1 Hall 部分群 最初に、素数集合に関する位数の条件を定義する。
定義 1.1. π \pi π a a a π \pi π a a a π \pi π pi-number )1 1 1 π \pi π π \pi π π ′ \pi' π ′
有限群G G G H H H ∣ H ∣ |H| ∣ H ∣ π \pi π [ G : H ] [G:H] [ G : H ] π ′ \pi' π ′ H H H Hallπ \pi π (Hall pi-subgroup )π \pi π π \pi π pi-group )π \pi π pi-subgroup )
補部分群は、後の帰納法で正規部分群を除いた部分を実現する。
定義 1.2. V V V M M M H ≤ M H\le M H ≤ M
M = V H , V ∩ H = { e M } M=VH,\qquad V\cap H=\{e_M\} M = V H , V ∩ H = { e M } を満たすとき、H H H M M M V V V 補部分群 (complement )
Hall の三定理の証明と、記事末の例で用いる先行結果を区別して記録する。
2 最小正規部分群 有限可解群の最小正規部分群は、有限体上のベクトル空間として扱うことができる。
補題 2.1. G G G V V V G G G r r r V V V r r r V V V v ∈ V v\in V v ∈ V v r = e G v^r=e_G v r = e G
証明. §E7.21 定理 3.2 により、V V V V V V A A A A A A V V V V ⊴ G V\trianglelefteq G V ⊴ G A ⊴ G A\trianglelefteq G A ⊴ G A ≠ { e G } A\ne\{e_G\} A = { e G } V V V A = V A=V A = V V V V
∣ V ∣ |V| ∣ V ∣ r r r §E7.17 定理 1.2 により、V V V r r r R R R V V V R R R R R R §E7.17 定理 2.1 により Sylowr r r R R R V V V R ⊴ G R\trianglelefteq G R ⊴ G R ≠ { e G } R\ne\{e_G\} R = { e G } V V V R = V R=V R = V V V V r r r
Ω 1 ( V ) = { v ∈ V ∣ v r = e G } \Omega_1(V)=\{v\in V\mid v^r=e_G\} Ω 1 ( V ) = { v ∈ V ∣ v r = e G } と置く。V V V Ω 1 ( V ) \Omega_1(V) Ω 1 ( V ) V V V e G e_G e G v ∈ V v\in V v ∈ V V V V r r r v v v r k r^k r k k ≥ 1 k\ge1 k ≥ 1 v r k − 1 v^{r^{k-1}} v r k − 1 r r r Ω 1 ( V ) ≠ { e G } \Omega_1(V)\ne\{e_G\} Ω 1 ( V ) = { e G } Ω 1 ( V ) ⊴ G \Omega_1(V)\trianglelefteq G Ω 1 ( V ) ⊴ G V V V Ω 1 ( V ) = V \Omega_1(V)=V Ω 1 ( V ) = V
V V V F r \mathbb F_r F r V V V F r \mathbb F_r F r V V V r r r ▨
3 初等アーベル核の補部分群 次の補題は、Hall の三定理の帰納法で必要となる補部分群だけを構成する。群コホモロジーの一般理論は用いず、すべての恒等式を有限和によって直接計算する。
補題 3.1. r r r V V V r r r
1 ⟶ V ⟶ M → ρ Q ⟶ 1 1\longrightarrow V\longrightarrow M\xrightarrow{\rho}Q\longrightarrow1 1 ⟶ V ⟶ M ρ Q ⟶ 1 を考える。r ∤ ∣ Q ∣ r\nmid |Q| r ∤ ∣ Q ∣ M M M V V V V V V
証明方針は次のとおりである。最初に、Q Q Q V V V f f f f f f ∣ Q ∣ |Q| ∣ Q ∣ F r \mathbb F_r F r f f f V V V
証明. V V V M M M V V V q ∈ Q q\in Q q ∈ Q ρ ( q ~ ) = q \rho(\widetilde q)=q ρ ( q ) = q q ~ ∈ M \widetilde q\in M q ∈ M
