冪零群 | 群論入門 | 天游ヶ丘数理学院

1 上中心列と下中心列

定義 1.1. 群 $G$ の部分群 $A,B\leq G$ に対し、

[A,B]=\langle[a,b]\mid a\in A,\ b\in B\rangle, \qquad [a,b]=aba^{-1}b^{-1}

と書く。 $[a,b]$ を $a,b$ の交換子 (commutator)、 $[A,B]$ を $A,B$ の交換子部分群 (commutator subgroup of two subgroups) と呼ぶ。

定義 1.2. 群 $G$ の上中心列 (upper central series) を

Z_0(G)=\{e_G\}, \qquad Z_{n+1}(G)/Z_n(G)=Z\bigl(G/Z_n(G)\bigr)

によって定める。

補題 1.3. 任意の整数 $n\geq0$ に対して

Z_{n+1}(G) =\{x\in G\mid[x,g]\in Z_n(G)\text{ for all }g\in G\} \tag{1}

である。

証明. 商写像を

q_n\colon G\longrightarrow G/Z_n(G)

とする。 $x\in G$ に対し、上中心列の定義から

\begin{aligned} x\in Z_{n+1}(G) &\Longleftrightarrow q_n(x)\in Z\bigl(G/Z_n(G)\bigr)\\ &\Longleftrightarrow [q_n(x),q_n(g)]=e_{G/Z_n(G)} \quad\text{がすべての }g\in G\text{ について成り立つ}\\ &\Longleftrightarrow q_n([x,g])=e_{G/Z_n(G)} \quad\text{がすべての }g\in G\text{ について成り立つ}\\ &\Longleftrightarrow [x,g]\in Z_n(G) \quad\text{がすべての }g\in G\text{ について成り立つ}. \end{aligned}

したがって、上中心列の商による定義と式 (1) は同値である。

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各 $Z_n(G)$ は $G$ の特性部分群であり、

\{e_G\}=Z_0(G)\leq Z_1(G)\leq Z_2(G)\leq\cdots

となる。実際、中心は特性部分群であり、商群の中心の逆像を取る操作も自己同型で保たれる。

定義 1.4. 群 $G$ の下中心列 (lower central series) を

\gamma_1(G)=G, \qquad \gamma_{n+1}(G)=[G,\gamma_n(G)]

によって定める。

各 $\gamma_n(G)$ は $G$ の特性部分群である。また、

G=\gamma_1(G)\geq\gamma_2(G)\geq\gamma_3(G)\geq\cdots

となる。実際、 $\gamma_n(G)\trianglelefteq G$ ならば、 $g\in G$ 、 $x\in\gamma_n(G)$ に対して

[g,x]=(gxg^{-1})x^{-1}\in\gamma_n(G)

なので $\gamma_{n+1}(G)\leq\gamma_n(G)$ である。特性部分群性も交換子を取る操作が自己同型で保たれることから帰納的に従う。

定義 1.5. ある整数 $c\geq0$ に対して

Z_c(G)=G

となるとき、 $G$ を冪零群 (nilpotent group) という。そのような最小の $c$ を $G$ の冪零度 (nilpotency class) という。自明群の冪零度は $0$ である。

2 中心列による二つの定義の比較

定義 2.1. 群 $G$ の部分群の列

\{e_G\}=C_0\leq C_1\leq\cdots\leq C_c=G

で、各 $C_i\trianglelefteq G$ かつ

[G,C_i]\leq C_{i-1} \qquad(1\leq i\leq c)

を満たすものを、長さ $c$ の中心列 (central series) という。隣り合う項が等しいことを許す。

補題 2.2. 長さ $c$ の中心列 $(C_i)_{0\leq i\leq c}$ に対して

C_i\leq Z_i(G) \qquad(0\leq i\leq c)

が成り立つ。

証明. $i$ に関する帰納法を用いる。 $C_0=Z_0(G)=\{e_G\}$ である。 $C_i\leq Z_i(G)$ と仮定する。中心列の条件から

[G,C_{i+1}]\leq C_i\leq Z_i(G)

である。交換子の逆元を取れば $[C_{i+1},G]\leq Z_i(G)$ でもある。(1) により

C_{i+1}\leq Z_{i+1}(G)

となる。

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最初に、 $Z_c(G)=G$ を仮定して上中心列そのものを長さ $c$ の中心列として構成する。次に、任意の中心列 $(C_i)$ に対して包含 $\gamma_j(G)\leq C_{c-j+1}$ を帰納的に示し、 $\gamma_{c+1}(G)=\{e_G\}$ を得る。逆向きには、下中心列を逆順に並べた $C_i=\gamma_{c-i+1}(G)$ を構成し、交換子条件を確認して中心列とする。最後に上中心列の最大性を適用して $G=C_c\leq Z_c(G)$ へ帰着する。

