauchy の定理の証明には用いない。

5 有限 $p$ 群の中心

定義 5.1. 素数 $p$ と正整数 $n$ に対し、位数が $p^n$ である有限群を有限 $p$ 群 (finite p-group) と呼ぶ。

類等式では、中心の外側の各項が $p$ の倍数になる。

証明では、中心の外側の元 $x_i$ について、中心化群が真の部分群であることを確認する。 Lagrange の定理により $[G:C_G(x_i)]$ は正の $p$ の冪となり、特に $p$ で割り切れる。類等式を $p$ を法として比較し、 $|Z(G)|\equiv0\pmod p$ を得る。最後に $e_G\in Z(G)$ と合わせて $|Z(G)|\geq p$ を導く。

定理 5.2. $G$ が非自明な有限 $p$ 群ならば、 $Z(G)$ も非自明である。さらに、 $|Z(G)|$ は $p$ の倍数である。

証明. $|G|=p^n$ とする。中心の外側から取った共役類代表元を $x_i$ とする。各中心化群 $C_G(x_i)$ は $G$ の部分群であるから、その位数は $p$ の冪である。 $x_i\notin Z(G)$ であるため $C_G(x_i)\neq G$ であり、

[G:C_G(x_i)]

は $p$ で割り切れる。

類等式

|G|=|Z(G)|+\sum_i[G:C_G(x_i)]

を $p$ を法として見ると、

|Z(G)|\equiv |G|\equiv0\pmod p

を得る。単位元 $e$ は $Z(G)$ に属するから $|Z(G)|\geq1$ である。 $|Z(G)|$ は $p$ の倍数であるため $|Z(G)|\geq p$ となり、 $Z(G)$ は非自明である。▨

有限 $p$ 群の中心が群全体であるとは限らない。例えば $S_3$ は $p$ 群ではないため上の定理の対象ではなく、中心は自明である。仮定が位数に関する条件であることに注意する必要がある。

6 Cauchy の定理

Cauchy の定理は、群の位数を割る素数が実際に元の位数として現れることを述べる。ここでは Sylow の定理を前提とせず、巡回群の作用を用いて証明する。

証明では、積が単位元になる $p$ 個の元の組全体 $X$ を構成し、 $|X|=|G|^{p-1}$ が $p$ で割り切れることを示す。次に $C_p$ を成分の巡回移動によって $X$ へ作用させ、各軌道の大きさが $1$ または $p$ であることを用いる。一点軌道を $(x,\ldots,x)$ かつ $x^p=e_G$ を満たす組として特徴づける。軌道数の合同から、そのような $x$ が $p$ の倍数個存在することを得る。最後に単位元以外の一つを選び、素数性からその位数が $p$ であると結論する。

定理 6.1 (Cauchy の定理). 有限群 $G$ の位数が素数 $p$ で割り切れるならば、 $G$ は位数 $p$ の元を持つ。

証明. 集合

X=\{(x_1,\ldots,x_p)\in G^p\mid x_1x_2\cdots x_p=e\}

を考える。最初の $p-1$ 個の成分を任意に選ぶと、最後の成分は

x_p=(x_1x_2\cdots x_{p-1})^{-1}

と一意に定まる。したがって

|X|=|G|^{p-1}

であり、 $p\mid |G|$ から $p\mid |X|$ が従う。

写像 $T\colon X\to X$ を

T(x_1,x_2,\ldots,x_p) =(x_2,\ldots,x_p,x_1)

と定める。積が $e$ である組を巡回移動したとき、

x_2\cdots x_px_1 =x_1^{-1}(x_1x_2\cdots x_p)x_1=e

であるから、 $T$ は $X$ を保つ。また、各成分を $p$ 回巡回移動すると元の組に戻るため、

T^p=\operatorname{id}_X

である。位数 $p$ の巡回群 $C_p=\langle r\rangle$ に対し、 $r\mapsto T$ は準同型 $C_p\to\operatorname{Sym}(X)$ を定める。したがって

r^m\cdot\boldsymbol{x}=T^m(\boldsymbol{x})

