§E7.32Schur–Zassenhaus の定理

証明.$X$の非自明な正規部分群のうち、包含関係に関して極小なもの$S_1$を取る。$\operatorname{Aut}(X)$による$S_1$の像は、いずれも$X$の極小な非自明正規部分群であり、$S_1$と同型である。これらの像から$S_1,\ldots,S_t$を、積

が内部直積となり、因子をこれ以上追加することができないように選ぶ。この選択は有限性により可能である。実際、すでに選んだ因子の積を$D_i$とし、別の像$T$が$T\cap D_i=\{e_X\}$を満たせば、$T,D_i\trianglelefteq X$から$[T,D_i]\le T\cap D_i=\{e_X\}$である。したがって$TD_i$は内部直積となり、$T$を因子として追加することができる。

$T$を$S_1$の任意の自己同型像とする。$T\cap D$は$X$の正規部分群であり、$T$の極小性から、自明であるか$T$自身である。前者ならば$T$を$D$の因子へ追加することができ、最大性に反する。したがって$T\le D$である。

$\alpha\in\operatorname{Aut}(X)$とする。各$\alpha(S_i)$は$S_1$の自己同型像なので$D$に含まれ、

となる。$\alpha^{-1}$にも同じ包含を適用すると$\alpha(D)=D$を得る。ゆえに$D$は$X$の非自明な特性部分群であり、仮定から$D=X$である。したがって$X$は$S_1,\ldots,S_t$の内部直積である。

$L\trianglelefteq S_i$とする。$S_i$は$L$を正規化し、$j\ne i$に対して$S_j$は$S_i$を元ごとに中心化するため$L$も正規化する。$X=S_1\cdots S_t$なので$L\trianglelefteq X$である。$S_i$の極小性から$L=\{e_X\}$または$L=S_i$となる。ゆえに各$S_i$は単純群である。

$S_1$がアーベル群ならば、単純性により$S_1$は素数位数の巡回群である。この場合$X$は初等アーベル$p$群になる。$S_1$が非アーベル群ならば、すべての$S_i$は互いに同型な非アーベル単純群である。▨

証明.$g\in G$とする。$N\trianglelefteq G$なので$gPg^{-1}$は$N$の Sylow$p$部分群である。§E7.17 定理 2.1により、ある$n\in N$が存在して

となる。したがって$ng\in N_G(P)$であり、

である。一方、$N\le G$かつ$N_G(P)\le G$なので$N\,N_G(P)\subseteq G$である。したがって等式を得る。▨

証明.$M$の導来列の最後の非自明な項を$A$とする。$A$は$M$の特性部分群であり、アーベル群である。$M\trianglelefteq G$なので$A\trianglelefteq G$である。$A\ne\{e_G\}$と$M$の極小性から$A=M$を得る。したがって$M$はアーベル群である。

$|M|$を割る素数$p$を取る。$M$の Sylow$p$部分群$R$は、$M$がアーベル群なので一意であり、$M$の特性部分群である。ゆえに$R\trianglelefteq G$であり、極小性から$R=M$となる。したがって$M$は$p$群である。

と置く。$M$はアーベル群なので$\Omega_1(M)$は部分群であり、自己同型は$p$乗を保つので$M$の特性部分群である。$M$の非単位元$x$の位数を$p^a$と書くと、$x^{p^{a-1}}$は位数$p$なので$\Omega_1(M)$は非自明である。したがって$\Omega_1(M)\trianglelefteq G$と極小性から$\Omega_1(M)=M$となる。ゆえに$M$は初等アーベル$p$群である。▨

証明.$Q$が可解かつ非自明なので、$[Q,Q]\ne Q$である。実際、両者が等しければ導来列のすべての項が$Q$となり、自明部分群へ達しない。したがってアーベル化

は非自明な有限アーベル群である。$Q^{\mathrm{ab}}$の極大な真の部分群$U$を取る。アーベル群の部分群は正規なので$Q^{\mathrm{ab}}/U$は単純アーベル群である。非自明な有限単純アーベル群では、非単位元が生成する巡回部分群が非自明な正規部分群なので、群全体が一つの元で生成される。その位数が合成数ならば巡回群は非自明な真の部分群をもつため、位数は素数である。したがって、ある素数$p$に対して$Q^{\mathrm{ab}}/U\cong C_p$となる。$B$を合成準同型

の核とすれば、$B\trianglelefteq Q$かつ$Q/B\cong C_p$である。▨

証明.$|G|$に関する強い帰納法を用いる。$N=\{e_G\}$ならば$H=G$が補群である。以下では$N\ne\{e_G\}$とし、位数が$|G|$より小さい有限群の正規 Hall 部分群には補群が存在すると仮定する。