定理 2.3. 群 $G$ と整数 $c\geq0$ について、次の三条件は同値である。

$Z_c(G)=G$ である。
$G$ は長さ $c$ の中心列をもつ。
$\gamma_{c+1}(G)=\{e_G\}$ である。

したがって、 $G$ が冪零群であることと、下中心列が有限段で自明部分群に達することは同値である。さらに、非自明な冪零群では、冪零度は $\gamma_{c+1}(G)=\{e_G\}$ を満たす最小の $c$ に等しい。

証明.(1) $\Rightarrow$ (2)を示す。(1)を仮定する。上中心列は定義によって

[G,Z_i(G)]\leq Z_{i-1}(G)

を満たす。したがって

\{e_G\}=Z_0(G)\leq\cdots\leq Z_c(G)=G

は長さ $c$ の中心列であり、(2)を得る。

(2) $\Rightarrow$ (3)を示す。(2)を仮定し、中心列を $(C_i)$ とする。 $\gamma_j(G)\leq C_{c-j+1}$ を $j$ に関して示す。 $j=1$ では $\gamma_1(G)=G=C_c$ である。包含が $j$ で成り立つならば

\gamma_{j+1}(G) =[G,\gamma_j(G)] \leq[G,C_{c-j+1}] \leq C_{c-j}

となる。 $j=c+1$ では

\gamma_{c+1}(G)\leq C_0=\{e_G\}

を得る。したがって(3)が成り立つ。

(3) $\Rightarrow$ (1)を示す。(3)を仮定する。 $0\leq i\leq c$ に対して

C_i=\gamma_{c-i+1}(G)

とおく。下中心列は降下列なので

\{e_G\}=C_0\leq C_1\leq\cdots\leq C_c=G

となる。また、

[G,C_i] =[G,\gamma_{c-i+1}(G)] =\gamma_{c-i+2}(G) =C_{i-1}.

各 $\gamma_j(G)$ は $G$ の正規部分群なので、 $(C_i)$ は長さ $c$ の中心列である。補題 2.2により $G=C_c\leq Z_c(G)$ であり、(1)を得る。

三条件が同じ整数 $c$ について同値なので、最小の $c$ も一致する。

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命題 2.4. 冪零群の任意の部分群と任意の商群は冪零群である。

証明. $G$ の中心列を

\{e_G\}=C_0\leq\cdots\leq C_c=G

とする。 $H\leq G$ に対して

\{e_G\}=H\cap C_0\leq\cdots\leq H\cap C_c=H

とおく。各 $H\cap C_i$ は $H$ で正規であり、

[H,H\cap C_i] \leq H\cap[G,C_i] \leq H\cap C_{i-1}

なので、以上の列は $H$ の中心列である。

$N\trianglelefteq G$ に対して、商写像による像を取ると

\{N\}=C_0N/N\leq\cdots\leq C_cN/N=G/N

となる。また、

[G/N,C_iN/N] \leq C_{i-1}N/N

なので、以上の商群の列は $G/N$ の中心列である。

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3 有限 p 群

定理 3.1. 素数 $p$ に対して、任意の有限 $p$ 群は冪零群である。

証明. $|G|$ に関する帰納法を用いる。 $G=\{e_G\}$ ならば $Z_0(G)=G$ なので、 $G$ は冪零群である。 $G\neq\{e_G\}$ とする。§E7.12 定理 5.2により

Z=Z(G)\neq\{e_G\}

である。 $Z=G$ ならば $G$ はアーベル群なので $Z_1(G)=G$ であり、冪零群である。

$Z\neq G$ とする。商群 $G/Z$ は $G$ より位数の小さい有限 $p$ 群なので、帰納法によって中心列

\{Z\}=\overline C_0\leq\overline C_1\leq\cdots\leq\overline C_c=G/Z

をもつ。商写像 $\pi\colon G\to G/Z$ に対し、

D_0=\{e_G\}, \qquad D_1=Z, \qquad D_{i+1}=\pi^{-1}(\overline C_i)\quad(1\leq i\leq c)

とおく。このとき

\{e_G\}=D_0\leq D_1\leq\cdots\leq D_{c+1}=G.