q ⋅ v = q ~ v q ~ − 1 ( v ∈ V ) q\cdot v=\widetilde q\,v\,\widetilde q^{-1}\qquad(v\in V) q ⋅ v = q v q − 1 ( v ∈ V ) と定める。別の持上げはa q ~ a\widetilde q a q a ∈ V a\in V a ∈ V V V V a a a V V V q ⋅ v q\cdot v q ⋅ v
( q t ) ⋅ v = q ⋅ ( t ⋅ v ) (qt)\cdot v=q\cdot(t\cdot v) ( q t ) ⋅ v = q ⋅ ( t ⋅ v ) が成り立つため、Q Q Q V V V
σ ( e Q ) = e M \sigma(e_Q)=e_M σ ( e Q ) = e M σ : Q → M \sigma\colon Q\to M σ : Q → M q , t ∈ Q q,t\in Q q , t ∈ Q f ( q , t ) ∈ V f(q,t)\in V f ( q , t ) ∈ V
σ ( q ) σ ( t ) = f ( q , t ) σ ( q t ) (1) \sigma(q)\sigma(t)=f(q,t)\sigma(qt)
\tag{1} σ ( q ) σ ( t ) = f ( q , t ) σ ( q t ) ( 1 ) となる。f f f
f ( q , t ) + f ( q t , u ) = q ⋅ f ( t , u ) + f ( q , t u ) (2) f(q,t)+f(qt,u)=q\cdot f(t,u)+f(q,tu)
\tag{2} f ( q , t ) + f ( q t , u ) = q ⋅ f ( t , u ) + f ( q , t u ) ( 2 ) を得る。ここでは、σ ( q ) f ( t , u ) σ ( q ) − 1 = q ⋅ f ( t , u ) \sigma(q)f(t,u)\sigma(q)^{-1}=q\cdot f(t,u) σ ( q ) f ( t , u ) σ ( q ) − 1 = q ⋅ f ( t , u )
m = ∣ Q ∣ m=|Q| m = ∣ Q ∣ r ∤ m r\nmid m r ∤ m c m ≡ 1 ( m o d r ) cm\equiv1\pmod r c m ≡ 1 ( mod r ) c c c V V V r r r V V V c m cm c m q ∈ Q q\in Q q ∈ Q
A ( q ) = ∑ u ∈ Q f ( q , u ) , B ( q ) = c A ( q ) A(q)=\sum_{u\in Q}f(q,u),\qquad B(q)=cA(q) A ( q ) = u ∈ Q ∑ f ( q , u ) , B ( q ) = c A ( q ) と置く。(2) をu ∈ Q u\in Q u ∈ Q
m f ( q , t ) + A ( q t ) = q ⋅ A ( t ) + A ( q ) mf(q,t)+A(qt)=q\cdot A(t)+A(q) m f ( q , t ) + A ( q t ) = q ⋅ A ( t ) + A ( q ) となる。右辺の最後の和では、u ↦ t u u\mapsto tu u ↦ t u Q Q Q c c c
f ( q , t ) = B ( q ) + q ⋅ B ( t ) − B ( q t ) (3) f(q,t)=B(q)+q\cdot B(t)-B(qt)
\tag{3} f ( q , t ) = B ( q ) + q ⋅ B ( t ) − B ( q t ) ( 3 ) を得る。
s ( q ) = ( − B ( q ) ) σ ( q ) s(q)=(-B(q))\sigma(q) s ( q ) = ( − B ( q )) σ ( q ) と定める。σ ( e Q ) = e M \sigma(e_Q)=e_M σ ( e Q ) = e M f ( e Q , u ) = 0 f(e_Q,u)=0 f ( e Q , u ) = 0 B ( e Q ) = 0 B(e_Q)=0 B ( e Q ) = 0
s ( q ) s ( t ) = ( − B ( q ) ) σ ( q ) ( − B ( t ) ) σ ( t ) = ( − B ( q ) − q ⋅ B ( t ) + f ( q , t ) ) σ ( q t ) = ( − B ( q t ) ) σ ( q t ) = s ( q t ) \begin{aligned}