によって $C_p$ の $X$ への作用が定まる。

軌道安定化群定理により、この作用の各軌道の大きさは $1$ または $p$ である。したがって、 $|X|$ と一点軌道の個数は $p$ を法として合同である。一点軌道は

(x,x,\ldots,x)

という形の組であり、この組が $X$ に属する条件は $x^p=e$ である。ゆえに

|\{x\in G\mid x^p=e\}|\equiv |X|\equiv0\pmod p

である。単位元 $e$ はこの集合に属するから、この集合は少なくとも $p$ 個の元を含む。よって $x\neq e$ かつ $x^p=e$ を満たす元 $x$ が存在する。

$x\neq e$ の位数は $p$ の正の約数であり、 $p$ は素数である。したがって $x$ の位数は $p$ である。▨

Cauchy の定理から、 $p\mid |G|$ ならば $G$ は位数 $p$ の巡回部分群を持つ。この結論は Lagrange の定理の部分的な逆である。Lagrange の定理は元の位数が群の位数を割ることを述べるが、群の位数の任意の約数が部分群の位数として現れるとは限らない。

7 演習

問題 7.1.

$y=hxh^{-1}$ のとき $C_G(y)=hC_G(x)h^{-1}$ を示し、同じ共役類に属する元の中心化群の位数が等しいことを導け。
有限群 $G$ の中心の外側にある共役類の大きさが、常に $2$ 以上であることを示せ。
位数 $p^2$ の群 $G$ が可換群であることを、有限 $p$ 群の中心に関する定理と $G/Z(G)$ の位数を用いて示せ。
Cauchy の定理の証明において、巡回移動が $X$ を保つことを $x_1x_2\cdots x_p=e$ から直接確かめよ。

解答 (演習の要点).

$g\in C_G(y)$ であることは $ghxh^{-1}=hxh^{-1}g$ と同値である。両辺へ左から $h^{-1}$ 、右から $h$ を掛けると、 $h^{-1}gh\in C_G(x)$ を得る。したがって $C_G(y)=hC_G(x)h^{-1}$ であり、共役写像は全単射なので両中心化群の位数は等しい。
$|\operatorname{Cl}_G(x)|=1$ ならば $gxg^{-1}=x$ がすべての $g\in G$ について成り立つため、 $x\in Z(G)$ である。よって $x\notin Z(G)$ ならば共役類は一点集合でなく、有限集合として少なくとも二元を持つ。
定理 5.2により、 $|Z(G)|$ は $p$ または $p^2$ である。 $|Z(G)|=p$ と仮定すると $G/Z(G)$ は位数 $p$ の巡回群になる。 $G/Z(G)=\langle gZ(G)\rangle$ ならば、任意の $x,y\in G$ は $x=g^az$ 、 $y=g^bw$ （ $z,w\in Z(G)$ ）と表され、 $xy=yx$ となる。等式 $xy=yx$ が任意の $x,y\in G$ について成り立つため、 $Z(G)=G$ となり、仮定に反する。したがって $|Z(G)|=p^2$ 、すなわち $Z(G)=G$ であり、 $G$ は可換群である。
$x_1x_2\cdots x_p=e_G$ ならば $x_2\cdots x_px_1 =x_1^{-1}(x_1x_2\cdots x_p)x_1 =e_G$ である。したがって巡回移動後の組も $X$ に属する。

▨

§E7.12共役類と類等式

1 共役に関する部分群

2 共役作用

3 類等式

4 正二十面体の回転軸と共役類

5 有限 $p$ 群の中心

6 Cauchy の定理

7 演習

参考文献

前提記事

§E7.12共役類と類等式

1 共役に関する部分群

2 共役作用

3 類等式

4 正二十面体の回転軸と共役類

5 有限ppp群の中心

6 Cauchy の定理

7 演習

参考文献

前提記事

5 有限 $p$ 群の中心