$[G,D_1]=[G,Z]=\{e_G\}$ であり、 $1\leq i\leq c$ について

\pi([G,D_{i+1}]) \leq[G/Z,\overline C_i] \leq\overline C_{i-1}

なので $[G,D_{i+1}]\leq D_i$ である。したがって $(D_i)$ は $G$ の中心列であり、 $G$ は冪零群である。

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4 有限冪零群の Sylow 分解

定理 4.1. 有限群 $G$ の位数を

|G|=\prod_{i=1}^r p_i^{a_i}

と素因数分解し、各 $i$ について Sylow $p_i$ 部分群 $P_i$ を取る。次の三条件は同値である。

$G$ は冪零群である。
すべての Sylow 部分群が $G$ の正規部分群である。
各 $P_i$ は $G$ の正規部分群であり、積写像
$P_1\times\cdots\times P_r\longrightarrow G, \qquad (x_1,\ldots,x_r)\longmapsto x_1\cdots x_r$
は同型である。

特に、有限群が冪零であることと、その Sylow 部分群すべての内部直積であることは同値である。

証明.(1) $\Rightarrow$ (2)を導く。 $|G|$ に関する帰納法を用いる。 $G=\{e_G\}$ は Sylow 部分群として自明部分群だけをもち、その部分群は正規である。非自明な冪零群では $Z(G)\neq\{e_G\}$ である。実際、 $Z_1(G)=Z(G)$ が自明ならば上中心列の定義によってすべての $Z_i(G)$ が自明となり、有限段で $G$ に達することができない。

$Z=Z(G)$ とおく。 $Z=G$ ならば $G$ はアーベル群なので、すべての部分群が正規である。 $Z\neq G$ とする。命題 2.4により $G/Z$ は冪零群であり、 $|G/Z|<|G|$ である。

$P$ を $G$ の Sylow $p$ 部分群とする。 $R$ を $Z$ の Sylow $p$ 部分群とする。 $Z$ はアーベル群なので、§E7.17 定理 2.1と共役作用の自明性から $R$ は $Z$ の唯一の Sylow $p$ 部分群である。また、 $Z$ は中心に含まれるので $PR$ は $p$ 部分群である。 $P$ の極大性から $R\leq P$ である。一方、 $P\cap Z$ は $Z$ の $p$ 部分群なので $P\cap Z\leq R$ である。ゆえに

P\cap Z=R.

したがって

|PZ/Z|=|P|/|R|

は $|G/Z|$ を割る $p$ の最大冪であり、 $PZ/Z$ は $G/Z$ の Sylow $p$ 部分群である。帰納法によって $PZ/Z\trianglelefteq G/Z$ なので、その逆像 $PZ$ は $G$ の正規部分群である。

$Z$ は中心に含まれるため、 $P\trianglelefteq PZ$ である。§E7.17 注意 2.3により $P$ は $PZ$ の唯一の Sylow $p$ 部分群である。任意の $g\in G$ に対して、 $PZ\trianglelefteq G$ から $gPg^{-1}$ は $PZ$ の Sylow $p$ 部分群である。唯一性により $gPg^{-1}=P$ となる。ゆえに $P\trianglelefteq G$ であり、(2)を得る。

(2) $\Rightarrow$ (3)を導く。 $i\neq j$ とし、 $x\in P_i$ 、 $y\in P_j$ とする。 $P_i$ と $P_j$ はともに正規なので

[x,y]\in P_i\cap P_j.

交わりの位数は $p_i$ の冪と $p_j$ の冪の両方を割るため、 $P_i\cap P_j=\{e_G\}$ である。したがって $[x,y]=e_G$ であり、異なる Sylow 部分群の元は互いに可換する。

よって積写像は準同型である。異なる Sylow 部分群が可換し、位数が互いに素であることから、部分積に一因子ずつ加えて

|HK|=\frac{|H||K|}{|H\cap K|}

を適用する帰納法により、任意の固定した $i$ に対して、部分群

R_i=\prod_{j\neq i}P_j

の位数は $\prod_{j\neq i}|P_j|$ である。特に $|R_i|$ は $p_i$ と互いに素であり、 $P_i\cap R_i=\{e_G\}$ である。 $x_1\cdots x_r=e_G$ ならば、各 $i$ について

x_i=(x_1\cdots x_{i-1}x_{i+1}\cdots x_r)^{-1}

は $P_i\cap R_i$ に属する。したがってすべての $x_i$ が単位元であり、積写像は単射である。定義域の位数は

\prod_{i=1}^r|P_i| =\prod_{i=1}^r p_i^{a_i} =|G|

なので、積写像は全射でもある。

(3) $\Rightarrow$ (1)を導く。 $G$ が自明群ならば $Z_0(G)=G$ なので冪零群である。 $G$ が非自明ならば $r\geq1$ である。定理 3.1により、各 $P_i$ は冪零群である。 $P_i$ の冪零度を $c_i$ とし、 $c=\max_i c_i$ とおく。 $k\geq c_i$ では $Z_k(P_i)=P_i$ と約束し、外部直積上で

D_k=\prod_{i=1}^r Z_k(P_i) \qquad(0\leq k\leq c)

とおく。交換子は各座標で計算されるので

\left[\prod_iP_i,D_k\right] \leq\prod_i Z_{k-1}(P_i) =D_{k-1}.