s(q)s(t)
&=(-B(q))\sigma(q)(-B(t))\sigma(t)\\
&=\bigl(-B(q)-q\cdot B(t)+f(q,t)\bigr)\sigma(qt)\\
&=(-B(qt))\sigma(qt)=s(qt)
\end{aligned} s ( q ) s ( t ) = ( − B ( q )) σ ( q ) ( − B ( t )) σ ( t ) = ( − B ( q ) − q ⋅ B ( t ) + f ( q , t ) ) σ ( q t ) = ( − B ( q t )) σ ( q t ) = s ( q t ) が成り立つ。またs ( e Q ) = e M s(e_Q)=e_M s ( e Q ) = e M s s s ρ ∘ s = id Q \rho\circ s=\operatorname{id}_Q ρ ∘ s = id Q
H = s ( Q ) H=s(Q) H = s ( Q ) ρ ∣ H \rho|_H ρ ∣ H Q Q Q H ∩ V = { e M } H\cap V=\{e_M\} H ∩ V = { e M } x ∈ M x\in M x ∈ M q = ρ ( x ) q=\rho(x) q = ρ ( x ) x s ( q ) − 1 ∈ V xs(q)^{-1}\in V x s ( q ) − 1 ∈ V M = V H M=VH M = V H H H H V V V
次に、二つの補部分群を取る。各補部分群へのρ \rho ρ Q Q Q s , t : Q → M s,t\colon Q\to M s , t : Q → M z ( q ) ∈ V z(q)\in V z ( q ) ∈ V
t ( q ) = z ( q ) s ( q ) t(q)=z(q)s(q) t ( q ) = z ( q ) s ( q ) と書くことができる。s s s t t t
z ( q t ) = z ( q ) + q ⋅ z ( t ) (4) z(qt)=z(q)+q\cdot z(t)
\tag{4} z ( q t ) = z ( q ) + q ⋅ z ( t ) ( 4 ) を得る。S = ∑ u ∈ Q z ( u ) S=\sum_{u\in Q}z(u) S = ∑ u ∈ Q z ( u ) q ∈ Q q\in Q q ∈ Q t = u t=u t = u u ↦ q u u\mapsto qu u ↦ q u Q Q Q
S = m z ( q ) + q ⋅ S S=mz(q)+q\cdot S S = m z ( q ) + q ⋅ S となる。w = c S w=cS w = c S
z ( q ) = w − q ⋅ w (5) z(q)=w-q\cdot w
\tag{5} z ( q ) = w − q ⋅ w ( 5 ) である。(5) から
w s ( q ) w − 1 = ( w − q ⋅ w ) s ( q ) = z ( q ) s ( q ) = t ( q ) ws(q)w^{-1}=(w-q\cdot w)s(q)=z(q)s(q)=t(q) w s ( q ) w − 1 = ( w − q ⋅ w ) s ( q ) = z ( q ) s ( q ) = t ( q ) を得る。したがってt ( Q ) = w s ( Q ) w − 1 t(Q)=ws(Q)w^{-1} t ( Q ) = w s ( Q ) w − 1 V V V ▨
4 Hall の三定理 帰納法の途中で、正規なπ \pi π π \pi π
補題 4.1. G G G N ⊴ G N\trianglelefteq G N ⊴ G π \pi π H ≤ G H\le G H ≤ G π \pi π N ≤ H N\le H N ≤ H
証明. N ⊴ G N\trianglelefteq G N ⊴ G N H NH N H
[ N H : H ] = [ N : N ∩ H ] [NH:H]=[N:N\cap H] [ N H : H ] = [ N : N ∩ H ] は∣ N ∣ |N| ∣ N ∣ π \pi π H ≤ N H ≤ G H\le NH\le G H ≤ N H ≤ G [ N H : H ] [NH:H] [ N H : H ] [ G : H ] [G:H] [ G : H ] π ′ \pi' π ′ π \pi π π ′ \pi' π ′ 1 1 1 [ N H : H ] = 1 [NH:H]=1 [ N H : H ] = 1 N H = H NH=H N H = H N ≤ H N\le H N ≤ H ▨