最初に、$N$が非自明な真の特性部分群$C$をもつと仮定する。$C$は$N$の特性部分群であり、$N\trianglelefteq G$なので$C\trianglelefteq G$である。$G/C$において$N/C$は正規部分群であり、

なので$N/C$は$G/C$の正規 Hall 部分群である。$C\ne\{e_G\}$から$|G/C|<|G|$であり、帰納法の仮定によって$N/C$は$G/C$に補群をもつ。§E7.8 定理 3.1により、その補群を$K/C$と書くことができる。補群の積と交わりの条件から

を得る。

$C\trianglelefteq K$であり、

である。$|C|\mid|N|$なので$C$は$K$の正規 Hall 部分群である。また (1) と$C\ne N$から

であり、$|K|<|G|$となる。帰納法の仮定を$K$と$C$に適用し、$C$の補群$H\le K$を取る。すなわち

このとき$C\le N$と (1) から

である。また$H\le K$なので

であり、$C\cap H=\{e_G\}$から$N\cap H=\{e_G\}$を得る。したがって$H$は$G$における$N$の補群である。

残る場合として、$N$が非自明な真の特性部分群をもたないと仮定する。補題 2.1により、$N$は初等アーベル群であるか、互いに同型な非アーベル単純群の直積である。

$N$が初等アーベル$p$群である場合を考える。正規 Hall 条件から$p\nmid[G:N]=|G/N|$である。短完全列

へ§E7.30 補題 3.1を適用すると、$N$の補群が存在する。

$N$が互いに同型な非アーベル単純群の直積である場合を考える。$|N|$を割る素数$p$を取り、$N$の Sylow$p$部分群$P$を取る。非アーベル単純群は$p$群ではない。実際、非自明な有限$p$群は§E7.12 定理 5.2により非自明な中心をもち、単純ならば中心が群全体になってアーベル群となる。したがって$P\ne N$である。

$K=N_G(P)$と置く。補題 2.2により

である。もし$K=G$ならば$P\trianglelefteq G$である。このとき$P$は$N$の唯一の Sylow$p$部分群なので$N$の特性部分群となる。$P\ne\{e_G\}$と characteristically simple であることから$P=N$となり、$P\ne N$に反する。したがって$K<G$である。

$D=N\cap K=N_N(P)$と置く。$N\trianglelefteq G$なので$D\trianglelefteq K$である。 (2) と第二同型定理から

であり、$|D|\mid|N|$なので$D$は$K$の正規 Hall 部分群である。$|K|<|G|$であるから、帰納法の仮定により$D$は$K$に補群$H$をもつ。すなわち

したがって

である。また$H\le K$なので

ゆえに$H$は$G$における$N$の補群である。すべての場合で補群が得られた。▨

証明.$|G|$に関する強い帰納法を用いる。$N=\{e_G\}$ならば補群は$G$自身だけである。以下では$N\ne\{e_G\}$とし、位数が$|G|$より小さい有限群について定理が成り立つと仮定する。$H$と$K$を$N$の二つの補群とする。商写像の$H$と$K$への制限は、核がそれぞれ$H\cap N$と$K\cap N$であり、$G=NH=NK$から全射なので、

である。

$N$に含まれる$G$の非自明な正規部分群のうち、包含関係に関して極小なものを$M$とする。$M$に含まれる$G$の非自明な正規部分群も$N$に含まれるため、$M$は$G$の極小な非自明正規部分群である。

$G/M$において$HM/M$と$KM/M$は$N/M$の補群である。実際、

なので$N/M$は$G/M$の正規 Hall 部分群であり、

である。また$HM\cap N=M$である。なぜなら、$hm\in N$（$h\in H,\ m\in M$）ならば$h\in H\cap N=\{e_G\}$だからである。したがって

であり、$KM/M$についても同じ計算が成り立つ。

$N$が可解ならば$N/M$は可解であり、$G/N$が可解ならば

が可解である。$|G/M|<|G|$なので帰納法の仮定を$G/M$に適用することができる。したがって、ある$g\in G$で$K$を$gKg^{-1}$に置き換えることにより

とすることができる。この共通の部分群を$X$と書く。

$M<N$と仮定する。補群の条件から

であり、$|X|<|G|$である。$H$と$K$は$X$における$M$の補群であり、

なので$M$は$X$の正規 Hall 部分群である。$N$が可解ならばその部分群$M$は可解である。$G/N$が可解ならば

が可解である。したがって帰納法の仮定を$X$と$M$に適用すると、$H$と$K$は$X$の元によって共役である。商群で行った共役と合わせると、元の$H$と$K$は$G$の元によって共役である。