したがって $(D_k)$ は $P_1\times\cdots\times P_r$ の中心列であり、この直積は冪零群である。(3)の同型によって $G$ も冪零群である。

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5 冪零群の例と非例

例 5.1 (整数 Heisenberg 群). 整数 Heisenberg 群を

H(\mathbb Z) = \left\{ u(a,b,c)= \begin{pmatrix} 1&a&c\\ 0&1&b\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \mathrel{}\middle|\mathrel{} a,b,c\in\mathbb Z \right\} \leq\operatorname{GL}_3(\mathbb Z)

とする。行列積から

u(a,b,c)u(a',b',c') =u(a+a',b+b',c+c'+ab') \tag{2}

であり、

u(a,b,c)^{-1}=u(-a,-b,-c+ab)

となる。したがって $H(\mathbb Z)$ は上三角ユニポテント整数行列からなる無限群である。

式 (2) を用いて交換子を計算すると、

[u(a,b,c),u(a',b',c')] =u(0,0,ab'-a'b) \tag{3}

を得る。 $u(a,b,c)$ が $u(1,0,0)$ と可換するならば、式 (3) から $b=0$ である。さらに $u(0,1,0)$ と可換するならば $a=0$ である。逆に $u(0,0,c)$ は式 (2) からすべての元と可換する。よって

Z\bigl(H(\mathbb Z)\bigr) =\{u(0,0,c)\mid c\in\mathbb Z\}. \tag{4}

式 (3) に $a=t$ 、 $b=0$ 、 $a'=0$ 、 $b'=1$ を代入すると

[u(t,0,0),u(0,1,0)]=u(0,0,t)

である。したがって

[H(\mathbb Z),H(\mathbb Z)] =Z\bigl(H(\mathbb Z)\bigr).

この部分群は非自明であり、中心に含まれるため、

\gamma_2\bigl(H(\mathbb Z)\bigr)=Z\bigl(H(\mathbb Z)\bigr), \qquad \gamma_3\bigl(H(\mathbb Z)\bigr)=\{I_3\}.

よって $H(\mathbb Z)$ の冪零度は正確に $2$ である。

例 5.2 (四元数群). 四元数群

Q_8=\{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k\}

は位数 $2^3$ の群なので、定理 3.1によって冪零群である。さらに

Z(Q_8)=\{\pm1\}, \qquad Q_8/Z(Q_8)\cong C_2\times C_2

である。したがって

\{1\}<Z(Q_8)<Q_8

は長さ $2$ の中心列である。 $Q_8$ は非アーベル群なので冪零度は $1$ ではなく、正確に $2$ である。

§E7.15 注意 5.1で外部結果として掲げた単位四元数の表示では $Q_8\leq\operatorname{SU}(2)$ である。二重被覆 $\rho\colon\operatorname{SU}(2)\to\operatorname{SO}(3)$ を $Q_8$ に制限すると、その核は $\{\pm1\}$ である。したがって

\rho(Q_8)\cong Q_8/\{\pm1\}\cong V_4, \qquad V_4\leq\operatorname{SO}(3).

三つの非自明な像は、それぞれ座標軸の周りの角 $\pi$ の回転である。この段落は外部結果に依存する周辺例であり、以下の例または演習の根拠には用いない。

例 5.3 (可解だが冪零でない群). $S_3\triangleright A_3\triangleright\{e\}$ はアーベル因子をもつ正規列なので、§E7.21 定理 2.2により $S_3$ は可解である。しかし $S_3$ には位数 $2$ の Sylow 部分群が三つあり、いずれも正規ではない。定理 4.1により $S_3$ は冪零群ではない。

6 演習

問題 6.1.

非自明なアーベル群の冪零度が $1$ であることを示せ。
冪零度がそれぞれ $c$ と $d$ である二群 $G,H$ について、 $G\times H$ の冪零度が $\max\{c,d\}$ であることを示せ。
$p<q$ を素数とする。位数 $pq$ の群が冪零であることと、その群が巡回群 $C_{pq}$ に同型であることが同値であることを示せ。

解答.

アーベル群では $Z(G)=G$ なので $Z_1(G)=G$ である。非自明性から $Z_0(G)\neq G$ であり、冪零度は $1$ である。
上中心列について
$Z_k(G\times H)=Z_k(G)\times Z_k(H)$
が $k$ に関する帰納法で成り立つ。したがって全群へ達する最小の段数は $\max\{c,d\}$ である。
冪零ならば二つの Sylow 部分群がともに正規であり、定理 4.1によって
$G\cong C_p\times C_q\cong C_{pq}.$
逆に $C_{pq}$ はアーベル群なので冪零群である。

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§E7.22冪零群