証明方針は次のとおりである。存在、共役、包含の三つの主張を群の位数について同時に帰納する。非自明な有限可解群G G G V V V 補題 2.1 により、ある素数r r r r r r V ≠ { e G } V\ne\{e_G\} V = { e G } ∣ G / V ∣ < ∣ G ∣ |G/V|<|G| ∣ G / V ∣ < ∣ G ∣ G / V G/V G / V r ∈ π r\in\pi r ∈ π V V V r ∉ π r\notin\pi r ∈ / π 補題 3.1 によってV V V G G G
定理 4.2 (Hall の三定理). G G G π \pi π
G G G π \pi π 任意の二つの Hallπ \pi π G G G
任意のπ \pi π P ≤ G P\le G P ≤ G π \pi π
証明. 群の位数∣ G ∣ |G| ∣ G ∣ ∣ G ∣ = 1 |G|=1 ∣ G ∣ = 1 G = { e G } G=\{e_G\} G = { e G } { e G } \{e_G\} { e G } π \pi π
∣ G ∣ > 1 |G|>1 ∣ G ∣ > 1 ∣ G ∣ |G| ∣ G ∣ G G G V V V 補題 2.1 により、ある素数r r r V V V r r r §E7.21 定理 3.2 によりG / V G/V G / V V ≠ { e G } V\ne\{e_G\} V = { e G }
∣ G / V ∣ = ∣ G ∣ ∣ V ∣ < ∣ G ∣ |G/V|=\frac{|G|}{|V|}<|G| ∣ G / V ∣ = ∣ V ∣ ∣ G ∣ < ∣ G ∣ である。したがってG / V G/V G / V
最初に存在を証明する。G / V G/V G / V π \pi π H ‾ \overline H H G G G M M M
r ∈ π r\in\pi r ∈ π ∣ M ∣ = ∣ V ∣ ∣ H ‾ ∣ |M|=|V||\overline H| ∣ M ∣ = ∣ V ∣∣ H ∣ π \pi π
[ G : M ] = [ G / V : H ‾ ] [G:M]=[G/V:\overline H] [ G : M ] = [ G / V : H ] はπ ′ \pi' π ′ M M M G G G π \pi π
r ∉ π r\notin\pi r ∈ / π r ∤ ∣ H ‾ ∣ r\nmid|\overline H| r ∤ ∣ H ∣
1 ⟶ V ⟶ M ⟶ H ‾ ⟶ 1 1\longrightarrow V\longrightarrow M\longrightarrow\overline H\longrightarrow1 1 ⟶ V ⟶ M ⟶ H ⟶ 1 へ補題 3.1 を適用し、V V V H ≤ M H\le M H ≤ M ∣ H ∣ = ∣ H ‾ ∣ |H|=|\overline H| ∣ H ∣ = ∣ H ∣ π \pi π
[ G : H ] = [ G : M ] [ M : H ] = [ G / V : H ‾ ] ∣ V ∣ [G:H]=[G:M][M:H]=[G/V:\overline H]|V| [ G : H ] = [ G : M ] [ M : H ] = [ G / V : H ] ∣ V ∣ はπ ′ \pi' π ′ H H H G G G π \pi π (1) が成り立つ。
次に共役を証明する。H H H K K K G G G π \pi π H V / V HV/V H V / V K V / V KV/V K V / V π \pi π
[ G / V : H V / V ] = [ G : H V ] [G/V:HV/V]=[G:HV] [ G / V : H V / V ] = [ G : H V ] は[ G : H ] [G:H] [ G : H ] π ′ \pi' π ′ H V / V HV/V H V / V K V / V KV/V K V / V G / V G/V G / V π \pi π g ∈ G g\in G g ∈ G K K K g K g − 1 gKg^{-1} g K g − 1
H V / V = K V / V HV/V=KV/V H V / V = K V / V とすることができる。この共通の部分群のG G G M M M M = V H = V K M=VH=VK M = V H = V K