残る場合は$M=N$であり、$N$は$G$の極小な非自明正規部分群である。

最初に$N$が可解である場合を考える。補題 2.3により、ある素数$p$に対して$N$は初等アーベル$p$群である。正規 Hall 条件から$p\nmid|G/N|$なので、§E7.30 補題 3.1の共役結論を

へ適用することができる。したがって$H$と$K$は$N$の元によって共役である。

次に$G/N$が可解であり、$N$が可解でない場合を考える。$G/N$が自明ならば$H=K=\{e_G\}$なので、$G/N$は非自明であると仮定してよい。$Q=G/N$と置く。補題 2.4により、ある素数$p$と$B\trianglelefteq Q$が存在して$Q/B\cong C_p$となる。商写像$\rho\colon G\to Q$に対して

と置く。このとき

であり、$A<G$である。

$D_H=H\cap A$と置く。$A=ND_H$であることを示す。$a\in A$を取り、$G=NH$を用いて$a=nh$（$n\in N,\ h\in H$）と書く。$N\le A$なので$h=n^{-1}a\in H\cap A=D_H$である。ゆえに$A=ND_H$であり、$N\cap D_H=\{e_G\}$である。したがって$D_H$は$A$における$N$の補群である。$a\in A$を$a=nk$（$n\in N,\ k\in K$）と書けば、$k=n^{-1}a\in K\cap A=D_K$である。したがって$A=ND_K$であり、$N\cap D_K=\{e_G\}$でもあるから、$D_K$も$A$における$N$の補群である。

$A/N\cong B$は可解である。また$[A:N]=|B|$は$[G:N]$を割るため、$N$は$A$の正規 Hall 部分群である。$|A|<|G|$なので帰納法の仮定を$A$と$N$に適用すると、$D_H$と$D_K$は$A$の元によって共役である。$K$をその元による共役部分群に置き換えることにより、

と仮定することができる。

$A\trianglelefteq G$なので、$D=H\cap A$は$H$の正規部分群であり、$D=K\cap A$は$K$の正規部分群である。(4) と補群の条件から

$H\cong G/N$と$K\cong G/N$は可解群である。ここで、先に証明した§E7.30 定理 4.2を$H$と$K$、素数集合$\{p\}$へ適用し、Hall$\{p\}$部分群$P\le H$と$P_1\le K$を取る。§E7.30 系 5.1により、$P$と$P_1$はそれぞれ$H$と$K$の Sylow$p$部分群である。

正整数$a$を割る最大の$p$の冪を$a_p$と書く。(6) から$|H|_p=p|D|_p$である。したがって$P$は$D$に含まれず、$PD/D$は$H/D$の非自明な部分群である。$|H/D|=p$なので$PD/D=H/D$、すなわち

である。(6) から$|K|_p=p|D|_p$でもある。したがって$P_1$は$D$に含まれず、$P_1D/D$は位数$p$の群$K/D$の非自明な部分群である。ゆえに$P_1D/D=K/D$、すなわち

となる。

$D\trianglelefteq H$と$D\trianglelefteq K$から

である。$p$は$|G/N|$を割り、$\gcd(|N|,[G:N])=1$なので$p\nmid|N|$である。$|G|=|N||H|=|N||K|$から

を得る。したがって$P$と$P_1$は$G$の Sylow$p$部分群であり、$N_G(D)$の Sylow$p$部分群でもある。§E7.17 定理 2.1により、ある$x\in N_G(D)$が存在して

となる。(5)、(7)、(8) と$x\in N_G(D)$から

を得る。したがって商が可解な場合にも、二つの補群は$G$の元によって共役である。すべての場合を証明した。▨

証明. 補群の存在は定理 3.1で証明した。可解性の仮定のもとでの共役は定理 4.1で証明した。▨

証明. 短完全列から$E/N\cong Q$なので、$[E:N]=|Q|$である。定理 3.1により、$N$は$E$に補群$H$をもつ。$\pi|_H\colon H\to Q$は単射である。実際、その核は$H\cap N=\{e_E\}$である。また$E=NH$と$\pi(N)=\{e_Q\}$から$\pi(H)=Q$であり、$\pi|_H$は全射でもある。したがって

は群準同型であり、$\pi\circ s=\operatorname{id}_Q$を満たす。ゆえに拡大は§E7.15 定義 1.4の意味で分裂する。

§E7.16 定理 4.1により、切断$s$が定める共役作用

について、写像

は、核$N$と商$Q$上の恒等写像と可換する拡大の同型である。▨