r ∈ π r\in\pi r ∈ π 補題 4.1 によってV ≤ H V\le H V ≤ H V ≤ K V\le K V ≤ K H = V H = M = V K = K H=VH=M=VK=K H = V H = M = V K = K
r ∉ π r\notin\pi r ∈ / π ∣ H ∣ |H| ∣ H ∣ ∣ K ∣ |K| ∣ K ∣ π \pi π ∣ V ∣ |V| ∣ V ∣ r r r H ∩ V = K ∩ V = { e G } H\cap V=K\cap V=\{e_G\} H ∩ V = K ∩ V = { e G } H H H K K K M M M V V V M / V = H V / V M/V=HV/V M / V = H V / V π \pi π r ∤ ∣ M / V ∣ r\nmid|M/V| r ∤ ∣ M / V ∣ 補題 3.1 の仮定が成り立ち、H H H K K K V V V H H H K K K G G G (2) が成り立つ。
最後に包含を証明する。P ≤ G P\le G P ≤ G π \pi π P V / V PV/V P V / V G / V G/V G / V π \pi π P V / V PV/V P V / V G / V G/V G / V π \pi π L ‾ \overline L L G G G M M M
r ∈ π r\in\pi r ∈ π M M M G G G π \pi π P ≤ P V ≤ M P\le PV\le M P ≤ P V ≤ M
r ∉ π r\notin\pi r ∈ / π M / V = L ‾ M/V=\overline L M / V = L π \pi π r ∤ ∣ M / V ∣ r\nmid|M/V| r ∤ ∣ M / V ∣ 補題 3.1 により、M M M V V V H H H H H H G G G π \pi π P ∩ V = { e G } P\cap V=\{e_G\} P ∩ V = { e G } P V = V P PV=VP P V = V P P P P P V PV P V V V V
H ∩ P V H\cap PV H ∩ P V P V PV P V V V V ρ ∣ H : H → M / V \rho|_H\colon H\to M/V ρ ∣ H : H → M / V P V / V ≤ M / V PV/V\le M/V P V / V ≤ M / V x ∈ P V x\in PV x ∈ P V ρ ( h ) = ρ ( x ) \rho(h)=\rho(x) ρ ( h ) = ρ ( x ) h ∈ H h\in H h ∈ H h − 1 x ∈ V ≤ P V h^{-1}x\in V\le PV h − 1 x ∈ V ≤ P V h ∈ H ∩ P V h\in H\cap PV h ∈ H ∩ P V P V = V ( H ∩ P V ) PV=V(H\cap PV) P V = V ( H ∩ P V ) V ∩ ( H ∩ P V ) = { e G } V\cap(H\cap PV)=\{e_G\} V ∩ ( H ∩ P V ) = { e G } P V / V PV/V P V / V π \pi π r ∤ ∣ P V / V ∣ r\nmid|PV/V| r ∤ ∣ P V / V ∣
補題 3.1 を群P V PV P V v ∈ V v\in V v ∈ V
P = v ( H ∩ P V ) v − 1 P=v(H\cap PV)v^{-1} P = v ( H ∩ P V ) v − 1 となる。ゆえにP ≤ v H v − 1 P\le vHv^{-1} P ≤ v H v − 1 v H v − 1 vHv^{-1} v H v − 1 G G G π \pi π (3) が成り立つ。▨
5 Sylow の定理との対応 一つの素数だけを選ぶと、Hall 部分群は Sylow 部分群になる。
系 5.1. G G G p p p π = { p } \pi=\{p\} π = { p } π \pi π p p p 定理 4.2 の存在、共役、包含の三つの主張は、
Sylow の定理における対応する三つの主張に一致する。
証明. ∣ G ∣ = p n m |G|=p^n m ∣ G ∣ = p n m p ∤ m p\nmid m p ∤ m H H H { p } \{p\} { p } ∣ H ∣ |H| ∣ H ∣ p p p [ G : H ] [G:H] [ G : H ] p p p ∣ G ∣ = ∣ H ∣ [ G : H ] |G|=|H|[G:H] ∣ G ∣ = ∣ H ∣ [ G : H ] ∣ H ∣ = p n |H|=p^n ∣ H ∣ = p n H H H p p p p p p p n p^n p n m m m { p } \{p\} { p }
Hall の三定理は、Sylow 部分群の存在、共役、および任意のp p p §E7.17 定理 2.1 が共役作用からさらに与える結論である。▨
6 例と仮定の境界 S 3 S_3 S 3
例 6.1 (S 3 S_3 S 3 正規列
{ e } ⊴ A 3 ⊴ S 3 \{e\}\trianglelefteq A_3\trianglelefteq S_3 { e } ⊴ A 3 ⊴ S 3 の因子はC 3 C_3 C 3 C 2 C_2 C 2 S 3 S_3 S 3
π = { 3 } \pi=\{3\} π = { 3 } A 3 A_3 A 3 3 3 3 2 2 2 π \pi π π = { 2 } \pi=\{2\} π = { 2 } 2 2 2 π \pi π S 3 S_3 S 3 { 2 } \{2\} { 2 } { 2 } \{2\} { 2 }
可解性を外すと、Hall 部分群が存在しない場合がある。
例 6.2 (可解性を外した場合). A 5 A_5 A 5 §E7.21 定理 6.1 ）。π = { 3 , 5 } \pi=\{3,5\} π = { 3 , 5 } A 5 A_5 A 5 π \pi π H H H ∣ H ∣ = 15 |H|=15 ∣ H ∣ = 15
§E7.17 定理 4.2 をp = 3 p=3 p = 3 q = 5 q=5 q = 5 3 ∤ 4 3\nmid4 3 ∤ 4 15 15 15 H H H 15 15 15 S 5 S_5 S 5 15 15 15 3 3 3 5 5 5 8 8 8 S 5 S_5 S 5 A 5 A_5 A 5 15 15 15 15 15 15 A 5 A_5 A 5 { 3 , 5 } \{3,5\} { 3 , 5 }
7 演習 問題 7.1.
補題 3.1 の証明で、(2) をu ∈ Q u\in Q u ∈ Q u ↦ t u u\mapsto tu u ↦ t u c m ≡ 1 ( m o d r ) cm\equiv1\pmod r c m ≡ 1 ( mod r ) 定理 4.2 の存在証明について、r ∈ π r\in\pi r ∈ π r ∉ π r\notin\pi r ∈ / π π \pi π 同定理の包含証明で、H ∩ P V H\cap PV H ∩ P V P V PV P V V V V P ≤ v H v − 1 P\le vHv^{-1} P ≤ v H v − 1
A 5 A_5 A 5 { 2 , 5 } \{2,5\} { 2 , 5 } 解答 (演習の要点). 第1問では、(2) の左辺がm f ( q , t ) + A ( q t ) mf(q,t)+A(qt) m f ( q , t ) + A ( q t ) q ⋅ A ( t ) + A ( q ) q\cdot A(t)+A(q) q ⋅ A ( t ) + A ( q ) c c c c m cm c m V V V r ∈ π r\in\pi r ∈ π M M M r ∉ π r\notin\pi r ∈ / π [ G : H ] = [ G : M ] ∣ V ∣ [G:H]=[G:M]|V| [ G : H ] = [ G : M ] ∣ V ∣ ρ ∣ H \rho|_H ρ ∣ H P V = V ( H ∩ P V ) PV=V(H\cap PV) P V = V ( H ∩ P V ) P P P H ∩ P V H\cap PV H ∩ P V
第4問で Hall{ 2 , 5 } \{2,5\} { 2 , 5 } 20 20 20 20 20 20 H H H 5 5 5 1 1 1 P P P H H H H ≤ N A 5 ( P ) H\le N_{A_5}(P) H ≤ N A 5 ( P ) P P P 5 5 5 N A 5 ( P ) N_{A_5}(P) N A 5 ( P ) Aut ( P ) ≅ C 4 \operatorname{Aut}(P)\cong C_4 Aut ( P ) ≅ C 4 C A 5 ( P ) = P C_{A_5}(P)=P C A 5 ( P ) = P 5 5 5 S 5 S_5 S 5 P P P P P P 4 4 4 P P P P P P 4 4 4 2 2 2 ∣ N A 5 ( P ) ∣ = 10 |N_{A_5}(P)|=10 ∣ N A 5 ( P ) ∣ = 10 ∣ H ∣ = 20 |H|=20 ∣ H ∣ = 20 ▨